广西陆川县中学2020-2021学年高三下学期第二次质量检测数学试卷含解析〖附16套高考模拟卷〗
陆川县高三数学下学期期中试卷 理(含解析)(2021年整理)
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2016—2017学年广西玉林市陆川高三(下)期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x｜2x﹣3≥1}，集合,则A∩B=（）A．（2，5）B．C．（2，5］D．（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题,共10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．(1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．23．设函数f(x）=|x﹣2｜+|x+a｜（a∈R）．(1）若a=1时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x)≤2x的解集为C．（2，5] D．=0，解得x=t或x=k﹣t，∴Q(k﹣t，（k﹣t)2），而QN⊥QP，所以直线NQ斜率为，∴,联立方程,整理得：，即kx2+x﹣(k﹣t）=0，=0，解得，或x=k﹣t．∴，∴．而抛物线在点N的切线斜率，k=y'|，MN是抛物线的切线，∴,整理得k2+kt+1﹣2t2=0，∴△=t2﹣4（1﹣2t2）≥0，解得（舍去），或,∴．【点评】本题考查了求抛物线的解析式问题，考查求直线的斜率以及转化思想，考查抛物线的性质，是一道综合题．21．（12分)（2017春•陆川县校级期中）已知函数．（1）若函数f(x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2（x1＞x2）是函数f（x）的两个极值点，若，求f（x1）﹣f（x2）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】（1)求出函数的导数，问题转化为有解，根据不等式的性质求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，得到f（x1）﹣f(x2）=,设，令，根据函数的单调性求出函数的极大值即可．【解答】解：（1）∵，∴,由题意知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，即有解，∵x＞0，∴,当且仅当x=1时等号成立，要使有解，只需要的最小值小于a﹣1，∴2＜a﹣1，解得实数a的取值范围是{a｜a＞3}．(2）∵，∴，由题意知f’（x）=0在（0，+∞）上有解，∵x＞0，设μ(x）=x2﹣（a﹣1）x+1,又,∴△=（a﹣1)2﹣4＞0，∴x1+x2=a﹣1，x1x2=1，则==，∵x1＞x2＞0，所以设，令，则,∴h（t）在(1,+∞)上单调递减，∵,∴,∴,∵t＞1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0，得t≥4,∴，故f（x1）﹣f（x2）的最大值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想,转化思想，考查不等式的性质，是一道综合题．选做题：（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）（共1个小题,共10分）22．（10分）（2017春•陆川县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程消去参数t能求出直线l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲线C的普通方程．（2）曲线C的直角坐标方程为(x﹣1）2+y2=1，与直线联立方程组，由此能求出直线l与曲线C 的交点的直角坐标．【解答】解:（1）因为直线l的参数方程为，∴，代入，∴，即，∴直线l的直角坐标方程为，∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的普通方程x2+y2=2x，即x2﹣2x+y2=0．(2）曲线C的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1，∴,解得或，∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为．【点评】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，考查直线与曲线的交点的直角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．（2016•上饶三模）设函数f(x）=｜x﹣2｜+｜x+a｜(a∈R)．（1）若a=1时,求不等式f（x)≥4的解集；（2)若不等式f（x)≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．【考点】R4:绝对值三角不等式;R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1)a=1时,f（x）≥4可化为|x﹣2|+｜x+1｜≥4．去掉绝对值符号解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f(x）≤2x的解集为[1，+∞）,则｜x﹣2｜+|x+a｜=2x的一个根是1，求出a,再进行验证，即可求a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+｜x+1|≥4．x＜﹣1时，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x≤﹣；﹣1≤x≤2时,2﹣x+x+1≥4，无解；x＞2时，x﹣2+x+1≥4，∴x≥．综上所述,不等式的解集为{x｜x≤﹣或x≥}；（2）∵不等式f(x）≤2x的解集为［1，+∞），∴｜x﹣2|+|x+a|=2x的一个根是1，∴a=0或﹣2．a=0时,由|x﹣2｜+｜x|≤2x，解得x≥1，合题意；a=﹣2时，由2｜x﹣2｜≤2x,解得x≥1，合题意；综上所述，a=0或﹣2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
广西陆川县中学2021届高三数学5月二模试题 文
广西陆川县中学2021届高三5月二模数学（文）试题考试时刻：120分钟 总分：150分，本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页第 Ⅰ 卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） （1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}2|340B x x x =-->，那么()U AC B =A 、{}|24x x -≤<B 、{}|34x x x ≤≥或C 、{}|21x x -≤<-D 、{}|13x x -≤≤ （2）已知1sin 23α=，那么2cos ()4πα-= A ．13- B ．23-C ．13D ．23（3）已知函数1,0()2,0xx x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，那么((0))f f 的值为 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 （4）已知2812(0,0)y x m x y x y+>+>>恒成立，那么实数m 的取值范围是 A 、72m >B 、72m < C 、2m < D 、2m >（5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C BD A --的正切值是A、 BC、 D（6）等比数列{}n a 和各项均为正，公比q 知足24q =，那么3445a a a a +=+A 、14 B 、2 C 、12± D 、12（7）已知函数()cos()cos ()2f x x x x R π=+∈，那么下面结论错误．．的是 A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数C. 函数()f x 的图像关于直线4x π=对称 D. 函数()f x 是奇函数（8）已知()f x 是概念在R 上的奇函数，当0x >时，2()2x f x x =+，假设2(2)()f a f a ->，那么实数a 的取值范围是A. (1,2)-B. (2,1)-C. (,1)(2,)-∞-+∞D. (,2)(1,)-∞-+∞第 Ⅱ 卷二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在答题卡中的相应横线上。
广西陆川县中学高三数学下学期第二次质量检测试题 理
广西陆川县中学2018届高三数学下学期第二次质量检测试题理第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}20,2,,|15A m m B x Z x =-=∈<<，若{}4A B ⋂=，则实数m 构成的集合是A ．{}2,6B ．{}2,6-C ．{}2,2-D ．{}2,2,6-2.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=3.下列程序框图中，则输出的A 值是（ ）A ．128B ．129C ．131D ．1344.若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中()0πt ∈，，则t =( )A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π 5.已知在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，500S =．设()12n n n n b a a a n *++=∈N ，则当数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．23B ．25C ．23或24D ．23或258.若()()()2201620162015201401220161111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则0122016a a a a ++++的值为（ ）A ．1B ．0C ．20162D ．201529.设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈．给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤≤．其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．,αβ 是两个平面， ,m n 是两条直线，则下列命题中错误．．的是 A ．如果,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥ B ．如果,m αα⊂∥β ，那么m ∥βC ．如果,l m αβ⋂=∥,m α∥β ，那么m ∥lD ．如果,,m n m n α⊥⊥∥β，那么αβ⊥11． 定义在R 上的偶函数)(x f 在[0,)+∞单调递增，且1)2(=-f ，则(2)1f x -≤的x 的取值范围是A ．]4,0[B ．),2[]2,(+∞--∞C ．),4[]0,(+∞-∞D ．]2,2[-12.设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪+-≥=+⎨⎪≥⎩则的最小值为___________．14．若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎭的展开式中的常数项为m ，则21m x dx =⎰___________． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B 两点，O为坐标原点，若AOB S ∆=e =__________．16．若函数()y f x =满足：对于()y f x =图象上任意一点P ()()11,x f x ，总存在点()()22,P x f x '也在()y f x =图像上，使得()()12120x x f x f x +=成立，称函数()y f x =是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①1y x -=；②sin 1y x =+；②2x y e =-；③ln y x =；⑤y =（其中e 为自然对数底数）其中是“特殊对点函数”的序号是__________．(写出所有正确的序号)三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，23a =且137,,a a a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足11010+1n n n b a a += ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．18．（本小题满分12分）随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式．某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：（I ）依据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（II ）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网购优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；(III)将频率视为概率，从该市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记经常进行网络购物的人数为X ，求X 的期望和方差．附：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，⊥=∠EB ABD ,90 平面13,1,3,2,//,====BC EF EB AB AB EF ABCD ，且M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ；（2）求二面角B FD A --的余弦值的大小.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率与双曲线112422=-y x 的离心率互为倒数，且过点3(1)2P ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 作两条直线12l l ，与圆2223(1)(0)2x y r r -+=<<相切且分别交椭圆于M 、N 两点．① 求证：直线MN 的斜率为定值；② 求△MON 面积的最大值（其中O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数21()2f x x =，()ln g x a x =. （1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若[1,]e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中， 曲线M的参数方程为2sin cos 2sin 2x y ααααα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（t为参数）．（I ）求曲线M 和N 的直角坐标方程；（II ）若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 （1）设函数5()||||,2f x x x a x R =-+-∈,若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立,求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=,求321x y z++的最小值.理科数学试题参考答案及评分标准1－5. BACCA 6－10BDCDD 11－12AD13.5 14.26316. ②③⑤ 13．解析:答案5 由题意可得可行域为如图所示（含边界），+2z x y =，即1122y x z =-+，则在点A 处取得最小值.联立10,240,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：1,2,x y =⎧⎨=⎩(1,2)A ∴.代入+2z x y =得最小值5.14.解析：答案263 二项式261)x x +的展开式的通项公式为：612316r r r r T C x --+=，令1230r -=，则4r =．即有4263m C ==．则3223311112633m x dx x dx x ===⎰⎰．15双曲线的渐近线方程是b y x a =±，当1x =-时，by a=±，即(1,),(1,)b b A B a a ---，所以1212AOB b S a ∆=⨯⨯⨯=，即ba =2212b a =，即22212c a a -=，所以2213c a=.所以e =16.解析 答案②③⑤ 由11(,())P x f x ，22(,())P x f x '满足1212()()0x x f x f x +=，知0OP OP '⋅=，即OP OP '⊥.①1y x -= 当(1,1)P 时，满足OP OP '⊥的点不在1y x -=上，故①1y x -=不是“特殊对点函数”；②sin 1y x =+.作出函数sin 1y x =+的图象，由图象知，满足OP OP '⊥的点22(,())P x f x '都在()y f x =图象上，则②是“特殊对点函数”；③2x y e =-.作出函数2x y e =-的图象，由图象知，满足OP OP '⊥的点22(,())P x f x '都在()y f x =图象上，则③是“特殊对点函数”；④ln y x =.当(1,0)P 时，满足OP OP '⊥的点不在ln y x =上，故④ln y x =不是“特殊对点函数”⑤y =作出函数y =由图象知，满足OP OP '⊥的点22(,())P x f x '都在()y f x =图象上，则⑤是“特殊对点函数”.答案为：②③⑤ 17．(12分)解：（I ）由题意，2317a a a =，所以，()()()22225a d a d a d +=-+ 即 ()()()23+335d d d =-+ 即2660d d -= 因为0d ≠，所以=1d ，所以12a = 故1n a n =+ （II ）由上知，()()()()()()101111=11012112121210n b n n n n n n n n ==<-++++++++++ 故121111111123341222n n S b b b n n n =+++<-+-++-=-+++所以，12n S < 18．（12分）（I ）由列联表数据计算()2220050405060= 2.020 2.07211090100100K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关. （II ）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有605=3100⨯人，偶尔或从不进行网购的有405=2100⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C+=（III ）由列联表可知，经常进行网购的频率为11011=20020，19.解：（1）解法一：取AD 的中点N ，连接NF MN ,.在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以AB MN AB MN 21,//=， 又因为AB EF AB EF 21,//=，所以EF MN //且EF MN =. ………………２分 所以四边形MNFE 为平行四边形，所以FN EM //， ………………４分 又因为⊂FN 平面⊄EM ADF ,平面ADF ，故//EM 平面ADF .…………５分 解法二：因为⊥EB 平面BD AB ABD ⊥,，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -.由已知可得)3,1,0(),0,2,3(),3,0,23(-=-=-=→→→AF AD EM ，设平面ADF 的一个法向量是),,(z y x n =→.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AF n AD n 得⎩⎨⎧=+-=-03023z y y x 令3=y ，则)3,3,2(=→n .又因为0=⋅→→n EM ，所以→→⊥n EM ，又⊄EM 平面ADF ，故//EM 平面ADF . （2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是)3,3,2(=→n .………………６分 易得平面BFD 的一个法向量是)1,3,0(-=→m ………………９分所以43||||,cos -=⋅⋅>=<→→→→→→n m nm n m ，又二面角B FD A --为锐角，………１１分 故二面角B FD A --的余弦值大小为43. ………………１２分 20.（12分）（1）可得12e =，设椭圆的半焦距为c ，所以2a c =，………………１分 因为C 过点3(1)2P ，，所以221914a b+=，又222c b a +=，解得2a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=． ………………４分 （2）① 显然两直线12l l ，的斜率存在，设为12k k ，，()()1122,,M x y N x y ，， 由于直线12l l ，与圆2223(1)(0)2x y r r -+=<<相切，则有12k k =-，………５分直线1l 的方程为()1312y k x -=-， 联立方程组112232143y k x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y ，得()()()22211114312832120x k k k x k ++-+--=， ………………６分因为P M ，为直线与椭圆的交点，所以()11121812143k k x k -+=+，同理，当2l 与椭圆相交时，()11221812143k k x k ++=+，所以112212443k x x k --=+，而()11211212112243k y y k x x k k --=+-=+， 所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==-． ………………８分 ② 设直线MN 的方程为12y x m =+，联立方程组2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得2230x mx m ++-=，所以MN ==，………………９分 原点O到直线的距离d ………………１０分OMN ∆面积为12S =≤=， 当且仅当22m =时取得等号．经检验，存在r （302r <<），使得过点3(1)2P ，的两条直线与圆222(1)x y r -+=相切，且与椭圆有两个交点M ，N ．所以OMN ∆………………１２分21.解：（1）由()21()ln 2y f x g x x a x =-=-，得()a y x x x '=-. ……１分 由题意，322=-a ，所以2a =-. …………２分 （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+. 因为对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-即()()112222h x x h x x ->-恒成立.问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数， …………４分 所以()20a F x x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立.即22a x x ≥-在()0,+∞上恒成立. 所以()2max 21a x x ≥-=，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. …………７分（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<.构造函数()1ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[1,]e 上存在一点0x ，使得()00m x <.()()()2222111(1)1x a x a a x ax a m x x x x x--++--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+.①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[1,]e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-. ②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-. 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[1,]e 上单调递减，只需()10a m e e a e +=-+<，解得211e a e +>-. 综上所述，实数a 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪-⎝⎭. ………１２分22. 解：（Ⅰ）由ααsin cos 3+=x 得1cos sin 32cos 2)sin cos 3(222++=+=αααααx ，所以曲线M 可化为21y x =-，]2,2[-∈x ， ………2分由sin()4πρθ+=sin cos θρθ=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 可化为x y t +=.……… 4分（Ⅱ）若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)3,2(时满足要求，此时5=t ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，解得54t =-， 综上可求得t 的取值范围是545≤≤-t . ……… 10分 23.解：（1）由绝对值的性质得555()|||||()()|||222f x x x a x x a a =-+-≥---=-, 所以()f x 的最小值为5||2a -,从而5||2a a -≥,解得54a ≤, 因此a 的最大值为54. （2）由于,,0x y z >,所以321321(23)()x y z x y z x y z++=++++22216≥+=+=+当且仅当23321x y z x y z==,即:::1x y z =时,等号成立. ∴321x y z ++的最小值为16+.。
广西陆川县中学高三数学下学期第二次质量检测试题 文
广西陆川县中学2018届高三数学下学期第二次质量检测试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知复数 （i 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．若复数z 满足()121i z i +=-，则z =A ．25B ．35 CD3．已知倾斜角为θ的直线l与直线230x y +-=垂直，则sin 2θ的值为A ．35B ．45C ．15D ．15-4．函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是 A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b >c >a B ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c 6．“m ＜0”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥存在零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ． 163πB ．112πC ．173πD ．356π8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（ ）A ．4. 5B ．6C ．7.5D ．9 10.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC =AB AC ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．-2 D ．-111．设12F F 、是双曲线()2222210,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若12126,30PF PF a PF F +=∠=且，则双曲线C 的渐近线方程是A0y ±= B．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=12．已知函数()()()()22240,8f q f x ax a a x R p q f p =-->∈+=，若，则的取值范围是A. (,2-∞-B．)2⎡++∞⎣ C．(22-+D．22⎡-+⎣二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；13.设x ，y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则12()16x y z =的最大值为 ．14.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2n S n =，若2n an b =，则数列{}n b 的前n 项和n T = ．15.已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为 ． 16.若函数()sin()4f x m x π=+x 在开区间7(0,)6π内，既有最大值又有最小值，则正实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差d >0，其前n 项和为243588,,,n S a a a a a +=，且成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
【100所名校】2020届广西玉林市陆川中学高三12月月考数学(理)试题(解析版) (1)
23．选修4-5：不等式选讲
（1）函数 ，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若 ，求 的最小值．
2020届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】因为 ，所以 ，故选D.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2020届广西玉林市陆川中学
高三12月月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
，
时四边形面积最大，此时 ，可得
，故答案为 .
17．(1)证明见解析， .(2) .
【解析】试题分析：（1）由条件知道 ，两式子做差可得 ，移项得到 。（2）根据第一问得到 ，由错位相减的方法求和即可.
（1）证明：当 时， ，
由 得 ，
即 ，
所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是 .
（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，点 在线段 上， ， ,求 的面积.
2020届广西陆川县中学高三下学期第二次质量检测 数学(理)试题及答案解析
2020届广西陆川县中学高三下学期第二次质量检测 数学（理）试题一、单选题1．若a R ∈，则“复数32ai z i -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝3π对称的是（ ） A ．sin(2)6y x π=+B ．sin(2)3y x π=+C ．sin(2)3y x π=- D ．sin(2)6y x π=- 3．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，2,3M，1,4N ，则集合5,6等于（ ） A ．M N ⋃ B ．M N ⋂ C ．U U C MC ND ．U U C M C N 4．已知()21f x x =+，若10()()f x dx f a =⎰，则a 的值为（ ）A ．aBC ．12D ．15．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为( )A ．528B ．1020C ．1038D ．10406．直线//a 平面α，直线b a ⊥，则b 与α的关系是（ ）A ．b α⊥或b 与α相交B ．b α⊥C ．//b α或b α⊂D ．不能确定7．等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 4是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个根，则S 5＝（ ）8．若a ∈｛x ∣x =2n ，n ∈N ｝，且a ∉｛x ∣x =4n ，n ∈N ｝则a 可能是（ ）A ．0B ．8C ．10D ．129．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为f x ，当0x ≥时，恒有()()03x f x f x '--≤.则不等式()()()331212<0x f x x f x -++的解集为（ ）A ．{}31x x -<<-B ．113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ C ．113x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或 D ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭10．已知点A(−1,2),B(2,3)，若直线l:kx −y −k +1=0与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是（）A ．−12≤k ≤2B ．k ≤−12或k ≥2C ．−2≤k ≤12D ．k ≤−2或k ≥1211．如果执行如图所示的框图，输入Ｎ＝10, 则输出的数等于（ ）A ．25B ．35C ．45D ．5512．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝()11f x +，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的所有取值的集合是__________．14．已知点(1,2)是双曲线2221(0)4x y a a -=>渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 15．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则30()=f x dx ⎰____________.16．设函数()[](),0{ 1,0x x x f x f x x -≥=+<，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.22-=-，[]1.21=，[]11=，若直线10x ky -+=（0k >）与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．三、解答题17．动点P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足3AB AP →→=，已知点B 的轨迹是过点()0,3Q 的圆． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．18．已知函数()(1)x f x ax e =-（0a ≠，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在区间[1,2]上是单调减函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 的极值；（3）设函数()f x 图像上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围.19．已知等差数列{}n a 中，14715a a a ++=，24645a a a =，求此数列的通项公式．20．某企业通过调查问卷的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如下表：(1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否有99%的把握认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？21．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD .且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ；（2）求PA 与平面PBD 所成角的大小.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（1）当3πα=时，求直线l 的一般方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围.23．已知a R ∈，函数()1f x a x=+. （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[]2,1--上有解，求实数a 的取值范围.【答案与解析】1．C 利用复数除法的运算法则：复数3232231ai i a z a i i -+===---，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得20a -<，即可判断出． 解：由题意有，3232231ai i a z a i i -+===---， 由于复数z 在复平面内对应的点在第三象限，∴20a -<，∴0a >，∴“复数32ai z i -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的充要条件， 故选：C ．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．2．D判断最小正周期以及直线x ＝3π是否为对称轴，即可作出选择. sin(2)6y x π=+最小正周期为π，但x ＝3π时1sin(2)1362ππ⨯+=≠±； sin(2)3y x π=+最小正周期为π，但x ＝3π时sin(2)0133ππ⨯+=≠±；sin(2)3y x π=-最小正周期为π，但x ＝3π时sin(2)133ππ⨯-=≠±； sin(2)6y x π=-最小正周期为π，但x ＝3π时sin(2)136ππ⨯-=； 故选：D本题考查三角函数周期以及对称轴，考查基本分析判断能力，属基础题.3．D本题首先可以根据题意中给出的条件依次写出M N ⋃、M N ⋂、U U C M C N 以及U U C M C N ，然后将得出的集合与集合5,6进行对比即可得出结果．由题意可知：{1,2,3,4}M N ，M N ⋂=∅， {1,2,3,4,5,6}U U C MC N ，{5,6}U U C M C N ，故选D ． 本题考查集合的运算，主要考查集合的运算中的交集、并集以及补集，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．4．C根据定积分计算公式算出10()f x dx ⎰，列方程即可求解.因为()21f x x =+, ()1112000()(21)2f x dx x dx x x ∴=+=+=⎰⎰ ()212f a a =+=，解得12a =故选：C 此题考查定积分的计算，代入公式即可，属于简单题目.5．D012344544444216a C C C C C =++++==,01210101110101010...21024a C C C C =++++==,5111040a a ∴+=,故选D.6．D根据空间中直线与平面，直线与直线的位置关系，即可容易判断.直线//a 平面α，直线b a ⊥，显然直线b 与平面α之间的关系是任意的.如下图所示：故选：D.本题考查直线与平面之间的位置关系，属基础题.7．B由韦达定理得244a a +=，再利用等差数列的性质即可得出结论．解：∵24,a a 是关于x 的一元二次方程2420x x -+=的两个根，∴由韦达定理得244a a +=，由等差数列的性质得，1524324a a a a a +=+==，∴544210S =++=，故选：B ．本题主要考查等差数列的性质与前n 项和的计算，属于基础题．8．C由题可知42,a n n N =+∈，即可由此判断.{2,}a x x n n N ∈=∈∣，且{4,}a x x n n N ∉=∈∣，42,a n n N ∴=+∈，当2n =时，10a =.故选：C.本题根据元素与集合的关系求出参数，属于基础题.9．B构造函数3()()g x x f x =,则可推出()g x 的奇偶性与单调性,再利用其单调性解不等式即可. 令3()()g x x f x =, 则可得232()3()()3[()()]3x g x x f x x f x x f x f x '''=+=+, 又当0x ≥时,恒有()()()()033x x f x f x f x f x ''--=+≤, 即0x ≥时,()0g x '≤,所以g (x )在[0,+∞)上单调递减,又f (﹣x )=﹣f (x ),则g (﹣x )=﹣x 3f (﹣x )=g (x ),所以g (x )为偶函数,所以g (x )在(﹣∞,0)上单调递增,又由()()()331212<0x f x x f x -++可得,g (x )<g (1+2x ), 故12x x >+,即22(12)x x >+,解得113x -<<-, 故选:B.本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,能正确构造函数是解决本题的关键,属于中档题. 10．B由题意得A(−1,2),B(2,3)在直线l 上或两侧，即(−k −2−k +1)(2k −3−k +1)≤0,解得k ≤−12或k ≥2，选B.11．D试题分析：先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s 的值找出规律，从而得出所求．由于起始量为k=1,s=0,那么可知s=1,k=2;s=3,k=3;s=6,k=4;依次进行可知，当k=10,则可知输出的s 的值为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.故选D.考点：循环结构点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及等差数列的运用，属于基础题．12．D由于x ∈[0,1]时，有f(x)＝x ，可得当x ∈[－1,0]时，x ＋1∈[0,1],有()11f x x +=+，又因为f(x)＋1＝()11f x +，明显地，()10f x +≠，则1x =-时无意义，则可得 (),01,101x x f x x x x ≤≤⎧⎪=-⎨-<≤⎪+⎩，根据分段函数可画出f(x)的图像，求g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，转化为当f(x)=mx +m 时，y ＝f(x)和y ＝m(x ＋1)的函数图像的交点问题，用数形结合的方法分析即可.当x ∈[－1,0]时，x ＋1∈[0,1],有()11f x x +=+又因为函数f(x)＋1＝()11f x +，则()10f x +≠,即1x ≠- 所以,当x ∈(－1,0]时，f(x)＝()11f x +－1＝11x +－1＝1x x -+,所以， 可得(),01,101x x f x x x x ≤≤⎧⎪=-⎨-<≤⎪+⎩，作图可得函数g(x)＝f(x)－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f(x)＝m(x ＋1)在区间(－1,1]内有两。
广西陆川县中学2018届高三下学期第二次质量检测 数学(理)试题
广西陆川县中学2018年春季期高三第二次质量检测试卷理科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1. 设集合{}20,2,A m m =-，{}|15B x Z x =∈<<，若{4}A B ⋂=，则实数m 构成的集合是（ ） A. {2,6} B. {2,6}-C. {2,2}-D. {2,2,6}-【答案】B 【解析】 【分析】由题知24m -=或24m =，又根据集合元素的互异性即可得出m 的值. 【详解】{}{}|152,3,4B x Z x =∈<<=， 因为{4}A B ⋂=，所以4A ∈，则有24m -=或24m =，解得：6m =或2m =±， 当6m =时，集合{}0,4,36A =满足题意；当2m =时，集合{}0,0,4A =，不满足互异性，故舍去； 当2m =-时，集合{}0,4,4A =-满足题意， 综上，实数m 构成的集合是{}2,6-. 故选：B【点睛】本题考查交集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.2. 已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A. 6x π=B. 512x π=C. 3x π=D. 712x π=【答案】A 【解析】【详解】函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令23x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为6x π=，故选A.考点：三角函数图象变换.3. 下列程序框图中，输出的A 的值A.128B.129C.131D.134【答案】C 【解析】【详解】根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出A 的值是以1为分子，分母构成以4为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.4. 若cos 2cos 0tt xdx =-⎰，其中()0,t π∈，则t =（ ）A.6π B.3π C.2π D.56π 【答案】C 【解析】分析：首先求出定积分0cos txdx ⎰，代入0cos 2cos tt xdx =-⎰，利用二倍角公式得到关于sin t 的方程，求出sin t ，结合t 的范围可得结果.详解：cos sin |sin tt xdx x t ==⎰，又0cos 2cos tt xdx =-⎰，cos2sin t t ∴=-，即212sin sin t t -=-， 解得sin 1t =或1sin 2t =-， ()0,,2t t ππ∈∴=，故选C.点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.5. 在ABC 中，“A B C <<”是“cos2cos2cos2A B C >>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，在ABC ∆中，“A B C <<”则sin sin sin A B C <<， 则222sin sin sin A B C <<，由倍角公式可得1cos 21cos 21cos 2222A B C---<<，可得 cos2cos22A B cos C >>，反之也成立，所以在ABC ∆中，“A B C <<”是“cos2cos22A B cos C >>”的充分必要条件，故选C. 考点：正弦定理与倍角公式.6. 设关于x,y 的不等式组210,{0,0x y x m y m -+>+<->表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m的取值范围是 A. 4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，即该平面区域和直线22x y-=有交点，而直线,{x my m=-=的交点(),m m-在直线y x=-上移动，由,{22,y xx y=--=得交点坐标为22,33⎛⎫-⎪⎝⎭，当23m->即23m<-时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.7. 等差数列{}n a的前n项和为n S,且10a>，500S=.设()*12n n n n b a a a n N++=∈，则当数列{}n b 的前n项和n T取得最大值时,n的值为（）A. 23B. 25C. 23或24D. 23或25【答案】D【解析】【分析】先依据条件知等差数列{}n a的前25项为正数，从第26项起各项都为负数，所以可以判断{}n b的前23项为正数，24b为负数，25b为正数，从第27项起各项都为负数，而2425b b+=，故{}n b的前n项和n T取得最大值时，n的值为23或25．【详解】1500,0a S>=，等差数列{}n a的公差0d<，且()()150502526502502a aS a a+==+=则25260,0a a><，且2526a a=，由()12n n n nb a a a n N+++=∈，知{}n b的前23项为正数，24b为负数，25b为正数，从第27项起各项都为负数，而24b 与25b 是绝对值相等，符号相反，相加为零，2325T T ∴=，之后n T 越来越小，所以数列{}n b 的前n 项和n T 取得最大值时,n 的值为23,25，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求数列前n 项和取最值的判断方法． 8. 若()()()2201620162015201401220161111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则0122016a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A. 1 B. 0C. 20162D. 20152【答案】C 【解析】 【分析】由()201611x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2016kk a C =，利用二项式系数和可求得0122016a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【详解】()()()()201622016020********20142016201620162016201611111x x C x C x x C x x C x =+-=+-+-++-⎡⎤⎣⎦，当02016k ≤≤且k ∈N 时，2016kk a C =，因此，01220162016201620601220161620120162a a a a C C C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C.【点睛】本题考查二项式系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.9. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题中的条件:当x S ∈时，有2x S ∈对三个命题一一进行验证即可：对于①1m =，得21l ll ⎧≤⎨≥⎩，②若12m =-，则214l l l⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，③若12l =，则21212m m ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得正确结果有几个.【详解】由定义设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，符合定义的参数m 的值一定大于等于1-，符合条件的l 的值一定大于等于0或小于等于1，对于①若1m =，21m S =∈，故必有21l ll ⎧≤⎨≥⎩，可得1l =，故{}1S =，故①正确；对于②若12m =-，214m S =∈，则214l ll⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得114l ≤≤，故②正确；对于③若12l =，则221212m m m m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎩，可解得202m -≤≤，故③正确.①②③都为真命题，所以正确命题的个数是3， 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的运算及不等式和不等式组的解法，属于创新题，解答的关键是对新定义的理解，属于中档题.10. α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥ B. 如果m α⊂，//αβ，那么//m β C. 如果l αβ=，//m α，//m β，那么//m lD. 如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】A. 由面面垂直的判定定理判断；B. 由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【详解】A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确； B. 如果m α⊂，//αβ，由面面平行的性质定理得//m β，故正确； C.如果l αβ=，//m α，//m β，由线面平行的性质定理得//m l ，故正确；D.如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么,αβ相交或平行，故错误； 故选：D【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.11. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()f 21-=，则()f x 21-≤的x 的取值范围是（ ） A. []0,4 B. (][),22,∞∞--⋃+ C. (][),04,∞∞-⋃+ D. []2,2-【答案】A 【解析】 【分析】先得()21f =，再根据偶函数化简()21f x -≤，即为()()22fx f -≤，由单调性可得22x -≤，运用绝对值不等式的解法可得x 的取值范围.【详解】定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递增， 且()21f -=，可得()()221f f =-=，()21f x -≤，即为()()22f x f -≤，可得22x -≤， 即222x -≤-≤， 解得04x ≤≤，即x 的取值范围是[]0,4，故选A.【点睛】首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.12. 设1x ， 2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ） A. [)4,+∞ B. ()4,+∞C. [)5,+∞D. ()5,+∞【答案】D 【解析】由12,x x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点，所以110x x a--=，即111xa x =，因为11,0a x >>，所以11x a >，则101x <<， 所以22log 10a x x -=，即221log a x x =，所以21211x a x =，且21>x 所以121x x =，则12221445x x x x +=+>， 即124x x +的取值范围是(5,)+∞，故选D.二、填空题13. 已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪+-≥=+⎨⎪≥⎩则的最小值为___________．【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+， 则在点A 处取得最小值5. 联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：1,(1,2)2x A y =⎧∴⎨=⎩ 代入2z x y =+得最小值5. 答案为：5.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 【详解】14. 若二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21mx dx =⎰__________． 【答案】263【解析】【详解】二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为61612355r rrr T C x -+-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，令1234r r -⇒= 所以常数项为26424511153,55C x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二项式62515x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3m =，则32233111126|33mx dx x dx x ===⎰⎰，故答案为263. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若23AOB S =△，则双曲线的离心率e =__________． 【答案】13 【解析】【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线为b y x a =± ，抛物线24y x =的准线为1x =- ，所以(1,),(1,)bb A B a a--- ， 因此1=12232313,13.2AOB bS b a c a e a⨯⨯=∴=∴==△ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 若函数()y f x =满足：对()y f x =图象上任意点11(,())P x f x 总存在点22'(,())P x f x ，也在()y f x =图象上，使得1212()()0x x f x f x +=成立，称函数()y f x =是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①1y x -=；②ln y x =；③2xy e =-；④sin 1y x =+；⑤21y x =-． 其中是“特殊对点函数”的序号是__________．（写出所有正确的序号） 【答案】③④⑤ 【解析】由()()11,P x f x ，()()22',P x f x 满足()()12120x x f x f x +=，知0OP OP '=，即OP OP '⊥. ①当()1,1P 时，满足OP OP '⊥的点不在1y x -=上，故①1y x -=不是“特殊对点函数”；②ln y x =.当()1,0P 时，满足OP OP '⊥的点不在ln y x =上，故②ln y x =不是“特殊对点函数” ③2xy e =-.作出函数2xy e =-的图象，由图象知，满足OP OP '⊥的点()()22',P x f x 都在y f x =（）图象上，则③是“特殊对点函数”； ④sin 1y x =+.作出函数sin 1y x =+的图象，由图象知，满足OP OP '⊥的点()()22',P x f x 都在y f x =（）图象上，则④是“特殊对点函数”；⑤21y x =-.作出函数21y x =-的图象，由图象知，满足OP OP '⊥的点()()22',P x f x 都在y f x =（）图象上，则⑤是“特殊对点函数” 答案为：③④⑤三、解答题 （一）必考题17. 已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，23a =且1a ，3a ，7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足110101n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.【答案】（1）1n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式列方程求解； （2）通过放缩，利用裂项求和法证明.详解】解：（1）由题意，2317a a a =，所以，()()()22225a d a d a d +=-+即()()()23335d d d +=-+即2660d d -= 因为0d ≠，所以1d =，所以12a = 故1n a n =+； （2）由（1）知，()()()()()()10111111012112121210n b n n n n n n n n ==<=-++++++++++故121111111123341222n n S b b b n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=-+++所以，12n S <【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，考查裂项相消法求和，是中档题.18. 随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计 男性5050100女性 60 40 100 合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X ，求X 的期望和方差.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）不能（2）710（3）995.5,40【解析】试题分析：（1）由列联表中的数据计算2K 的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量X 服从n 次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小． 试题解析：（1）由列联表数据计算()2220050405060=2.020 2.07211090100100K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯.所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关. （2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有605=3100⨯人，偶尔或从不进行网购的有405=2100⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C +=. （3）由列联表可知，经常进行网购的频率为11011=20020. 由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是1120. 由于该市市民数量很大，故可以认为1110,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. 所以，()1110=5.520E X =⨯，()1199910202040D X =⨯⨯=. 19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ABD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3EB =，1EF =，13BC =，且M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ；（2）求二面角A FD B --的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（2）34【解析】 【分析】试题分析：（1）取AD 的中点N ，连接MN 、NF ．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE 为平行四边形，从而得到EM ∥FN ，结合线面平行的判定定理，证出EM ∥平面ADF ；（2）求出平面ADF 、平面BDF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A FD B --的大小. 解析：（1）解法一：取AD的中点N，连接,MN NF.在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1//,2MN AB MN AB=，又因为1//,2EF AB EF AB=，所以//MN EF且MN EF=.所以四边形MNFE为平行四边形，所以//EM FN ，又因为FN⊂平面,ADF EM⊄平面ADF，故//EM平面ADF. 解法二：因EB⊥平面,ABD AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-.由已知可得()()3,0,3,3,2,0,0,1,32EM AD AF⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，设平面ADF的一个法向量是(),,n x y z=.由n ADn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32030x yy z-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3y=，则()2,3,3n=.又因为0EM n⋅=，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，故//EM平面ADF.（2）由（1）可知平面ADF的一个法向量是()2,3,3n=.易得平面BFD的一个法向量是()0,3,1m=-所以3cos,||4m nm nm n⋅==-⋅，又二面角A FD B--为锐角，故二面角A FD B --的余弦值大小为34. 【详解】20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率与双曲线221412x y -=的离心率互为倒数，且过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 作两条直线12l l ，与圆222(1)x y r -+=3(0)2r <<相切且分别交椭圆于M N 、两点． ①求证：直线MN 的斜率为定值；②求MON △面积的最大值（其中O 为坐标原点）．【答案】（1）22143x y +=（2）①12 ② 3【解析】试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得23a b ==，，（2）①先根据点斜式得直线1l 方程，再与椭圆方程联立解得M 坐标，根据直线12l l ，与圆相切，得斜率相反，同理可得N 坐标，最后根据斜率公式求斜率，②设直线MN 方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值. 试题解析：（1）可得12e =，设椭圆的半焦距为c ，所以2a c =， 因为C 过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以221914a b+=，又222c b a +=，解得23a b ==，， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）① 显然两直线12l l ，的斜率存在，设为12k k ，，()()1122,,M x y N x y ，， 由于直线12l l ，与圆()22231(0)2x y r r -+=<<相切，则有12k k =-，直线1l 的方程为()1312y k x -=-， 联立方程组112232143y k x k x y ，，⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()()()22211114312832120xk k k x k ++-+--=，因为P M ，为直线与椭圆的交点，所以()11121812143k k x k -+=+，同理，当2l 与椭圆相交时，()11221812143k k x k ++=+，所以112212443k x x k --=+，而()11211212112243k y y k x x k k --=+-=+， 所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==-．② 设直线MN 的方程为12y x m =+，联立方程组2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得2230x mx m ++-=，所以()2222115143422MN m m m ⎛⎫=+⋅--=- ⎪⎝⎭， 原点O 到直线的距离25m d =，OMN ∆面积为()222222115334443222225m m m S m m m +-=⋅-⋅=-≤=，当且仅当22m =时取得等号．经检验，存在r （302r <<），使得过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，的两条直线与圆()2221x y r -+=相切，且与椭圆有两个交点M ，N ． 所以OMN ∆面积的最大值为3．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 已知函数()212f x x =，()ln g x a x =. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）[)1,+∞；（3）()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭.【解析】 【分析】（1）先根据导数的几何意义得()23y '=，即可得a 的值；（2）设12x x >，构造函数()()2F x h x x =-，则转化为()F x 在()0,∞+上为增函数，即()0F x '≥在()0,∞+上恒成立，参变分离得：()2max2a x x≥-，最后根据二次函数最值求实数a 的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数()1ln am x x a x x+=-+，求导数，按导数零点与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据最小值小于0即可得实数a 的取值范围.【详解】（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得()ay x x x'=-.由题意，232a-=，所以2a =-. （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+. 因为对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，设12x x >，则()()122h x h x ->()12x x -即()()112222h x x h x x ->-恒成立.问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,∞+上为增函数， 所以()20aF x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立.即22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立. 所以()2max21a x x≥-=，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0ax a x x +-+<.构造函数()1ln a m x x a x x+=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.()()()()222211111x ax a x a x a a m x x x x x--+--++'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令()0m x '=，得1x a =+.①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-. ②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值. 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<即()11ln 1a a a ++<+，可得()()11ln 1*a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式()*可化为1ln 1t t t +<-. 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()10am e e a e+=-+<，解得211e a >e +-. 综上所述，实数a 的取值范围是()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，属于中档题.（二）选考题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为23cos sin (23sin cos 2sin 2x y αααααα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为2(42sin t t πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围． 【答案】(1)21y x =-,x y t +=；(2)554t -. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的公式，消去参数，即可求得曲线M 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线N 的直角坐标方程；（2）由两曲线的方程，联立方程组，根据判别式，即可求解t 的取值范围． 【详解】(1)由3cos sin x αα=+,得222(3cos sin )2cos 23sin cos 1x ααααα=+=++，又由2223sin cos 2sin 22cos 23sin cos y αααααα=-+=+ 所以曲线M 可化为21,[2,2]y x x =-∈-， 又由2sin 42t πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得222sin cos 222t ρθρθ+=， 即sin cos t ρθρθ+=，所以所以曲线N 可化为x y t +=.(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时5t =， 并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y ty x +=⎧⎨=-⎩得210x x +-=， 由14(1)0t ∆=++=，解得54t =-. 综上可求得t 的取值范围是554t -. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23. （1）设函数5(),2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值. 【答案】（1）54；（2）1683+ 【解析】 试题分析：（1）555()()()222f x x x a x x a a a =-+-≥---=-≥，解得54a ≤；（2）由于,,0x y z >，所以321321(23)()x y z x y z x y z ++=++++2321(23)1683x y z x y z≥++=+. 试题解析：（1）由绝对值的性质得555()()()222f x x x a x x a a =-+-≥---=-， 所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤， 因此a 的最大值为54. （2）由于,,0x y z >，所以321321(23)()x y z x y z x y z++=++++22321(23)(323)1683x y z x y z≥++=++=+ 当且仅当23231x y z y x z==，即::3:3:1x y z =时，等号成立. ∴321x y z++的最小值为1683+. 考点：不等式选讲.。
广西2021版高考数学二模试卷(理科)C卷
广西2021版高考数学二模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知（ +i）•z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2019高一上·顺德月考) 设集合U= , 则A .B .C .D .3. （2分）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A . -B . -2C . -1D . -4. （2分） (2016高一上·湄潭期中) 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣2）=﹣3，则f（2）+f （0）=（）A . 3B . ﹣3C . 2D . 75. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A . 5B . 11C . 14D . 196. （2分） (2020高三上·库车月考) 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·赣州期末) 在（1+x）8（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（1，2）=（）A . 102B . 103C . 104D . 1058. （2分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 若函数y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A .B . 1C .D . 29. （2分）一个正三棱锥的正视图及俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图的面积为（）A . 6B .C .D .10. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（）A . 4B . 7C . 6D . 511. （2分）(2017·成都模拟) 某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A . 男医生B . 男护士C . 女医生D . 女护士12. （2分） (2017高二上·泉港期末) 曲线y=sinx+ex在点（0，1）处的切线方程是（）A . x﹣3y+3=0B . x﹣2y+2=0C . 2x﹣y+1=0D . 3x﹣y+1=0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二下·抚顺期末) ________14. （1分）(2020·枣庄模拟) 已知三棱锥的顶点都在球o的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，，，则球o的体积的最小值为________.15. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16. （1分） (2015高三上·安庆期末) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的表面上，且侧棱垂直于底面ABC，若AC=4，∠ABC=30°，AA1=6，则球O的体积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分)17. （15分）(2019·鞍山模拟) 已知数列满足．（1）求、；（2）求证：数列为等差数列；（3）求数列的前项和．18. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图．（1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）；（2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．19. （5分）(2020·南昌模拟) 三棱柱中，，，，四边形为菱形，且， .（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求与平面的夹角正弦值.20. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，，动点P满足，其中分别表示直线的斜率，t为常数，当t=-1时，点P的轨迹为；当时，点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线l，使得成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2019·淄博模拟) 已知函数 .（1）若是的极大值点，求的值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.22. （5分）(2017·蚌埠模拟) 在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1 ， C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1 ， C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．23. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 设函数（1）解不等式（2）若在上有实数解,求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020年广西玉林市高考数学二模试卷(理科)(附答案详解)
2020年广西玉林市高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，集合B ={−1,0,1,2,3}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2. 若复数z 满足(1−i)z =3+i(其中i 为虚数单位)，则|z|=( )A. 1B. √2C. 2D. √53. 已知a =(12)3，b =0.3−2，c =log 122，则a ，b ，c 的大小关系( ) A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D. b >a >c4. 已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，若|a ⃗ −2b ⃗ |=√3，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是( )A. π6B. π3C. 5π6D. 2π35. 若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=−1，a 4=b 4=8，a2b 2=( )A. −4B. −1C. 1D. 46. 已知直线l 过点A(a,0)且斜率为1，若圆x 2+y 2=4上恰有3个点到l 的距离为1，则a的值为( )A. 3√2B. ±3√2C. ±2D. ±√27. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8. (1−ax)(1+x)6的展开式中，x³项的系数为−10，则实数a 的值为( )A. 23B. 2C. −2D. −239. 函数f(x)=12x 2−xsinx 的大致图象可能是( )A. B.C.D.10. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A. √2021B. √2019C. 2√505D. 2√505−111. 如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF =∠BCE =90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD//BC ，且AB =DE =2BC =2AF(如图1)，将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE(如图2).在折起的过程中，下列说法中正确的个数( )①AC//平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2−y 2b2=1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP|，tan∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. (1,√102]B. [√102,+∞)C. (1,√102)D. (√102,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线y=ax+e x+1在点(0,e)处的切线方程为y=e(x+1)，则a=______．14.已知x，y满足{y≥xx+y≤22x−y≥−2.则z=x+2y最大值为______．15.已知三棱锥S−ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥面ABC，AC=1，BC=√3，若三棱锥的体积是√33，则该球体的表面积是______．16.已知椭圆C：x24+y2=1，P(0,m)是y轴正半轴上一动点，若以P为圆心任意长为半径的圆与椭圆C至多有两个交点，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求a的值：(Ⅱ)估计这100名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(Ⅲ)在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d,n=a+b+c+d．c(asinA+ 18.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为12 bsinB−csinC)．(1)求角C；(2)若D为AB中点，且c=2，求CD的最大值．19.已知三棱锥P−ABC的展开图如图二，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中；(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角P−BC−M的余弦值．20.已知抛物线Γ：y2=ax(a>0)的焦点为F，若过F且倾斜角为π的直线交Γ于M，N两4点满足|MN|=4．(1)求抛物线Γ的方程；(2)若P为Γ上动点，BC在y轴上，圆(x−1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．−2lnx(a∈R)．21.函数f(x)=ax−ax(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)设a>2e，m，n分别为f(x)的极大值和极小值，若S=m−n，求S的取值范e2+1围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosαy=2+2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设A，B为曲线C上不同两点(均不与O重合)，且满足∠AOB=π4，求△OAB面积的最大值．23.设函数f(x)=|x+2|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≥2；(2)当x∈R，0<y<1时，证明：|x+2|−|x−2|≤1y +11−y．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属基础题． 先求出集合A ，由此利用交集的定义能求出A ∩B ． 【解答】解：∵集合A ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， B ={−1,0,1,2,3}， ∴A ∩B ={−1,0,1}． 故选C ．2.【答案】D【解析】解：∵(1−i)z =3+i ， ∴z =3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i 2=1+2i ，∴|z|=√12+22=√5． 故选：D ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的模，求解即可．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a =(12)3∈(0,1)，b =0.3−2>1，c =log 122<0， 则a ，b ，c 的大小关系是：b >a >c ． 故选：D ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ −2b ⃗ |=√3，则a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=3， 所以，a ⃗ ⋅b ⃗ =12， 故cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=12，故θ=13π 故选：B ．由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，然后代入到夹角公式cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |即可求解． 本题主要考查了向量数量积的性质及夹角公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ， 由a 1=b 1=−1，a 4=b 4=8， 可得−1+3d =−q 3=8， 可得d =3，q =−2，则a 2b 2=−1+3−(−2)=1， 故选：C ．等差数列{a n }的公差设为d 和等比数列{b n }的公比设为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，计算可得所求值．本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵直线l 过点A(a,0)斜率为1， ∴设l ：x −y −a =0，∵圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1，∴圆心到直线的距离等于半径减去1，=2−1，∴圆心(0,0)到直线l：y=x+a的距离为：√2解得a=±√2．故选：D．设l：x−y−a=0，由点到直线的距离公式列出方程，由此能求出结果．本题考查满足条件的实数值的求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：C．根据2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图逐一判断．本题考查命题真假的判断与求法，考查折线图的性质等基础知识，考查数据分析能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：(1−ax)(1+x)6的展开式中，x³项的系数为−10，即1×C63−aC62=20−15a=−10，解得a=2，故选：B．依题意，可得即1×C63−aC62=−10，解之即可．本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：f(−x)=12x2−(−x)sin(−x)=12x2−xsinx=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B，f(π6)=12×(π6)2−π6×sinπ6=12×π6(π6−1)<0，排除D，故选：C．判断函数的奇偶性和对称性，利用x=π6时的函数值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和单调性的性质，以及特殊值的符号是否对应是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：由题意可知，当1≤k≤2019时，不断执行循环结构，累加求和，可得S=1+1√2+1+1√3+√2+....+1√2021+√2020，当k=2020时，跳出循环，所以输出的S=1+1√2+1+1√3+√2+....+1√2021+√2020=1+√2−1+√3−√2+....+√2021−√2020=√2021．故选：A．由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，即可得答案．本题主要考查程序框图算法功能的理解和利用裂项相加法求和，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：对①，在图②中，连接AC，BD交于点O，取BE中点M，连接MO，则AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，由题意得平面BCE⊥平面ABF，BCEG四点共面．过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案．本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵|F1F2|=2|OP|，∴|OP|=c，根据三角形的性质可知，△PF1F2为直角三角形，则PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，①由双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|=2a，即|PF1|=|PF2|+2a，②将②代入①得：(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2，整理可得|PF2|2+2a|PF2|=2c2−2a2，配方可得(|PF2|+a)2=2c2−a2，≥3，③，又tan∠PF2F1=|PF1||PF2|则|PF1|≥3|PF2|，结合②得0<|PF2|≤a，则两边同时加上a得：a<|PF2|+a≤2a，即有a2<(|PF2|+a)2≤4a2，所以a2<2c2−a2≤4a2，a解得a<c≤√102即1<e≤√102故选：A．由|F1F2|=2|OP|，可得PF1⊥PF2，利用勾股定理及双曲线的定义，结合tan∠PF2F1≥3列式求解双曲线C的离心率的取值范围．本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义及勾股定理的应用，考查计算能力，属中档题．13.【答案】0【解析】解：∵y=ax+e x+1，∴y′=a+e x+1，∴x=0时，切线的斜率为a+e，∵曲线y=ax+e x+1在点(0,e)处的切线方程为y=e(x+1)，所以a+e=e，可得a=0．故答案为：0．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,e)处的切线方程为y=e(x+1)，建立等式关系，解之即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了简单的线性规划，考查了学生的分析能力，是基础题.先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为x，y满足{y≥xx+y≤22x−y≥−2.的可行域，由图易得：当x=0，y=2时z=x+2y的最大值为4，故答案为：4．15.【答案】25π4【解析】解：∵△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC=1，BC=√3，三棱锥的体积是√33，∴13×12×√3×SO=√33，∴SO=2，设球体的半径=R，则R=√1+(2−R)2，∴R=54，∴球体的表面积是：4π×2516=25π4，故答案为：25π4．利用条件，求出SO，利用勾股定理，求出R，即可求出球体的表面积．本题考查球体的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】[3,+∞)【解析】解：由圆P的方程x2+(y−m)2=r2，联立椭圆C：x24+y2=1，可得3y2+2my−4−m2+r2=0，由△=4m2−12(−4−m2+r2)=16m2−12r2+48=0，即为4m2−3r2+12=0，由圆P经过点(0,−1)，可得(−1−m)2=r2，则4m2−3(1+m)2+12=0，解得m=3，当m≥3时，以P为圆心任意长为半径的圆与椭圆C至多有两个交点．故答案为：[3,+∞)．求得圆P的方程，联立椭圆方程，可得y的二次方程，运用判别式为0，以及圆P经过点(0,−1)，可得m=3，结合题意和图形可得m的范围．本题考查椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由频率和为1可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)×10=1，解得a=0.025；(Ⅱ)计算平均成绩为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×0.35=35人，由此可得完整的2×2列联表为：计算k2=100×(10×25−25×40)235×65×50×50=90091≈9.890<10.828，所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．【解析】(Ⅰ)由频率和为1列方程求出a的值；(Ⅱ)根据题意计算平均值即可；(Ⅲ)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)依题意得12absinC=12c(asinA+bsinB−csinC)，由正弦定理得abc=c(a2+b2−c2)，即a2+b2−c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，又因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)在△ACD中，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcos∠ADC，即b2=1+CD2−2CDcos∠ADC．在△BCD中，BC2=BD2+CD2−2BD⋅CDcos∠BDC，即a2=1+CD2−2CDcos∠BDC．因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC=−cos∠BDC，(a2+b2)−1，所以CD2=12(a2+b2)，由(1)及c=2得，a2+b2−4=ab≤12(a2+b2)≤4，所以12(a2+b2)−1≤3，即CD≤√3．所以CD2=12当且仅当a=b=2时，等号成立，所以CD的最大值为√3．【解析】(1)由题意及正弦定理可得abc=c(a2+b2−c2)，继而用余弦定理可以求得角C；(2)分别在△ACD和△BCD中用余弦定理，再由∠ADC+∠BDC=π，可以联立方程组求解得出CD的式子，再结合c=2利用基本不等式可以证得结论成立．本题考查解三角形的知识，用到了正弦定理和余弦定理，基本不等式等内容，属于中档题．19.【答案】(1)证明：设AC的中点为O，连结BO，PO，由题意得PA=PB=PC=√2，PO=1，AO=BO=CO=1，∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB=√2，∴PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB，∵AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，PO⊂平面PAC，∴平面PAC ⊥平面ABC ． (2)解：由(1)知PO ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，OB ⊥AC ，以O 为原点，OC ，OB ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,1)， M(−12,0,12)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,−12)， 设平面MBC 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x −12z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1,3)， 设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 设二面角P −BC −M 的平面角为θ，由图可得平面PBC 和平面MBC 所成角为锐角， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√33=5√3333． ∴二面角P −BC −M 的余弦值为5√3333．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)设AC 的中点为O ，连结BO ，PO ，推导出PO ⊥AC ，PO ⊥OB ，从而PO ⊥平面ABC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABC ．(2)由PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，OB ⊥AC ，以O 为原点，OC ，OB ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −BC −M的余弦值．20.【答案】解：(1)抛物线Γ：y 2=ax(a >0)的焦点为F(a4,0)，则过点F 且斜率为1的直线方程为y =x −a4， 联立抛物线方程y 2=ax ， 消去y 得：x 2−3a 2x +a 216=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=32a ，由抛物线的定义可得，|MN|=x 1+x 2+a2=2a =4，解得a =2． 所以抛物线Γ的方程为y 2=2x ；(2)设P(x 0,y 0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b >c ， 直线PB 的方程为y −b =y 0−b x 0x ，化简得(y 0−b)x −x 0y +x 0b =0，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，⇒00√(y 0−b)2+x 02=1即(y 0−b)2+x 02=(y 0−b)2+2x 0b(y 0−b)+x 02b 2，不难发现x 0>2，上式又可化为(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0， 同理有(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0，所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程(x 0−2)t 2+2y 0t −x 0=0的两个实数根， 则b +c =−2y 0x−2，bc =−xx 0−2， 所以(b −c)2=(b +c)2−4bc =4(x 02+y 02−2x 0)(x 0−2)2．因为点P(x 0,y 0)是抛物线Γ上的动点，所以y 02=2x 0，则(b −c)2=4x 02(x0−2)2⇒b =c =2x 0x0−2．所以S △PBC =12(b −c)x 0=x 02x 0−2=x 0−2+4x 0−2+4≥8．当且仅当x 0=4时取等号，所以△PBC 面积的最小值为8．【解析】(1)求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p =1，进而得到抛物线方程；(2)设P(x 0,y 0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b >c ，直线PB 的方程为y −b =y 0−b x 0x ，由直线和圆相切的条件：d =r ，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d =r ，以及基本不等式的运用，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=a +a x 2−2x=ax 2−2x+ax 2，当a ≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减； 当a ≥1时，f′(x)≥0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增； 当0<a <1时，ax 2−2x +a =0在(0,+∞)内有相异两根， 设x 1=1+√1−a 2a ，x 2=1−√1−a 2a，x 1>x 2，令f′(x)>0所以x >x 1，或x <x 2；令f′(x)<0，∴x 2<x <x 1； ∴f(x)在(0,x 2)上递增，在(x 2,x 1)上递减， 在(x 1,+∞)上递增．(2)依题意可知，ax 2−2x +a =0在(0,+∞)内有相异两根， 所以Δ>0，又2ee 2+1<a ，可得2ee 2+1<a <1， 此时设f′(x)=0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ∴m =f(x 1)，n =f(x 2)， ∵x 1x 2=1，∴x 1<1<x 2，由2ee 2+1<a <1，且ax 12−2x 1+a =0，得1e <x 1<1． ∴S =m −n =ax 1−a x 1−2lnx 1−(ax 2−ax 2−2lnx 2) =ax 1−a x 1−2lnx 1−(ax 1−ax 1+2lnx 1) =2(ax 1−ax 1−2lnx 1)，由ax 12−2x 1+a =0，得a =2x1x 12+1代入上式，得S =4(x 12−1x 12+1−lnx 1)=4(x 12−1x 12+1−12lnx 12)， 令x 12=t ，所以1e 2<t <1，g(x)=x−1x+1−12lnx ，则S =4g(t)，g′(x)=−(x−1)22x(x+1)2<0， ∴g(x)在(1e 2,1)上为减函数，从而g(1)<g(t)<g(1e 2)，即0<g(t)<2e 2+1， ∴0<S <8e 2+1．【解析】(1)求出函数f(x)定义域为(0,+∞)，函数的导数，通过a 的范围，判断导函数的符号，判断函数的单调性．(2)ax 2−2x +a =0在(0,+∞)内有相异两根，说明Δ>0，推出2ee 2+1<a <1，利用函数的导数，设f′(x)=0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，然后转化求解S =m −n 的表达式，推出S 的表达式，令x 12=t ，所以1e 2<t <1，g(x)=x−1x+1−12lnx ，利用函数的导数判断函数的单调性转化求解S 的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =2+2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4； 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)由于点A 和B 在曲线上， 故ρ1=4sinθ，ρ2=4sin(θ+π4)；故S △AOB =12⋅ρ1⋅ρ2⋅sin π4=4√2sinθsin(θ+π4)=2√2sin(2θ−π4)+2； 当θ=3π8时，S △AOB 的最大值为2√2+2；【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由已知可得：f(x)={4,x ≥22x,−2<x <2 −4, x ≤−2，由x ≥2时，4≥2成立；−2<x <2时，2x ≥2，即有x ≥1，则为1≤x <2． 故f(x)≥2的解集为{x|x ≥1}． (2)由(1)知|x +2|−|x −2|≤4； 而1y +11−y =(1y +11−y )[y +(1−y)] =2+1−y y+y 1−y ≥2+2√1−y y×y1−y =4，当且仅当y =12时取等号， ∴|x +2|−|x −2|≤1y +11−y．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．(1)运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；(2)由分段函数可得f(x)的最大值，再由基本不等式求得1y +11−y 的最小值，即可得证．。
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广西陆川县中学2020-2021学年高三下学期第二次质量检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm2．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．9354．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．555．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，6．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（ ） A ．1B ．-1C ．1i -D ．1i +7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．258．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A 19B ．114C 3D ．749．如图，2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．3 C ．212+ D ．312+ 10．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___________．14．若函数()ln f x ax x =+（a ∈R ）的图象与直线31y x =-相切，则a =______.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___. 16．曲线()11ln f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程是__________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知曲线M的参数方程为1cos21sin2xyαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为22sin2ρθ=-．（1）写出曲线M的极坐标方程；（2）点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系．18．（12分）已知1()252f x x x=+--.（1）求不等式()1f x的解集；（2）记()f x的最小值为m，且正实数,a b满足44a ba mb b ma+=+--.证明：2a b+.19．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sinρθ=-（02,0θπρ≤<>），M为该曲线上的任意一点.（1）当32OM=时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转2π与该曲线相交于点N，求MN的最大值.20．（12分）已知直线1x y+=过椭圆()222210x ya ba b+=>>的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是21,33M⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.21．（12分）已知动圆M经过点(2,0)N，且动圆M被y轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的标准方程；（2）设点M 的横坐标为0x ，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率1k =，且0[0,4]x ∈，求0x 的值．22．（10分）已知函数(1|)2|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集；（2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D 【解析】 【分析】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长. 【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+()3350sin 40sin 6030sin 40sin 2ααααα⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+-- ()3350cos 30cos 40cos 6040cos 2ααααα⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭因为AB CB =，则3340sin cos 40cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理化简得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，得sin α=，cos α=3340sin 4022AB αα⎛⎫⎛∴==⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝即该正方形的边长为. 故选：D. 【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题. 2、C 【解析】 【分析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】设点P的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d，则11222PABSAB d d =⋅=⨯=，解得d =另一方面，由点到直线的距离公式得d ==整理得0a =或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =或92a +=. 综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 3、A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 4、B 【解析】 【分析】先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57. 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 5、B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 6、B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 7、C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 8、A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||4EB =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 9、D【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，由题意，球的体积为43π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1，的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12，利用球的性质可得2O O '==， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12，所以球心到底面的距离为11222+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10、D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++ ()2211ab b =--++-21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题. 11、C 【解析】 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12、A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。