结构可靠度作业及答案

《结构可靠度理论与应用》

1、如图所示圆截面直杆，承受拉力P=120KN ，已知材料的强度设计值f y 的均值μfy =310MPa ，标准差为σfy =25MPa ，杆直径d 的均值μd =30mm ，标准差为σd =3mm ，在功能函数为：

（1）2(/4)Z d r F π=- ；

（2）24/Z r F d π=- ，在这两种情况下，试用中心点法求其可靠度指标和可靠度。 程序：

clear;clc;

muX=[310;30];sigmaX=[25;3]; Z=pi/4*muX(2)^2*muX(1)-120e3; Zx=[pi/4*muX(2)^2;pi/2*muX(1)*muX(2)]; betaC1=Z/norm(Zx.*sigmaX) Pr1=normcdf(betaC1)

Z=muX(1)-4/pi*120e3/muX(2)^2; Zx=[1;8*120e3/pi/muX(2)^3]; betaC2=Z/norm(Zx.*sigmaX) Pr2=normcdf(betaC2) 运行结果：

betaC1 =2.0977 Pr1 =0.9820 betaC2 =3.3259 Pr2 = 0.9996

2、粒状土承受剪切应力τ=52KPa ，其剪切面法向应力w 服从正态分布，均值为100KPa ，标准差为20KPa ，土的磨擦角φ服从正态分布，均值为35º，标准差为5º(=0.0873弧度)。 w 和φ相互独立，极限状态方程为：Z=wtan φ-τ=0，用中心点法计算β值和失效概率pf 。 程序：

clear;clc;

muX=[100;35*pi/180];sigmaX=[20;5*pi/180];

Z=muX(1)*tan(muX(2))-52;

Zx=[tan(muX(2)); muX(1)/cos(muX(2))^2]; betaC=Z/norm(Zx.*sigmaX) Pf=normcdf(-betaC) 运行结果：

betaC =0.9429 Pf =0.1729

3、某钢梁承受确定性弯矩138M kN m =⋅，抗弯截面模量

63(89010,0.05)W W W m μδ-=⨯=，服从正态分布；钢材强度f 服从对数正态分布

（262,f MPa μ=0.1f δ=），极限状态方程为Z fW M =-=0。试用中心点法和验

算点法求可靠指标β及梁的失效概率f P ，并比较其计算结果。 中心点法：

clear;clc;

muX=[262e6;8.9e-4]; cvX=[0.1;0.05]; sigmaX=cvX.*muX; Z=muX(1)* muX(2)-1.38e5; Zx=[ muX(2); muX(1)]; beta1=Z/norm(Zx.*sigmaX) Pf1=normcdf(-beta1) 结果：

beta1 =3.6509 Pf1 =1.3066e-004 验算点法：

clear;clc;

muX=[262e6;890e-6]; cvX=[0.1;0.05]; sigmaX=cvX.*muX;

sLn=sqrt(log(1+sigmaX(1)/muX(1)^2));

mLn=log(muX(1))-sLn*2/2;

muX1=muX;

sigmaX1=sigmaX;

x=muX;

normX=eps;

while abs(norm(x)-normX)/normX>1e-6

normX=norm(x);

Z=x(1)*x(2)-1.38e5;

Zx=[ x(2); x(1)];

cdfX=logncdf(x(1),mLn,sLn);

pdfX=lognpdf(x(1),mLn,sLn);

nc=norminv(cdfX);

sigmaX1(1)=normpdf(nc)/pdfX;

muX1(1)=x(1)-nc*sigmaX1(1);

Zs=Zx.*sigmaX;

aX=-Zs/norm(Zs);

beta=(Z+Zx'*(muX1-x))/norm(Zs)

x=muX1+beta*sigmaX1.*aX;

end

beta2=beta

Pf2=normcdf(-beta2)

结果：

Beta2 =3.9421

Pf2 =4.0391e-005

验算点法得到的可靠度指标大一些，验算点法考虑了随机变量的分布，使用验算点法得到的结果更加准确。

4、已知某钢筋混凝土受压短柱的极限状态方程为(,,)0

==--=，

Z g R G Q R G Q

抗力R 服从对数正态分布0.17R δ=；恒载(G G N μ-53, 3.71)G kN kN σ==，服从正态分布；活载Q 服从极值I 型分布，70,Q kN μ=20.31Q kN σ=。试用JC 法求当目标可靠指标[β]=3.7时，构件截面的抗力平均值R μ=？ 程序：

clear;clc; deltaR=0.17;

muG=53;sigmaG=3.71; muQ=70;sigmaQ=20.31; beta=3.7;

sigmaLnR=sqrt(log(1+deltaR^2)); aEv=sqrt(6)*sigmaQ/pi; uEv=-psi(1)*aEv-muQ; S0=[muG, muQ]; R0=muG+muQ; R1=0;cosR=0; while abs(R1-R0)>1e-6

R1=R0;

cdfQ=1-evcdf(-S0(2),uEv,aEv); pdfQ=evpdf(-S0(2),uEv,aEv);

sigmaQ1=normpdf(norminv(cdfQ))/pdfQ; muQ1=S0(2)-norminv(cdfQ)*sigmaQ1; muS=[muG,muQ1]; sigmaS=[sigmaG,sigmaQ1]; sigmaR1=sigmaLnR*R0;

cosS=-([-1, -1].* sigmaS)./norm([1,-1,-1].*[sigmaR1, sigmaS]); cosR=-1*sigmaR1/norm([1,-1,-1].*[sigmaR1,sigmaS]); S0=muS+cosS.*sigmaS*beta; R0=S0(1)+S0(2); end