线性规划习题精选精讲(含答案)

围是
（）
A、（ -3,6 ） B、（ 0,6 ）
C、（ 0,3 ）
D、（ -3,3 ）
y 2x –y + 3 = 0
2x y m 3 0
解 ： |2x － y ＋ m| ＜ 3 等 价 于
2x y m 3 0
2x –y = 0
m33
由 右图 可知
, 故 0 ＜ m＜ 3 ， 选 C
m30
O
线性规划的实际应用
x2
例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）
xy2
A、 [2,6]
B、 [2 ,5] C、 [3,6]
D、（ 3,5]
y
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l ： x+2y ＝ 0 ， 将
l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0 ） 时 ， 有 最 小 值
解 : 设所购甲、乙两种食物分别为 x 千克、 y 千克 , 则丙种食物为 (10 x y) 千克 . x、y 应满足线性条件 为
400x 600 y 400(10 x y) 4400
y2
, 化简得
800x 200y 400(10 x y) 4800
2x y 4
作出可行域如上图中阴影部分 目标函数为 z=7x+6y+5(10 x y)=2 x+y+50, 令 m=2x+y, 作直线 l :2 x+y=0, 则直线 2x+y=m经过可行域中 A(3,2) 时 , m最小 , 即 mmin=2 3+2=8，∴ zmin=mmin+50=58 答: 甲、乙、丙三种食物各购 3 千克、 2 千克、 5 千克 时成本最低 , 最低成本为 58 元 .
2
2 ， 过 点 B（ 2,2 ） 时 ， 有 最 大 值 6 ， 故 选 A
O
二、求 可行域的面积
2x y 6 0 例 2、 不 等 式 组 x y 3 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为
y2
（） A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B
.
1．平移找解法
作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线
l ，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整
点最优解 . 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有
每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料
72m3，第二种有 56m3，假设生产
如下表所示 . 每生产一只圆桌可获利 6 元 , 生产一个衣柜可获利 10 元 .
4
－ 2=0 的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ， 选 C
5
六、求 约束条件中参数的取 值范围
O
x
x –2y + 4 = 0 2x + y - 2= 0 点
距
3x –y –3 = 0
＋y
例 6 、 已 知 |2x － y ＋ m| ＜ 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0 ） 和 （ － 1,1 ）， 则 m 的 取 值 范
, 得 M点坐标 (350,100). 答：应生
0.08x 0.28y 56
产圆桌 350 只 , 生产衣柜 100 个 , 能使利润总额达到最大 . 点评： 本题的最优点恰为直线 0.18 x+0.09 y=72 和
0.08 x+0.28 y=56 的交点 M。 例 2 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm和 600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小
木器厂在现有木料条件下 多?
, 圆桌和衣柜各生产多少 , 才使获得利润最
产品
木料 ( 单位 m3)
第一种
第二种
圆桌
0.18
0.08
衣柜
0.09
0.28
4
习题精选精讲
0.18x 0.09y 72
0.08x 0.28y 56
解：设生产圆桌 x 只 , 生产衣柜 y 个 , 利润总额为 z 元 , 那么
3x y 3 0
， 则 z=x 2 + y 2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别
是
（
A、 13 ， 1
） B、 13 ， 2
y A
C、 13 ， 4 5
D、 13 ， 2 5 5
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x 2 +y 2 是 点 （ x ， y ） 到 原
的 距 离 的 平 方 ，故 最 大 值 为 点 A（ 2,3 ）到 原 点 的 离 的 平 方 ， 即 |AO| 2 =13 ， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x
0.08
衣柜
0.09
0.28
0.18x 0.09 y 72
0.08x 0.28 y 56
解：设生产圆桌 x 只 , 生产衣柜 y 个 , 利润总额为 z 元, 那么
x0
y0
而 z=6x+10y.
2
习题精选精讲
如上图所示 , 作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即可行域 . 作直线 l :6 x+10y=0, 即 l :3 x+5y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l 1 的位置时 , 直线经过可行域上点 M,且与原点
O
x
点 个 数 为 13 个 ， 选 D
四、求 线性目标函数中参数的取值 范围
xy5 例 4 、已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 x y 5 0 ，使 z=x+ay(a >0)
x3
取得最小 值的最优解有无 数个，则 a 的值为
（）
A、 － 3 B、 3 C、 － 1 D、 1
解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l ： x+a y ＝ 0 ， 要 使 目 标 函 数
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的
理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的
人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一
项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有
解 : 设 每 周 需 用 谷 物 饲 料 x kg, 动 物 饲 料 y kg, 每 周 总 的 饲 料 费 用 为 z 元 , 那 么
x y 35000
y 1x 5
, 而 z=0.28 x+0.9 y
0 x 50000
y0
如下图所示 , 作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即可行域 .
作一组平行直线 0.28 x+0.9 y = t , 其中经过可行域内的点且和原点最近的直线 , 经过直线 x+y=35000 和
z=x+a y(a>0) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上
1
y百度文库x+y=5
O
x –y + 5 = 0 x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y ＝ 5 重 合 ， 故 a=1 ， 选 D
五、求 非线性目标函数的最值
2x y 2 0 例 5、已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2y 4 0
习题精选精讲
线性规划常见题型及解法
线 性 规 划 是 新 教 材 中 新 增 的 内 容 之 一 ，由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ，并 作 出 可 行 域 ， 进而 通过平移直线在可 行域内求线性目 标函 数的 最优解 是最 常见 的题型，除 此之外， 还有以 下六 类常见题型 。 一、求 线性目标函数的取值 范围
距离最大 , 此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
0.18x 0.09y 72
, 得 M 点坐标 (350,100). 答 : 应生产圆桌
0.08x 0.28y 56
350 只 , 生产衣柜 100 个 , 能使利润总额达到最大 .
指出 : 资源数量一定 , 如何安排使用它们 , 使得效益最好 , 这是线性规划中常见的问题之一
于 1 配套，怎样截最合理？ 3
MA
O
Cx
2x + y –6= 0
=5
x y 2 (x 0, y 0)
x y 2 (x 0, y 0)
y
解 ： |x| ＋ |y| ≤ 2 等 价 于
x y 2 ( x 0, y 0)
x y 2 (x 0, y 0)
作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ）， 容 易 得 到 整
y2
指出 : 本题可以不用图解法来解 , 比如 , 由
得
2x y 4
z=2x+y+50=(2 x y)+2 y+50 4+2 2+50=58, 当且仅当 y=2, x=3 时取等号 总结： (1) 设出决策变量 , 找出线性规划的约束条件和线性目标函数 ;
(2) 利用图象 , 在线性约束条件下找出决策变量 , 使线性目标函数达到最大
见的问题之一 .
( 例 3 图)
(
例 4 图)
例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素
A、 B的含量及成本 :
甲
乙
丙
维 生 素 A( 单 位 / 千
克)
400
600
400
维 生 素 B( 单 位 / 千
800
200
400
克)
7
6
5
成本 ( 元 / 千克 )
3
习题精选精讲
营养师想购这三种食物共 10 千克 , 使之所含维生素 A 不少于 4400 单位 , 维生素 B 不少于 4800 单位 , 问 三种食物各购多少时 , 成本最低 ?最低成本是多少 ?
z=c1x1+c2x2+, +cmxm的最大值或最小值 , 这里 cj ( j =1,2, , , m) 是常量 .
(3) 线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用
: 一是在人力、物力资金等资源一定的条
件下 , 如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务
, 如何合理安排和规划 , 能以最少的人力、物力、
资金等资源来完成该项任务 .
线性规划中整点最优解的求解策略 在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规
划为其重要的理论基础。 然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足 x,y ∈ N ，这种最优解称为整点最
优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解
OMBC
三、求 可行域中整点个数 例 3 、 满 足 |x| ＋ |y| ≤ 2 的 点 （ x ， y ） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数）有 （ ）
A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个
B y =2
A
2
x
x + y =2 x=2
y
x＋ y –3 = 0 B y =2
72m3，第二种有 56m3，假设生产
每种产品都需要用两种木料， 生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示
. 每生产一只圆桌可获利 6
元 , 生产一个衣柜可获利 10 元 . 木器厂在现有木料条件下 , 圆桌和衣柜各生产多少 , 才使获得利润最多 ?
木料 ( 单位 m3)
产品
第一
种
第二种
圆桌
0.18
直线 y
1 x 的交点
87500 17500
A(
,
),即 x
87500 ,y
17500
时 , 饲料费用最低 .
5
3
3
3
3
所以 , 谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合 , 此时成本最低 .
指出 : 要完成一项确定的任务 , 如何统筹安排 , 尽量做到用最少的资源去完成它 , 这是线性规划中最常
( 或最小 ).
2. 线性规划问题的一般数学模型是
: 已知
a11 x1 a 21x1
a12x 2 a 22 x2
a1m x m a2mxm
b1 b2 ( 这 n 个式子中的“
”也
a n1 x1 an 2 x 2
a nm x m bn
可以是“ ”或“ =”号 )
其中 aij ( i =1,2, , , n, j =1,2, , , m), bi ( i =1,2, , , n) 都是常量 , xj ( j =1,2, , , m) 是非负变量 , 求
x0
而 z=6x+10y.
y0
如图所示 , 作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即可行域 . 作直线 l :6 x+10y=0, 即 l :3 x+5y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l 1 的位置时 , 直线经过可行域上点 M,且与
0.18x 0.09y 72
原点距离最大 , 此时 z=6x+10y 取最大值。 解方程组
例 2、某养鸡场有 1 万只鸡 , 用动物饲料和谷物饲料混合喂养 . 每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5kg, 其中
动物饲料不能少于谷物饲料的
1 . 动物饲料每千克 0.9 元 , 谷物饲料每千克 0.28 元, 饲料公司每周仅保证供 5
应谷物饲料 50000kg, 问饲料怎样混合 , 才使成本最低 .