恒成立问题常见类型及解法(ppt)

4 函 数 y loga x 的 图 象 总 在 函 数
y sin 2x 的图象的上方.
恒成立问题常见类 型及解法(ppt)
细解命题特点
5、不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导
数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度 大、分值高，要引起我们的足够重视。 6、不等式与其他知识的结合
转化思想——解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法： (1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函 数的最值问题求解. (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关 系求解.
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。
一、一次函数型
【理论阐释】
给定一次函数 y f (x) kx b ( k ≠0),若 y f (x) 在[m,n]内恒有 f (x) >0，
则根据函数的图象（线段）可得
①
k
f
0 (m)
0
或②
k
f
0 (n)
0
，也可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
，
同理，若在 [m,
n] 内恒有
f
(x)
0 ，则有
f f
(m) 0 .
(n) 0
y
y
x om n
om
x n
典例导悟
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2, 2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例导悟
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
4
]
都成立，求
a
的取值范围.
【解析】作出函数 y sin 2x 的图 象，由题意知 在 x ∈(0, ］上，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴 4 a 0 ，即 a <－4. 2
∴ a <－8.
综上可得 a －ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
三、变量分离型
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
2
2
二、二次函数型
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于（或小于）
0
恒成立，则有
a 0 0
（或
a
0 ），若是二次函数在指定区间上的 0
恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
－f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对 一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后 互相重合，则函数解析式相等。
典例导悟
（2010·福建高考文科·Ｔ１0）将函数 f (x) sin(x ) 的图像向左平移
2
个单位。若所得图象与原图象重合，则
典例导悟
（2010·天津高考理科·Ｔ16）设函数
f
(x)
x2
1 ，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f (x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m
的取值范围是
。
【解析】依据题意得
x2 m2
1 4m2 (x2
1)
(x
1)2
1
4(m2
1)
在
x [3 , ) 2
上恒定成立，
即
1 m2
y
设 f(t)= t2+(4+ a )t+4.
当 =0 时，即（4+ a ）2-16=0,
4
∴ a =0 或 a =-8.
x
当 a =0 时，f(t)=(t+2)2=0,
o
得 t=－2<0，不合题意；
当 a =－8 时，f(t)=(t-2)2=0,
得 t=2>0,符合题意。∴ a =-8。
当 >0，即 a <-8 或 a >0 时，
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
解答过程中应注意的问题： (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函 数. (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低 点处函数值的大小关系.
在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。
4m2
3 x2
2 x
1在
x [ 3 2
, )
上恒成立。
当
x
3 2
时函数
y
3 x2
2 x
1取得最小值
5 3
，
所以
1 m2
4m2
5 ，即 (3m2 3
1)(4m2
3)
0，
解得 m
3 或m
3
。
2
2
四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=
【解析】方法 1（利用韦达定理） 设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 x2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
0
，
aa
0或a 4
8 ，解得
a
-8.
方法 2（利用根与系数的分布知识）
即要求 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
的值不．可．能．等于（
）
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选 B，把图象向左平移 个单位得 2
y
sin
x
2
s
in
x
2
，
又该函数图像与原函数图像重合，所以
s
in
x
2
sin
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题