恒成立问题常见类型及解法(ppt)

∵f(0)=4>0,故只需对称轴 4 a 0 ，即 a <－4. 2
∴ a <－8.
综上可得 a －8.
三、变量分离型
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
典例导悟
（2010·天津高考理科·Ｔ16）设函数
f
(x)
x2
1 ，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f (x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m
的取值范围是
。
【解析】依据题意得
x2 m2
1 4m2 (x2
1)
(x
1)2
1
4(m2
1)
在
x [3 , ) 2
上恒定成立，
即
1 m2
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。
一、一次函数型
【理论阐释】
给定一次函数 y f (x) kx b ( k ≠0),若 y f (x) 在[m,n]内恒有 f (x) >0，
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
Hale Waihona Puke f f(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
的值不．可．能．等于（
）
A.4
B.6
C.8
D.12
【解析】选 B，把图象向左平移 个单位得 2
y
sin
x
2
s
in
x
2
，
又该函数图像与原函数图像重合，所以
s
in
x
2
sin
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
－f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对 一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后 互相重合，则函数解析式相等。
典例导悟
（2010·福建高考文科·Ｔ１0）将函数 f (x) sin(x ) 的图像向左平移
2
个单位。若所得图象与原图象重合，则
则根据函数的图象（线段）可得
①
k
f
0 (m)
0
或②
k
f
0 (n)
0
，也可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
，
同理，若在 [m,
n] 内恒有
f
(x)
0 ，则有
f f
(m) 0 .
(n) 0
y
y
x om n
om
x n
典例导悟
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2, 2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】方法 1（利用韦达定理） 设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 x2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
0
，
aa
0或a 4
8 ，解得
a
-8.
方法 2（利用根与系数的分布知识）
即要求 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
4m2
3 x2
2 x
1在
x [ 3 2
, )
上恒成立。
当
x
3 2
时函数
y
3 x2
2 x
1取得最小值
5 3
，
所以
1 m2
4m2
5 ，即 (3m2 3
1)(4m2
3)
0，
解得 m
3 或m
3
。
2
2
四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=
4 函 数 y loga x 的 图 象 总 在 函 数
y sin 2x 的图象的上方.
2
2
二、二次函数型
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于（或小于）
0
恒成立，则有
a 0 0
（或
a
0 ），若是二次函数在指定区间上的 0
恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
解答过程中应注意的问题： (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函 数. (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低 点处函数值的大小关系.
在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。
恒成立问题常见类 型及解法(ppt)
细解命题特点
5、不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导
数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度 大、分值高，要引起我们的足够重视。 6、不等式与其他知识的结合
转化思想——解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法： (1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函 数的最值问题求解. (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关 系求解.
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例导悟
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
4
]
都成立，求
a
的取值范围.
【解析】作出函数 y sin 2x 的图 象，由题意知 在 x ∈(0, ］上，
y
设 f(t)= t2+(4+ a )t+4.
当 =0 时，即（4+ a ）2-16=0,
4
∴ a =0 或 a =-8.
x
当 a =0 时，f(t)=(t+2)2=0,
o
得 t=－2<0，不合题意；
当 a =－8 时，f(t)=(t-2)2=0,
得 t=2>0,符合题意。∴ a =-8。
当 >0，即 a <-8 或 a >0 时，