线性规划习题精选精讲

线性规划常见题型及解法

线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

例1、若x、y满足约束条件

2

2

2

x

y

x y

≤

⎧

⎪

≤

⎨

⎪+≥

⎩

，则z=x+2y的取值范围是

（）

A、[2,6]

B、[2,5]

C、[3,6]

D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A

二、求可行域的面积

例2、不等式组

260

30

2

x y

x y

y

+-≥

⎧

⎪

+-≤

⎨

⎪≤

⎩

表示的平面区域的面积为（）

A、4

B、1

C、5

D、无穷大

解：如图，作出可行域，△A B C的面积即为所求，由梯形OM B C的面积减去梯形OM A C的面积即可，选B

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）

A、9个

B、10个

C、13个

D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0) x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

+≤≥≥

⎧

⎪-≤≥

⎪

⎨

-+≤≥⎪

⎪--≤

⎩

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件

5

50

3

x y

x y

x

+≥

⎧

⎪

-+≤

⎨

⎪≤

⎩

，使z=x+ay(a>0)取得

最小值的最优解有无数个，则a的值为（）

A、－3

B、3

C、－1

D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x 、y 满足以下约束条件

220240330x y x y x y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪--≤⎩

，则z =x 2+y 2的最大值和最小值分别是 （ ）

A 、13，1

B 、13，2

C 、13，

45

D

、

5

解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|A O |2=13，最小值为原

点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45

，选C

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）

A 、（-3,6）

B 、（0,6）

C 、（0,3）

D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于

230

230

x y m x y m -++>⎧⎨

-+-<⎩ 由右图可知

33

30m m +>⎧⎨

-<⎩

,故0＜m ＜3，选 C

线性规划的实际应用

在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策

的实际问题，而解

决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?

解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0

05628.008.072

09.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨

⎧=+=+56

28.008.072

09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的5

1.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.

解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≥≤≤≥≥+0

5000005135000

y x x

y y x ,而z =0.28x +0.9y 如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线

x y 5

1

=

的交点

)317500,387500(

A ,即387500=x ,3

17500

=y 时,饲料费用最低.

所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一

.

(例3图) (例4图)

例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:

营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?

解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为

⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨

⎧≥-≥4

22

y x y 作出可行域如上图中阴影部分

目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.

指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩

⎨⎧≥-≥422y x y 得