事件的关系与运算

A∪ B = B，A− B =∅
6、 7、 8、
A − B = A B = A − AB
A = AB ∪ A B
A ⊂ ( A ∪ B ), B ⊂ ( A ∪ B );
AB ⊂ A , AB ⊂ B ;
A ∪ A = A, A∩ A = A
A ∪ S = S,
A∩ S = A
设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件 例1. (1) A 发生, B 与C 不发生 ( AB C ) (2) A 与B 发生, C 不发生 (3) A, B 与C 都发生 (4) A, B 与C 至少有一个发生 (5) A, B 与C 全都不发生 (6) A, B 与C 至少有两个发生 思考: 思考 判断
B = A − A2 1
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S6 : { t | t ≥ 0 }中 事件A ={ t | t < 1000} “次品” 事件B ={ t | t ≥ 1000} “合格品” 事件C ={ t | t ≥ 1500} “一等品”
次品 0 1000 1500
一等品
B−C
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4、互不相容事件 互不相容事件 定义 事件A 与事件B 不能同时发生
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概率论与数理统计
第二讲
主讲教师: 主讲教师: 王升瑞
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三、事件的运算规律 1. 交换律 A∪ B = B ∪ A 2. 结合律 3. 分配律 4. 德摩根律
A∩ B = B ∩ A A∪(B ∪C) = ( A∪ B) ∪C A∩(B ∩C) = ( A∩ B) ∩C A∪(B ∩C) = ( A∪ B) ∩ ( A∪C) A∩ (B ∪C) = ( A∩ B) ∪ ( A∩C)
( ABC ) (ABC) ( A∪ B ∪C)
(A B C )
( ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC )
(1) 若 AB = φ 且 C ⊂ A , 则 BC = φ
(2) 若 B ⊂ A , 则 A∪ B = B
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例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。 设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B表示“城市断水”。 B 表示“城市能正常供水”， 试用 A , A2 , A 表示 B , B . 1 3 解 甲 1 3 城市 乙 2
B = ( A1 ∪ A2 ) A3
B = ( A1 ∪ A2 ) A3
= ( A1 ∪ A2 ) ∪ A3
= A1A2 ∪ A3
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例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不 放回）， 假设100件产品中有5件是次品， 用事件AK 表示 第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A A2 A 表示下列事件。 1 3 1、三次全取到次品。 2、只有第一次取到次品
2
一、事件的包含与相等 定义： 定义： 若事件A 发生必导致事件 B 发生， 则称 B包含了A 。
A
S
B
（A的每一个样本点都是 B 的样本点） 记为. A⊂ B 或 B ⊃ A. 即 x∈ A x∈B 定义：若 A⊂ B 且 B⊂ A 定义 . 则称 A与 B 相等 记为 A = B .
文氏图(Venn图)
A + A2 +⋯+ An 或 A ∪ A2 ∪⋯∪ An 1 1
5
注：A∪ B 包含了A 事件， 也包含了 B 事件。 K1 例如 K2 K3 B A1={开关 K1 合上} A3={ ={开关 K3 合上} } A2={开关 K2 合上} B={灯亮} ={ } A2={乙生病没来}
B = A ∪ A2 ∪ A ⇔ 三个开关至少有一个合上。 1 3
定义 由“事件A 发生且事件B 不发生”
A B
S
例如
构成的事件为事件A 与事件B 的差。 记为 A− B
A− B
A− B = {a, b}
A = {a, b, c, d}
A− B = { x∈ A 且 x∉B } 同时 A − B = A − AB
B = {c, d, e, f }
例如： 例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格} B ={身高合格且体重合格}
A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B
都不发生。 都不 即 A、B 中不是至少 至少有一个发生，就是两个都不 至少 A、B 不是两个都发生， 就是两个至少 至少有一个不发生。 都 至少 推广：∪ Ai =
i =1 n n i i =1 n k k =1
∩A ;∩A
=
n
∪A
k =1
k
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5、包含运算： 设 A ⊂ B ，则 A ⊃ B AB = A ，
A
S
B
A∪ B
A∪ B = {a, b, c, d, e, f } 类似，由“事件A , A ,⋯, A ”中至少有一个发生所 1 2 n
构成的事件，称为 A , A ,⋯, A 的和，记为 1 2 n
即 A∪ B = { x∈ A 或 x∈B} 若 A 与 B 有公共元素，此元素在 A∪ B 中只出现一次。 例如 A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f }
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6、完备事件组 、 若事件运算满足
1. A ∪ A2 ∪⋯∪ An = S 1 2. Ai Aj = φ (i ≠ j i, j =1,2,⋯n) 则称 A , A ,⋯, A 为完备事件组。 1 2 n
A 1
如:中华人民共和国地图由 : 31个省、市的版图（完备
An
A2
事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
例如： 例如：A1={甲生病没来} B={甲和乙至少有一个没来} 例如： 例如： 工地上 A1={缺水泥}
B = A ∪ A2 1
A2={缺黄沙}
6
B = A ∪ A2 ={缺水泥或黄沙} 1
2、事件的积、交(乘法)（积运算 ） 、事件的积、 （ 定义 由“事件A 与事件B 同时发生” 所构成的事件， 称为事件A与B的积。
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例如： 设以 A , A ,⋯, A 表示毕业班一位学生的 例如 1 2 n 每门及格的学习成绩。 以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。 则
B = A A2 ⋯An 1
C = A ∪ A2 ∪⋯ ∪An 1
(表示门门课程都合格了)。
以 C 表示该学生拿不到毕业证书。
表示该学生至少有一门课程不及格。
或
A1A2 ∪ A1A3 ∪ A2 A 3
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例4
以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则
A 为：
(a) 甲滞销，乙畅销 (b) 甲乙两种产品均畅销 (c) 甲种产品畅销 (d ) 甲滞销或乙畅销
解：设 B = “甲产品畅销”，C = “乙产品畅销” 则 A = BC ⇒ A = BC = B ∪ C ，故选( d )
A B
S
A∪ B = S
记为
则称 A 与 B为对立事件 互逆 对立事件(互逆 对立事件 互逆)
B=A
A=B
即：事件A、B 必有且仅有一个发生。 可见：若 E 只有两个互不相容的结果，那么这两个 结果构成对立事件。 例如： 地震后一建筑物倒塌了为 A ,则 没有倒塌为 A. 例如： 考试成绩及格了为 A ,则不及格为 A.
A A2 ⋯An 1
或
A ∩ A2 ∩⋯∩ An 1
例如： 设以 A , A ,⋯, A 表示毕业班一位学生的 例如 1 2 n 每门及格的学习成绩。 以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。 则
B = A A2 ⋯An 1
(表示门门课程都合格了)。
8
3、事件的差、(减法) 、事件的差、
（差事件 差事件） 差事件
A
S
例如
B
A∩ B
即 A∩ B = { x∈ A 且 x∈B
记为 A∩ B 或
AB.
A = {a, b, c, d} A∩ B = {c, d}
K1 K2
B = {c, d, e, f }
}
例如 电路图
A1={开关 K1 合上} A2={开关 K2 合上}
B
B = A A2 1
7
类似，由“事件 A , A ,⋯, A ” 中同时发生所构成的 1 2 n 事件，称为 A , A ,⋯, A 的积，记为 1 2 n
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作业 P65 2，3，4, 5, 6
22
第二节 事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
第一章
1
事件间的关系及事件的运算 事件是一个集合， 因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。 一次 这些事件有些简单， 随机试验, 有多个不同的事件发生。 有些复杂。 我们对其进行分析寻求它们之间的关系。 下面给出这些关系和运算在概率论中的提法， 并根据“事件发生”的含义给出它们在概率论中的含义。 值得注意的是概率论中的和、差、积等运算与 代数中的和、差、积的概念不同， 在学习中要把握住 运算的含义， 掌握其运算的规律。
例1: 产品有长度、直径、外观三个指标, A=“长度不合格”, B=“产品不合格”,则 A ⊂ B 例2: 掷骰子,A=“出现偶数点”,B=“点数能被2整除” 则 A=B
3
例如
抛两个分币 A ={ 正好一个上 },
B={上，上}, C={至少一个上}, D={无下}.
∴ A⊂C B ⊂C B = D
A A2 A 1 3
A A2 A3 1 3、三次中至少有一次取到次品 A ∪A ∪A 1 2 3
4、三次中恰有两次取到次品
A A2 A ∪ A A2 A3 ∪ A A2 A3 1 1 1 3
5、三次中至多有一次取到次品
A A2 A ∪ A A2 A ∪ A A A ∪A A2 A 1 3 1 2 3 1 3 1 3
B
A
的事件，称为 事件A 与事件B 互不相容(互斥 互不相容 互斥). 互斥 记为 若
S
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A∩ B = φ A∩ B ≠ φ 则称A 与 B 相容. A 相容.
（可同时发生） 注： 基本事件是两两互不相容的(互斥) 。 如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。
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5、对立事件 、 定义 事件 A、 B 满足 且 A∩ B = φ
如例1中设
A ={ 取 的 号≥ 2 } 到 球
有
B ={ 取 的 号≥ 4 } C ={取 的 号 偶 } 到 球 到 球 是 数 D ={ 取 的 号≥1} 到 球
D ⊃ A,
A⊃ B A⊃C
D = S.
二、事件的运算与关系
4
1、事件的和、并(加法) （和运算） 、事件的和、 和运算） 至少有一个 定义 若由“事件A 与事件B 至少 发生”所构成的事件称为A 与 B 的和，记为 A∪ B 或 A+ B 和