高斯定理的证明方法和应用

dB dS


S
0 Idl y x dydz dxdz 4 S r 2 r2
0 Idl r dS 4 r2
5
根据高斯公式
x y z dxdydz
V
P
Q
R
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Pdydz Qdzdx Rdxdy
S V
（2）
由（1）式可得
E
r 1 1 RdV 3 V 4 0 R r 1 1 1 3 R dV 4 0 V R 1
1 1
由于算符▽是对 r 的微分算符，与 r 1 无关，故
E
1 1 R 1 dV r 1 3 V 4 0 R 1 1 2 1 1 r d V 1 4 0 V R 1 1 r 4 R dV 1 1 4 0 V 1 1 r 1 r r 1 dV 1 0 V r1 0
1

6
定义知，该带电体在空间 r 点产生的电场强度 E 为
1 r1 E1 R dv V 4 R 3 0
分，即得

（1）
式中 r 1 为源点位矢， R r r 1 为源点到场点的位矢。将 E 对任意闭合曲面 S 求面积
E d S E dV
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
S
同理可得
dB dS

0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
2
何闭合面的磁通量必等于零。
一、 高斯定理的证明
1、高斯定理的数学证明 （1）证明静电场的高斯定理 （a）点电荷在球面中心 点电荷 q 的电场强度为
E
球面的电通量为
1 4 0

q r r3
1 4 0 q r dS r3

S
E dS q 4 0 r 2 q 4 0 r q
根据高斯公式
3
P Q R x y z dxdydz V Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
（3）
并考虑到 P 式计算。
x y z , Q 3 ，R 3 在 S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公 3 r r r
B dS 0
S
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存 在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿 过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单 独的磁极存在，N 极和 S 极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任
e E dS
S

S n
E
i 1 S n
n
i
dS
E i dS
i 1

1
0
Q
i 1
i
上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面 内的所有电荷的代数和的 0 分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面 S 称为 高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为
q 4 0 r 3
r
风向沿径向离开球心，和球面上改点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的电通量为
e E dS
S S
q r dS 4 0 r 3
0

与半径无关。
q 4 0 r 2
dS
S
q
这一结果根据电通量的定义表明, 电量为q的正点荷发出 q 0 条电场线, 由于电通 量与半径无关, 说明电场线是不间断的；若q为负点荷, 则表明有 q 0 条电场线汇集到 这个负点电荷上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的, 面外电荷不 影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
e E dS QM 0 QM N 0
S
即
e E dS
S
QM QM N 0
这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇集到负电 荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的， 这并不影响我们的结论。 因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电荷为 q1，q2…qn，则穿过这个闭合 曲面的电通量为
e E dS
S
1
0

V
dq
2、 物理上磁场的高斯定理 由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面 内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正 法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个 闭合曲面的总磁通量为 0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。 用式子表示：
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
dB dS
因为 r=xi+yi+zk，并设 dl=dlk，则 dl×r=-ydli+xdlj 代入原式得
0 Idl r 2 dS S 4 r
S
（1）
其中 S 取外侧。(1)式称为高斯公式。 1、 物理上静电场的高斯定理
在一半径 r 的球面 S 包围一位于球心的点电荷 Q，在这个球面上，场强 E 的方向处 处垂直于球面，且 E 的大小相等，都是 E
Q 4 0 r 2
。通过这个球面 S 的电通量为
e E dS E dS 4 r 2 E
S S
Q
0
从此例中可以看出，通过球面 S 的电通量只与其中的电量 Q 有关，与高斯面的半径 r 无 关。若将球面 S 变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量
1
认为 Q 0 .
若闭合面 S 内是负电荷-Q，则 E 的方向处处与面元 dS 取向相反，可计算出穿过 S
面的电通量为 Q 0 。若电荷 Q 在闭合曲面 S 之外，它的电场线就会穿入又穿出 S 面， 通过 S 面的电通量为零。 如果闭合面 S 内有若干个电荷 Q1,Q2,…Qn， 由场强叠加原理可知， 通过 S 面的电通量 为
S S1
所以，
dB dS dB dS 0
S S1
（d）电流在闭曲面内外 由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即
B dS 0
S
这正是磁场的高斯定理。 2、高斯定理的直接证明
如图所示，电荷量为 Q 的带电体中任一点处的电荷密度为 r ，则由电场强度的
q
i 1
n
i
这就是静电场的高斯定理。 （2）证明磁场的高斯定理 （a）电流元 Idl 在球面中心 由磁通量的定义和毕奥-萨法尔定律 dB 球面的磁通量为
0 Idl r0 可得电流元的磁感应强度对 4 r2
dB dS
S

因为 r∥Ds,所以
0I 4
0 Idl r dS S 4 r2
q
0
（4）
其中式（4）中 S1 和 S2 的大小相等，法向相反。 （d）点电荷系在闭曲面内外 设闭曲面内的点电荷为 q1,q2,q3…qn；闭曲面外的点电荷为 qn+1…则根据上述讨论可得
4
E dS E
S S i 1
n
i
dS
Ei dS
i 1 S
n

1
0
1 e E dS 0 S
由此，高斯定理得证。 三、高斯定理的应用
q
i 1
n
i
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理 的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高 度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意： （1）首先利用 电荷的对称分布确定电力线形状； （2）所选高斯面应平行电场线或垂直电场线； （3）当 高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强 E 的大小应处处相等，这样 E 可提出积分
一、高斯定理的表述
高斯定理是关于静电场中通过任一闭合曲面的电通量与这个曲面中所包含的电荷之 间的定量关系。 1、数学上的高斯公式 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 所围成，若函数 P，Q，R 在 V 上连续， 且有一阶连续函数偏导数，则
P Q R x y z dxdydz V Pdydz Qdzdx Rdxdy
将式（2）代入式（3）中得

S
E dS q q 4 0
1 4 0
S

q r dS r3

1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3

S
1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy r3 r3 r3
x y z 3 3 3 q r r r dxdydz 0 4 0 x y z V
高斯定理的证明方法和应用
高斯定理是电磁学的一条重要定理，这里对高斯定理作了比较详细的介绍，并提 供了数学法、直接证明法等方法证明高斯定理，以及介绍高斯定理的应用和使用高斯定 理应注意的问题，从中可以发现高斯定理在解决电场和磁场学中的方便之处。 关键字：高斯定理、高斯公式、证明、方法、应用 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定 理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场或者磁场中的场强。 虽然有时候应用高斯定理求电场或者磁场中的场强问题很方便，但是它也存在一些局限 性，所以要更好的运用高斯定理解决电场和磁场学问题，我们首先应对高斯定理有一定 的了解。
8
那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为 q 0 。 现在我们进一步设想, 电 量为q的点电荷不是位于球面内而是位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这 个闭合曲面的电通量 q 0 。 若一闭合曲面内包围N个点电荷, 其中M(M<N)个是正的,N-M个是负的。设M个正点电 荷所带的总电量为QM , 则这M个点电荷发出 QM 0 条不间断的电场线；N-M个负点电荷所 带的总量为QN-M, 则这N-M个负点电荷汇集 QN M 0 条不间断的电场线.据电通量的定义, 发出的即穿出闭合曲面为正, 汇集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭合曲面的电通 量为
2 S
S


dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为

S
E dS q q
1 4 0
S

q r dS r3
（2）

1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3





式中最后一步用到 函数的筛选性，将式（3）代入式（2）中得：
r SE dS V 0 dV
（1） 当电荷 Q 包含在闭合曲面 S 内时，则
7
r Q E d S d V S V 0 0