平面几何练习题
小学一年级数的平面几何练习题
小学一年级数的平面几何练习题小学一年级数学平面几何练习题一、判断下列图形的形状，并填上正确的形状名称。
1. □2. ○3. △4. ▢二、给出下列图形中的正方形，用粉色标出它们。
1.□ ▢ ○▢△ □○ ▢ ○2.○ ▢▢□ ○ △△▢ ○三、给出下列图形中的长方形，用黄色标出它们。
1.△▢△△▢△□ □ □2.○ △ ○□ ▢ □□ □ □四、数一数下面的图形，然后回答问题。
1. □△□△△□□□□有几个正方形？______2. □▢□▢□▢□□□▢□□□□□▢□□□▢□▢□▢□有几个长方形？______五、根据题意，在图形左旁（右旁、上旁、下旁）填上正确的数学符号。
1. □□□□□▢▢□□□▢□□□□□+ ➕= ➖2. △△△□+ ✖️= ➗六、根据题意，填上正确的图形。
1. 填上一个与下面的图形相同的图形。
○ ○△△2. 填上一个与下面的图形不同的图形。
○ □▢ ○七、给下列图形填上恰当的图形名称。
1. △△□□□△△□□这个图形的名称是______________。
2. □▢□▢□▢□□□▢□□□□□▢□□□▢□▢□▢□这个图形的名称是______________。
八、填入满足题意的数字。
1. □ + □ = 42. □ + ▢ = 83. □ + ▢ + ▢ = 104. □ × □ = 65. ▢ ×▢ = 9九、填入满足条件的图形名称。
1. □ + □ = 长方形2. □ × ▢ = 正方形3. □ + □ + □ = 圆形十、将下面的数字填入对应的图形中。
1. 正方形：1 2 3长方形：4 5 62. 圆形：7 8 9三角形：10 11 12十一、观察下面的图形，填入恰当的图形名称。
1. ▢□□□△□□□□这个图形的名称是____________。
2. △□△□□□△□△这个图形的名称是____________。
十二、根据下面题意，在空格中填入图形组成的公式。
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
五年级下册数学《平面几何》练习题大全
一、选择题
1. 以下哪个选项是平行四边形的一个性质？
A. 两组对边分别相等
B. 四条边都相等
C. 对角线互相平分
D. 有一个角是直角
2. 如果一个四边形的对边平行且相等，那么它一定是？
A. 矩形
B. 菱形
C. 平行四边形
D. 梯形
3. 在三角形中，若一个角的度数是90度，那么这个三角形是？
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
二、填空题
1. 矩形是一种特殊的平行四边形，它的特点是_____。
2. 在三角形中，如果一个角的度数大于90度，那么这个角被
称为_____角。
3. 若一个四边形的对边相等且平行，则这个四边形是_____。
三、解答题
1. 画出一个任意三角形，并标出它的三个内角。
2. 已知一个平行四边形的对边相等，证明它是矩形。
3. 若已知三角形ABC中，AB=AC，求证∠BAC=60度。
四、应用题
1. 小明的书桌是一个矩形，已知矩形的长是80cm，宽是40cm，求书桌的面积。
2. 小红有一个平行四边形的框架，已知对边相等，其中一个角是直角，求这个平行四边形的面积。
3. 如图，三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证AD是∠BAC的角平分线。
请注意，以上题目只是示例，并不是完整的练习题大全。
您可以根据需要继续添加或修改题目。
平面几何的投影与相似练习题
平面几何的投影与相似练习题在平面几何学中，投影和相似是两个重要的概念。
投影是指通过垂直于平面的直线将一个图形映射到另一个平面上的过程。
相似是指具有相同形状但不一定相同大小的图形。
本练习将帮助加深对平面几何中投影和相似的理解，并提供一些练习题供读者巩固知识。
练习题一：已知平面内一直线段AB，并且知道AB的垂直平分线与AB的交点C，求BC的投影。
解答：1. 连接AC，AC是垂直平分线，所以AC垂直于AB。
2. 在AC上取一点D，使得BD平行于AC。
3. 连接BD，BD即为BC的投影。
练习题二：已知平面内一线段AB，并且知道直线l垂直于AB的投影为线段DE，求直线l的斜率。
解答：1. 由题意可知，直线l在平面上的投影DE是垂直于AB的。
2. 连接AD和BE，并延长AD和BE使其相交于点F。
3. 由直角三角形AFC和BFC可知，两个三角形中的角ADC和BEC为直角。
4. 由于投影DE和直线l垂直，所以角DEF是直角。
5. 由于∠DEF是直角，所以线段BE的斜率即为直线l的斜率。
练习题三：已知平面内一个三角形ABC，B为直角顶点，并且知道三角形ABC与直线l的投影分别为线段DE和线段FG。
若DE=4cm，FG=6cm，则DE与FG的比为多少？解答：1. 由题意可知，直线l垂直于直角三角形ABC的一条边。
2. 连接AD和BE，并延长AD和BE使其交于点H。
3. 由直角三角形AHD和BHE可知，两个三角形中的角HAD和HBE为直角。
4. 由于直线l垂直于直角三角形ABC，所以角DHF和EFG为直角。
5. 由于∠DHF和∠EFG为直角，所以直角三角形DHF和直角三角形EFG相似。
6. 由于直角三角形DHF和直角三角形EFG相似，所以DE与FG的比为DH与HF的比。
7. 根据直角三角形比的性质，DH与HF的比可以通过DE与FG的长度比来计算，即4cm/6cm=2/3。
通过以上练习题，我们可以加深对平面几何中投影和相似的理解。
高三数学平面几何练习题及答案
高三数学平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知直线l与x轴的交点为A(2, 0)，与y轴的交点为B(0, -3)。
则直线l的斜率是：A. 3B. -3C. 1/3D. -1/3答案: B. -32. 已知平面上两点P(2, 4)、Q(5, 7)，则向量PQ的坐标表示为：A. (3, 3)B. (2, 3)C. (5, 7)D. (7, 11)答案: A. (3, 3)3. 已知点A(-3, 4)、B(1, -2)，则直线AB的斜率为：A. 2B. -2C. 3/2D. -3/2答案: D. -3/24. 在直角坐标系中，点P(3, 4)关于y轴的对称点为：A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (4, 3)D. (-4, 3)答案: B. (-3, 4)5. 直线y = 2x + 3与直线y = -x + 1的交点坐标为：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (-1, 2)D. (2, -1)答案: C. (-1, 2)二、填空题1. 已知向量AB = (-3, 2)，向量BC = (-1, 4)，则向量AC = ______。
答案: (-4, 6)2. 已知点A(2, 3)、B(5, 7)，则直线AB的斜率为______。
答案: 4/33. 已知线段的中点坐标为M(3, -2)，其中一端点为N(5, 1)，则另一端点坐标为______。
答案: (1, -5)4. 平面上一点P(x, y)，与坐标轴的距离之和为7，且x > 0，y > 0。
则点P可能的坐标是______。
答案: (4, 3)5. 直线y = 3x + 2与y轴交点的坐标为(0, b)，则b = ______。
答案: 2三、解答题1. 已知四边形ABCD，其中AB为水平线段，CD为垂直线段。
已知AB的中点坐标为M(2, 3)，CD的中点坐标为N(5, 4)。
求四边形ABCD的中心点坐标。
解答:四边形的中心点坐标为两个中点的坐标的平均值。
平面几何重要定理练习试题
平面几何重要定理练习题（高一数学417）1、设ABC ∆的外接圆的任意直径为PQ ，则关于Q P 、的西姆松线是互相垂直的。
2、右图，已知在ABC ∆中，AB>AC ，A ∠的一个外角的平分线交ABC ∆的外接圆于点E ，过E 作AB EF ⊥，垂足为F ，求证：2AF=AB-AC3、设M 、N 是ABC ∆內部的两个点，且满足∠MAB=∠NAC ，∠MBA=∠NBC 。
证明：1=∙∙+∙∙+∙∙CBCA CNCM BC BA BN BM AC AB AN AM （第39届IMO 预选题）4、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。
在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。
求证：∠GAC =∠EAC 。
（1999年全国高中联赛试题）5、ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。
AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H 。
连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。
求证：DL =BM .6、在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。
求证：EF 平分∠CFD 。
7、如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T .求证：R ，T ，S 三点共线。
答案：Q P 、向BC 作垂线并延长交外接圆于','Q P ，BC PP ⊥'于D ， 过P 作AB PE ⊥于E ，连接',',,AQ AP DE PB 因为AB PE BC PD ⊥⊥,，所以E B D P ,,,共圆，且DE 为ABC ∆关于P 的西姆松线，所以PBE PDE ∠=∠， 又因为B P P A ,,',共圆，有oPBA P AP 180'=∠+∠， 所以o PDE P AP 180'=∠+∠，即DE AP //'，同理'AQ 与ABC ∆关于Q 的西姆松线平行。
四年级数学平面几何练习题
四年级数学平面几何练习题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下面哪个图形是一个矩形？A. △ABCB. ◊ABCDC. □ABCDD. ⊙O2. 下面哪个图形没有直角？A. △ABCB. ◊ABCDC. □ABCDD. ⊙O3. 以下哪个图形没有对称轴？A. △ABCB. ◊ABCDC. □ABCDD. ⊙O4. 以下哪个图形是一个正方形？A. △ABCB. ◊ABCDC. □ABCDD. ⊙O二、填空题（每题5分，共15分）1. 一个矩形有______条对角线。
2. 一个正方形有______条对角线。
3. 一个三角形有______条对角线。
4. 一个四边形有______条对角线。
三、解答题（每题10分，共25分）1. 画出一个直角三角形，标出直角和边长。
2. 画出一个等边三角形，标出边长。
3. 画出一个有两个对边平行的四边形，标出平行的边。
四、应用题（每题15分，共40分）1. 小明用木棍拼成了一个长方形，其中一条边长为6厘米，另一条边长为8厘米。
他还有一根长为12厘米的木棍，他能否用这根木棍拼成一个正方形？为什么？2. 以正方形、长方形和三角形为例，分别举出一个具体生活中的例子。
五、剪纸（每题15分，共20分）根据给出的剪纸图案，使用剪纸技巧将其剪下。
（剪纸题请参考实际剪纸图案或题目要求自行设计）分数统计：一、选择题：20分二、填空题：15分三、解答题：25分四、应用题：40分五、剪纸：20分总分：120分注意事项：1. 答题时，请使用铅笔或钢笔书写，确保书写清晰。
2. 在填空题和解答题上，请给出详细解答或步骤。
3. 对于剪纸题，请按照要求将图案剪下，并将剪纸图案粘贴在答题纸上。
4. 答题时间为60分钟，请合理安排时间，不要拖延。
祝你顺利完成练习题！。
平面几何练习题
平面几何练习题题一：求三角形边长和周长已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为C°，求第三边c的长度和三角形的周长P。
解：根据余弦定理可知，余弦公式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。
根据上述公式，可以计算得到c的长度。
根据三角形的定义可知，三角形的周长P等于三边之和，即P = a + b + c。
题二：求三角形的面积已知一个三角形的底边长为b，高为h，求三角形的面积S。
解：根据三角形的面积公式可知，S = 0.5 * b * h。
题三：判断点是否在三角形内部已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），以及一个待判断的点D（x，y），判断点D是否在三角形ABC的内部。
解：利用行列式的性质可以判断点D是否在三角形ABC内部。
设点D的坐标为(x,y)，则点D在三角形ABC内部的条件为：|(x₁ - x) (y₁ - y) 1||(x₂ - x) (y₂ - y) 1| > 0|(x₃ - x) (y₃ - y) 1|如果等式左侧的行列式结果大于0，则点D在三角形ABC内部；如果等式左侧的行列式结果小于0，则点D在三角形ABC的外部；如果等式左侧的行列式结果等于0，则点D在三角形ABC所在的边界上。
题四：求矩形的面积和周长已知一个矩形的长为L，宽为W，求矩形的面积S和周长P。
解：矩形的面积公式为S = L * W，周长公式为P = 2 * (L + W)。
题五：求圆的面积和周长已知一个圆的半径为r，求圆的面积S和周长C（circumference）。
解：圆的面积公式为S = π * r²，其中π取近似值3.14159；圆的周长公式为C = 2 * π * r。
题六：判断点是否在圆内部已知一个圆的圆心坐标为O（x₀，y₀），半径为r，以及一个待判断的点P（x,y），判断点P是否在圆O内部或者在圆的边界上。
初中数学-平面几何练习题
初中数学-平面几何练习题
以下是一些初中数学平面几何的练题，供同学们进行练和巩固知识。
1.### 题目：计算三角形面积
已知三角形ABC的底边AC的长度为12cm，高BD的长度为8cm。
请计算三角形ABC的面积。
2.### 题目：判断平行线
已知直线AB // 直线CD，直线EF // 直线CD。
请判断直线AB 是否和直线EF平行。
3.### 题目：求直角三角形斜边长度
已知直角三角形ABC中，直角边AB的长度为8cm，直角边AC的长度为6cm。
请计算斜边BC的长度。
4.### 题目：计算矩形周长和面积
已知矩形ABCD的长为10cm，宽为6cm。
请计算矩形ABCD
的周长和面积。
5.### 题目：判断正方形
已知四边形ABCD是一个正方形，且边长为3cm。
请判断四边形EFGH是否为正方形。
6.### 题目：计算梯形面积
已知梯形ABCD的底边AB长度为8cm，顶边CD长度为6cm，高EF长度为4cm。
请计算梯形ABCD的面积。
以上是初中数学平面几何的一些练习题，希望能帮助同学们巩
固知识，提高解题能力。
平面几何练习题及解答
平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。
而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。
因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。
由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。
2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。
已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。
二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。
解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。
解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题(含答案)
2024年数学九年级上册平面几何基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 在平面几何中，下列哪个图形既是轴对称图形又是中心对称图形？（）A. 矩形B. 等腰三角形C. 梯形D. 正五边形2. 下列各角中，哪个角是补角？（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)4. 下列哪个条件能判定两个三角形全等？（）A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两边和其中一边的对角相等5. 若平行线l1和l2之间的距离为5cm，直线l3与l1、l2均相交，且l3与l1、l2的夹角均为45°，则l3与l1、l2之间的距离为（）A. 5cmB. 5√2 cmC. 2.5cmD. 2.5√2 cm6. 下列哪个图形是正多边形？（）A. 边长为1，内角为108°的多边形B. 边长为1，内角为120°的多边形C. 边长为1，内角为135°的多边形D. 边长为1，内角为140°的多边形7. 在直角三角形中，若一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 下列哪个比例式成立？（）A. a² : b² = (a+b)² : (ab)²B. a² : b² = (a+b) : (ab)C. a : b = (a+b)² : (ab)²D. a : b = (a+b) : (ab)9. 若等腰三角形的底边长为8cm，腰长为5cm，则该三角形的面积为（）A. 20cm²B. 40cm²C. 30cm²D. 24cm²10. 在平面几何中，下列哪个说法是正确的？（）A. 对角线互相垂直的四边形一定是矩形B. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C. 对角线相等的四边形一定是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形二、判断题：1. 平行线的性质是：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
初二平面几何基础练习题
初二平面几何基础练习题1. 问题描述：在平面上给定一个等边三角形ABC，边长为10cm。
求三角形ABC的高和面积。
解答：设三角形ABC的高为h，由于ABC是等边三角形，所以三角形ABC也是等腰三角形。
连接AB的中点M与C，可得到三角形AMC。
由于AM与CM分别垂直于BC和AB，所以AM和CM就是三角形ABC的高。
根据勾股定理，三角形AMC的斜边AC等于三角形ABC的边长，即AC = 10cm。
由于三角形AMC是直角三角形，所以AM和CM相等，记为AM = CM = h。
根据勾股定理，有AC² = AM² + CM²，即10² = h²+ h² = 2h²。
解方程2h² = 100，可以得到h = √50 ≈ 7.07 cm。
三角形ABC的面积S可以通过底乘高的公式计算，即S = 0.5 × 10× h = 0.5 × 10 × 7.07 ≈ 35.35 cm²。
所以，三角形ABC的高为7.07 cm，面积为35.35 cm²。
2. 问题描述：在平面上给定一个矩形ABCD，已知AB = 12cm，BC = 8cm。
求矩形ABCD的对角线长度和周长。
解答：设矩形ABCD的对角线长度为d。
根据勾股定理，可以得到d² = AB² + BC² = 12² + 8² = 144 + 64 = 208。
解方程d² = 208，可以得到d = √208 ≈ 14.42 cm。
矩形ABCD的周长可以通过将四条边的长度相加得到，即周长 =AB + BC + CD + DA = 12 + 8 + 12 + 8 = 40 cm。
所以，矩形ABCD的对角线长度约为14.42 cm，周长为40 cm。
3. 问题描述：在平面上给定一个圆O，半径为6cm。
平面几何图形面积练习题
平面几何图形面积练习题在平面几何中，图形的面积是一个常见的概念。
计算图形的面积既可以是实际生活中的问题，也可以是学习数学的一个重要知识点。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对平面几何图形面积计算的理解和应用。
题目一：矩形的面积计算计算下列矩形的面积：1. 长为10厘米，宽为5厘米的矩形的面积是多少？2. 如果一个矩形的长是3倍于宽，且宽为4米，那么它的面积是多少？解答：1. 矩形的面积可以通过长乘以宽来计算。
所以，长为10厘米，宽为5厘米的矩形的面积是10厘米 × 5厘米 = 50平方厘米。
2. 根据题目中的条件，该矩形的长为3 × 4米 = 12米。
因此，它的面积为12米 × 4米 = 48平方米。
题目二：三角形的面积计算计算下列三角形的面积：1. 底边长为10厘米，高为6厘米的三角形的面积是多少？2. 边长分别为5厘米、12厘米和13厘米的三角形的面积是多少？解答：1. 三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算。
所以，底边长为10厘米，高为6厘米的三角形的面积是（10厘米 × 6厘米）/ 2 = 30平方厘米。
2. 根据海伦公式，我们可以通过三角形的边长来计算其面积。
设三角形的三边长分别为a、b、c，它们的半周长为s，那么三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))，其中，s = (a + b + c) / 2。
根据题目中给出的边长，可以计算得到s = (5厘米 + 12厘米 + 13厘米) / 2 = 15厘米。
代入公式计算得到面积= √(15厘米 × (15厘米 - 5厘米) × (15厘米 - 12厘米) × (15厘米 - 13厘米)) = 30平方厘米。
题目三：圆的面积计算计算下列圆的面积：1. 半径为5厘米的圆的面积是多少？2. 直径为8厘米的圆的面积是多少？解答：1. 圆的面积可以通过半径的平方乘以π（即3.14159...）来计算。
平面解析几何练习题
平面解析几何练习题平面解析几何练习题平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、圆等几何对象的性质和相互关系。
通过解析几何的学习，我们可以更好地理解和应用几何知识，解决实际问题。
在这篇文章中，我将为大家提供一些平面解析几何的练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
题目一：已知直线L1的方程为y = 2x + 1，直线L2经过点A(1, 3)且与L1垂直，求直线L2的方程。
解析：首先，我们知道两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
由于L1的斜率为2，所以L2的斜率为-1/2。
又知道L2经过点A(1, 3)，代入斜率截距公式y - y1 = k(x - x1)，即可得到直线L2的方程为y - 3 = -1/2(x - 1)。
题目二：已知直线L1的方程为2x + 3y = 6，点A(1, 2)在直线L1上，求直线L2经过点A且平行于L1的方程。
解析：由于L2与L1平行，所以它们的斜率相等。
我们可以通过将L1的方程化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将L1的方程化简，得到y = -2/3x + 2。
由此可知L1的斜率为-2/3，所以直线L2的斜率也为-2/3。
又知道L2经过点A(1, 2)，代入斜截式方程即可得到直线L2的方程为y -2 = -2/3(x - 1)。
题目三：已知圆C的圆心为O(2, 3)，半径为5，点A(6, 3)在圆C上，求点A关于圆C的对称点的坐标。
解析：对于圆C上的任意一点P(x, y)，如果点P关于圆C的对称点为P'，那么OP与OP'的中点一定在圆C的直径上。
所以，我们可以先求出点A与圆心O的中点M的坐标，然后利用中点公式求出点A'的坐标。
点M的坐标为((6+2)/2, (3+3)/2)，即(4, 3)。
利用中点公式，我们可以得到点A'的坐标为(2 × 4 - 6, 2 × 3 - 3)，即(-2, 3)。
平面几何练习题及答案
平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，BC=4cm，求AC的长度。
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. √7cm2. 在矩形PQRS中，若PS=6cm，QR=8cm，求对角线PR的长度。
A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. √(6²+8²)cm3. 圆O的半径为5cm，点A在圆上，点B在圆外，且OA=5cm，OB=10cm，求AB的长度。
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. √(10²-5²)cm二、填空题4. 已知等腰三角形的底边长为6cm，两腰长为5cm，求其面积。
答案：____cm²5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其外接圆的半径。
答案：____cm6. 已知正六边形的边长为a，求其内切圆的半径。
答案：____三、计算题7. 在三角形DEF中，DE=7cm，DF=8cm，EF=9cm，求三角形DEF的面积。
8. 已知圆的半径为r，圆心为O，点A在圆上，点B在圆外，OA=r，OB=2r，求AB的长度。
9. 已知矩形LMNP的长为10cm，宽为6cm，求其内切圆的半径。
四、证明题10. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
11. 证明：如果一个三角形的两边和其中一边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形。
12. 证明：在等边三角形中，每个内角都是60°。
五、解答题13. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
14. 已知矩形ABCD的长为a，宽为b，求对角线AC的长度。
15. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形ABC的面积。
答案：1. D2. D3. D4. 12cm²5. 2.5cm6. a/√37. 27cm²8. 5r9. 2cm10. 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明。
平面解析几何-多选题练习
9.(2024·石家庄调研)已知双曲线 C：x42－y52＝1，F1，F2 为 C 的左、右焦点，则( BC )
A.双曲线4＋x2m－5＋y2m＝1(m＞0)和 C 的离心率相等
B.若 P 为 C 上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2 的周长为 6＋2 14
C.若
C
上存在四个点
P
使得
PF1⊥PF2，则
C
的离心率的取值范围是0，
2 2
D.若|PF1|≤2b 恒成立，则 C 的离心率的取值范围为0，53
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 对于 A，设 P(x0，y0)，则xa202＋by202＝1， ∵e＝ac＝12，∴a＝2c，∴a2＝34b2， ∴∴43kxbP20A21＋·kbyPA202＝2＝1y，0x－∴0 b3·yx020x＋＋0 b4＝y20＝y20－x420bb22，＝b2－34xx2020－b2＝－34，故 A 错误； 对于 B，若 PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， ∴|PF1|·|PF2|＝2b2，则△PF1F2 的面积为12·|PF1|·|PF2|＝b2，故 B 正确； 对于 C，若 C 上存在四个点 P 使得 PF1⊥PF2，
则a2≥2b2，所以选项AC满足.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知 F1，F2 分别是双曲线 C：y2－x2＝1 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线
上一点，且以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，则( ACD )
A.双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x B.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1 C.点 P 的横坐标为±1 D.△PF1F2 的面积为 2 解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知|F1F2|＝2 2， 所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 设点P(x0，y0)，因为点P是双曲线C的一条渐近线上一点，
高中数学平面解析几何练习题(含解析)
高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。
平面解析几何练习题
平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。
解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。
将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。
解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。
将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。
2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。
解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。
然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。
将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。
通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。
二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。
解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。
因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。
接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。
切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。
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平面几何选讲练习题１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，连接DC .求证：BA ·DC =GC ·AD .3． 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE=31AC ，BD=31AB ，点F 在BC 上，且CF=31BC 。
求证： （1）EF ⊥BC ；（2）∠ADE=∠EBC 。
FABC４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .（1）求FCBF的值；（2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC.６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点．求证:∠MCP=∠MPB ．7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径.8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB =DF ·DA .9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P.（Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2；（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K.证明：∠OKM=90°A BCE D11．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.12．已知 ∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。
（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2） 若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为，求∆ABC 外接圆的面积。
13．如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交 于H ，060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。
（I ）证明：B,D,H,E 四点共圆： （II ）证明：CE 平分DEF ∠。
14．已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC,过点D 作AC 的平行线DE,交BA的延长线于点E ．求证：（1）△ABC ≌△DCB （2）DE·DC ＝AE·BD ．15．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP ＝( )．16．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的( )A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切17．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边 形BFED 的面积等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．518．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为 ( )A ．20B ．30C ．40D ．35125．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.19．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径长为________．20．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.平面几何选讲练习题答案１．（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。
∴AD ∥EC （4分） （2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①∵AD ∥EC ，∴269=+⇒=y x PC AP PE DP ②， 由①②可得，⎩⎨⎧==43y x 或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2=DB ∙DE=9×16， ∴AD=12。
（6分）2．证法一：∵ AC OB ^ ，∴ 90AGB ?， 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ 90DCA ?，又 ∵ BAGADC ??（弦切角等于同弧对圆周角）………4分∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA …………………………………5分∴ BAAGAD DC = ， 又∵ OG AC ^∴ GC AG =…………………………7分 ∴ BAGCADDC=…………………………………………………9分 即 BA •DC=G C •AD ………………………………………10分 证法二：∵ BA 与⊙Ｏ相切于A ∴ 90BAO?又 AG BO ^于G ， ∴ ABGGOA ??∴ Rt △BGA ∽Rt △AGO …………………………3分 ∵BA AOAG OG=………………………………………①…5分 ∵ OG AC G ^弦于 ，∴ G 为AC 的中点 又 ∵ O 为直径AD 的中点，FABC∴ 12AO AD = ，12OG DC =………………………7分 ∴ 1212ADBA ADAG DCDC ==∴ BA •DC=G C •A D ……………………………10分3． 证明：设AB=AC=3a ，则AE=BD=a ，CF=.2a （1）.3232,32232====a a CA CF a a CB CE 又∠C 公共，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°，∴EF ⊥BC …………4分 （2）由（1）得.22222,222,2=====aa BF AD a a EF AE a EF 故.BFADEF AE =∴…………6分∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE ∽△FBE ， …………8分 ∴∠ADE=∠EBC 。
…………10分 ４．证明：（1）过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点， -------------------------2分∵E 是BD 的中点，∴BE=DE ，又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG ，∴BF ：FC=DG ：FC ， 又∵D 是AC 的中点，则DG ：FC=1：2，则BF ：FC=1：2；----------------------------------------------4分（2）若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由（1）知BF ：BC=1：3，又由BE ：BD=1：2可知1h ：2h =1：2，其中1h 、2h 分别为△BEF 和△BDC 的高，则612131=⨯=∆∆BDC BEF S S 则21:S S =1：5． -----------------------8分５． AC 为圆O 的切线,∴EAC B ∠=∠又知,DC 是ACB ∠的平分线,∴DCB ACD ∠=∠ ∴ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠ 即 A F D A D F ∠=∠ 又因为BE 为圆O 的直径, ∴︒=∠90DAE ∴︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF （2） EAC B ∠=∠,ACB ACB ∠=∠,∴ACE ∆∽ABC ∆∴ABAEBC AC =又 AB=AC, ∴︒=∠=∠30ACB B , ∴在RT ⊿ABE 中,3330tan tan =︒=∠==B AB AE BC AC ……10分 ６．证明：∵PA 与圆相切于A ，∴2MA MB MC =⋅， ………………2分∵M 为PA 中点，∴PM MA =， ………………3分∴2PM MB MC =⋅，∴PM MBMC PM=． ………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分7．证明：AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线，90=∠∴BAC ，BN BM AB ⋅=2.233,2,42,2,2==∴=∴=∴===BM BC BM BM AB NC MN BM …4分222BC AC AB =+∴，1842=+AC ，14=AC .1472,14222,=∴⋅==⋅∴⋅=⋅CD CD CA CD CM CN ∴⊙O 的半径为14145)(21=-CD CA ………………………………………8分8．解：（I ）连结OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC =∠F AC ，∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD .………………3分 ∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.…………5分 （Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中， CM ⊥AB ，∴CM 2=AM ·MB .又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA . 易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF19．（Ⅰ）证明：连结OP ，OM .因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP . 因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .于是∠OP A ＋∠OMA =180°，由圆心O 在PAC ∠可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆…6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM =∠OPM. 由（Ⅰ）得OP ⊥AP .由圆心O 在PAC ∠的内部，可知∠OPM ＋∠APM =90°. 所以∠OAM ＋∠APM =90°. ……10分 10．（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，.2OP OM OA ⋅=（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同（Ⅰ），有OB 2=ON ·OK ，又OB=OA ， 所以OP ·OM=ON ·OK ，即.OKOMOP ON = 又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°11．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB 。