安徽江南十校13届联考 理科数学 试题 含答案

2013年安徽省“江南十校”髙三联考
数学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题50分）和第II 卷（非选择题100分）两部分.全卷满分150 分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答通前，务必在试趙卷、答題卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.选择超每小趙选出答案后，用2B 铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。

3.非选择超必须用O.5毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答，要求字体工整、笔迹清 晰。

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答，超出答规区城书写的答案无效，在试M 卷、草稿纸上答趙无效。

参考公式：
如果事件A 与B 互斥，那么P(A +B) = P(A)+P(B); 如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B);
第I 卷（选择题共50分）
一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
(1) 若a+ bi=
i
215
+ (i 是虚数单位，a ，b ∈R),则ab= (A) -2 (B) -i (C) i (D) 2
(2) 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如右图.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为
(A) 8
(B) 5
(C) 4
(D) 2
(3)已知正项等差数列{a n }满足：)2(2
11≥=+-+n a a a n n n 等比数列{b n }满足：)2(211≥=-+n b b b n n n ， 则log 2(a 2+b 2)=
(A) -1或 2
(B) 0或 2
(C) 2 (D) 1
(4) 己知正四棱柱ABCd-A 1B 1C 1D 1底面是边长为1的正方形，
若平开始 面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A 1的距离为1,
则异面直线AA 1
, BC 1所成的角为
(A)
6
π
(B)
4
π
(C)
3
π
(D)
12
5π (5) 右图是寻找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0表示自然 数S 被10除所得的余数，“S \ 10”表示自然数S 被10除所 得的商.
则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为
(A) 18
(B) 16
(C) 14
(D) 12
(6) 定义在R 上的函数f(x)、g(x)满足：对任意的实数X 都有
f (x )=f (|x |)， g(-x)-g(x)=0.当:C>0时，0)(>'x f ，0)(>'x
g 则当x<0
时，有
(A) 0)(,0)(<'<'x g x f
(B) 0)(,0)(<'>'x g x f
(C) 0)(,0)(>'>'x g x f (D) 0)(,0)(>'<'x g x f
(7) 已知直线/过抛物线y 2
=4x 的焦点F,交抛物线于
A 、
B 两点，
且点A 、B 到
y 轴
的距离分别为m,n 则m+ n+ 2的最小值为
(A)24 (B) 26 (C) 4 (D) 6
(8) 若9
92
2109
)
1(...)1()1()2(+++++++=++x a x a x a a m x ，且
(a 1+a 3+...+a 9)2-(a 0+a 2+...+a 8=39,则实数m 的值为
(A) 1或-3
(B) -1或3
(C) 1 (D) -3
(9) 如图，ΔABC 中，A ∠ = 600
, A ∠的平分线交BC 于D,若AB
= 4,且
)则AD 的长为
(A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25
(10) 已知函数，
，
，若
,且当
时，
恒成立，则的最大值为
(A) 2
(B) 3
(C) 4 (D) 5
2013年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）
第II 卷（非选择題 共100分）
二、填空题
(11) 在极坐标系中，直线01sin cos =+-θρθρ与圆
θρsin 2=的位置关系是______
(12) 设动点P(x,y)在区域Ω:
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥40y x x
y x 上（含边界)，过点P 任作直线l,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段Ab ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为______.
(13)
一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边
形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_______.
(14) 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，
即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列
中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1〜101 这101个自然数的排列:1，
3，5，7，…,99 ,101 ,100 ,98，…,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______. (15) 已知Δ的内角
A 、B,
C 成等差数列，且A,B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 则下列命题中正确的有______(把所有正确的命题序号都填上).
①B=
3
π
②若a,b 、c 成等比数列，则ΔABC 为等边三角形； ③若a= 2c,则ΔABC 为锐角三角形；
④若CB CA BC BA AC AB AB (2)
++=，则3A = C; ⑤若tanA tanC + 3>0,则ΔABC 为钝角三角形；
三、解答题：本大颶共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分12分）将函数:y= sin:C 的图像向右平移3
π
个单位，再将所得的图像上
各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数/(X)的图像，若
3cos )()(+=x x f x g
(I)将函数g(x)化成. B x A ++)sin(ϕω（其中]2
,2[,0,π
πϕω-
∈>A ）的形式； (II)若函数g (x )在区间上的最大值为2,试求θ0的最小值.
(17) (本小題满分12分）某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了m位校友(m>8且
*N n ∈),其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机
从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合
(I )若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于
2
1
，求n 的最大值； (II)当n =12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和ξE
(18) (本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABFE 五沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、
B C 、
AC 得(图2)所示六面体.
(I )求证：E G 丄平面CFG;
(II)求二面角A —CD-E 的余弦值.
(19) (本小超满分13分）已知函数x x
ax x f ln 32
)(--
=，其中a 为常数. (I )当函数f(x)图象在点))3
2(,32
(f 处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在]3,2
3[上的最小值；
(II)若函数f(x)在区间(0，∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围； (III)在（I)的条件下，过点P (1，-4)作函数F(x)=x 2[f(x)+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程.
(20) (本小《满分13分）己知数列{a n }满足：a 1=1,且
成等差数列.
又正项数列{b n }满足b 1=e ,且是b n 与b n +1的等比中项.
(1)求证：{2n-1a n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项 (II)求证：都有
.
(21)
(本小题满分13分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与双曲线
)30(132
2222<<=-+m n
y m x 有公共的焦点，过椭圆E的右顶点及任意作直线l,设直线l 交抛物线:y 2
=2x 于 M 、N 两点,且OM 丄ON.
(I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆E 的方程；
(II)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点0的对称点为A、关于x 轴的对 称点为Q ,线段PQ 与x 轴相交于点C,点D 为CQ 的中点，若直线AD 与椭圆E 的另一个交点为B ,试判断直线PA、PB 是否相互垂直？并证明你的结论.
2013年安徽省“江南十校”高三联考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（1）A ． （2）D ． （3）C ． （4）B. （5）D ． （6）A ． （7）C ． （8）A ． （9）B. （10）D ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）相交． （12）π4． （13）π34
． （14）2500． （15）①②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可得)3
sin(4)(π
-=x x f (2)
分
3cos )3
sin(4)(+-=∴x x x g π
……………………………………………………3分
3
)cos 3cos (sin 2 3
cos )cos 2
3sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x )3
2sin(2 π
-=x ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）方法1：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈0,12θπx Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分
要使函数)(x g 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-，
解得12
50π
θ≥
………………………………………………………………………11分 故0θ的最小值为12
5π
(12)
分
方法2：设2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ，解得)(12
512
Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π 得函数)(x g 的增区间为)](12
5,12
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]12
5,12[π
π-，此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分 由题可得0θ的最小值为12
5π
…………………………………………………………12分
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)
1()6(122
16
16--==-n n n C C C n n ………3分
则
2
1
)1()6(12≥--n n n (4)
分
化简得0144252
≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16 …………… 6分 （Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2 …………………………………………7分
则,2250(21226===C C P ）ξ,116
)1(2121616===C C C P ξ22
5)2(21226=
==C C P ξ
分
∴122
5211612250=⨯+⨯+⨯
=ξE …………………………………………………12分 （18）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）F 、E Θ分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE
∴四边形ABFE 为矩形
∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面
连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE Θ由已知得
GC EG ⊥
⊥∴EG 平面CFG …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥Θ
⊥∴FC 平面ABFE
BF FC ⊥∴ ………………………………………7分
方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）
设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=Θ
⎩⎨
⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==z
y x
y 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量， 设二面角E CD A --为θ，则3
21442=++=，即32
cos =θ (12)
分
方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H
连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ， 由DE =1，得EP =2，则EH =
52
，5
3,1=∴=AH AE Θ =
∠∴AHE cos 32即32
cos =θ……………12分
（19）（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由题可知1)3
2
(='f ，解得1=a ………1分 故x x x x f ln 32)(--
=，2
)
2)(1()(x
x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分 于是可得下表：
分
于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分
解（Ⅱ）)0(2
332)(2
22>+-=
-+='x x x ax x x a x f Θ………5分 由题可得方程0232
=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令
23)(2+-=x ax x h
则⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
>=>=+>-=∆020********a x x a x x a （也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a ） ………………………………7分
解得8
9
0<
<a ………8分 解（Ⅲ）由（Ⅰ）x x
x x f ln 32
)(--
=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分
设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，
（1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时．
由于切线过点)4,1(-P ，则
2631
402
000--=-+x x x y 所以)263)(1(42302
0002030---=+--x x x x x x ，
化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(3
0=-x ，解得10=x （舍去）……12分
（2）当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时．
则切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x
综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分
（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分） （20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：由题可知1
12
12-++
=n n n a a
则n n n a a 2
1
211=-
+ ………………………………………………………………2分 12211=-∴-+n n n n a a
故数列{}
n n a 1
2-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分
n a n n =∴-121
2-=
∴n n n a ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由1
2
-=
n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++n
n b b b Λ ………………7分
证明：（1）当1=n 时，左边112
2
=-=
a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边； （2）当2≥n 时，由题可知n n n
b b b +=+2
1和0>n b ，
则n n n n b b b b ln 2ln ,12
1>∴>++ ……………………………………………………………10分 则1
112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b Λ …………………………………11分
122
1)21(12
21ln ln ln 1
21-=--=+++>+++∴-n n n n b b b ΛΛ
综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立 ………………………………………………13分 （21）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=
m m c 双，故双曲线的焦点为
)0,3()0,3(21F F 、-
（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，
设直线l ：a x ty -=，代入x y 22
=并整理得 0222=--a ty y ，
所以⎩⎨⎧-==+a
y y t y y 222121 ……………………………………3分 0
2 2)2)(1( )()1( ))((22222
212122
1212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a a
at a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故
解得2=a ……………………………………………………………………………5分 由（1）得3=c ，所以椭圆E 的方程为14
22
=+y x …………………………6分 （Ⅱ）判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分
证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -
，442020=+y x …………8分 将直线AD 的方程000
0)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得 01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分
由题可知此方程必有一根为0x -．于是解得020
2020046x y x y x x B ++=， 所以20
20020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++= ………………………11分 所以0
020002020202000202002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB
-=-=+-+-= ………………………………12分 故10
000-=⨯-=x y y x k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分 解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分
证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线．
设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )2
1,(00y x -，442020=+y x ..................8分
将直线B P '的方程000
0)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分
由题可知此方程的一根为0x ，解得20
202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='， 所以20
2002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分 则
020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-=' …………12分 又0
00000421x y x x y y k AD =++-
=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线． ∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分
解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分
证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14
,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得4
120212021-=--x x y y ，故412021************-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分 又000000421x y x x y y k k AD AB =++-
=
=，代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分 所以1)(0000-=-=
y x x y k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分。