南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷汇总
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷-答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。
南京市,盐城市2017年度届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含标准答案)
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．（第18题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．D 1C 1 B 1MFED C BAA 1（第22题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。
江苏省南京市、盐城市2017届高三数学第二次模拟考试试题
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 错误!的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位）,错误!是z 的共轭复数，则z ·错误!＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为 ▲ ． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移错误!个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x ）＋g （x ）的最大值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ,A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－错误!，则线段PF 的长为 ▲ ．9．若sin(α－错误!)＝错误!，α∈（0,错误!）,则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面,m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ (填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，n α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ,则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β,m ⊥α，则m ⊥β．（第5题图） S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋II ←I ＋2End WhilePrint S11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2:x ＋ky －2＝0相交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x ）＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量错误!＝(1，2)，错误!＝（－2，2），则错误!•错误!的最小值为 ▲ ．14．已知函数f （x ）＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f （x ）≤0恒成立，则错误!的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分)如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小; （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．16．（本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ,AP ⊥AB ． （1)求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ;ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA（第16题图） PDCBA17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值;（2）试确定a ，b ，x 的值,使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：错误!＋错误!＝1经过点（b ，2e ），其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0）作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点（A 在x 轴下方）．（1）求椭圆C 的标准方程；(2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ,N ,求 错误! 的值；（3)记直线l 与y 轴的交点为P ．若错误!＝错误!错误!，求直线l 的斜率k ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x ）＝e x－ax －1,其中e 为自然对数的底数,a ∈R ． (1)若a ＝e ，函数g （x ）＝（2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x ）的单调区间；②若函数F （x ）＝错误!的值域为R ，求实数m 的取值范围；（第18题图） （第17题图）DCBA（2）若存在实数x 1，x 2∈［0，2]，使得f (x 1）＝f (x 2），且|x 1－x 2｜≥1,求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n ｝，｛c n ｝满足 （n ＋1） b n ＝a n ＋1－错误!， (n ＋2） c n ＝错误!－错误!，其中n ∈N*．（1）若数列{a n ｝是公差为2的等差数列，求数列{c n ｝的通项公式；（2)若存在实数λ,使得对一切n ∈N ＊，有b n ≤λ≤c n ，求证:数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1)若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度; （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ,且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换ACMOABOM N（第21(A)图）设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 错误! 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l ：错误!(t 为参数），与曲线C ：错误!（k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ,F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值;（2）点M 在线段A 1D 上，错误!＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分)现有错误!(n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：＊ ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * ＊ * ………………… 第3行 ……………D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）…………………＊＊………… * * …………………第n行设M k是第k行中的最大数,其中1≤k≤n,k∈N＊．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1)求p2的值；（2）证明:p n＞错误!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．（－∞，1) 2．2 3．错误! 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．错误! 10．①④ 11．3错误! 12．{2}13．－错误! 14．－错误!二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（本小题满分14分）解：(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝错误!，tanβ＝错误!，………………… 2分所以tan∠BAC＝tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝1．………………… 4分又∠BAC∈(0，π），所以∠BAC＝错误!．………………… 6分（2）设∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝错误!，AD＝6,BD＝3．由正弦定理得错误!＝错误!，解得sinα＝错误!．………………… 8分因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝错误!．………………… 10分因此sin∠ADC＝sin（α＋π4）＝sinαcos错误!＋cosαsin错误!＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!．………………… 12分△ADC的面积S＝错误!×AD×DC·sin∠ADC＝错误!×6×2×错误!＝错误!（1＋错误!)．………………… 14分16．(本小题满分14分）证明：（1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．………………… 2分又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．………………… 4分因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．………………… 6分(2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．① ………………… 8分因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．② ………………… 10分由①②得CD∥AB，………………… 12分因为CD错误!平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．………………… 14分17．（本小题满分14分）解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x）＋2×x（40－2x）＝－8x2＋260x，x∈(0，20）．………………… 3分因为S＝－8x2＋260x＝－8（x－错误!）2＋错误!，故当x＝错误!时,侧面积最大，最大值为错误!平方厘米．答：当x＝错误!时，纸盒的侧面积的最大值为错误!平方厘米．………………… 6分(2）包装盒子的体积V＝(a－2x)（b－2x) x＝x［ab－2(a＋b）x＋4x2］，x∈(0,错误!)，b≤60．…………… 8分V＝x[ab－2（a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4，abx＋4x2)＝x（3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x．………………… 10分当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f (x）＝4x3－240x2＋3600x,x∈(0,30）．则f ′（x)＝12(x－10)(x－30）．于是当0＜x＜10时,f ′（x)＞0，所以f（x)在（0,10)上单调递增;当10＜x＜30时,f ′（x)＜0，所以f (x）在(10,30）上单调递减．因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16000，……………… 12分此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．(本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 错误!＋错误!＝1经过点(b ，2e ），所以错误!＋错误!＝1．因为e 2＝c 2a2＝错误!，所以错误!＋错误!＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 错误!＋错误!＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍） ．所以椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1），B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 错误!消去y ，得 （2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0,所以错误! ……………… 6分 因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx , 联立直线MN 与椭圆方程错误!消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝8 2k 2＋1．因为MN ∥l ,所以AT ·BTMN 2＝错误!． …………………… 8分 因为 （1－x 1）·（x 2－1）＝－［x 1x 2－(x 1＋x 2）＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝错误!，所以 错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!． ………………… 10分 （3）在y ＝k （x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ,所以P （0，－k )，从而 错误!＝(－x 1,－k －y 1）， 错误!＝（x 2－1，y 2)．因为 错误!＝错误!错误!，所以－x 1＝错误!(x 2－1），即x 1＋错误!x 2＝错误!．…………………… 12分 由（2）知, 错误!由错误!解得 x 1＝错误!，x 2＝错误!． ……………… 14分 因为x 1x 2＝错误!， 所以 错误!×错误!＝错误!，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750（舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1．①h（x)＝f (x）－g（x)＝e x－2x－1,h′（x)＝e x－2．由h′（x)＞0得x＞ln2,由h′(x）＜0得x＜ln2．所以函数h(x)的单调增区间为（ln2，＋∞），单调减区间为（－∞，ln2)．………………… 3分②f ′ (x)＝e x－e．当x＜1时，f′（x)＜0，所以f（x)在区间（－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．1°当m≤1时,f（x)在(－∞,m］上单调递减,值域为[e m－e m－1,＋∞)，g(x）＝(2－e)x在(m,＋∞)上单调递减，值域为（－∞，(2－e）m)，因为F(x）的值域为R，所以e m－e m－1≤(2－e）m，即e m－2m－1≤0．（＊）由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h（0）＝0，故（*)不成立．因为h（m)在（0,ln2）上单调递减,在（ln2，1)上单调递增,且h(0)＝0,h(1）＝e－3＜0,所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分2°当m＞1时，f (x)在（－∞，1）上单调递减，在(1，m］上单调递增,所以函数f (x)＝e x－e x－1在(－∞，m]上的值域为[f（1）,＋∞)，即[－1，＋∞)．g(x)＝（2－e）x在（m，＋∞)上单调递减，值域为（－∞，（2－e)m)．因为F（x)的值域为R，所以－1≤（2－e)m,即1＜m≤错误!．综合1°，2°可知,实数m的取值范围是［0，错误!]．………………… 9分（2)f ′(x）＝e x－a．若a≤0时，f ′(x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与｜x1－x2｜≥1相矛盾，所以a＞0,且f（x）在(－∞，ln a］单调递减，在［ln a，＋∞）上单调递增．…………………… 11分若x1，x2∈(－∞,ln a],则由f（x1）＝f（x2）可得x1＝x2，与|x1－x2｜≥1相矛盾，同样不能有x1,x2∈[ln a，＋∞）．不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜ln a＜x2≤2．因为f(x)在（x1，ln a)上单调递减，在(ln a，x2）上单调递增，且f (x1)＝f（x2),所以当x1≤x≤x2时,f (x）≤f (x1）＝f (x2）．由0≤x1＜x2≤2，且｜x1－x2｜≥1，可得1∈［x1，x2］,故f （1）≤f （x 1)＝f （x 2）． …………………… 14分又f （x )在(－∞，ln a ］单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f （x 1）≤f （0）,所以f （1）≤f （0),同理f (1）≤f (2)．即错误!解得e －1≤a ≤e 2－e －1，所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为｛a n ｝是公差为2的等差数列,所以a n ＝a 1＋2(n －1），错误!＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 （n ＋2) c n ＝错误!－（a 1＋n －1）＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分(2)由（n ＋1)b n ＝a n ＋1－错误!，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，（n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1）a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2） b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分从而 （n ＋2) c n ＝错误!－错误!＝错误!－［a n ＋1－(n ＋1) b n ］＝错误!＋（n ＋1) b n＝错误!＋（n ＋1) b n＝错误!（n ＋2）( b n ＋b n ＋1）．因此c n ＝错误!（ b n ＋b n ＋1）． ……………………… 9分因为对一切n ∈N ＊,有b n ≤λ≤c n ,所以λ≤c n ＝错误!（b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－错误!， 错误！未找到引用源。
优质金卷：江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试考试范围：函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、空间向量与立体几何、概率与二项式定理；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-10题等，第11-14题注重知识交汇性的考查，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查分类讨论思想，难度较大．本卷二轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查运算，第23题理解与运用都较难. 一、填空题 1．函数f (x )＝1ln1x-的定义域为_______． 2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． 6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若 a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为_________． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移3π个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ，则线段PF 的长为________． 9．若sin(α－6π)＝35，α∈(0， 2π)，则cos α的值为________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，nα，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______. 12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为_______．13．已知平面向量AC ＝(1，2)， BD ＝(－2，2)，则·AB CD 的最小值为________． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________． 二、解答题15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝，求△ADC 的面积．16．如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB；17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：22218x yb+=经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C 于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求2·AT BTMN的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若25AP TB=，求直线l的斜率k．19．已知函数f (x)＝e x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；②若函数()()(),{,f x x mF xg x x m≤=>的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足(n＋1) b n＝a n＋1nSn-，(n＋2)c n＝122n n na a Sn+++-，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 301b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： 31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，与曲线C ：244x k y k⎧=⎨=⎩ (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．22．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上， 11A MA Dλ= ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．现有()12n n +（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜..＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞()211!n C n ++．。
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)
数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 a1=1，S4﹣5S2=0，则 S5 的
7．将函数 f 则函数 y=f 8．在
x =sinx 的图象向右 x +g x 的最大值为
移 ．
个单位
得到函数 y=g x 的图象，
面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2=6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线 ，则线段 PF 的长为 ． 列命题中 确的是 ．
2017
江
省南京市、盐城市高考数学
小题 5 ，共 70
模试卷
一、填空题 卡相 位置
本大题共 14 小题， ． x =ln 的定 域为 =2i 、 ，则
．请把答案填写在答题
1．函数 f
． ．
2．若复数 z 满足 z 1﹣i 3．某校有 个 4． 个 趣小组，
i 是虚数单位 ， 是 z 的共轭复数，则 = 两 、 是否喜 喜 10 60 层抽样的方法抽取 n 个人做进一 学生 在 人选择 一 中一个参加，且
一点，PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率 k=﹣ 9．若 sin α﹣ = ，α ∈ 的 0，
，则 cosα 的值为 的直线，
10．α，β 为两个
面，m，n 为两条
第1 共 29
填
所有
确命题的序号 ．
若 α∥β，m⊂α，则 m∥β 若 m∥α，n⊂α，则 m∥n 若 α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则 m⊥β 若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β． 11．在 面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 kx﹣y+2=0 直线 l2 x+ky﹣2=0 相交于 ．
人参加 ．
趣小组的可能性相 表是 于青
趣小组的概率为
观众的性别 喜 剧 40 40
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学评分标准和参考答案
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MN CA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0． 即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)， A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．B (第22题图)（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。
江苏省南京市盐城市2017届高三数学第二次模拟考试试题
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ． 9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；ABD（第15题图2）（第15题图1）DC BA17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b ，2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k ．19．（本小题满分16分）（第17题图）DCBA已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn， (n ＋2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值； （2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sinπ4＝BDsin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22( 24＋ 144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋ 7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分 因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝8 2k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分 因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝32 2k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分 （3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分 因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x－2x －1，h ′ (x )＝e x－2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x－e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m－e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m－e m －1≤(2－e)m ， 即e m－2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m－2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x－e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )．因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分（2）f ′ (x )＝e x－a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增． …………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1， …………………… 2分 从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n， 错误！未找到引用源。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷汇总
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；（第16题图）PDCBA在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l（第18题图）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．0321．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．（第21(A)图）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． ……………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， ………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。
【江苏省南京市、盐城市】2017年高考二模数学试卷
江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数11f x lnx=-()的定义域为________． 2．若复数z 满足1i 2i z =(-)（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z =________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为__________．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为_________．5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为__________．6．记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，4250S S -=，则5S 的值为__________．7．将函数sin f x x =（）的图象向右平移π3个单位后得到函数y g x =()的图象，则函数y f x g x =+()()的最大值为_________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线AF 的斜率k =PF 的长为_________．9．若π3sin()65α-=，π(0,)2α∈，则cos α的值为_________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是____________（填上所有正确命题的序号）．①若//αβ，m α⊂，则//m β；②若//m α，n α⊂，则//m n ；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线120l kx y -+=：与直线220l x ky +-=：相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为__________．12．若函数22cos 38f x x m x m m =++()--有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为___________． 13．已知平面向量(1,2)AC =，(2,2)BD =-，则AB CD 的最小值为__________．14．已知函数ln f x x e a x b =+-()()-，其中e 为自然对数的底数．若不等式0f x ≤()恒成立，则b a 的最小值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在ABC △中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（1）若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小；（2）若π4ABC ∠=，求ADC △的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，AP AB ⊥．（1）求证：CD AP ⊥；（2）若CD PD ⊥，求证：//CD 平面PAB ．17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a b ≥．（1）当90a =时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点2b e (,)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点10T (，)作斜率为0k k (＞)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（A 在x 轴下方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求2AT BT MN+的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若25AP TB =，求直线l 的斜率k ．19．已知函数1xf x e ax =()﹣﹣，其中e 为自然对数的底数，a R ∈． （1）若a e =，函数2g x e x =()(﹣)． ①求函数h x f x g x =()()-()的单调区间；②若函数(),x m ()(),f x F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若存在实数1x ，2]2[0x ∈，，使得12f x f x =()()，且121x x ≥-，求证：21e a e e ≤≤﹣﹣．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b ，{}n c 满足11n n n S n b a n++=()﹣，1222n n n a a n c ++++=() n S n-，其中n N *∈． （1）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求数列{}n c 的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n N *∈，有n n b c λ≤≤，求证：数列{}n a 是等差数列．数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，ABC △的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ．（1）若BC 是圆O 的切线，且8AB =，4BC =，求线段AM 的长度；（2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且2AB AC =，求证：2BN MN =．[选修4-2：矩阵与变换]22．设a ，b R ∈．若直线70l ax y +=:-在矩阵0 3 1A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为9910l x y '+=：﹣．求实数a ，b 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy 中，直线315:(t )45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，与曲线24:()4x k C k y k ⎧=⎨=⎩为参数交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a b ≠，求证：42242264a a b b ab a b +++＞（）[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，π3ABC ∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．26．现有*(221)n n N n n ≥+∈(，)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数，其中1k n ≤≤，k N *∈．记12n M M M ＜＜＜的概率为n p ． （1）求2p 的值；（2）证明：21(n 1)!n n C p ++＞．。
江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题
南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题
注意事项: 1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟． 3．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的
答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．
如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形，A1A＝AB＝2， ∠ABC＝错误!，E，F 分别是 BC，A1C 的中点． （1)求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值；
(2)点 M 在线段 A1D 上，错误!＝λ ．若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值．
A1
D1
▲．
S←1
5．根据如图所示的伪代码,输出 S 的值为 ▲ ．
I←1 While I≤8
6．记公比为正数的等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn．若 a1＝1，S4－5SS2＝←S0＋, I
I←I＋2
End While
Print S
（第 5 题图）
则 S5 的值为
▲．
7．将函数 f(x)＝sinx 的图象向右平移错误!个单位后得到函数 y＝g（x)的图象，
17．（本小题满分 14 分） 在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD，然后在矩形纸板
的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒 （如图）．设小正方形边长为 x 厘米，矩形纸板的两边 AB，BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米， 其中 a≥b．
………………… 8 分
【江苏省南京市、盐城市】2017年高考二模数学试卷-答案
江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷答 案1．1)∞(-，2．1i --3．234．30 5．176．3178．6910．①④ 11．12．{42}﹣， 13．94- 14．1e- 15．（本小题满分14分）解：（1）设BAD α∠=，DAC β∠=．因为AD BC ⊥，6AD =，3BD =，2DC =， 所以1tan 2α=，1tan 3α=， 所以11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123BAC αβαβαβ++∠=+===--⨯（） 又0πBAC ∠∈(，)， 所以π4BAC ∠=． （2）设BAD α∠=．在ABD △中，4ABC π∠=，6AD =，3BD =． 由正弦定理得πsin sin 4AD BD α=，解得sin α=．因为AD BD ＞，所以α为锐角，从而cos 4α==．因此πππsin sin sin cos cos sin 444ADC ααα∠=+=+==（）．ADC △的面积113•sin 621222S AD DC ADC =⨯⨯∠=⨯⨯=+(． 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD AP ⊥．又因为AP AB ⊥，AB AD A =，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ．因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD AP ⊥．（2）因为CD AP ⊥，CD PD ⊥，且PDAP P =，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ．①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB AD ⊥．又因为AP AB ⊥，APAD A =，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ．②由①②得//CD AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．17．解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，从而包装盒子的侧面积2290224028260S x x x x x x =⨯+⨯=+(-)(-)-，020x ∈(,)． 因为228260816.252112.5S x x x =+=+--（-），故当16.25x =时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．（2）包装盒子的体积22224[]V a x b x x x ab a b x x ==++(-)(-)-()，0,)2b x ∈(，60b ≤．22322444240[30]60V x ab a b x x x ab x x x x =++≤+=+-()(-)﹣．当且仅当60a b ==时等号成立．设3242403600f x x x x =+()﹣，030x ∈(，)．则121030f x x x '=()(﹣)(﹣)． 于是当010x ＜＜时，0f x '()＞，所以f x ()在010(,)上单调递增；当1030x ＜＜时，0f x '()＜，所以f x ()在1030(,)上单调递减． 因此当10x =时，f x ()有最大值1016000f =()，此时60a b ==，10x =．答：当60a b ==，10x =时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．18．解：（1）因为椭圆椭圆222:18x y C b +=经过点2b e (,)所以222418b e b+=． 因为22228c c e a ==，所以222182b c b +=， 又∵222a b c =+，2228182b b b-+=，解得24b =或28b =（舍去）． 所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设11,Ax y ()，22B x y (,)． 因为10T (，)，则直线l 的方程为1y k x =(﹣)． 联立直线l 与椭圆方程22(1)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++=()--， 所以2122421k x x k +=+，21222821k x x k -=+． 因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx =，联立直线MN 与椭圆方程22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +=()， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以1222(1)(1)()M N x x AT BT MN x x --=- 因为1212122[7•121]x x x x x x k =++=+(1-)(-1)--()．22232421M N x x x k ==+(﹣)． 所以1222(1)(1)7()32M N x x AT BT MN x x --==-． （3）在1y k x=(﹣)中，令0x =，则y k =-，所以0P k (,-)，从而11(,)AP x k y =---，22(1,)TB x y =-， ∵25AP TB =，122(1)5x x -=-，即122255x x +=…① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…② 由①②得212423(21)k x k -+=+，2422216250833403(21)k x k k k -=⇒--=+，解得22k =或21750k =-． 又因为0k ＞，所以k =19．解：（1）a e =时，1x f x e ex =()--，①21x h x f x g x e x ==()()-()--，2x h x e '=()-，由0h x '()＞，得2x ln ＞，由0h x '()＜，解得：ln 2x ＜， 故函数h x ()在ln 2+∞(，)递增，在ln 2∞(-,)递减； ②x f x e e '=()﹣， 1x ＜时，0f x '()＜，f x ()在1∞(-,)递减， 1x ＞时，0f x '()＞，f x ()在1+∞(,)递增，1m ≤时，f x ()在]m ∞(-,递减，值域是[1m e em +∞--,)，2g x e x =()(-)在m +∞(,)递减，值域是2e m ∞(-,(-))，∵F x ()的值域是R ，故12m e em e m ≤--(-)，即210m e m ≤--，（*），由①可知0m ＜时，2100m h x e m h ==()--＞()，故（*）不成立，∵h m ()在0ln 2(,)递减，在ln 21(，)递增，且00h =()，130h e =()-＜， ∴01m ≤≤时，0h m ≤()恒成立，故01m ≤≤；1m ＞时，f x ()在1∞(-,)递减，在]1m (,递增， 故函数1x f x e ex =()--在]m ∞(-,上的值域是1[f +∞(),)，即[1+∞-,)，2g x e x =()(-)在,m +∞()上递减，值域是2e m ∞(-,(-))，∵F x ()的值域是R ，∴12e m ≤-(-)，即112m e ≤-＜， 综上，m 的范围是[0]12e -，； （2）证明：xf x e a '=()-， 若0a ≤，则0f x '()＞，此时f x ()在R 递增， 由12f x f x =()()，可得12x x =，与121x x -≥矛盾，∴0a ＞且f x ()在n ]l a ∞(-,递减，在[ln a +∞,)递增，若1x ，2ln ]x a ∈∞(-,，则由12f x f x =()()可得12x x =，与121x x -≥矛盾，同样不能有1x ，2ln [x a ∈+∞,)，不妨设1202x x ≤≤＜，则有120ln 2x a x ≤≤＜＜，∵f x ()在1ln x a (,)递减，在2ln a x (,)递增，且12f x f x =()()，∴12x x x ≤≤时，12f x f x f x ≤=()()()，由1202x x ≤≤＜且121x x -≥，得12[]1x x ∈,，故121f f x f x ≤=()()()，又f x ()在n ]l a ∞(-,递减，且10ln x a ≤＜，故10f x f ≤()()，故10f f ≤()()，同理12f f ≤()()，即210122e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩，解得：211e a e e ≤≤---， ∴21e a e e ≤≤--．20．（1）解：∵数列{}n a 是公差为2的等差数列，∴121n a a n =+(-)，11n S a n n=+-． ∴11122(1)2122n n c a n n a n a n ++++=++=+()-(-)，解得1n c =． （2）证明：由11n n n S n b a n ++=()-， 可得：11n n n n n b na S ++=()-，121121n n n n n b n a S +++++=+()()()-，相减可得：2112n n n n a a n b nb +++=+-()-，可得：121212[(n 1)b ]22n n n n n n n n a a S a a n c a n ++++++++=-=--+() 2111(n 2)b 211222n n n n n n n n a a nb n n b n b b b +++-+-+=++=++=+﹣()()()， 因此112n n n c b b =+﹣()．∵n n b c λ≤≤， ∴112n n n c b b λλ≤=+≤﹣()，故n b λ=，n c λ=． ∴11n n S n a n λ++=()-，12122n n n S n a a nλ+++=+()()-， 相减可得：2112n n a a λ++=(-)，即212n n a a λ++=-，2n ≥()． 又122121S a a a λ=-=-，则121n n a a n λ+=≥-()，∴数列{}n a 是等差数列． 21．（1）解：由切割线定理可得2•BC BM BA =． 设AM t =，则 ∵8AB =，4BC =，∴1688t =(-)， ∴6t =，即线段AM 的长度为6；（2）证明：由题意，A MNB ∠=∠，B B ∠=∠，∴BMN BCA ∆∆∽， ∴BN MN BA CA=， ∵2AB AC =， ∴2BN MN =．22．解：方法一：在直线70l ax y +=:-取0,7A()，17B a (,-)， 由000 3177b b ⎤⎡⎡⎢-⎣⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦，则013 37(7)11b a b a ⎤⎡⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥---⎦⎣⎦⎣⎡⎢-⎦⎣， 则07A(,)，17B a (,-)在矩阵A 对应的变换作用下07A b '(,)，371B b a '(,(-)-)， 由题意可知：A '，B '在直线9910x y +=-上，791027(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩，解得：213a b =⎧⎨=⎩， 实数a ，b 的值2，13．方法二：设直线l 上任意一点P x y (,)，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q x y ''(,)，则0 31x x b y y '⎤⎡⎡⎢-⎣⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎢⎥'⎦⎣⎦⎣⎦， ∴3x y x x by '='=-+⎧⎨⎩，由Q x y ''(,)，在直线9910l x y '+=：-．即27910x x by ++=(-)-， 即26910x by +=-，P 在70ax y +=-，则70ax y +=-， ∴269117b a -==-， 解得：2a =，13b =． 实数a ，b 的值2，13．23．解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得434x y =-，将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．联立方程组24344x y y x -=⎧⎨=⎩解得44x y =⎧⎨=⎩，或141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以44A (,)，114B (,-)． 所以254AB =． （方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得2434155t =+()(t)，即2415250t t =--， 所以12154t t +=，12254t t =-．所以12254AB t t =-==． 24．证明：∵a b ≠，∴4224224640a a b b ab a b a b +++=-()(-)＞，∴原不等式成立．25．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中π3ABC ∠=，则ABC △是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则000A (,,)，0C )，020D (,,)， 1002A (,,)，00E ,)，1,1)2F ． （1）020AD =(,,)，112EF =(-,,)， 所以异面直线EF ，AD 4=． （2）设M x y z (,,)，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=， 则202,2x y z λ=(,,-)(,-)． 则0222M λλ(,,-)，(1,22)CM λλ=--． 设平面AEF 的法向量为000n x y z =(,,)． 因为 300AE=(,,)，31(,1)22AF =， 由00000102x y z =++=，得00x =，001 02y z +=． 取02y =，则01z =﹣， 则平面AEF 的一个法向量为02,1n =(,-)． 由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即221220λλ=(-)-(-)，解得23λ=．26．解：（1）由题意知22233223A p A ==，即2p 的值为23．（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为2(n 1)12n n n =++；去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为2(n 1)2n n n =-； 故12222213(1)3(n 1)!n n n p n n n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于0120121221211n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=++++≥+++=()＞， 故222(1)!(1)!nn C n n +>++，即21(1)!n n C p n ++＞． 江苏省南京市、盐城市2017年高考二模数学试卷解 析1．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：101x>-， 解得：1x ＜， 故函数的定义域是：1∞(-,)． 2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求得z ．【解答】解：∵12z i i =(-)，∴22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1z i =--．故答案为：1i --．3．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数339n =⨯=，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数326m =⨯=，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数339n =⨯=，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数326m =⨯=，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率6293m p n ===． 故答案为：23． 4．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意84040104060n =+++， 解得30n =，故答案为：305．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当9I =时不满足条件8I ≤，退出循环，输出S 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得 1S =，1I =满足条件8I ≤，2S =，3I =满足条件8I ≤，5S =，5I =满足条件8I ≤，10S =，7I =满足条件8I ≤，17S =，9I =不满足条件8I ≤，退出循环，输出S 的值为17．故答案为17．6．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q 的值，则5S 的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由11a =，则44S =，2510S =，与题意不符．设等比数列的公比为(1)q q ≠，由11a =，425S S =，得41151(1)1a q qa q =--+()， 解得2q =±．∵数列{}n a 的各项均为正数，∴2q =． 则5513112q S -==-． 故答案为：31．7．【考点】函数sin(y A x ωϕ=+)的图象变换．【分析】利用函数sin(y A x ωϕ=+)的图象变换规律求得g x ()的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f xg x +()()的解析式，再利用正弦函数的值域求得函数y f x g x =+()()的最大值．【解答】解：将函数sin f x x =()的图象向右平移π3个单位后得到函数πsin()3y g x x ==-()的图象，则函数π3πsin sin sin )326y f x g x x x x x x =+=+==()()(-)(-，．8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF 的斜率得到AF 方程，与准线方程联立，解出A 点坐标，因为PA 垂直准线l ，所以P 点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P 点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF 长．【解答】解：∵抛物线方程为26y x =，∴焦点 1.5,0F ()，准线l 方程为 1.5x =-，∵直线AF 的斜率为直线AF 的方程为 1.5y x =-)，当 1.5x =-时，y =由可得A 点坐标为 1.5(-,∵PA l ⊥，A 为垂足，∴P 点纵坐标为，代入抛物线方程，得P 点坐标为 4.5（,， ∴ 4.5 1.56PF PA ===-(-)．故答案为6．9．【考点】三角函数的化简求值． 【分析】根据π02α∈(,)，求解出πππ663α-∈(-,)，可得π4cos()65α-=，构造思想，πcos cos 6αα=-( π6+)，利用两角和与差的公式打开，可得答案． 【解答】解：∵π02α∈(,)， ∴πππ,)663α∈-(-， π3sin 65α=(-)， ∴π4cos()65α-=，那么ππππππ4313cos cos cos()cos sin sin [666666525210]αααα-=-=-=⨯-⨯=()+()-(-)10．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面平行的性质定理得//m β；在②中，//m n 或m 与n 异面；在③中，m 与β相交、平行或m β⊂；在④中，由线面垂直的判定定理得m β⊥．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若//αβ，m α⊂，则由面面平行的性质定理得//m β，故①正确；在②中，若//m α，n α⊂，则//m n 或m 与n 异面，故②错误；在③中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m 与β相交、平行或m β⊂，故③错误；在④中，若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确．故答案为：①④．11．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线120l kx y -+=:与直线22:0l x ky +=-的斜率乘积1()1k k=⨯-=-，（0k =时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：02M (,)，20N (,)．可得点M 到直线40x y =--的距离d 为最大值． 【解答】解：∵直线120l kx y -+=:与直线22:0l x ky +=-的斜率乘积1()1k k=⨯-=-，（0k =时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：02M (,)，20N (,)． ∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且1MN k =﹣，可得MN 与直线40x y =--垂直．∴点M 到直线40x y =--的距离d ==为最大值．故答案为：．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意，唯一零点为0，则220cos0380m m m ++=--，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则220cos0380m m m ++=--，∴4m =-或2，故答案为{42}-,． 13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设Aa b (,)，B c d (,)，由已知向量可得12C a b ++(,)，22D c d -+(,)，求得c A a b B d =(-,-)，3CD c a d b =(--,-)，代入AB CD ，展开后利用配方法求得AB CD 的最小值．【解答】解：设Aa b (,)，B c d (,)， ∵12AC =(,)，(2,2)BD =-，∴12C a b ++(,)，22D c d +(-,)，则c A a b B d =(-,-)，3c D a b C d =(--,-)，∴2•3CD c a c a b d AB =+(-)(--)(-)22223993()()244c a c a bd c a b d =+=---+-≥-(-)-(-)(-)． ∴AB CD 的最小值为94-． 故答案为：94- 14．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】求出1f x e a x'+-()=，0x ＞，当a e ≤时，0f x '()＞，0f x ≤()不可能恒成立，当a e ＞时， 由10f x e a x '+-=()=，得1x a e =-，由题意当1x a e =-时，f x ()取最大值0， 推导出1ln()b a e a a ---≥a e (＞)，令1ln()x e F x x---=()，x e ＞，2()ln()()x e x e e F x x e x ---'-()=， 令ln H x x e x e e =()(-)(-)-，ln 1H x x e '=+()(-)，由此利用导数性质能求出b a的最小值． 【解答】解：∵函数ln f x x e a x b =+()(-)-，其中e 为自然对数的底数， ∴1f x e a x'+-()=，0x ＞， 当a e ≤时，0f x '()＞， f x ()在0+∞(,)上是增函数，∴0f x ≤()不可能恒成立，当a e ＞时，由10f x e a x '+-=()=，得1x a e=-， ∵不等式0f x ≤()恒成立，∴f x ()的最大值为0， 当10x a e∈-(,)时，0f x '()＞，f x ()单调递增， 当1x a e∈+∞-(,)时，0f x '()＜，f x ()单调递减， ∴当1x a e=-时，f x ()取最大值， 1ln 10f a e b a e=≤-()﹣(-)--， ∴ln 10a e b ++≥(-)，∴1ln b a e ≥--(-)，∴1ln()b a e a a---≥a e (＞)， 令1ln()x e F x x---=()，x e ＞， 2211ln()()ln(x e)e ()x x e x e x e F x x x e x -++-----'=-()=， 令ln H x x e x e e =()(-)(-)-，ln 1H x x e '=+()(-)，由0H x '=()，得1x e e=+， 当1x e e∈++∞(,)时，0H x '()＞，H x ()是增函数， 1x e e e∈+(,)时，0H x '()＜，H x ()是减函数， ∴当1x e e=+时，H x ()取最小值11H e e e e +=()--， ∵x e →时，0H x →()，2x e ＞时，0H x ()＞，20H e =()，∴当2x e e ∈(,)时，0F x '()＜，F x ()是减函数， 当2x e ∈+∞(,)时，0F x '()＞，F x ()是增函数， ∴2x e =时，F x ()取最小值，11122F e e e--==()-， ∴b a 的最小值为1e-． 故答案为：1e-． 15．【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）设BAD α∠=，DAC β∠=，由已知可求1tan 2α=，1tan 3β=，利用两角和的正切函数公式可求tan 1BAC ∠=．结合范围0πBAC ∠∈(,)，即可得解BAC ∠的值． （2）设BAD α∠=．由正弦定理可求sin 4α=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cos α的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin ADC ∠，进而利用三角形面积公式即可计算得解．16．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD AP ⊥，AP AB ⊥，从而AP ⊥平面ABCD ，由此能证明CD AP ⊥．（2）由CD A P ⊥，CD PD ⊥，得CD ⊥平面PAD ．再推导出AB AD ⊥，AP AB ⊥，从而AB ⊥平面PAD ，进而//CD AB ，由此能证明//CD 平面PAB ．17．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当90a =时，40b =，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得22228c c e a ==，222418b e b +=．又222a b c =+，2228182b b b -+=，解得2b ； （2）设11Ax y (,)，22B x y (,)．设直线l 的方程为1y k x =(-)．联立直线l 与椭圆方程221184x y y k x ⎧⎪⎨+=⎪⎩=(-)，消去y ，得2222214280k x k x k ++=()--，可设直线MN 方程为y kx =，联立直线MN 与椭圆方程22184y x k y x ⎧⎪⎨+==⎪⎩，消去y 得22218k x +=()，由//MN l ，得2AT BT MN 122(1)(1)()M N x x x x --=-， 由121212271?11]12[x x x x x x k =++=+(-)(-)--()．得22232421M N x x x k ==+(-)．即可． （3）在1y k x =(-)中，令0x =，则y k =﹣，所以0P k (,-)，从而11(,)AP x k y =---，22(1,)TB x y =-，由25AP TB =得122(1)5x x -=-，即122255x x +=…①， 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…② 由①②得212423(21)k x k -+=+，222421623(21)5083340k k k x k ⇒=-=+--，解得2k 19．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m 的范围得到函数的值域，从而确定m 的具体范围即可；（2）求出函数f x ()的导数，得到0a ＞且f x ()在n ]l a ∞(-,递减，在[ln a +∞,)递增，设1202x x ≤≤＜，则有120ln 2x a x ≤≤＜＜，根据函数的单调性得到关于m 的不等式组，解出即可．20．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）数列{}n a 是公差为2的等差数列，可得121n a a n =+(-)，11n S a n n=+-．代入1222n n n n a a S n c n++++=-()即可得出n c ． （2）由11n n n S n b a n++=()-，可得：11n n n n n b na S ++=()-，121121n n n n n b n a S +++++=+()()()-，相减可得：2112n n n n a a n b nb +++=+-()-，代入化简可得112n n n c b b =+-()．n n b c λ≤≤，112n n n c b b λλ≤=+≤-()，故n b λ=，n c λ=．进而得出．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由切割线定理可得2•BC BM BA =．由此可得方程，即可求线段AM 的长度；（2）证明BMN BCA △∽△，结合2AB AC =，即可证明：2BN MN =．22．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A '，B '，代入直线的直线为l '即可求得a 和b 的值； 方法二：设P x y (,)，利用矩阵坐标变换，求得Q 点坐标，代入直线为l '，由70ax y +=-，则269117b a -==-，即可求得a 和b 的值．23．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方法一：直线l 的参数方程化为普通方程得434x y =-，将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．方法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程得24y x =．直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得2415250t t =--，利用12AB t t ==-24．【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．25．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11 A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值． 26．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知22233223A p A ==， （2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++，即可求出为n p ，再根据二项式定理和放缩法即可证明．。
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷-答案
b2 8
4c2 b2
=1.
因为 e2
c2 a2
c2 8
,所以
b2 8
8 b2 2b2
1.
因为 a2
b2
c2 ,所以 b2 8
8 b2 2b2
1.
整理得 b2 12b2 32 0 ,解得 b2 =4 或 b2 =8 （舍）.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 84
由 0 x1 x2 2 ,且 | x1 x2 |1,可得1[x1, x2 ] , 故 f (1) f (x1)=f (x2 ) . 又 f (x) 在 (,ln a] 上单调递减,且 0 x1 ln a ,所以 f (x1)=f (0) , 所以 f (1) f (0) ,同理 f (1) f (2) .
因为 F(x) 的值域为 R ,所以 em em 1 (2 e)m ,
即 em em 1 0 .(*)
由①可知当 m 0 时, h(m) em 2m 1 h(0) 0 ,故(*)不成立.
因为 h(m) 在 (0,ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,1) 上单调递增,且 h(0) 0,h(1) e 3 0 ,
bn1)
.
因为对一切
n N*
,有 bn
所以 AP 平面 ABCD . 因为 CD 平面 ABCD , 所以 CD AP . (2)因为 CD AP,CD PD ,且 PD AP P, PD 平面 PAD, AP 平面 PAD , 所以 CD 平面 PAD .① 因为 AD 平面 PAB , AB 平面 PAB , 所以 AB AD .
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学2017. 03注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第 1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 •答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答题卡•• •上对应题目的 答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应位置•上. 11 .函数f(x)= In^^x 的定义域为▲.2 .若复数z 满足z(1 — i) = 2i (i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z -z =▲.3 .某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲.4 .下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了 8人，则n 的值为 ▲ .5 .根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲.6.记公比为正数的等比数列 {a n }的前n 项和为S n .若a 1= 1, S t — 5S 2= 0,贝V S 5的值为 ____.n7 .将函数f(x)= sinx 的图象向右平移3个单位后得到函数 y = g (x)的图象，则函数y = f(x) + g(x)的最大值为▲.8.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y 2= 6x 的焦点为F ，准线为I , P 为抛物线上一点，PA X I , A 为垂足.若'S — 1；I — 1:While I < 8 :S — S + I :I — I + 2:End While；Print SI — __ _ _____ _______ _______ ___ __ ____ — ____ __（第5题直线AF的斜率k=—,3，则线段PF的长为▲.9 .若 sin (a — n= 5 , a (0, n，则 COS a 的值为 ▲.10.a B 为两个不同的平面， m , n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲(填上所有正确命题的序号).①若 a B m a,贝U m // B ②若 m //a, n a,贝 U m // n ;③若 a 丄 B aA B= n ,m l n ,贝U m 丄 B④若 n 丄a, n 丄 Bm ± a,贝U m ± B11. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l i : kx — y + 2= 0与直线12： x + ky — 2= 0相交于点P ,贝U 当实数k 变化时，点P 到直线x — y — 4= 0的距离的最大值为▲.12. 若函数f(x) = x 2 — mcosx + m 2+ 3m — 8有唯一零点，则满足条件的实数 m 组成的集合为 ▲ 13 .已知平面向量 AC = (1 , 2), BD = (— 2, 2)，则AB?CD 的最小值为 _______ ▲ 14.已知函数f(x)= lnx + (e — a)x — b ,其中e 为自然对数的底数.若不等式f(x )w 0恒成立，则；的最a小值为 ▲ 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在△ ABC 中，D 为边 BC 上一点，AD = 6, BD = 3, DC = 2 . 四个角上切去边长相等的小正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)•设 小正方形边长为 x 厘米，矩形纸板的两边 AB , BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a > b .15. (本小题满分14分)16. 17. (1)若 AD 丄BC ,求/ BAC 的大小; (2)若/ ABC =：,求厶ADC 的面积. (本小题满分14分)如图，四棱锥 P — ABCD 中，AD (1)求证：CD 丄AP ; (2)若CD 丄PD ，求证: CD //平面(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为(1) 当a = 90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a , b , x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.(1)过点O 且平行于I 的直线交椭圆C 于点M , N ,求AMN BT②若函数 F(x) = f (X )，X <m ， g (X), x > m (2)若存在实数 X 1, X 2€ [0 , 2]，使得 f(X 1)= f(X 2),且 |X 1— X 2| > 1,求证：e — 1< a w e 2 — e .20. (本小题满分16分)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,数列｛b n ｝ , ｛c n ｝满足(n + 1) b n = (1)若数列｛a n ｝是公差为2的等差数列，求数列｛C n ｝的通项公式;(2)若存在实数 入使得对一切n € N*，有b n ＜入w C n ，求证：数列｛a n ｝是等差数列.南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学附加题2017. 03的值; (3)~2 ~记直线I 与y 轴的交点为P .若AP = -TB ，求直线I 的斜率519.(本小题满分16分)已知函数f (x)= e x - ax — 1,其中e 为自然对数的底数, (1)若 a = e ,函数 g (x)= (2 — e)x .①求函数h(x) = f (x) — g (x)的单调区间;(n + 2) C n =a n + 1 + a n + 22 ，其中 n € N* .的值域为R ，求实数m 的取值范围第18题图)an +1— n (第17题图)求椭圆C 的标准方程;k .a €OxNA21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指设M k 是第k 行中的最大数，其中 K k w n , k € N* .记M 1V M 2<^< M n 的概率为p n .(1)求P 2的值;于A , B 两点，求线段AB 的长. D .选修4— 5:不等式选讲设 a 丰 b ,求证:a 4 + 6a 2b 2+ b 4> 4ab(a 2+ b 2). 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)如图，在直四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，底面四边形 ABCD 为菱形，A 1A = AB = 2, / ABC =才，E , F 分别是BC , A 1C 的中点. (1) 求异面直线EF , AD 所成角的余弦值;(2 )点M 在线段A 1D 上，鏡=「若CM 〃平面AEF ，求实数入的值.定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A •选修4— 1:几何证明选讲 如图，△ ABC 的顶点A , C 在圆O 上，B 在圆外，线段 AB 与圆O 交于点M . (1 )若BC 是圆O 的切线，且 AB = 8, BC = 4，求线段AM 的长度; (2)若线段 BC 与圆O 交于另一点 N ，且AB = 2AC ，求证: BN = 2MN •B .选修4— 2:矩阵与变换 设a , b € R .若直线I : a B M O9x + y — 91 = 0 .求实数A a , b 的值.C .选修4— 4:坐标系与参数方 CA BOM在矩阵A=.N对应的变换作用 F ,得到的直线为I在平面直角坐标系xOy 中，直线(第 21(A)图3x=1 + 5t ，(t 为参数)，与曲线C :4y= 5tx 4k 2y = 4/ （k 为参数）交20分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出23.(本小题满分10分)现有咛(n >2,南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.）21. (— 8, 1)2. 2 33 4. 30 5. 17 6. 31 7. 38. 69.時10 .①④11. 3.212. {2}tan Z BAC = tan(a+ 3=込皿:1 — tan a an 3（2）证明: C n + 1Pn> (n + 1)!.9 - 4 -二、解答题（本大题共 6小题，计 90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）解：(1 )设/ BAD = a, Z DAC = 3.因为 AD 丄 BC , AD = 6, BD = 3, DC = 2, 所以1 1 tan a= ^，tan3= 3, S 1 2 3 =1 . 1 --X - 2 3(2)设/ BAD = a.n在厶 ABD 中，Z ABC = 4, AD = 6, BD = 3.由正弦定理得AD -=皿，解得sin a=¥n sin a 4 si*因为AD > BD ，所以a 为锐角，从而COS a= 1 - Sin 2 a=10分n n . n因此 sin Z ADC = sin( a+ ；)= sin a cos ： + cos osin ：444—巫亚丄丘、1+ V7 =2(4 + 4 )= 4 .12分1△ ADC 的面积 S = X AD X DC • sin Z ADC 1 1 + ：7 3=2X 6X 2X 厂=尹 + ,7).14分所以n又Z BAC € (0, n，所以Z BAC = 4.16. (本小题满分14分)证明：(1)因为AD丄平面PAB , AP?平面PAB,所以AD丄AP . ...................... 2分又因为AP I AB , AB A AD = A, AB?平面ABCD , AD?平面ABCD ,所以AP I平面ABCD . ...................... 4分因为CD?平面ABCD ,所以CD丄AP. ...................... 6分(2) 因为CD 丄AP, CD 丄PD，且PD A AP= P, PD?平面PAD, AP?平面PAD ,所以CD丄平面PAD. ① ...................... 8分因为AD丄平面FAB, AB?平面PAB,所以AB丄AD .又因为AP I AB, AP A AD = A, AP?平面PAD, AD?平面PAD ,所以AB丄平面PAD. ② ............ 10分由①②得CD // AB, ....................... 12分因为CD /平面PAB, AB?平面PAB,所以CD //平面PAB. ....................... 14分17. （本小题满分14分）解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a= 90时，b= 40, 从而包装盒子的侧面积S= 2X x(90 - 2x) + 2 X x(40-2x)=-8x2+ 260x, x€ (0, 20) . ...................... 3分65 4225因为S=- 8x2+ 260x=- 8(x-罗)2+ 笃25, 故当x= 65时，侧面积最大，最大值为笃勺平方厘米.65 4225答：当时，纸盒的侧面积的最大值为丁平方厘米. .................. 6分(2 )包装盒子的体积2 b 八V = (a- 2x)(b- 2x) x= x[ab-2(a + b)x+ 4x2], x€ (0, ?), b< 60. ........................... 8 分V = x[ab-2(a + b)x+ 4x2]<x(ab-4 .abx + 4x2)=x(3600 - 240x + 4x2)=4x3—240x2+ 3600x.10分当且仅当a= b= 60时等号成立.设f(x)= 4x3—240x2+ 3600x, x€ (0, 30).则 f '(x) = 12(x—10)(x—30).于是当0v x v 10时，f'(x)>0，所以f (x)在(0, 10)上单调递增；当10v x v 30时，f'(x) v 0，所以f (x)在(10, 30)上单调递减.因此当x= 10时，f (x)有最大值f (10) = 16000, .................... 12分此时a= b = 60, x = 10.答：当a= b = 60, x= 10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米.................... 14分18. (本小题满分16分)x2 y2b2 4e2解：(1 )因为椭圆牛+占=1经过点(b, 2e)，所以b- +答=1.8 b 8 bc2 c2b2 c2因为e2= F= 8，所以8 + 2P= 1.因为a2= b2+ c2,所以b- + 82b b = 1. ............................ 2 分整理得b4—12b2+ 32= 0,解得b2= 4或b2= 8(舍).2 v2x所以椭圆C的方程为牛+ y = 1. .......................... 4分8 4(2)设Ag, v1), B(X2, V2).因为T(1 , 0)，则直线l 的方程为y = k(x—1).V= k(x—1),联立直线I与椭圆方程x2V d+ J= 18 + 4 1,消去y, 得(2k2+ 1)x2—4k2x+ 2k2—8= 0,4 k2x1 + x2= 2k2+ 1,所以2k2—8 .................... 6分x1x2= 2k2+ 1.因为MN // I,所以直线MN方程为y = kx,y= kx,联立直线MN与椭圆方程x2 y26 + 4 =1消去y得(2k2+ 1)x2= 8,解得x2=AT • BT (1 —X1) .(X2—南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷即 e m — 2m — 1 W 0.(*)(X M — X N )2= 4x2 = ^^7,(3) 在 y = k (X — 1)中，令 X = 0，贝U y =— k ,所以 P(0, — k),从而 AP = (— X 1,— k — y 1), T B = (X 2 — 1 , y 2).4k 2X1+ X2 = 2kT7,2 k 2— 8X1X2= 2k 2 + 1.=4k 2X1+ X2= 2k 2+ 1’ — 4k 2+ 2 16k 2— 2由 2 2 解得 X1 = 3(2k 2+ 1), X2= 3(2k 2+ 1).X 1+ X 2 =5 5 19. (本小题满分16分)解：(1 )当 a = e 时，f (x)= e x — ex — 1.① h (x) = f (x) — g (x) = e x — 2x — 1, h '(x) = g — 2. 由 h'(x)> 0 得 x > In2,由 h'(x)v 0 得 x v ln2 . 所以函数h(x)的单调增区间为(In2 ,+s )，单调减区间为 (一a, ln2)........................ 3分② f '(x)= e x — e .当x v 1时，f'(x)v 0，所以f (x)在区间( — a, 1)上单调递减； 当X > 1时，f'(x) > 0，所以f(X)在区间(1 ,+a )上单调递增.1 °当m W 1时，f (x)在( — a, m]上单调递减，值域为[e m — em — 1 ,+a ),g(x) = (2 — e)x 在(m ,+a )上单调递减，值域为(一a, (2 — e)m), 因为F(x)的值域为 R ，所以e m — em — 1 W (2 — e)m ,因为 (1 — X i )(X 2 — 1) =— [X 1X 2—(X 1 + X 2)+ 1]= 72k 2+ 1所以AT • BT _ (1 — X 1)•(X 2—1) _ MN 2 ( — )27 2k 2+ 1 _ 7_ 2k 2+ 1 32 _ 3210分因为 A B = |T B , 52 2 2 所以一X 1 = 5(x 2 — 1)，即 X 1 +£X 2=-.12分由⑵知, 14分2k 2— 8—4k 2+ 2 % 16k 2— 2 = 2k 2 — 8 3(2k 2+ 1) 3(2k 2 + 1) = 2 k 2+ 1整理得1750k 4 — 83k 2— 34= 0，解得 k 2= 2 或 k 2=— (舍)16分因为 X1X2=怎韦, 又因为k > 0，所以k = -/2.由①可知当 m v 0时，h(m)= e m — 2m — 1 > h(0) = 0,故(*)不成立.因为h(m)在(0, ln2)上单调递减，在(In2 , 1)上单调递增，且 h(0) = 0, h(1) = e — 3v 0, 所以当0w m W 1时，h(m)< 0恒成立，因此 0w m < 1........................ 6分2。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含答案)(K12教育文档)
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学2017．03注意事项:1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题～第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．．．上．．．相应位置1．函数f（x)＝ln错误!的定义域为▲．2．若复数z满足z（1－i)＝2i(i是虚数单位)，错误!是z的共轭复数，则z·错误!＝▲．3．某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏剧的男性青年观众"的人中抽取了8人,则n的值为▲．5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为▲．6．记公比为正数的等比数列｛a n}的前n项和为S n．若a1＝1，S4－则S5的值为▲．7．将函数f(x)＝sin x的图象向右平移错误!个单位后得到函数y＝g（x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F,准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－错误!，则线段PF的长为▲．9．若sin(α－错误!）＝错误!，α∈(0，错误!），则cosα的值为▲．10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是▲（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，mα，则m∥β；②若m∥α,nα,则m∥n;③若α⊥β，α∩β＝n,m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β,m⊥α，则m⊥β．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2:x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为▲．12．若函数f（x）＝x2－m cos x＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为▲．13．已知平面向量错误!＝（1,2），错误!＝(－2,2），则错误!•错误!的最小值为▲．14．已知函数f(x）＝ln x＋（e－a）x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则错误!的最小值为▲．二、解答题:本大题共6小题,共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分)如图，在△ABC中,D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（1）若AD⊥BC,求∠BAC的大小；(2）若∠ABC＝错误!，求△ADC的面积．A A16．（本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证:CD ∥平面PAB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米,矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（第16题图） PDCBA（2）试确定a ，b ，x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值．18．(本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点（b ，2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求 错误! 的值； (3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若错误!＝错误!19．（本小题满分16分）已知函数f（x )＝e x－ax －1,其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g（x )＝（2－e)x ．（第18题图）（第17题图）DCBA①求函数h(x)＝f（x)－g（x)的单调区间；②若函数F(x)＝错误!的值域为R，求实数m的取值范围;(2）若存在实数x1，x2∈[0，2],使得f（x1）＝f(x2），且|x1－x2|≥1，求证:e－1≤a≤e2－e．20．(本小题满分16分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，数列｛b n｝,{c n}满足 (n＋1) b n＝a n＋1－错误!，(n＋2) c n＝错误!－错误!，其中n∈N＊．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列｛c n}的通项公式；(2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC的顶点A,C在圆O上,B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度; （2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 错误! 对应的变换作用下，得到的直线为l ′:9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：错误!(t 为参数），与曲线C :错误!（k 为参数）交于A ,B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4-5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2, ∠ABC ＝错误!，E ,F 分别是BC ，A 1C 的中点． （1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（第21(A)图）(2）点M 在线段A 1D 上，错误!＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有错误!(n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵:＊ ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * ＊ ………………… 第3行 …………… …………………＊ ＊ ………… ＊ ＊ ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数,其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ．(1)求p 2的值；（2）证明：p n ＞错误!．南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．（－∞，1） 2．2 3．错误! 4．30 5．17 6．31D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）7． 3 8． 6 9．错误! 10．①④ 11．3错误! 12．{2}13．－错误! 14．－错误!二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6,BD＝3，DC＝2，所以tanα＝错误!,tanβ＝错误!， (2)分所以tan∠BAC＝tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝1．………………… 4分又∠BAC∈（0，π)，所以∠BAC＝错误!．………………… 6分（2）设∠BAD＝α．在△ABD中,∠ABC＝错误!，AD＝6，BD＝3．由正弦定理得错误!＝错误!，解得sinα＝错误!．………………… 8分因为AD＞BD，所以α为锐角,从而cosα＝错误!＝错误!．………………… 10分因此sin∠ADC＝sin（α＋错误!)＝sinαcos错误!＋cosαsin错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!．………………… 12分△ADC的面积S＝错误!×AD×DC·sin∠ADC＝12×6×2×错误!＝错误!(1＋错误!)．………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：(1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．………………… 2分又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD．………………… 4分因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．………………… 6分（2)因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①………………… 8分因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②………………… 10分由①②得CD∥AB, ………………… 12分因为CD错误!平面PAB，AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB．………………… 14分17．（本小题满分14分)解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时,b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x）＋2×x（40－2x)＝－8x2＋260x,x∈（0，20) ．………………… 3分因为S＝－8x2＋260x＝－8（x－错误!）2＋错误!，故当x＝错误!时，侧面积最大，最大值为错误!平方厘米．答:当x＝错误!时，纸盒的侧面积的最大值为错误!平方厘米．………………… 6分（2)包装盒子的体积V＝(a－2x）（b－2x)x＝x[ab－2（a＋b）x＋4x2］,x∈（0，错误!)，b≤60．……………8分V＝x［ab－2（a＋b)x＋4x2］≤x（ab－4错误!x＋4x2）＝x(3600－240x＋4x2）＝4x3－240x2＋3600x．………………… 10分当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f (x）＝4x3－240x2＋3600x，x∈（0，30)．则f ′（x）＝12（x－10)（x－30）．于是当0＜x＜10时，f ′（x）＞0，所以f（x）在（0，10)上单调递增;当10＜x＜30时，f ′ (x）＜0，所以f (x)在(10，30）上单调递减．因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16000， (12)分此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：(1）因为椭圆错误!＋错误!＝1经过点(b，2e）,所以错误!＋错误!＝1．因为e2＝c2a2＝错误!，所以错误!＋错误!＝1．因为a2＝b2＋c2，所以错误!＋错误!＝1．…………………… 2分整理得b4－12b2＋32＝0,解得b2＝4或b2＝8（舍) ．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1． (4)分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1）．联立直线l与椭圆方程错误!消去y，得（2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0,所以错误!……………… 6分因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程错误!消去y得（2k2＋1)x2＝8，解得x2＝82k2＋1．因为MN∥l，所以错误!＝错误!．…………………… 8分因为（1－x1）·(x2－1）＝－[x1x2－（x1＋x2)＋1］＝72k2＋1，（x M－x N）2＝4x2＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!．………………… 10分（3）在y＝k(x－1)中,令x＝0，则y＝－k，所以P（0，－k)，从而错误!＝（－x1,－k－y1)，错误!＝（x2－1，y2）．因为错误!＝错误!错误!，所以－x1＝错误!(x2－1)，即x1＋错误!x2＝错误!．……………………12分由(2)知，错误!由错误!解得x1＝错误!，x2＝错误!．……………… 14分因为x1x2＝错误!，所以错误!×错误!＝错误!，整理得 50k4－83k2－34＝0,解得k2＝2或k2＝－错误!（舍）．又因为k＞0，所以k＝错误!．…………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）当a＝e时，f (x)＝e x－e x－1．①h (x)＝f（x）－g（x)＝e x－2x－1，h′(x)＝e x－2．由h′(x）＞0得x＞ln2，由h′(x）＜0得x＜ln2．所以函数h(x）的单调增区间为 (ln2,＋∞)，单调减区间为（－∞，ln2）．………………… 3分②f ′（x)＝e x－e．当x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x＞1时，f′(x）＞0，所以f（x)在区间（1，＋∞）上单调递增．1°当m≤1时，f（x）在（－∞，m］上单调递减，值域为[e m－e m－1，＋∞），g（x)＝(2－e)x在(m，＋∞）上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m）,因为F（x)的值域为R,所以e m－e m－1≤（2－e）m，即e m－2m－1≤0． (＊）由①可知当m＜0时，h(m)＝e m－2m－1＞h(0)＝0,故（*)不成立．因为h(m）在（0，ln2)上单调递减，在（ln2，1）上单调递增，且h（0)＝0，h（1)＝e －3＜0，所以当0≤m≤1时，h(m）≤0恒成立，因此0≤m≤1．………………… 6分2°当m＞1时，f（x）在（－∞，1)上单调递减，在（1，m］上单调递增,所以函数f (x）＝e x－e x－1在(－∞，m］上的值域为［f (1）,＋∞）,即［－1，＋∞)．g(x)＝（2－e)x在（m，＋∞)上单调递减，值域为（－∞,（2－e）m）．因为F（x）的值域为R，所以－1≤(2－e）m，即1＜m≤错误!．综合1°,2°可知，实数m的取值范围是[0，错误!]．………………… 9分（2）f ′(x)＝e x－a．若a≤0时,f ′(x)＞0，此时f（x）在R上单调递增．由f（x1)＝f（x2）可得x1＝x2，与|x1－x2｜≥1相矛盾，所以a＞0，且f（x）在(－∞，ln a］单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增．…………………… 11分若x1，x2∈（－∞，ln a］，则由f（x1）＝f (x2)可得x1＝x2,与｜x1－x2｜≥1相矛盾，同样不能有x1,x2∈［ln a，＋∞）．不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜ln a＜x2≤2．因为f(x）在（x1，ln a）上单调递减,在（ln a，x2）上单调递增,且f (x1)＝f (x2),所以当x1≤x≤x2时，f (x）≤f（x1)＝f（x2)．由0≤x1＜x2≤2，且｜x1－x2｜≥1，可得1∈[x1,x2]，故f (1）≤f (x1)＝f (x2)．…………………… 14分又f (x）在（－∞，ln a]单调递减,且0≤x1＜ln a，所以f (x1)≤f (0），所以f (1）≤f (0)，同理f（1）≤f（2）．即错误!解得e－1≤a≤e2－e－1,所以 e－1≤a≤e2－e．…………………… 16分20．(本小题满分16分）解：（1）因为｛a n}是公差为2的等差数列，所以a n＝a1＋2（n－1)，错误!＝a1＋n－1，…………………… 2分从而 (n＋2) c n＝错误!－（a1＋n－1)＝n＋2，即c n＝1．……… 4分（2）由(n＋1)b n＝a n＋1－S n n，得n(n＋1） b n＝na n＋1－S n,（n＋1)(n＋2） b n＋1＝（n＋1）a n＋2－S n＋1,两式相减,并化简得a n＋2－a n＋1＝(n＋2） b n＋1－nb n．……………………… 6分从而（n＋2) c n＝错误!－错误!＝错误!－[a n＋1－（n＋1） b n］＝错误!＋（n＋1) b n＝错误!＋（n＋1） b n＝错误!（n＋2）（ b n＋b n＋1)．因此c n＝错误!（b n＋b n＋1）．……………………… 9分因为对一切n∈N*,有b n≤λ≤c n,所以λ≤c n＝12(b n＋b n＋1)≤λ，故b n＝λ,c n＝λ．……………………… 11分所以（n＋1）λ＝a n＋1－错误!，①（n＋2)λ＝错误!(a n＋1＋a n＋2）－错误!，②②－①,得错误!(a n＋2－a n＋1)＝λ,即a n＋2－a n＋1＝2λ．故a n＋1－a n＝2λ(n≥2）．……………………… 14分又2λ＝a2－错误!＝a2－a1，则a n＋1－a n＝2λ（n≥1）．所以数列{a n｝是等差数列．……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分,共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲解:(1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA．…………… 2分设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，所以42＝8(8－t），解得t＝6 ，即线段AM的长度为6．………………………… 4分（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB．…………………… 6分又∠B＝∠B,所以△BMN∽△BCA，……………………… 8分所以错误!＝错误!．因为AB＝2AC，所以BN＝2MN．……………………… 10分B．选修4—2：矩阵与变换解：(方法一）在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0,7)，B（1，7－a）．因为错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!, …………… 4分所以A（0，7)，B（1，7－a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，所以错误!…………… 8分解得a＝2,b＝13．…………… 10分（方法二)设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x′，y′）．因为错误!错误!＝错误!，所以错误!…………… 4分又因为点Q（x′，y′)在直线l′上,所以9x′＋y′－91＝0．即27x＋（－x＋by)－91＝0，也即26x＋by－91＝0，又点P(x，y）在直线l上，所以有ax＋y－7＝0．…………… 8分所以错误!＝错误!＝错误!，解得a＝2，b＝13．…………… 10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一)直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4,将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组错误! 解得 错误!或错误!所以A (4，4），B (错误!，－1）． ……………… 8分 所以AB ＝错误!＝错误!． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 （45t )2＝4（1＋35t ），即4t 2－15t －25＝0， 所以 t 1＋t 2＝错误!，t 1t 2＝－错误!． ……………… 6分 所以AB ＝|t 1－t 2|＝错误! ＝错误!＝错误!． ……………… 10分D ．选修4-5:不等式选讲证明: a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2）2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝（a 2＋b 2－2ab ）2＝（a －b ）4． ……………… 5分因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ．又AE 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ．在菱形ABCD 中∠ABC ＝错误!,则△ABC 是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ． zD 1C 1B 1 M FA 1以{错误!，错误!，错误!}为正交基底建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，C（错误!，1,0),D（0，2，0)，A(0，0,2)，E（错误!，0，0）,F（错误!，错误!，1)．1（1）错误!＝(0，2,0），错误!＝(－错误!，错误!,1),所以错误!·错误!＝1．从而cos＜错误!，错误!＞＝错误!＝错误!．故异面直线EF,AD所成角的余弦值为错误!．……………… 4分（2）设M(x，y，z），由于点M在线段A1D上，且错误!＝λ，则错误!＝λ错误!，即(x，y，z－2）＝λ（0,2,－2）．则M(0，2λ，2－2λ），错误!＝（－错误!，2λ－1，2－2λ)． (6)分设平面AEF的法向量为n＝(x0,y0，z0）．因为错误!＝(错误!，0，0),错误!＝(错误!,错误!，1),由n·错误!＝0,n·错误!＝0,得x0＝0，错误!y0＋z0＝0．取y0＝2，则z0＝－1,则平面AEF的一个法向量为n＝(0,2,－1）．……………… 8分由于CM∥平面AEF,则n·错误!＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ）＝0，解得λ＝错误!．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p2＝错误!＝错误!, 即p2的值为错误!．……………… 3分（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为错误!＝错误!; ……………… 5分去掉第n行已经排好的n个数，则余下的错误!－n＝错误!个数中最大数在第n－1行的概率为错误!＝错误!；故p n＝错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!．……………… 7分由于2n＝（1＋1）n＝C0，n＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!≥C错误!＋C错误!＋C错误!＞C错误!＋C 错误!＝C错误!错误!,故错误!＞错误!，即p n＞错误!．……………… 10分。
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18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：x28＋y2b2＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 AT·BTMN 2 的值； （3）记直线l与y轴的交点为P．若AP→＝25TB→，求直线l的斜率k． x y O A B P T M N （第18题图）
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19．（本小题满分16分） 已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R． （1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x． ①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间； ②若函数F(x)＝f (x)，x≤m，g (x)，x＞m的值域为R，求实数m的取值范围； （2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1， 求证：e－1≤a≤e2－e．
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20．（本小题满分16分） 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1－Snn， (n＋2) cn＝ an＋1＋an＋22－Snn，其中n∈N*． （1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式； （2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 2017．03 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M． （1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度； （2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN． B．选修4—2：矩阵与变换 设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值． A C B M O A B C O M N （第21(A)图）
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23．（本小题满分10分） 现有n(n＋1)2（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵： * ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… ………………… * * ………… * * ………………… 第n行 设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn． （1）求p2的值； （2）证明：pn＞C2n＋1(n＋1)!．
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．31 7．3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．32 12．{2} 13．－94 14．－1e 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β． 因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2， 所以tanα＝12，tanβ＝13， ………………… 2分 所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝π4． ………………… 6分 （2）设∠BAD＝α． 在△ABD中，∠ABC＝π4，AD＝6，BD＝3． 由正弦定理得 ADsinπ4＝BDsinα， 解得sinα＝24． ………………… 8分 因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝144． ………………… 10分 因此sin∠ADC＝sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4 ＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC的面积S＝12×AD×DC·sin∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分
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16．（本小题满分14分） 证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB， 所以AD⊥AP． ………………… 2分 又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以AP⊥平面ABCD． ………………… 4分 因为CD?平面ABCD， 所以CD⊥AP． ………………… 6分 （2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． ① ………………… 8分 因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB， 所以AB⊥AD． 又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD． ② ………………… 10分 由①②得CD∥AB， ………………… 12分 因为CD /平面PAB，AB?平面PAB， 所以CD∥平面PAB． ………………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40， 从而包装盒子的侧面积 S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ． ………………… 3分 因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－654)2＋42252， 故当x＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米． 答：当x＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分 （2）包装盒子的体积 V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，b2)，b≤60．…………… 8分 V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4abx＋4x2) ＝x(3600－240x＋4x2)
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16．（本小题满分14分） 如图，四棱）求证：CD⊥AP； （2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB； （第16题图） P D C B A
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17．（本小题满分14分） 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b． （1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值； （2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． （第17题图） D C B A
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数 学 2017．03 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f(x)＝ln11－x的定义域为 ▲ ． 2．若复数z满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），－z是z的共轭复数，则z·－z＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示： 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众 40 60 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为 ▲ ． 6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S4－5S2＝0， 则S5的值为 ▲ ． 7．将函数f(x)＝sinx的图象向右平移π3个单位后得到函数y＝g(x)的图象， 则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为 ▲ ． （第5题图） S←1 I←1 While I≤8 S←S＋I I←I＋2 End While Print S
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9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cosα的值为 ▲ ． 10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）． ①若α∥β，mα，则m∥β； ②若m∥α，nα，则m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为 ▲ ． 12．若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC＝(1，2)，→BD＝(－2，2)，则→AB?→CD的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2． （1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小； （2）若∠ABC＝π4，求△ADC的面积． A B C D （第15题图2） （第15题图1） D C B A