高一下期数学同步测试一
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }5.若A={1，3，x}，B={x 2，1}，A ∪B={1，3，x}，则这样的x 的不同值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.集合P={（x ，y ）|x+y=0}，Q={（x ，y ）|x ﹣y=2}，则P∩Q=2.若{3，4，m 2﹣3m ﹣1}∩{2m ，﹣3}={﹣3}，则m= ．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确；故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】利用已知条件确定B 中的元素，以及确定B 中可能的元素，即可推出集合B 的个数．解：集合A={1，2，3，4}，B ⊊A 且1∈A∩B ，4∉A∩B ，所以B={1}；B={1，2}；B={1，3}；B={1，2，3}．则满足上述条件的集合B 的个数是4．故选C ．点评：本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力．3.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ．解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞），N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1}故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }【答案】A【解析】根据A∩B="{" }，得到 ∈A ，B ；即 是方程2x 2﹣ppx+q=0，6x 2+（p+2）x+5+q=0的根，代入即可求得p ，q 的值，从而求得集合A ，集合B ，进而求得A ∪B ．解：∵A∩B="{" }∴∈A ，∴2（ ）2﹣p （ ）+q=0…①又 ∈B∴6（ ）2+（p+2）+5+q=0…②解①②得p=﹣7，q=﹣4；∴A="{" ，﹣4}；B="{" ，}∴A ∪B={﹣4，，}．故选A ．点评：此题是中档题．考查集合的交集的定义和一元二次方程的解法，体现了方程的思想和转化的思想，同时考查了运算能力．5.若A={1，3，x}，B={x2，1}，A∪B={1，3，x}，则这样的x的不同值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据题意得到x2可能等于3或x，所以求出x解的个数即为所求的x个数．解：因为A∪B={1，3，x}，所以x2=3或x∴x=±，0，1（舍去）共3个，所以x有3个．故选C点评：本小题主要考查并集及其运算、方程的解法等基础知识，解答时必须注意集合中元素的互异性．属于基础题．二、填空题1.集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q=【答案】{（1，﹣1）}．【解析】根据题意，P∩Q即由集合P={（x，y）|x+y=0}与Q={（x，y）|x﹣y=2}表示的直线的交点，可得，解之即可得出答案．解：由集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，∴，解得，∴P∩Q={（1，﹣1）}，故答案为：{（1，﹣1）}．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2.若{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，则m= ．【答案】1【解析】由题意可得 m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2，经检验 m=1满足条件．解：∵{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，∴m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2．当m="2" 时，2m=4，{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3，4}，故不满足条件，舍去．当 m=1，{3，4，m2﹣3m﹣1}={3，4，﹣3}，{2m，﹣3}={2，﹣3}，满足条件．故答案为 1．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，注意检验 m的值是否满足条件，这是解题的易错点，属于中档题．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M是两门都学的人数的最大值，m是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．【答案】9【解析】根据两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少，求得M和m，从而得出答案即可．解：两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少：故最大：M=（90%+40%﹣100%）×50=15人最小：（80%+32%﹣100%）×50=6人则M﹣m=15﹣6=9．故答案为：9．点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想．属于基础题．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．【答案】172【解析】由于有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，则这三个组共有75+68+61人，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，根据容斥原理可知，听讲座的共有68+75+61﹣（17+12+9）+6人．解：68+75+61﹣（17+12+9）+6=204﹣38+6，=172（人）．答：听讲座的人数172人．故答案为：172点评：A 类和B 类和C 类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数﹣既是A 类又是B 类的元素个数﹣既是A 类又是C 类的元素个数﹣既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】考虑集合A 1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A 相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法．解：当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A 1为单元素集时，A 2=∁A A 1或A ，此时A 1有三种情况，故拆法为6种；当A 1为双元素集时，如A 1={a ，b}，A 2={c}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，此时A 1有三种情况，故拆法为12种； 当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．。
高一数学下学期同步测试(1)
高一数学下学期同步测试（1）— 1.1 空间几何体本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分 .共 150 分 .第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）．1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成A ．平面B ．曲面C．直线D．锥面（）2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成A ．棱锥B ．棱柱C．平面D．长方体（）3．有关平面的说法错误的是（）A．平面一般用希腊字母α、β、γ 来命名，如平面αB．平面是处处平直的面C．平面是有边界的面D．平面是无限延展的4．下面的图形可以构成正方体的是（）A B C D5．圆锥的侧面展开图是直径为 a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为 30°的等腰三角形D．其他等腰三角形6．A 、 B 为球面上相异两点，则通过 A 、B 两点可作球的大圆有（）A ．一个B ．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有（）A ． 1B ． 2C． 3D． 48．下列命题中正确的是（）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥9．长方体三条棱长分别是AA ′ =1， AB=2 ，AD=4 ，则从 A 点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）A ． 5B ． 7C．29D．3710．已知集合A= { 正方体平行六面体 } ，则}，B={长方体 }，C={正四棱柱} ，D= { 直四棱柱}，E={棱柱}，F={直（）A．ABCDFE B．ACBFDEC．CABDFE D．它们之间不都存在包含关系第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） .11．线段 AB 长为 5cm，在水平面上向右平移4cm 后记为 CD ，将 CD 沿铅垂线方向向下移动 3cm 后记为 C′ D′ ,再将 C′ D′沿水平方向向左移4cm 记为 A ′ B′，依次连结构成长方体ABCD — A ′ B ′C′ D′ .①该长方体的高为；②平面 A ′B ′C′ D′与面 CD D ′C′间的距离为；③A 到面 BC C′B′的距离为.12．已知， ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD 且 AB>CD ，绕 AB 所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果 A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面；②如果面 F 在前面，从左边看是面B，那么哪一个面会在上面；③如果从左面看是面C，面 D 在后面，那么哪一个面会在上面.14．长方体ABCD — A 1B1C1D1中， AB=2 ，BC=3 ，AA 1=5，则一只小虫从 A 点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)15．（ 12 分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．16．（ 12 分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．17．（ 12 分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为 c，求它的高和斜高．18．（ 12 分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶ 4，母线长10cm.求：圆锥的母长．19．（ 14 分）已知正三棱锥S-ABC 的高 SO=h,斜高 SM=n,求经过 SO 的中点且平行于底面的截面△ A 1B1C1的面积．20．（ 14 分）有在正方形ABCD 中， E、F 分别为 AB 、BC 的中点，现在沿DE、DF及 EF把△ ADE 、△ CDF 和△ BEF 折起，使A、B、 C 三点重合，重合后的点记为P.问：①依据题意制作这个几何体；②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；③若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少．参考答案（一）一、 DBCCA DDBAB二、 11．① 3CM② 4CM③ 5CM；12．圆锥、圆台、圆锥；13．① F②C③A；14． 5 2 ．三、 15．解： J 与 N，A、M与 D， H与 E，G与 F，B 与 C.16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点 . 小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途：①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形OO B B ，OO E E 和BEE B 及两个直角三角形OBE和 O B E 中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解， 所以要熟悉两底面的外接圆半径（ OB,O B ）内切圆半径（OE, O E ）的差，特别是正三、正四、正六棱台 .略解： h OO B F ， hEEB GBF2(b a) BG1(b a)22hc21(b a) 22 2c 2 (b a) 222hc21b a ) 2 1c 2 ( b a )2(44218．解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为 r ， R .l 10 r l R l 10 1l4l40( cm)340答：圆锥的母线长为cm.319．解：设底面正三角形的边长为a ，在 RT △SOM 中 SO=h ，SM=n ，所以 OM= n2l 2 ，又 MO= 3 a ，即6a =6n2l 2，sABC3 a 2 3 3(n 2l 2) ，截面面积为33(n 2l 2 ) ．34420．解：①略．②这个几何体由四个面构成，即面 DEF 、面 DFP 、面 DEP 、面 EFP. 由平几知识可知 DE=DF ，∠ DPE=∠ EPF =∠ DPF =90°，所以△ DEF 为等腰三角形，△ DFP 、△ EFP 、△ DEP 为直角三角形 . ③由②可知， DE=DF =5 a,EF= 2 a, 所以， S △DEF=3 a2。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小没有方向B ．||||AB BA = C ．对任一向量a，||0a > 总是成立的D ．||AB与线段BA 的长度不相等【正确答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；由于AB与BA 方向相反，长度相等，故B 正确；因为零向量的模为0，故C 错误；||AB与线段BA 的长度相等，故D 错误．故选：B ．2．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA共线的向量共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【正确答案】D【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.【详解】图中与OA共线的向量有：,,,,,,,,AO BC CB OD DO EF FE AD DA，共9个，故选：D.3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =- 与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122a e e =- 与12b e e λ=+ 共线，所以k a b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．4．若复数z 满足(1i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为1i2B ．z 的共轭复数为11i22z =-+C ．z 对应的点在第二象限D ．1z =【正确答案】C【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z -=，得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z ⨯+-+====-+--⨯+，对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 的共轭复数为11i 22z =--，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确；对于D ，z ==D 不正确.故选：C.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．已知向量a ，b是两个单位向量，则“,a b ”为锐角是“a b -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．【详解】 向量a ，b是两个单位向量，∴由,a b 为锐角可得cos ,0a b >，∴-=a b反过来，由a b - 2222a a b b -⋅+<，22cos ,2a b ∴-< ，cos ,0a b ∴>，∴π,0,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ a b ，,∴a b 不一定为锐角，故“,a b为锐角”是“a b -<的充分不必要条件，故选：A ．7．已知D ，E 分别是ABC 边AB ，AC 上的点，且满足32AB AD = ，4AC AE = ，BE CD O = ，连接AO 并延长交BC 于F 点．若AO AF λ=，则实数λ的值为（）A ．23B ．25C ．57D ．710【正确答案】D【分析】根据,,D O C 三点共线，可得2233AO k AB k AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据,,B O E 三点共线，可求出()114AO AB AC μμ=-+ ，由平面向量基本定理可得2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以可求出AO ，所以知17BF BC = ，再由6177AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出λ的值.【详解】由题意可得，23AO AD DO AB DO =+=+，因为,,D O C 三点共线，则()1233DO k DC k BC BD k AC AB BA k AC AB ⎛⎫⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22223333AO AB k AC AB k AB k AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，,,B O E 三点共线，131131444444BO BE BC BA AC AB AB AC AB μμμμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()11144AO AB BO AB AC AB AB AC μμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以25110k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以31510AO AB AC =+，所以17BF BC = ，所以()1116177777AO AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6375λ=，所以710λ=故选：D.8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-【正确答案】D【分析】建系将向量用坐标表示，转化为关于,x y 式子，以,x y 为独立变量求此式子的最值.【详解】建立直角坐标系如图：则A （0，，B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ），则PA=（﹣x ，y ），PB=（﹣2﹣x ，﹣y ），PC =（2﹣x ，﹣y ），所以PA •（PB +PC）=﹣x •（﹣2x ）+（y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣+2y 2=2[x 2+（y 2﹣3]；所以当x =0，yPA •（PB +PC）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D ．与向量有关的最值或取值范围，常考虑两种方法：（1）若能建系用坐标表示，可转化为关于,x y 式子，用函数或解析几何来求；（2）利用向量几何意义转化为长度和夹角来求，此题就可以用()=2||||cos 6PA PB PC PA PD PA P APD D =∠≥-⋅+⋅⋅求得.二、多选题9．下列关于复数12,z z 的命题中，正确的是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】ABC【分析】根据复数的模、共轭复数的定义及复数代数形式的乘法运算法则判断即可.【详解】解：对于A ：因为120z z -=，则120z z -=，则12z z =，所以12z z =，故A 正确；对于B ：若12z z =，则12z z =，故B 正确；对于C ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，由12=z z ，所以2222+=+a b c d ，所以1i z a b =-，则()()2121i i z a b z a b a b ⋅=+=+⋅-，同理可得2222z z c d ⋅+=，所以1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：令1i z =，21z =，则121z z ==，但是211z =-、221z =，所以2212z z ≠，故D 错误；故选：ABC10．已知向量(1,2)a = ，(2,6)b = ，ka b + 与2a b +平行，则（）A ．12k =B ．2k =C ．||b =D ．13(2,3)2a b -=【正确答案】ACD【分析】先表示出ka b + ，2a b +，然后根据向量平行的条件列方程求出k ，从而判断AB ；根据向量的模长公式可判断C ，根据向量的减法运算可以判断出D.【详解】依题意可知(2,26)ka b k k +=++ ，2(5,14)a b += ．因为ka b + 与2a b +平行，所以()1425(26)k k +=+，解得12k =，故A 正确，B 错误；b = ()()()133,61,32,32a b -=-=，故CD 正确.故选：ACD11．已知向量,a b在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（）A ．6a b ⋅= B ．向量b 在向量a方向上的投影向量为23aC ．()()a b a b +⊥- D ．若()1,2c =-，则()//c a b- 【正确答案】ABD【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项【详解】由图可得()()3,0,2,2a b ==，对于A ，326a b ⋅=⨯=，故A 正确；对于B ，向量b 在向量a方向上的投影向量()22,03a b a a aa ⋅⋅==，故B 正确；对于C ，()()5,2,1,2a b a b +=-=-，所以()()()512210a b a b +⋅-=⨯+⨯-=≠，故C 不正确；对于D ，因为()1,2c =- ，()1,2a b -=-，所以()b c a =-- ，故()//c a b - ，故D 正确.故选：ABD12．在边长为4的正方形ABCD 中，P 在正方形（含边）内，满足AP xAB y AD =+，则下列结论正确的是（）A ．若点P 在BD 上时，则1x y +=B ．x y +的取值范围为[]1,4C ．若点P 在BD 上时，22AP AC xAB y AD+=+D ．当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16【正确答案】AD【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)A B C D ，设(,)(,[0,4])P m n m n ∈，因为AP xAB y AD =+ ，所以(,)(4,0)(0,4)m n x y =+，所以44m xn y =⎧⎨=⎩，对于A ，由题意可得线段BD 的方程为4x y ''+=，[0,4]x '∈，因为点P 在BD 上，所以4m n +=，因为44m xn y =⎧⎨=⎩，所以4()4m n x y +=+=，所以1x y +=，所以A 正确，对于B ，因为44m x n y =⎧⎨=⎩，所以4()m n x y +=+，所以4m n x y ++=，因为,[0,4]m n ∈，所以[0,8]m n +∈，所以[0,2]x y +∈，所以B 错误，对于C ，因为(,),(4,4)AP m n AC == ，所以(4,4)AP AC m n +=++，因为222(4,0)2(0,4)(8,8)x AB y AD x y x y +=+= ，44m xn y =⎧⎨=⎩，所以22(2,2)x AB y AD m n +=，若22AP AC xAB y AD +=+ ，则4242m m n n +=⎧⎨+=⎩，得44m n =⎧⎨=⎩，因为4m n +=，所以44m n =⎧⎨=⎩不满足，所以22AP AC xAB y AD +=+不成立，所以C 错误，对于D ，222()212333x y x y xy xy++--==2121236x y +⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥=，当且仅当12x y ==时取等号，所以当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16，所以D 正确，故选：AD三、填空题13．已知向量()3,24AB m =- ，()2,4BC =，若A ，B ，C 三点共线，则m =____________．【正确答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知//AB BC，则()34242m ⨯=-⨯，解得5m =．故5．14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45,MAN C ∠=︒点的仰角30CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高50m BC =，则山高MN =________m .【正确答案】【分析】通过直角ABC 可先求出AC 的值，在AMC 由正弦定理可求AM 的值，在Rt MNA △中，由AM ，45MAN ∠=︒，从而可求得MN 的值．【详解】在Rt ABC △中，30CAB ∠=︒，50m BC =，所以100m AC =．在AMC 中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此506m AM =．在Rt MNA △中，506m AM =，45MAN ∠=︒，得503m MN =．故503．15．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.51216．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B C A C -=，则12tan +2tan B C的最小值为________．【正确答案】【分析】利用正弦定理及余弦定理可得2cos c a c B =-，再利用正弦定理及三角变换可得()sin sin C B C =-，2B C =，然后利用基本不等式即得.【详解】∵22sin sin sin sin B C A C -=，∴22b c ac -=，22b c ac =+，又2222cos b a c ac B =+-，∴2222cos c ac a c ac B +=+-，即2cos c a c B =-，∴()sin sin 2sin cos sin 2sin cos C A C B B C C B=-=+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，∴C B C =-或C B C π+-=(舍去)，∴2B C =，∴tan tan02B C =>，∴12tan +22tan B C ≥当且仅当12tan2tan B C=时取等号，故答案为.四、解答题17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1，1），B （2，－3）．(1)若()OA OA AB λ⊥+ ，求实数λ的值；(2)设C （－6，k ），若AB ，BC 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)23λ=(2)(5,29)(29,)-⋃+∞【分析】（1）由()OA OA AB λ⊥+ ，得()0OA OA AB λ⋅+= ，则1140λλ++-=，从而可求出实数λ的值，（2）由题意可得0BC AB ⋅< ，则84(3)<0k --+，求出k 的范围，再考虑AB ，BC 共线反向的情况，从而可求出实数k 的取值范围【详解】（1）因为(1,1),(1,4),OA AB ==- ，所以(1,14).OA AB λλλ+=+- 因为()OA OA AB λ⊥+ ，所以()0OA OA AB λ⋅+= ，即1140λλ++-=，解得23λ=．（2）因为(1,4),(8,3)AB BC k =-=-+ ，所以0BC AB ⋅< ，即84(3)<0k --+，解得>5k -．若//AB BC ，则8314k -+=-解得k ＝29．故实数k 的取值范围是(5,29)(29,)-⋃+∞．-18．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,,a b c 22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求sin B 的值；(2)若2a =，2b ac =，求ABC 的面积．【正确答案】(1)sin 2B =【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式展开，以及同角平方和关系即可求解；（2）根据（1）的结果可分两种情况讨论1cos 2B =或1cos 2B =-，结合余弦定理即可判断ABC 为等边三角形，根据面积公式即可求解.【详解】（1）由22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222ππππ31sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin =cos sin 666644B A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则222333sin cos sin 444B A A =+=，且()0,πB ∈，sin B ∴（2）方法一：由（1）得sin B =，()0,πB ∈可得，1cos 2B =或1cos 2B =-由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，当1cos 2B =时，222b a c ac =+-；由2b ac =可得，2220+-=a c ac ，即a c =，此时ABC 为等边三角形，故1sin 2ABC S ac B == 当1cos 2B =-时，222b a c ac =++，由2b ac =可得，220a c +=即0a c ==，不符合要求，所以，ABC方法二：2b ac= 由余弦定理可得，2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时，等号成立即1cos 2B ≥，()0πB ∈，∴π03B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，由（1）sin B =π3B =且2a c ==，即1sin 2ABC S ac B == 方法三：2b ac= 由正弦定理可得，2sin sin sin B A C =，由（1）可得，3sin sin 4A C =，则3sin sin()4A A B +=，()3sin sin cos cos sin 4A A B A B +=，当1cos 2B =，即π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A =，进一步得1cos23sin 2444A A -+=，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ7π2666A -<-<，即ππ2=62A -，故π3A =于是ABC 为等边三角形，1sin 2ABC S ac B ∆==当1cos 2B =-，即2π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A -+=，cos21344A A -=，即sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，推出矛盾；∴综上所述，ABC19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若222a c acb ++=（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的取值范围．【正确答案】（1）23π；（2）.【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；（2）设BAD θ∠=，在ABD △中利用正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围．【详解】（1）因为2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，而0B π<<，所以23B π=（2）如图所示：设BAD θ∠=，则ABD △中，由23B π=可知0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理及AD =22sin sin sin 33BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ，所以4sin a θ=，2sin 3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ∴124sin 4sin 4sin cos 32a c πθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知，2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,13πθ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦24]a c ∴+∈.思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求2a c +即AB BD +，在ABD △中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数θ，由正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围，第二种方案可以求解任意形如ma nc +的取值范围，解法更一般．。
2023-2024学年河南省部分学校高一下学期联合教学质量检测数学试卷
2023-2024学年河南省部分学校高一下学期联合教学质量检测数学试卷1.已知向量，，若与垂直，则实数（）A．B．C．D．2.设△的内角A，B，C所对边分别为，b，c，若，，，则（）A．B．C．或D．或3.已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（）A．B．C．D．5.抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（）A．B．C．D．6.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A．16B．17C．23D．247.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（）A ．与所成角为B ．点P 为线段的中点C ．三棱锥的体积为D ．平面截正方体所得截面的面积为9.已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（）A ．B ．C ．点是函数图象的对称中心D ．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称10.在中，内角所对的边分别为，则下列结论不正确的是（）A ．若，则B ．若，则是锐角三角形C ．若，则一定为等腰三角形D ．若，则三角形只有1解11.如图，在正方体中，，，，分别是棱，，的中点，是线段上一动点，则下列结论正确的是（）A ．平面平面B ．平面将正方体分成的两个部分的体积比为C ．是异面直线与所成的角D．三棱锥的体积为定值12.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数_________．13.已知单位向量满足，则__________.14.已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______.15.已知角，满足，，且，.(1)求的值；(2)求的大小.16.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.(1)当时，求四边形的周长；(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；(3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.17.据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为.(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；(3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围.18.为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；(3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.19.如图，平面平面是等腰直角三角形，，四边形ABDE是直角梯形，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线BO和平面所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一点，使得平面ABDE?若能，请指出点的位置，并加以证明;若不能，请说明理由．。
2023-2024学年陕西省西安市高一下学期第一次考练数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年陕西省西安市高一下册第一次考练数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）①有向线段三要素是始点、方向、长度；②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形ABCD 中，AB DC =．A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【正确答案】D【分析】根据有向线段的定义、向量的定义，同一向量的定义逐一判断即可.【详解】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，由平行四边形的性质可知,//AB DC AB DC =，显然④正确，故选：D2．在平行四边形ABCD 中，A (1，2)，B (3，5)，AD ＝(－1，2)，则AC ＋BD＝（）A ．(－2，4)B ．(4，6)C ．(－6，－2)D ．(－1，9)【正确答案】A【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，因为A (1，2)，B (3，5)，所以()2,3AB = .又()1,2AD =-，所以()1,5AC AB AD =+= ，()3,1BD AD AB =-=--，所以()2,4AC BD +=- .故选:A.3．已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+ ，124OB e ke =+，1254OC e e -= ，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为AB AC λ=，结合向量的运算与向量相等即可求解【详解】因为1232OA e e =+ ，124OB e ke =+，1254OC e e -= ，所以()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- ，又因为A ，B ，C 三点共线，所以AB AC λ=，即()()1212262e k e e e λ-=+- ，所以2162k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得11,2k λ=-=，故选：A4．已知向量a ，b夹角的余弦值为14-，且4a = ，1= b ，则()()2a b b a -⋅-= （）A ．－36B ．－12C ．6D ．36【正确答案】A【分析】展开后直接利用向量数量积公式计算可得答案.【详解】()()222222232-⋅-=⋅--+⋅=⋅-- a b b a a b a b a b a b b a 134********⎛⎫=⨯⨯⨯---⨯⎪⎝=- ⎭．故选：A ．5．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM = ，则GM =（）A ．11312AB AC+B ．11312AB AC--C ．17312AB AC+D ．17312AB AC -- 【正确答案】B首先根据G 为ABC ∆的重心得到()13AG AB AC =+ ，结合3MC AM =以及向量的线性运算，求得GM的表达式.【详解】因为G 为ABC ∆的重心，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+ .又3MC AM = ，所以14AM AC = ，所以11111334312GM GA AM AB AC AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-- ⎪⎝⎭，故选：B.本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三角形重心的向量表示，属于基础题.6．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若3255AP AB AC =+，则ABP 与ACP △的面积之比是（）A ．3:1B ．2:3C ．1:3D ．1:2【正确答案】B【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P 的位置，再去求ABP 与ACP △的面积之比【详解】由()()323232555555AP AB AC AP PB AP PC AP PB PC=+=+++=++可得32PC BP = ，即点P 在线段BC 上，且32PC BP=则ABP 与ACP △的面积之比等于:BP PC =2:3故选：B7．三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为35，面积为14，此三角形是（）．A ．钝角三角形；B ．锐角三角形；C ．直角三角形；D ．不能确定．【正确答案】B【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.【详解】解：设三角形两边a ，b 之差为2，且这两边的夹角的余弦值为35，则2a b -=，3cos 5C =，4sin 5C =，由1sin 142ab C =，得35ab =，解得7,5a b ==，由余弦定理得2222cos 32c a b ab C =+-=，则c =所以222222cos 0,cos 022210c a b b c a B A ac bc +-+-==>==>，所以三角形是锐角三角形，故选：B8．如图，在ABC 中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，AF xAB y AC =+，则(),x y 为（）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由题意，利用,,B F E 三点共线和,,C F D 三点共线分别表示AF，根据平面向量基本定理求解即可【详解】∵2AD DB =，3AE EC =，∴34AF AB BF AB BE AB AC AB λλ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()314AB AC λλ=-+ ，同理，向量AF还可以表示为23AF AC CF AC CD AC AB AC μμ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()213AB AC μμ=+- ，所以21,331,4λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得23λ=，所以1132AF AB AC =+ ，所以13x =，12y =，所以(),x y 为11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A ．二、多选题9．设向量a ，b满足||||1a b ==，且|2|b a -= ，则以下结论正确的是（）A ．a b⊥ B ．||2a b += C．||a b -=D ．向量a ，b夹角为60︒【正确答案】AC【分析】先由题给条件求得0a b ⋅=，从而得到选项A 判断正确，选项D 判断错误；求得||a b + 的值判断选项B ；求得||a b -的值判断选项C.【详解】由|2|b a -=，可得22445b a a b +-⋅= ，又||||1a b == ，则1445a b +-⋅=，即0a b ⋅= ，则a b ⊥.则选项A 判断正确；选项D判断错误；||a b += B判断错误；||a b -=，则选项C 判断正确.故选：AC10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,4B b =︒=，则下列判断中正确的是（）A ．若π4A =，则3a =B ．若92a =，则该三角形有两解C ．ABC 周长有最大值12D ．ABC面积有最小值【正确答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得164sin sin sin 243ABC S ac B A C == ，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A ，60,4B b =︒=，π4A =，由正弦定理得sin sin b aB A =所以4sin sin b Aa B===，故A 正确；对于B ，由正弦定理得sin sin b a B A=得，所以9sin 22sin 14a B A b ====<，因为,a b A B A >⇒>有两个解，所以该三角形有两解，故B 正确；对于C ，由2222cos b a c ac B =+-，得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，所以8a c +≤，当且仅当a c =时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 对；对于Dsin sin sin b a cB AC ===得,sin a A c C =,故164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==sin(120)A A ︒=-1sin )2A A A =+12(1cos 2)4A A ⎤=+-⎥⎣⎦11cos(260)22A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1cos(2120)32A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦由于1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦，无最小值，所以ABC面积无最小值，有最大值为D 错误.故选：ABC11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（）A ．12EF AB= B ．34AF AB AD=-+C ．34BE AB AD=+ D ．()()22916BE AF AD AB ⋅=-【正确答案】AD【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可.【详解】对选项A ：1122EF DC AB ==，正确；对选项B ：3344AF AD DF AD DC AB AD =+=+=+ ，错误；对选项C ：3344BE BC CE AD CD AB AD =+=+=-+，错误；对选项D ：()()223394416BE AF AB AD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：AD12．已知向量()cos ,sin m αα= ，()cos ,sin n ββ= ，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（）A ．221m n += B ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -【正确答案】BD【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A ，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断D.【详解】21m = ，21n = ，即有222m n += ，故选项A 错误；不妨设αβ<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为()cos ,sin αα，()cos ,sin ββ，()1,1，即可得点A ，B 在单位圆221x y +=上.根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 为正方形，据此不妨设0α=，π2β=，从而可得：()cos 0αβ-=，()sin 1αβ+=，即可得选项B 成立，选项C 错误.由()1,1m n += 可得：()2222m nm n +=+⋅= ，可得：20m n ⋅=，22222m n m n m n -=+-⋅= ，则可得：m n -=D 成立.故选：BD三、填空题13．若向量2(3,34)a x x x =+--与AB 相等，其中(1,2),(3,2)A B ，则x =_________.【正确答案】-1【详解】试题分析：由(1,2),(3,2)A B 可得()2,0AB =uu u r ，又a AB = ，所以234--x x =0且3x +=2，解得=1x -.考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.14．已知向量,a b 满足||3,||2a b ==且()()25a b a b -⋅+= ，则a 在b 方向上的投影向量为__________.【正确答案】b-【分析】先根据数量积的运算律求a b ⋅ ，进而求a 在b方向上的投影向量.【详解】∵()()2222a b a b a a b b -⋅+=-⋅-r r r r r r r r ，且||3,||2a b ==，则223225a b -⋅-⨯=r r，解得4a b ⋅=- ，故a 在b方向上的投影向量为()24cos ,4b a b b a b a a ba b b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r r rr r r r r rr r r r r r r r .故答案为.b-15．在ABC ∆中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB = ，过点O 的直线分别交,AB AC 或其延长线于不同的两点,E F ，且,AB mAE AC nAF == ，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为________.【正确答案】2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得233m n AO AE AF =+ ，可得2133m n+=，则12133t m n t m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开后利用基本不等式可得1t m n +的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合1t m n+的最小值为83列方程求解即可.【详解】因为点O 是BC 的三等分点，||2||OC OB =则1112123333333m n AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AE AF =+=+=+-=+=+，又由点,,E O F 三点共线，则2133m n+=，12122333333t m n t t mt nm n m n n m⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223333t t ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当222tm n =时，等号成立，即1t m n +的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有28333t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,解可得2t =或18-(舍），故2t =，故答案为2.本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．如图所示，要在两山顶M N ､间建一索道，需测量两山顶M N ､间的距离.现选择与山脚B C ､在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAC N ∠= 点的仰角30NAB ∠= 以及45MAN ∠= ，若100AC =米，AB =米，则MN 等于__________米.【正确答案】【分析】在Rt ACM △中根据cos 60AC AM ︒=求出AM ，在R t ABN △中根据cos30ABAN ︒=求出AN ，在AMN 中由余弦定理得：2222cos 45MN AM AN AN AM ︒=+-⋅求解.【详解】在Rt ACM △中，60,MAC ∠= 100AC =，所以1002001cos 602AC AM ︒===，在R t ABN △中，30NAB ∠=，AB =，所以cos30AB AN ︒==，在AMN 中，45MAN ∠= ，200AM =，AN =由余弦定理得：222222cos 4520010022200MN AM AN AN AM ︒=+-⋅=+⨯-⨯⨯22221004100210041002=⨯+⨯-⨯=⨯所以MN =米).故答案为.四、解答题17．计算：(1)()()()2310353a b b a a +--+- ；(2)()()()()2353,,R a b a b λμλμλμ+--+--∈.【正确答案】(1)1411515a b+(2)()(578)14a bλμλμ+++【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=2233110335533a b b a a+-++- 231231()(0)353353a a a b b =+-+-+ 1411515a b =+ .（2）原式=()()()()2353a b a bλμλμ+--+--()()()()235335a b a bλμλμλμλμ=+-+++++()()2235915a b λμλμλμλμ=+++++--57(81)()4a b λμλμ+++=.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为.19．已知1a =，12a b ⋅= ，1()()2a b a b =-⋅+ .(1)求a 与b的夹角θ；(2)求a b-与a b + 的夹角α的余弦值．【正确答案】(1)4π；【分析】（1）先由已知1()()2a b a b =-⋅+ 求出b ，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；（2）先求出a b -与a b + ，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；【详解】（1）由已知1()()2a b a b =-⋅+ ，得2212a b -= ，因为1a =，所以b =r .又12a b ⋅= ，所以cosθ1222a b a b ⋅== ，因为[]0θπ∈，，所以4πθ=.（2）因为()222122a b a a b b -=-⋅+=，所以a b -= 因为()222522a b a a b b +=+⋅+=，所以a b = +所以()()12cos 22a b a b a b a b α⋅+==+ --20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得40CD =米，135ADB ∠= ，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠= .（1）求B ，D 两点的距离；（2）求A 、B 两点的距离.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）根据已知条件可求出DCB ∠、DBC ∠，在BCD △中由正弦定理即可求BD ；（2）根据已知条件求出ADC ∠、DAC ∠，在ABD △中由余弦定理即可求解.【详解】（1）由题意可知15BDC DCA ∠=∠= ，120ACB ∠= ，40CD =.所以135DCB ∠= ，30DBC ∠= ，在BCD △中，由正弦定理，得sin sin CD BD DBC DCB=∠∠.所以sin 40sin 135sin sin 30CD DCB BD DBC ∠∠===∠∠所以B ，D 两点的距离为米.（2）在ACD 中，135ADB ∠= ，15BDC DCA ∠=∠= ，所以150ADC ∠= ，15DAC ∠= ，所以40AD DC ==米.在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠(22402402⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭8000=，所以AB =所以A 、B 两点的距离为.21．如图，已知(1,1),(5,4),(2,5)A B C ，设向量a 是与向量AB 垂直的单位向量.（1）求单位向量a的坐标；（2）求向量AC 在向量a 上的投影向量的模；（3）求ABC 的面积ABC S .【正确答案】（1）34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ；（2）135；（3）132【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量AB垂直，列方程组求解即可；（2）计算出AC 向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得；（3）由（2）可知三角形的高，再利用AB 向量的坐标求得底边长，即可求面积.【详解】（1）设(),a x y = ，根据题意可得()4,3,5,1AB AB a === 又因为AB 与a 垂直，即可得0AB a ⋅=故可得：224301x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭或a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）设向量AC 与单位向量a 的夹角为θ，AC 在a 上的投影向量为h ，则AC a h AC cos AC a aθ⋅===⋅ ；又因为()1,4AC = ，故当a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，341314555h ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭；当a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，h 341314555⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.所以向量AC 在向量a 上的投影向量的模为135.（3）由（1）可知：5AB = ，由（2）可知135h = ，故12ABC S AB h =⨯ 113135252=⨯⨯=.本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题.22．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【正确答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c BD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23b a b b a C +-=⋅．②由①②得2222223()3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，3c a b c +=<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b Ab =，化简得2sin sin 3C A =．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +--⨯∠+==．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r ．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+ ．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++⋅-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,32a BC c BAb ===，由余弦定理得2227cos 212ac b ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.。
高一数学下学期同步测试 试题
高一数学下学期同步测试一．选择题1．以下命题中的真命题是〔 〕A ．三角形的内角是第一象限角或者第二象限角B ．第二象限的角比第一象限的角大C ．第一象限的角是锐角D 角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是 〔 〕A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin3．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，那么α等于 〔 〕A ．5π B ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ4．假设θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值是〔 〕A ．－2B ．2C ．1623D ．－16236．假设α是第一象限角，那么ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上7．假设f (cos x )=cos2x ，那么f (sin15°)的值等于〔 〕A ．21B ．－21 C ．－23 D ．23 8．函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 那么)5(-f 的值是 〔 〕A ．5B ．－5C ．6D ．－69．)2cos()2sin(21++-ππ等于 〔 〕A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±〔sin2－cos2〕D ．sin2+cos210．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，那么cos C 等于 〔 〕A.－6533 B. 6533 C.－6563D.656311．在△ABC 中，tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，那么tan C 等于〔 〕A ．2B ．－2C ．4D ．－412．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，那么p 、q 之间的关系是〔 〕A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=013．等腰三角形顶角的正弦为2524，那么底角的余弦为 〔 〕A ．54B ．53C ．54或者53 D ．以上答案都不对 14．函数)32sin(2π+=x y 的图象〔 〕A ．关于原点对称B ．关于点〔－6π，0〕对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x =6π对称15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是〔 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ16．假设函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象〔局部〕如下图，那么ϕω和的取值是〔 〕 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==17．函数1)2sin()(--=ππx x f ，那么以下命题正确的选项是〔 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数1 0yx 3π- 32π18．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值是 〔 〕A ．－1/4B ．1/4C ．－ 2/3D ．2/319．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC〔 〕A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定20．某人朝正向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值是 〔 〕A ．3B ．23C ．23或者3D ．321．向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，那么αtan =〔 〕 A ．3/4B ．－3／4C ．4／3D ．－4／322．.两点P １〔－１，－6〕、Ｐ２〔3，０〕，点P 〔－37，ｙ〕分有向线段21P P 所成的比为λ，那么λ、ｙ的值是〔 〕A ．－41，8 B ．41，－8 C ．－41，－8 D ．4，8123．|AB |=10,| AC |=7，那么|BC |的取值范围是 〔 〕A ．［3，17］B ．〔3，17〕C ．［3，１０］D ．〔3，１０〕24．在△ABC 中,三边长AB =7，BC =5，AC =6，那么AB ·等于 〔 〕A ．19B ．－14C ．－18D ．－1925．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，那么坡底要伸长〔 〕A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里 26．四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，那么〔 〕A ．bc da >+2B ．bc da <+2C ．bc da =+2D ．bc da ≤+227．以下函数中最小值是2的是 〔 〕 A ．x x y 1+= B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=2,0,csc sin πθθθy C ．xx y 2+=D ．1222++=x x y ⋅28．甲、乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度212()v v v ≠，乙在前一半时间是用速度1v ，在后一半时间是用速度2v ，那么两人中谁先到达〔 〕A ．甲B ．乙C ．两人同时D ．无法确定二. 填空题 29．,24,81cos sin παπαα<<=⋅且那么=-ααsin cos . 30．假设,223tan 1tan 1+=+-θθ那么=⋅--+θθθθθcos sin cot 1)cos (sin 2 . 31．方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 32．△ABC 的顶点A (2，3)，B (－4，－2)和重心G (2，－1)，那么C 点坐标为 .33．假设0,0>>b a ，那么函数)10(,1)(22<<-+=x xb x a x f 的最小值是 ________. 34．_______,41,4=-+-=>x xx y x 当函数时，函数有最_______值是 .35．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . 〔Ⅰ〕求A CB 2cos 2sin 2++的值；〔Ⅱ〕假设3=a ，求bc 的最大值.36．21)4tan(=+απ．〔1〕求αtan 的值；〔2〕求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值．37．函数)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-⋅= 〔1〕求)(x f 的最小正周期;〔2〕求)(x f 的单调区间;〔3〕求)(x f 图象的对称轴，对称中心.38．函数f 〔x 〕=2a sin 〔2x －3π〕+b 的定义域为［0，2π］，值域为［－5,1］，求a 和b 的值．39．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等差数列 (1)求证B ≤600(2)假设A －C=3π，求sinB 的值.40．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，间隔 A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向间隔 A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间是？41．a ，b ，+∈R c ，且a +b+c=1，求证：23131313≤+++++c b a ．42．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件.假假设定价上涨成x ，成即（注：10xx )100≤<x ，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍．〔1〕假设的值；时来表示当售货金额最大的常数，用是满足，其中x a a a ax y 131<≤= 〔2〕假设x y 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．43．: x > y >0 , 且x y=1, 假设)(22y x a y x -≥+恒成立,务实数a 的取值范围.[参考答案]一．选择题1．以下命题中的真命题是〔 D 〕A ．三角形的内角是第一象限角或者第二象限角B ．第二象限的角比第一象限的角大C ．第一象限的角是锐角D 角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 2．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是 〔 B 〕A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2D ．2sin 3．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，那么α等于 〔 D 〕A ．5π B ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ4．假设θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 〔 D 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值是〔 D 〕A ．－2B ．2C ．1623D ．－16236．假设α是第一象限角，那么ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有〔 C 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上7．假设f (cos x )=cos2x ，那么f (sin15°)的值等于〔 C 〕A ．21B ．－21 C ．－23 D ．23 8．函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 那么)5(-f 的值是 〔 B 〕A ．5B ．－5C ．6D ．－6 9．)2cos()2sin(21++-ππ等于 〔 A 〕A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±〔sin2－cos2〕D ．sin2+cos210．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，那么cos C 等于 〔 B 〕A.－6533 B. 6533 C.－6563D.656311．在△ABC 中，tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，那么tan C 等于〔 A 〕A ．2B ．－2C ．4D ．－412．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，那么p 、q 之间的关系是〔 B 〕 A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=013．等腰三角形顶角的正弦为2524，那么底角的余弦为 〔 C 〕A ．54B ．53C ．54或者53 D ．以上答案都不对 14．函数)32sin(2π+=x y 的图象〔 B 〕A ．关于原点对称B ．关于点〔－6π，0〕对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x =6π对称15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是〔 C 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ16．假设函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象〔局部〕如下图，那么ϕω和的取值是〔 C 〕 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==17．函数1)2sin()(--=ππx x f ，那么以下命题正确的选项是〔 B 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数18．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值是 〔 A 〕1 0yx 3π- 32πA ．－41B ．41 C ．－32 D ．32 19．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解D ．不能确定〔 C 〕20．某人朝正向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值是〔 C 〕A ．3B ．23C ．23或者3D ．321．向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，那么αtan =〔 A 〕 A ．43B ．43-C ．34D ．34-22．.两点P １〔－１，－6〕、Ｐ２〔3，０〕，点P 〔－37，ｙ〕分有向线段21P P 所成的比为λ，那么λ、ｙ的值是〔 C 〕A ．－41，8 B ．41，－8 C ．－41，－8 D ．4，8123．|AB |=10,| AC |=7，那么|BC |的取值范围是 〔 C 〕A ．［3，17］B ．〔3，17〕C ．［3，１０］D ．〔3，１０〕24．在△ABC 中,三边长AB =7，BC =5，AC =6，那么·等于 〔 D 〕A ．19B ．－14C ．－18D ．－1925．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，那么坡底要伸长〔 A 〕A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里 26．四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，那么 〔 A 〕 A ．bc da >+2B ．bc da <+2C ．bc da =+2D ．bc da ≤+227．以下函数中最小值是2的是 〔 D 〕 A ．x x y 1+= B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=2,0,csc sin πθθθy C ．xx y 2+=D ．1222++=x x y ⋅28．甲、乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度212()v v v ≠，乙在前一半时间是用速度1v ，在后一半时间是用速度2v ，那么两人中谁先到达〔 B 〕A ．甲B ．乙C ．两人同时D ．无法确定二. 填空题29．,24,81cos sin παπαα<<=⋅且那么=-ααsin cos 23- . 30．假设,223tan 1tan 1+=+-θθ那么=⋅--+θθθθθcos sin cot 1)cos (sin 2 1 . 31．方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 [4,4]- .32．△ABC 的顶点A (2，3)，B (－4，－2)和重心G (2，－1)，那么C 点坐标为 (8,-4) .33．假设0,0>>b a ，那么函数)10(,1)(22<<-+=x xb x a x f 的最小值是 __2)(b a +______.34．_______,41,4=-+-=>x xx y x 当函数5时，函数有最___大____值是 － 6 .35．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . 〔Ⅰ〕求A CB 2cos 2sin 2++的值；〔Ⅱ〕假设3=a ，求bc 的最大值. 解析: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin 2++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B =)1cos 2()cos 1(212-++A A =)192()311(21-++ = 91- (Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a c b bc -≥-+=, 又∵3=a ∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. 36．21)4tan(=+απ．〔1〕求αtan 的值；〔2〕求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值． 〔1〕解析：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan )4tan(-+=-+=+ 由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα， 解得31tan -=α 〔2〕解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα 解法二：由〔1〕，31tan -=α，得ααcos 31sin -= ∴αα22cos 91sin = αα22cos 91cos 1=- ∴109cos 2=α 于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα 代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα 37．函数)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-⋅= 〔1〕求)(x f 的最小正周期;〔2〕求)(x f 的单调区间;〔3〕求)(x f 图象的对称轴，对称中心.解析： 〔1〕)32sin(5)(π-=x x f ∴T=π； 〔2〕)(]125,12[x f k k 为ππππ+-的单增区间， )(]1211,125[x f k k 为ππππ++的单减区间；〔3〕对称轴为Z k k x ∈+=1252ππ对称中心为Z k k ∈+)0,62(ππ 38．函数f 〔x 〕=2a sin 〔2x －3π〕+b 的定义域为［0，2π］，值域为［－5,1］，求a 和b的值． 解析： ∵0≤x ≤2π,∴－3π≤2x －3π≤π－3π=32π. ∴－23≤sin 〔2x －3π〕≤1. 当a >0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.5312b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.312233612b a 当a <0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,1352b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.312193612b a 39．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等差数列(1)求证B ≤600 (2)假设A －C=3π，求sinB 的值. 解：〔1〕∵a 、b 、c 成等差数列，∴222222222()44()2cos 228a c a c a c b a c a c B ac ac ac++-+-+-+=== 22332621882a c ac ac ac ac ac +--=≥=∴B≤600(2)∵a 、b 、c 成等差数列∴B R C R A R sin 22sin 2sin 2⨯=+， 和差化积得:∴2cos 2sin 22cos 2cos B B C A B ⋅⋅=-⋅，故432sin =B ， ∴839sin =B ． 40．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，间隔 A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向间隔 A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间是？解析：如图，设需要t 小时追上走私船.∵BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos CAB=22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos120°=6,∴BC =6, 在△C BD 中，∠C BD =120°cos CBD =tt t BD BC DC BD BC 10623001006222222⨯-+=⋅⋅-+ 整理,得100t 2-56t -3=0 ，解得t =106或者t =-206 (舍去) 又∵DCB BD CBD DC sin sin = ，即：DCB t t sin 10120sin 310=︒ 解得∠DCB =30° 答：沿北偏东60°追击，需106小时 41．a ，b ，+∈R c ，且a +b+c=1，求证：23131313≤+++++c b a ．[证法1]：∵a ，b ，+∈R c ∴23322132)13(+=++≤⋅+a a a 。
高一下学期数学同步测试(1).doc
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（1）—角的概念·弧度制一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，则α等于 （ ）A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ）A ．)(2Z k ∈-=βπαB ．)()212(Z k k ∈-+=βπαC ．)(2Z k ∈-=βπαD ．)()12(Z k k ∈-+=βπα7．集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα，≠B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B ⊂AD ．A ⊂B8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．4 9．下列说法正确的是（ ）A ．1弧度角的大小与圆的半径无关B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为 （ ）A ．2B ．3C ．1D ．23 11．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）A ．2)1cos 1sin 2(21R ⋅- B ．1cos 1sin 212⋅RC ．221RD ．221cos 1sin R R ⋅⋅-12．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α的终边落在 （ ）A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．αααsin 12sin2cos-=-，且α是第二象限角，则2α是第 象限角. 14．已知βαπβαππβαπ-2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 15．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .16．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为.三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）≠≠（1） （2） （3）18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′. 试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?21．已知集合A={}810,150|{},135|≤≤-︒⋅==∈︒⋅=k k B Z k k ββαα求与A ∩B 中角终边相同角的集合S.22．单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.高一数学参考答案（一）一、1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12． B二、13．三 14． )6,(ππ- 15．]2,2(),23(πππ⋃-- 16．162C三、17．（1）}1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα； （2）}904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；； （3）}360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．18．（1）设文字长、宽为l 米，则)(01454.0001454.01010m l =⨯==α； （2）设人离开字牌x 米，则)(275001454.04.02m l x ===．19．221021,220r r r S r-=⋅⋅=-=αα，当2,5==αr 时，)(252max cm S =． 20．设需x 秒上升100cm .则ππ15,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒）． 21．}360k 1350360|{Z k k S ∈︒⋅=︒-︒-==ααα或．22．设从P （1，0）出发，t 秒后M 、N 第三次相遇，则πππ636=+t t ，故t =12（秒）． 故M 走了ππ2126=⨯（弧度），N 走了ππ4123=⨯（弧度）．审稿人：安振平。
福建省部分学校2024年高一下学期联合测评数学试卷+答案
2023-2024学年高一联合测评数学试卷解析版全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（ ）A ．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；B ．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；C ．空间三点确定一个平面；D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】B【详解】对A ，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A 错误；对B ，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B 正确；对C ，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C 错误；对D ，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D 错误；故选：B.2．已知向量()()2,,2,1a x b ==−− ，若a b ⊥ ，则x =（ ）A ．1B ．1−C ．2−D ．4− 【答案】D 【详解】由a b ⊥ ，得()2240x x ×−−=−−=，所以4x =−． 故选：D ．3．如图，圆柱形容器内部盛有高度为2cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1125．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台12O O ，已知该圆台的上､下底面积分别为216πcm 和29πcm ，高超过1cm ，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球O 的表面上，且球O 的表面积为2100πcm ，则该圆台的体积为（ ）A ．380πcmB ．3259πcm 3C ．3260πcm 3D ．387πcm6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A ．20cmB ．C ．cmD ．30cm由3cos 5α=且0πα<<可得7．已知向量a ，b 满足3a = ，(2,0)b −，且3⋅= a b ，则下列说法错误的是（ ）A ．32a =−B ．a +C ．向量a ，b 的夹角是π3D ．a −8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形OCD ，其中120AOB ∠=°，4OD =，1OB =，动点P 在弧CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OP xOC yOD =+ ，则下列说法错误的是（ ）A ．若yx =，则2x y += B ．5AB PQ ⋅>−C ．232PA PB ⋅≥ D ．若3y x =，则0OA OP ⋅=对于B ：3AB PQ AB OQ ⋅=−⋅二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知样本数据123,,x x x 的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）A ．数据131x −，231x −，331x −的平均数为6B ．数据131x −，231x −，331x −的方差为9C ．数据123,,,2x x x 的方差为1D ．数据223123,,x x x 的平均数为510．已知复数i z a b =+，下列说法正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则0a b +=B ．若z 是1i 13i +−的共轭复数，则25a b +=− C ．若()()1i 13i z =+−，则2a b +=D ．若i 1z −=，则z 取最大值时，2a b +=11．已知等腰直角ABC 的斜边4,AB D =是斜边AB 上的一点，且满足2CD =，若将ACD 沿着CD 翻折到A CD ′△位置，得到三棱锥A BCD −′，则（ ）A ．CD AB ′⊥B ．当A D BD ′⊥时，三棱锥B A CD ′−的体积为43C ．当A B ′=时，二面角A CD B ′−−的大小为π3D ．当2π3A DB ∠=′时，三棱锥A BCD −′的外接球的表面积为20π故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BAD∠∠∠=．则（1）BD=；（2）2ACBC CD⋅的最小值为．13．已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30n mile. 一艘海盗船以30 n mile/h的速度沿着北偏东15°方向从海岛B 出发，同时海警船以的速度从海岛A 进行追赶，经过t 小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 .14．在三棱锥−P ABC 中，已知ABC 是边长为2的正三角形，且PA PB =.若PAB 和ABC 的面积之积P AB C 的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知()1,1a = ，1b = ，a 与b 的夹角为45°.(1)求23a b − ；(2)若向量()2a b λ− 与()3a b λ−的夹角为钝角，求实数λ的取值范围.16.（本小题15分） 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 26b A a c +−=．(1)求B ；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，3a =，求ABC 的面积．12π36sin 23=×××= 17.（本小题15分） 袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是2125．求袋中红球的个数；(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．18.（本小题17分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．19.（本小题17分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PDCD ==，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(2)设H 点是AD 的中点，若面EDB 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求四棱锥E HBD −的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别是BCD ∠，BCE ∠，DEC ∠，DEB ∠ (2)7π【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以PD BC ⊥，因为ABCD 为长方形，所以BC CD ⊥，因为PD CD D ∩=，,PD CD ⊂平面PCD 所以BC ⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥，因为PC BC C ∩=，,PC BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ，由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠，BCE ∠，DEC ∠，DEB ∠；。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是()A．1，2a＋1B．2a＋1，1C．1＋a，1D．1，1＋a2.函数y＝－x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为()A．0B．－4C．－1D．以上都不对3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为()A．42，12B．42，－C．12，－D．无最大值，－4.函数y＝在[2，3]上的最小值为()A．2B．C．D．－5.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为()A．0B．C．2D．36.当x∈(0，5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f()]C．[f()，f(5)]D．[c，f(5)]7.函数y＝的最大值是()A．1B．2C．3D．48.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为()A．5B．8C．20D．无法确定9.设c<0，f(x)是区间[a ，b]上的减函数，下列命题中正确的是( ) A ．f(x)在区间[a ，b]上有最小值f(a) B ．f(x)＋c 在[a ，b]上有最小值f(a)＋c C ．f(x)－c 在[a ，b]上有最小值f(a)－c D ．cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)10.设函数f(x)的定义域为R ，有下列四个命题：(1)若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的最大值(2)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，且x≠x 0，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (3)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (4)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 这些命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值12.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)的值域为( ) A ．[2，＋∞) B ．[3，11) C ．[2，11)D ．[2，3)二、填空题1.函数f(x)＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________.2.若函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，最小值为________.3.函数y ＝的值域是________.4.若函数f(x)满足f(x ＋1)＝x(x ＋3)，x ∈R ，则f(x)的最小值为________.5.函数y ＝的值域是________.6.函数y ＝的单调增区间是________，最小值________.三、解答题1.求函数y ＝x 2－12x ＋20当自变量x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x 值， (1)x ∈R ； (2)x ∈[1，8]； (3)x ∈[－1，1].2.求函数y ＝|x ＋1|＋的最小值.3.求函数y ＝(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.函数y ＝ax ＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，2a ＋1 B ．2a ＋1，1 C ．1＋a ，1 D ．1，1＋a【答案】A【解析】函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上单调递减,所以最大值、最小值分别是a0＋1=1,2a+1,选A.2.函数y＝－x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为()A．0B．－4C．－1D．以上都不对【答案】B【解析】因为对称轴为x="1" ，所以x=3时取最小值-9+6-1=-4，选B.3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为()A．42，12B．42，－C．12，－D．无最大值，－【答案】D【解析】因为对称轴为x=，所以x=时取最小值－，由于为开区间，端点值取不到，无最大值，选D.4.函数y＝在[2，3]上的最小值为()A．2B．C．D．－【答案】B【解析】y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，选B.5.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为()A．0B．C．2D．3【答案】B【解析】y＝x－在[1，2]上单调递增，所以当x=2时，取最大值为，选B.6.当x∈(0，5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f()]C．[f()，f(5)]D．[c，f(5)]【答案】C【解析】因为对称轴为x=,所以当x=时，取最小值f()；当x=时，取最大值f()；所以值域为[f()，f(5)]，选C.点睛：图象法求二次函数最值：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值7.函数y ＝的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】当x≤0时，2x ＋3≤3；当0<x≤1时，3<x ＋3≤4；当x>1时，－x ＋5<4. 综上可知，当x ＝1时，y 有最大值4.选D. 点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．8.若函数y ＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k 的值为( )A ．5B ．8C ．20D ．无法确定【答案】C 【解析】∴或∴k ＝20.选C.点睛：利用函数的单调性求解函数最值的步骤 (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．9.设c<0，f(x)是区间[a ，b]上的减函数，下列命题中正确的是( ) A ．f(x)在区间[a ，b]上有最小值f(a) B ．f(x)＋c 在[a ，b]上有最小值f(a)＋c C ．f(x)－c 在[a ，b]上有最小值f(a)－c D ．cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)【答案】D【解析】因为f(x)是区间[a ，b]上的减函数，所以f(x)在区间[a ，b]上有最大值f(a)，f(x)＋c 在[a ，b]上有最大值f(a)＋c ，f(x)－c 在[a ，b]上有最大值f(a)－c ，cf(x)在[a ，b]上有最小值cf(a)，所以选D.10.设函数f(x)的定义域为R ，有下列四个命题：(1)若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的最大值(2)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，且x≠x 0，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (3)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)<f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 (4)若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤f(x 0)，则f(x 0)是函数f(x)的最大值 这些命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】若存在常数M ，使得对任意的x ∈R ，有f(x)≤M ，则M 是函数f(x)的上确界，不一定是最大值，所以(2)，(4)是正确的.选C.11.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C【解析】因为y＝|x－3|－|x＋1|，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．12.函数y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)的值域为()A．[2，＋∞)B．[3，11)C．[2，11)D．[2，3)【答案】C【解析】因为对称轴x=2，所以当x=2时，取最小值2，当x=5时，取最大值11，即值域为[2，11)，选C.二、填空题1.函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.【答案】±2【解析】f(x)是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f(－)＝＋1＝0，解得b＝±2.2.若函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，最小值为________.【答案】 10 6【解析】时，；时，，因此最大值为10，最小值为6点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3.函数y＝的值域是________.【答案】[0，]【解析】y＝4.若函数f(x)满足f(x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f(x)的最小值为________.【答案】－【解析】由f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得f(x)＝x2＋x－2＝(x＋)2－，所以f(x)的最小值是－.5.函数y＝的值域是________.【答案】(0，2]【解析】观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，故函数y的值域为(0，2].6.函数y＝的单调增区间是________，最小值________.【答案】 [0，1)和[2，＋∞)－3【解析】作出函数图像，如图所示.由图像知，函数单调递增区间是[0，1)和[2，＋∞)，最小值是－3.点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.三、解答题1.求函数y ＝x 2－12x ＋20当自变量x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x 值， (1)x ∈R ； (2)x ∈[1，8]； (3)x ∈[－1，1]. 【答案】（1）6（2）1（3）-1【解析】（1）根据对称轴以及开口方向，得函数只有最小值，无最大值（2））根据对称轴与定义区间位置关系得最值取法（3）根据对称轴与定义区间位置关系得函数单调递减，确定最值取法 试题解析：(1)y ＝(x －6)2－16，显然对称轴x ＝6，故y min ＝－16，无最大值. (2)当x ＝6时，y min ＝－16.当x ＝1时，y max ＝9. (3)当x ＝1时，y min ＝9.当x ＝－1时，y max ＝33.2.求函数y ＝|x ＋1|＋的最小值.【答案】3【解析】 根据绝对值定义将函数化为分段函数，结合图像得最小值 试题解析： 将原函数y ＝|x ＋1|＋化为 y ＝由函数的图像知y 的最小值为3.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3.求函数y ＝(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.【答案】y max ＝2，y min ＝.【解析】 分离得y ＝，再根据函数单调性确定最值试题解析：方法一：设－4≤x 1<x 2≤－2，∵f(x 1)－f(x 2)＝，∵x 1＋1<0，x 2＋1<0，x 1－x 2<0，∴<0，∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)＝在[－4，－2]上单调递增.∴y max ＝f(－2)＝2，y min ＝f(－4)＝. 方法二：y ＝＝1－.画图可得最值.。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：50 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若函数，则以下判断正确的是（ ）A.函数是周期为的奇函数B.函数是周期为的偶函数C.函数是周期为的偶函数D.函数是周期为的奇函数2. 已知是的一个内角，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.f (x)=sin(x −)12π2f (x)πf (x)2πf (x)4πf (x)4πA △ABC cos A =2–√2A =45∘y =f (x)[−,1)12y =f (sin x)[−,]π67π6[−+2kπ,+2kπ]π67π6[+2kπ,+2kπ)7π611π6[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6(x)=cos 2x +sin(−x)π4. 函数是（ ）A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数5. 函数的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是( )f(x)=cos 2x +sin(−x)π2f (x)=ln |x|+cos x f (x)=8sin(ωx −)(ω>0)π3πf (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3m π,π]3A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7. 已知函数，则( )A.的最小正周期为B.将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象C.在上单调递增D.点是图象的一个对称中心8. 已知函数若，且，则( )A.B.C.的取值范围是D.的取值范围是卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9. （5分） 我国古代数学名著《九章算术》中有一问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”问相逢时大鼠穿墙________尺．四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）10.(5分) 已知函数.[π,π]32[π,π]5654[,]π3π2[−,π]π843f (x)=sin(2x −)π6f (x)πy =sin 2x π6f (x)f (x)(−,)π6π3(−,0)5π12f (x)f (x)={|x|,0<x <9,log 32sin(x +),9≤x ≤17,π4π4f (a)=f (b)=f (c)=f (d)a <b <c <d ab =1c +d =26πabcd (153,165)a +b +c +d (28,)3169f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4，]2π求在区间上的值域；由函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象(1)f(x)[，]π62π3(2)y =sin 2x f(x).参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法诱导公式函数奇偶性的判断【解析】利用诱导公式化简函数解析式，再利用三角函数的性质求解即可.【解答】解：函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为.故选.2.【答案】C【考点】任意角的三角函数必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出角，即可判断充要性.【解答】f (x)=sin(x −)=−sin(−x)=−cos x 12π2π21212=4π2π12C A A =–√解：∵，且为的一个内角，∴，故“”是“”的充要条件.故选.3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．【解答】解：因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．4.【答案】D【考点】余弦函数的奇偶性【解析】根据诱导公式化简得，可得，函数是偶函数．再化简得，可得当时函数有最小值且时函数有最大值，由此可得答案．【解答】cos A =2–√2A △ABC A =45∘cos A =2–√2A =45∘C y =1(x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D y =f (x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D f(x)=cos 2x +cos x f(−x)=f(x)f(x)=2x +cos x −1cos 2cos x =−14cos x =1(−x)=cos xπ解：根据诱导公式，得∴函数∴函数是偶函数又∵∴当时，函数有最小值；当时，函数有最大值综上所述，函数是既有最大值又有最小值的偶函数故选：5.【答案】C【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除，．当且无限趋近于时，趋近于，故选．6.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的性质正弦函数的单调性【解析】答案未提供解析．【解答】解：由题意，得，解得．sin(−x)=cos xπ2f(x)=cos 2x +sin(−x)=cos 2x +cos x π2f(−x)=cos(−2x)+cos(−x)=cos 2x +cos x =f(x)f(x)f(x)=cos 2x +cos x =2x +cos x −1cos 2cos x =−14−98cos x =12f(x)D f(−x)=ln |−x|+cos(−x)=ln |x|+cos x =f(x)f (x)y A B x >00f (x)−∞C =π2πωω=2kπ−≤2x −≤2kπ+πππ由，，解得，，，，解得，.因为在上单调递增，在上单调递减，所以 解得，所以实数的取值范围是．故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性以及的图象变换规律，得出结论．【解答】解：，因为，所以，故正确；，因为 图象向右平移个单位长度，所以平移后的函数为，得不到图象，故错误；，令，，解得，，则的单调递增区间为，2kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π125π12k ∈Z 2kπ+≤2x −≤2kπ+π2π33π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+5π1211π12k ∈Z f (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3 ≤,m 35π12≥,m 25π12≤m ≤5π65π4m [π,π]5654B y =A sin(ωx +φ)A f (x)=sin(2x −)π6T ==π2π2A B y =sin 2x π6sin[2(x −)]=sin(2x −)π6π3f (x)B C 2kπ−<2x −<2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−<x <kx +π6π3k ∈Z f(x)(kx −,kx +)(k ∈Z)π6π3−,)ππ令，则一个单调递增区间为，故正确；，将代入，得，故正确．故选．8.【答案】A,C,D【考点】对数函数的图象与性质分段函数的应用正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：可画出函数图象，据题意有.由得；由得；；．故选．三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9.【答案】k =0f (x)(−,)π6π3C D (−,0)5π12f (x)=sin(2x −)π6f (−)=sin(−−)=05π125π6π6D ACD <a <1<b <9<c <11<15<d <1719|a|=|b|log 3log 3ab =12sin(c +)=2sin(d +)π4π4π4π4c +d =26abcd =c (26−c)=−+169∈(153,165)(c −13)2a +b +c +d =a ++26∈(28,)1a 3169ACD 3817【考点】函数的零点【解析】因为大老鼠第一天挖尺，小老鼠第一天也挖尺，则第二天大老鼠挖尺，小老鼠挖尺，所以前两天大小老鼠共穿尺，第三天需要穿尺．第三天大老鼠穿尺，小老鼠穿尺，此时设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺 根据打洞时间相等：，由此求出的值，进而求出两只老鼠打通洞各挖的米数．【解答】解：因为前两天大小老鼠共穿尺，所以第三天需要穿尺就可以碰面．第三天大老鼠穿尺，小老鼠穿尺，设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，所以，所以，所以三天总的来说：大老鼠打了（尺），故答案为：．四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）10.【答案】解：.因为，所以，所以，所以，所以函数 在区间上的值域为.①将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象；②将函数 的图象上所有点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 的图象1120.51+2+1+0.5=4.50.5414x (0.5−x)x ÷4=(0.5−x)÷14x 1+2+1+0.5=4.55−4.5=0.5414x (0.5−x)x ÷4=(0.5−x)÷14x =8171+2+=38178173817(1)f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4=sin x(cos x cos −sin x sin )+π3π33–√4=sin x cos x −x +123–√2sin 23–√4=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)143–√412π3≤x ≤π62π3≤2x +≤2π3π35π3−1≤sin(2x +)≤π33–√2−≤f(x)≤123–√4f(x)[,]π62π3[−,]123–√4(2)y =sin 2x π6y =sin(2x +)π3y =sin(2x +)π312f(x)=sin(2x +)12π3.【考点】正切函数的定义域三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：.因为，所以，所以，所以，所以函数 在区间上的值域为.①将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象；②将函数 的图象上所有点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 的图象(1)f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4=sin x(cos x cos −sin x sin )+π3π33–√4=sin x cos x −x +123–√2sin 23–√4=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)143–√412π3≤x ≤π62π3≤2x +≤2π3π35π3−1≤sin(2x +)≤π33–√2−≤f(x)≤123–√4f(x)[,]π62π3[−,]123–√4(2)y =sin 2x π6y =sin(2x +)π3y =sin(2x +)π312f(x)=sin(2x +)12π3.。
2023-2024学年辽宁省沈阳市高一下册第一次质量检测数试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高一下册第一次质量检测数试题一、单选题1．已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且3sin 5θ=，则sin()2sin 22tan()ππθθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=-（）A ．2215B ．23C ．2215-D ．23-【正确答案】C【分析】根据给定条件判定θ所在象限并求出cos ,tan θθ，再利用诱导公式化简计算即得.【详解】依题意，θ是第二象限角，而3sin 5θ=，则4sin 3cos ,tan 5cos 4θθθθ==-==-，所以342()sin()2sin()sin 2cos 2255232tan()2tan 152()4ππθθθθπθθ-+⋅-++--+===----⋅-.故选：C2．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，向量a 在b方向上的投影向量为（）A ．(2，﹣2)B ．(12，12-)C ．(25，15)D ．(2，2)【正确答案】B【详解】首先根据题意求出向量a 在b方向上的投影为2，再求投影向量即可.向量a 在b 方向上的投影a b b ⋅== 因为投影向量与b方向相同，()1,1,222b b ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以向量a在b方向上的投影向量为11,22222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B3．已知函数()2f x x =.令2πsin 7a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5πcos 7b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5πtan 7c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】先利用诱导公式可知5π3πcos sin 714=-，由此可得3π3πsin sin 1414b f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据偶函数()f x 的单调性可得结论．【详解】由于5ππ3π3πcoscos +sin 721414⎛⎫==- ⎝⎭，()f x 为偶函数，则3π3πsin sin 1414b f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，由于sin y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，所以3π2π5πsin sin 1tan 1477<<<，又偶函数()f x 在[0,)∞+上单调递增，b ac ∴<<．故选：D4．已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=- ，若向量2c a b =+，则,a c = （）A ．1arccoc3B．arccos3C ．1arccos4D．arccos3【正确答案】C【分析】根据向量数量积的运算以及模长公式,代入夹角公式中即可求解余弦值,进而可求解角.【详解】()21122122a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=-,22c a b=+=,所以112cos ,24a c a c a c ⋅===，由于[],0,πa c ∈ ,所以,a c = 1arccos 4，故选：C5．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【正确答案】D【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．已知函数()tan()(0,0π)f x x ωϕωϕ=-><<与直线y a =交于,A B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．π8B ．π4C ．3π4D ．7π8【正确答案】C【分析】确定函数的最小正周期，可求得3ω=，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出ππ,Z 42k k ϕ=-∈，依据0πϕ<<，即可求得答案.【详解】由题意知，函数()f x 的最小正周期π3T =,则ππ3ω=,得3ω=,所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到ππtan 3()tan(3)124y x x ϕϕ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦的图象，因为该图象关于原点对称，则ππ,Z 42k k ϕ-=∈，所以ππ,Z42k k ϕ=-∈当0k >时，Z k ∈，0ϕ<，不合题意，当0k =时，π4ϕ=，又0πϕ<<，所以当1k =-时，ϕ取3π4，当2,3,k ≤-- 时，5π4ϕ≥，不合题意，故ϕ最大值为3π4，故选：C7．若θ为第二象限角，且()1tan 2θπ-=-的值是（）A ．4B ．-4C ．14D ．14-【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.【详解】由()1tan 2θπ-=-得：1tan 2θ=-，而θ为第二象限角，则有sin 0θ>，1cos 1cos 2cos 24sin sin sin tan θθθθθθθ+-=-===-故选：B8．将函数()f x 4cos x 2π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()g x x —1=的所有交点从左到右依次记为123,,,...n A A A A ，若P点坐标为(0，则12......n PA PA PA ++=A ．0B ．2C ．6D ．10【正确答案】D【分析】根据题意画出函数f （x ）与g （x ）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，再计算12......n PA PA PA ++与它的模长．【详解】函数f （x ）＝4cos x 2π⎛⎫⎪⎝⎭与g （x ）＝x ﹣1的所有交点从左往右依次记为A 1、A 2、A 3、A 4和A 5，且A 1和A 5，A 2和A 4，都关于点A 3对称，如图所示；则125......PA PA PA ++=535PA = （1，3，所以12......n PA PA PA ++＝10．故选D ．本题考查了函数的图象与平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，中档题．二、多选题9．（多选题）设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]02π，上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 在(0,2π)上有且只有3个最大值，()f x 在(0,2π)上有且只有2个最小值C ．()f x 在π(0,)10上单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】CD【分析】由图象平移得到函数解析式，求出正弦型函数的对称轴判断A ，作出函数大致图象，根据条件可判断2π位置，据此可得出函数极大值与极小值的个数判断B ，求出函数在y 轴右侧第5个和第6个零点,A B x x ，由2πA B x x ≤<求出ω范围判断D ，再由图象知函数在3π(0,)10ω上递增，利用ω范围可知π3π1010ω<，据此即可判断C.【详解】依题意得πππ()()sin ()sin(555f x g x x x ωωωω⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦，2πT ω=，如图：对于A ，令πππ,Z 52x k k ω+=+∈，得π3π,Z 10k x k ωω=+∈，所以f x （）的图象关于直线π3π(Z)10k x k ωω=+∈对称，故A 不正确；对于B ，因为()f x 在[]02π，上有且只有5个零点，根据图象可知，2πA B x x <，()f x 在[]02π，有3个极大值点，()f x 在[]02π，有2个或3个极小值点，故B 不正确；对于D ，因为π5π52π24πππ2π29π,3352525555A B x T x T ωωωωωωωω=-+=-+⨯==-+=-+⨯=，所以24π29π2π55ωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为π1π12π3π545410T ωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3π(0,)10ω上递增，因为29310ω<<，所以π3ππ3(1)0101010ωω-=-<，所以f x （）在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确．故选：CD ．10．对于函数()()11sin cos cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的值域是[]1,1-B ．当且仅当()π2π2πZ 2k x k k <<+∈时，()0f x >C ．当且仅当()π2πZ 2x k k =+∈时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数【正确答案】ACD【分析】先理解题意可得sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x xf x x x ≥⎧=⎨<⎩，再作出函数()y f x =的图象，再观察图象的性质即可得解.【详解】解：由函数11()(sin cos )cos sin 22f x x x x x =+--，则sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x xf x x x ≥⎧=⎨<⎩，作出函数()y f x =的图象（实线部分），观察图象的性质有：函数()f x 的值域为22⎡-⎢⎣⎦，即选项A 错误，当且仅当()π2π2πZ 2k x k k <<+∈时，()f x ＞0，即选项B 正确，当且仅当π2π(Z)4x k k =+∈时，函数()f x 取得最大值2，即选项C 错误，函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，即选项D 错误，故选：ACD.11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()cos cos f x x x =+，函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（）A ．函数()g x 的值域是{}0,1,2B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于πx =对称D ．方程()π2g x x ⋅=只有一个实数根【正确答案】ABC【分析】根据()cos cos x x -=，可得cos cos x x =，则()cos cos cos cos f x x x x x =+=+，去绝对值符号，从而可求出()f x 的值域，基尔克的函数()g x 的节诶稀释，作出函数图象，再根据函数图象逐一分析各个选项即可得解.【详解】因为()cos cos x x -=，所以cos cos x x =，则()cos cos cos cos f x x x x x =+=+，当ππ2π2π,Z 22k x k k -+≤<+∈时，cos cos x x =，当π3π2π2π,Z 22k x k k +≤<+∈时，cos cos x x =-，所以()ππ2cos ,2π2π22,Z π3π0,2π2π22x k x k f x k k x k ⎧-+≤<+⎪⎪=∈⎨⎪+≤<+⎪⎩，所以()[]0,2f x ∈，作出函数()f x的图象，当()2f x =时，2π,Z x k k =∈，此时()()2g x f x ==⎡⎤⎣⎦，当()12f x ≤<时，ππ2π,2π2π,2π33x k k k k ⎡⎫⎛⎤∈-+⋃+⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，此时()()1g x f x ==⎡⎤⎣⎦，当()01f x ≤<时，π5π2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，此时()()0g x f x ==⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故A 正确；作出函数()g x 的图象，由图可知函数()g x 是以2π为周期的周期函数，故B 正确；函数()g x 的图象关于πx =对称，故C 正确；对于D ，方程()π2g x x ⋅=根的个数即为方程方程()2πg x x =⋅根的个数，即为()2,πy g x y x ==⋅两个函数图象交点的个数，当π3x =时，221π3x =<，当5π3x =时，2102π3x =>，由图可知，()2,πy g x y x ==⋅两个函数图象没有交点，所以方程()π2g x x ⋅=无解，故D 错误.故选：ABC.12．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O 是锐角ABC 内的一点，,,A B C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（）A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB Cπ∠=-C ．:sin :si n :n :si O A A OB O C C B = D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 【正确答案】ABD【分析】利用数量积的运算律可整理得到OB CA ⊥，同理OA BC ⊥，OC AB ⊥，知A 正确；推导得到AOE C =∠∠，由此可证得B 正确；由数量积的定义和B 的结论可求得cos OA OB OA OB C ⋅=-⋅ ，同理得OB OC ⋅ ，OA OC ⋅，作比可得到结果，知C 错误；利用三角形面积公式和B 的结论表示出1sin 2A S OA OBC =，同理得到,B C S S ，作比后代入C 中推导的结论可得::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，由此证得D 正确.【详解】对于A ，OA OB OB OC ⋅=⋅，()0OB OA OC OB CA ∴⋅-=⋅= ，即OB CA ⊥，同理可证得：OA BC ⊥，OC AB ⊥，O ∴是ABC 的垂心，A 正确；对于B ，延长,OA OB 交,BC AC 于,D E 两点，由A 可知：AD BC ⊥，BE AC ⊥，2C CAD π∴∠+∠=，2AOE CAD π∠+∠=，AOE C ∴∠=∠，又AOE AOB π∠+∠=，AOB AOE C ππ∴∠=-∠=-，B 正确；对于C ，由B 可得：cos cos OA OB OA OB AOB OA OB C ⋅=⋅∠=-⋅，同理可得：cos OB OC OB OC A ⋅=-⋅ ，cos OA OC OA OC B ⋅=-⋅，cos cos cos OA OB C OB OC A OA OC B ∴-⋅=-⋅=-⋅，::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=，C 错误；对于D ，由B 可得：11sin sin 22C S OA OB AOB OA OB C =∠=，同理可得：1sin 2A S OB OC A = ，1sin 2B S OA OC B =，sin sin sin ::::A B C A B CS S S OA OB OC∴= ，由C 可得：sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C A B CS S S A B C A B C==，又0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=，D 正确.故选：ABD.关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，涉及到垂心的向量表示、向量数量积的定义等知识；解题关键是能够通过数量积的定义和运算律，将所证内容进行转化，得到三角形面积或向量模长与角的正余弦值之间的关系.三、填空题13．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππsin sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______．【正确答案】119由诱导公式可得5sin()sin()66ππαα-=+，ππcos sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin ()3πα-21cos 3πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，代入可得到答案.【详解】因为π5ππ66αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ1sin πsin 663αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππ1cos cos sin 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2225ππ1π4111sin sin 1cos 6333339ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故119．本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用π5ππ66αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.14．求函数lg sin 2y x ⎛=-+ ⎝⎭__________________.【正确答案】π3π2π2π,Z 34x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据对数以及根式的性质，转化成三角函数的不等式，由三角函数的性质即可求解.【详解】lg sin 2y x ⎛=-+ ⎝⎭sin 0212cos 0x x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩，即sin 1cos 2x x ⎧⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，所以π3π2π2π44π5π2π2π33k x k k x k ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪+≤≤+⎪⎩，其中Z k ∈，即π3π2π2πZ 34k x k ,k +£<+Î，故答案为.π3π2π2π,Z 34x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧QRT 是一个以O 点为圆心､QT为直径的半圆，QT =米.圆弧QST 的圆心为P 点，60PQ =米，圆弧QRT 与圆弧QST 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.【正确答案】150π+【分析】连接PO ，利用题目所给条件结合解三角形知识解出QPO ∠，从而得出QPT ∠的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆QRT 的面积减去弓形QST 的面积，然后计算各部分的面积作差即可.【详解】如图所示，连接PO ，易知PO QT ⊥，因为sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=.则弓形QST的面积为：22112160602322S π=⨯⨯-⨯⨯，又半圆QRT 的面积为：()2213032S π=⨯⨯，所以月牙泉的面积为：()22212113303606015090032322S S S πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯-⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭(平方米).故答案为.1509003π+本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.16．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则PA OC PB OP PA OP PB OC ⋅-⋅-⋅+⋅的最小值______.【正确答案】2-【分析】()()()PA OC PB OP PA OP PB OC PA OC OP PB OC OP PA PB PC ⋅-⋅-⋅+⋅=⋅-+⋅-=+⋅uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uuu ruu r uuu r uu u ru r uuu r uu u ruu r uu r uu u r，再根据O 是AB 的中点，可得()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅，再由,,O P C 三点共线，2PO PC OC +==为定值，从而可由基本不等式求出结果.【详解】()()()PA OC PB OP PA OP PB OC PA OC OP PB OC OP PA PB PC ⋅-⋅-⋅+⋅=⋅-+⋅-=+⋅uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uuu ruu r uuu r uu u ru r uuu r uu u ruu r uu r uu u r，因为O 是AB 的中点，所以2PA PB PO +=，所以()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=- ，因为,,O P C 三点共线，且2PO PC OC +==，所以212PO PC PO PC ⎛⎫+ ≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1PO PC == 时取等号，所以2PO PC - 的最小值为2-，所以PA OC PB OP PA OP PB OC ⋅-⋅-⋅+⋅的最小值是2-.故答案为.2-四、解答题17．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m （示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，(1)求出其与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式；(2)若距离地面高度超过205m .时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？【正确答案】(1)()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭；(2)40min .【分析】（1）设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，根据已知条件求出A 、ω、ϕ的值，可得出函数()h t 的解析式；（2）解不等式()20.5h t >，即可得解.【详解】（1）解：设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，则40A =，40.5b =，所以()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>，第一次到最高点旋转了半周期，所以()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以2πϕ=-，故()()40sin 40.53002h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥）.（2）解：令()20.5h t >，则40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎝⎭，（或1cos302t π<），所以72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z ，所以()()5060106040min k k +-+=，因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有40min 最佳观景时间.18．已知向量,a b 满足4a = ，3b = ，且()()3235a b a b -⋅+= .(1)求向量a 与b的夹角；(2)设向量c a b λ=+ ，当[]0,1λ∈时，求c v 的取值范围．【正确答案】(1)120︒；(2)⎡⎤⎣⎦．【分析】（1）由4,3a b ==，()()3235a b a b -⋅+= ，可解得6a b ⋅=-，利用向量夹角余弦公式可得结果；（2）由c a b λ=+，平方可得22229123c a b λλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，则c = []0,1λ∈，利用二次函数的性质可得c 的取值范围.【详解】(1)因为()()3235a b a b -⋅+=，则2225335a a b b -⋅-=.因为4,3a b ==，则3252735a b -⋅-= ，解得6a b ⋅=-.设向量a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a bθ⋅==-.又[]0,180θ∈︒︒，则120θ=︒，所以向量a 与b的夹角为120︒.(2)因为2222222222c a b a a b b a a b b λλλλλ=+=+⋅+=+⋅+222161299123λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则c =因为[]0,1λ∈，则当23λ=时，c 取最小值0λ=时，c 取最大值4，所以c的取值范围是4⎡⎤⎣⎦．本题主要考查向量的模、夹角以及及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+ ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b上的投影是a b b⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅ ）.19．已知0πx <<，且满足sin co 13s 7x x +=.求：(1)tan x 的值；(2)2sin cos sin cos x xx x-+；(3)2sin cos 2sin x x x +.【正确答案】(1)12tan 5x =-(2)1719(3)228169【分析】（1）根据sin cos sin cos sin cos x x x x x x ，，+-之间的关系，即可联立方程求解正余弦以及正切的值，（2）（3）根据弦切互化，转化成齐次式即可求解.【详解】（1）已知0πx <<，且满足sin co 13s 7x x +=,平方得04911692sin cos sin cos x x x x =+<⇒,所以ππ2x <<，∴sin cos 0x x t -=>，()()2222sin cos sin 72os 3c 1x x x x t +⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，sin co 1713s x x t =-=.联立7sin cos 1317sin cos 13x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12sin 13x =，5cos 13x =-，12tan 5x =-；（2）sin cos tan sin cos tan 12111751222119215x x x x x x ----===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（3）2222sin co 2sin 2sin s si sin cos n cos x x x x x xx x++=+222212122tan 2tan 22855tan 11691215x x x ⎛⎫-+⨯- ⎪+⎝⎭===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()2sin cos 1f x x m x =-+-，2,.33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1若()f x 的最小值为4-，求m 的值；()2当2m =时，若对任意1x ，22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1） 4.5m =或3m =-；（2）[)2,∞+.【分析】（1）利用函数的公式化简后换元，转化为二次函数问题求解最小值，可得m 的值；（2）根据121()()24f x f x a --恒成立，转化为函数12()()()f x f x f x =-的最值问题求解；【详解】解：（1）函数f （x ）=-sin 2x +m cos x -1=cos 2x +m cos x -2=（cos x +2m ）2-2-24m ．当cos x =2m -时，则2+244m =，解得：m=±那么cos x=显然不成立．x ∈[233ππ-，]．∴12-≤cos x ≤1．令cos x =t ．∴12-≤t ≤1．①当12-＞2m-时，即m ＞1，f （x ）转化为g （t ）min =（122m -+）2-2-24m =-4解得：m =4.5，满足题意；②当1＜2m -时，即m ＜-2，f （x ）转化为g （t ）min =（12m +）2-2-24m =-4解得：m =-3，满足题意；故得f （x ）的最小值为-4，m 的值4.5或-3；（2）当m =2时，f （x ）=（cos x +1）2-3，令cos x =t ．∴12-≤t ≤1．∴f （x ）转化为h （t ）=（t +1）2-3，其对称轴t =-1，∴t ∈[12-，1]上是递增函数．h （t ）∈[114-，1]．对任意x 1，x 2∈[-233ππ，]都有|f （x 1）-f （x 2）|124a ≤-恒成立，|f （x 1）-f （x 2）|max =1111244a ⎛⎫--≤-⎪⎝⎭可得：a ≥2．故得实数a 的取值范围是[2，+∞）．本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．21．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，把函数()f x -的图象向右平移π4个单位，得到函数()g x 的图象.(1)当x ∈R 时，求函数()g x 的单调递减区间；(2)对于1ππ,123x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，是否总存在唯一的实数2π3,π64x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x m +=成立？若存在，求出实数m 的值或取值范围；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)单调递减区间为()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)存在，(3m ∈【分析】（1）根据函数图象可得A 与周期，从而可求得ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据平移变换的原则即可得函数()g x 的解析式，再根据三角函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-，分别求出()1m f x -和()2g x 的范围，再根据题意可得()1m f x -的范围是()2g x 的范围的子集，进而可得出答案.【详解】（1）由函数图象可知，2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴2ππT ω==，2ω=，∴()()2sin 2f x x ϕ=+，当π12x =-时，()0f x =，∴πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由π2ϕ<得π6ϕ=，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π2sin 26f x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，得()πππ2sin 22cos 2466g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π2π2π2π6k x k ≤-≤+，解得π7πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈，∴函数()g x 的单调递减区间为()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()()12f x g x m +=，得()()21g x m f x =-，由1ππ123x -≤≤，可得1π5π0266x ≤+≤，∴1π0sin 216x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()[]12,m f x m m -∈-，又2π3π64x ≤≤，得2ππ4π2663x ≤-≤，所以2π1cos 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，由2x 的唯一性可得：21πcos 2262x ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭即()(2g x ∈-，由[](2,m m -⊆-，得21mm ->-⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1m <≤综上所述，当(m ∈时，使()()12f x g x m +=成立.22．在ABC 中，6CA =，8AB =，2BAC π∠=，D 为边BC 中点．（1）求AD CB ⋅的值；（2）若点P 满足CP CA λ= ()R λ∈，求PB PC ⋅的最小值；（3）若点P 在BAC ∠的角平分线上，且满足PA mPB nPC =+(,)m n R ∈，若12n ≤≤，求||PA的取值范围.【正确答案】（1）14；（2）-9；（3）[5.【分析】建立平面直角坐标系.（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可；（2）利用平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可；（3）根据角平分线的性质，结合平面向量共线的坐标表示公式、加法的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】以,AC AB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(0,0),(6,0),(0,8).A C B 因为D 为边BC 中点，所以(3,4)D .（1）因为(3,4),(6,8)AD CB ==- ，所以3(6)4814AD CB ⋅=⨯-+⨯= ；（2）因为点P 满足CP CA λ=()R λ∈，所以点P 在横轴上，设(,0)P x ，则2(,8)(6,0)(6)(3)9PB PC x x x x x ⋅=-⋅-=--=--，所以PB PC ⋅ 的最小值是9-（3）因为点P 在BAC ∠的角平分线上，所以设(,)P a a ，因为PA mPB nPC =+ 可以表示为(,)(,8)(6,)a a m a a n a a --=--+--，所以有：6324688474a n am an n n m m n a a m am an n -=--⎧⇒=⇒=⇒=⎨-=---⎩，PA==，11441112424 121243758,44 253577 nn n nn n≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤-≤⇒≤≤⇒≤≤--所以||PA的取值范围是.。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋72.如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3.观察下表：则f(g(3)－f(－1))＝()A. 3B. 4C. －3D. 54.已知函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋B．f(x)＝x2＋2C．f(x)＝x2D．f(x)＝(x－)25.已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝()A．p＋q B．2p＋qC．p＋2q D．p2＋q二、填空题1.已知函数，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．2.若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝______.3.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量（）与其运费（元）之间的关系由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为__________（）.三、解答题1.已知f(x＋4)＋f(x－1)＝x2－2x，其中f(x)是二次函数，求函数f(x)的解析式．2.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．3.设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．4.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y关于x的解析式；(2)用列表法表示此函数，并画出图象．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7【答案】B【解析】∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.点睛:本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.解决本题的关键是g(x)＝f(x－2),即在f(x)＝2x＋3的解析式中,将自变量x都用x-2来替换,代入求出f(x－2)的解析式,即所求的g(x)的解析式.2.如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．故选A．【考点】本题主要考查几何体的特征，函数的单调性。
2019-2020年高一数学下学期同步测试(VIII)
2019-2020年高一数学下学期同步测试(VIII)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（ ）A ．||AB >||CDB ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CDD ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （ ）AB ．532CD．25．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1， CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（ ） ABC ．2D6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于 （ ）A ．14B ．13C ．32D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为 （ ）A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3） 8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ）A ．22b a +B ．cC ．cD ．b a +9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是 （ ）A ．21，4 B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A ．26B ．3C ．23D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ，点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点 M 的坐标为 ．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且||1OP =，则2221x y z ++=表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，PD =2b ，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD 中，||3AD =，||4AB =．将矩形ABCD 沿对角线BD折起，使得面BCD ⊥面ABD ．现以D 为原点，DB 作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)4,1,6(-C ，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问 （1）在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB =？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．参考答案（十一）一、CADCB BDCCA二、11．（2a ，3a ，3a ）； 12．G （3,3,3b c a ） ； 13．以原点O 为球心，以1为半径的球面；14．（3，－1，－4）；三、15．解：设原点为O ，因为A ，B ，C ，D 这4个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用||3AD =，||5AB =写出，所以 A （3，0，0），B （3，5，0），C （0，5，0），D （0，0，0）； 因为平面''''A B C D 与坐标平面xOy 平行，且|'|3AA =，所以A '，B '，'C ，D '的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A ，B ，C ，D 的相同，所以'A （3，0，3），'B （3，5，3），'C （0，5，3），'D （0，0，3）；由于E 分别是'DB 中点，所以它在坐标平面xOy 上的射影为DB 的中点，从而E 的横坐标和纵坐标分别是'B 的12，同理E 的竖坐标也是'B 的竖坐标的12，所以E （353,,222）；由F 为'BC 中点可知，F 在坐标平面xOy 的射影为BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和5，同理点F 在z 轴上的投影是AA '中点，故其竖坐标为32，所以F （32，5，32）． 16．解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行， 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ， 由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ）， 同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．17．解： 由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有，，名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）A.B.C.D.2. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，且这组数的中位数是，那么这组数据的众数是( )A.B.C.D.3. 若，，则（ ）A.B.C.D.4. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A.甲B.丙A B C 60A B C 18027090C 10121824−8−14x 1013776410θ∈(0,)π2sin θ−cos θ=2–√2cos 2θ=3–√2−3–√2±3–√2±12()C.戊D.庚5. 在直三棱柱中，已知，，，为的中点，点为的中点，点在线段上，且，则线段的长为（ ）A.B.C.D.6. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为( )A.B.C.D.7. 矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.ABC −A 1B 1C 1∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4E AA 1F BE H CA 1H =3HC A 1FH 23–√413−−√3ABCD AB//CD AB =3CD =1A =4A 1A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCD 252372ABCD AB =4AD =2E CD AE △ADE D P PAE ⊥ABCE AB PC 14122–√2–√D.8. 已知的垂心为，且，，是的中点，则=（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中，正确的命题有( )A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为10. 下列说法正确的有( )A.若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B.若复数满足，则的最大值为C.份不同的礼物分配给甲、乙、丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法D.个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法11. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是( )A.平面B.C.若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积3–√2△ABC H AB =3AC =5M BC ⋅HM −→−BC −→−5678B (n,p)E (X)=30D (X)=20p =23ξN (0,1)P (ξ>1)=p P (−1<ξ≤0)=−p 12X N (90,900)29038X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=9D (2X −1)=8z |z −3−4i|=1|z|6472104C 39S O AB CD AB ⊥CD SAD∩SBC =l AD//SBCl//ADE △SAE △SAB l SCD 45∘D.与平面所成的角为 12.如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在中，，的面积为，则________.15. 某射击运动员在五次射击中分别打出了，，，，环的成绩，已知这组数据的平均数为，则这组数据的方差为________．16. 已知母线长为 ，侧面积为的圆锥顶点和底面在同一个球面上，则该球的体积为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.（1）用斜二测画法作出边长为、高的矩形的直观图；（2）画出正四棱锥的三视图．18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率l SCD 45∘O ABCDEF =CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−iz −1+i z △ABC a =1,cos C =34△ABC 7–√4c =10x 107993–√π323cm 4cm 695010%上一个年度未发生有责任（或发生无责任）道路交通事故下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究国内某一品牌某型号普通座以下私家车(以下简称为“研牌车”)的投保情况，随机抽取了辆车龄刚满一年的“研牌车”下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 数量 4436182求该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率；若任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，求“研牌车”在第二年续保时保费的平均数. 19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次，记录如下：甲 乙 求甲成绩的分位数；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．20. 如图，在四边形中， ，，．求；若，求周长的最大值． 21. 如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点．当点为的中点时，证明平面．若，求三棱锥的体积．22. 在如图所示几何体中，已知底面，，，，是的中点.A 110%A 20%A 310%A 430%6100A 1A 2A 3A 4(1)(2)882817978958893849295807583809085(1)80%(2)ABCD CD =33–√BC =7–√cos ∠CBD =−7–√14(1)∠BDC (2)∠A =π3△ABD ABC −A 1B 1C 1AB =2A =3A 1D B C 1P AB (1)P AB DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB B −CDP AE ⊥ABC BF//AE BF =2AE AB =AC D BC证明：平面；证明：平面平面.(1)AD//CEF (2)ADF ⊥BCF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，，，三所学校中分别有，，名教师，从学校中应抽取的人数为：．2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】直接利用中位数的定义列方程求出，再根据众数的定义求解即可．【解答】解：因为，，，，，，的中位数是，所以，解得.因为这组数据有两个，其他数据都是个，所以这组数据的众数是.故选．3.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式A B C 60A B C 18027090C 60×=1090180+270+90x =10−8−14x 10137(x +4)=712x =1010110D【解析】通过对表达式平方，求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，得到选项．【解答】解：∵ ，∴，∵，∴，，∴，.故选．4.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了合理推理的应用．由题设条件进行简单的合情推理既得答案．【解答】解：根据题中给出的条件，七名护士的值夜班顺序为：戊、乙、丁、己、庚、丙、甲．所以周五值夜班的护士为庚．故选．5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，．可得，，利用空间两点间的距离公式计算即可．【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，cos θ+sin θcos 2θ(sin θ−cos θ=)2122sin θcos θ=12θ∈(0,)π2sin θ>0cos θ>0sin θ+cos θ==(sin θ−cos θ+4sin θcos θ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√2cos 2θ=θ−θ=(cos θ+sin θ)(cos θ−sin θ)cos 2sin 2=×(−)=−6–√22–√23–√2B D C C(0,0,0)A(0,4,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F(2,2,)3–√m 2H(1,0,)m 2C∵，，，∴，则，，，，．∵点为的中点，∴，∵点在线段上，且，∴∴．故选．6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设四棱柱的底面梯形的高为，，的中点分别为，，设水面高为，则水的体积即，解得.故选．7.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4BC =43–√C(0,0,0)A(4,0,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F BE F(2,2,)3–√m 2H CA 1H =3HC A 1H(1,0,)m 2FH ==(2−1+(2−0+(−)23–√)2m 2m 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√13−−√C 2a AD BC F E h V 水=⋅A S 四边形ABEF A 1=⋅hS 四边形ABCD ⋅4(2+3)a 2=⋅h (1+3)2a 2h =52B【解答】解：因为，所以异面直线与所成角就是或其补角.在中，，，作，垂足为，如图，则，，所以，所以.故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】正态分布的密度曲线二项分布与n 次独立重复试验的模型极差、方差与标准差【解析】无【解答】AB//CB AB PC ∠PCE △PCE EC =2PE =2DO ⊥AE O DO =2–√OC =10−−√PG ===2P +O O 2C 2−−−−−−−−−−√2+10−−−−−√3–√cos ∠PCE =P +E −P C 2C 2E 22PC ⋅EC==12+−22222×2×23–√3–√2D =1解：．根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以错误；．根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以正确；．由正态分布的图象的对称性可得，所以正确；．甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率，所以正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差命题的真假判断与应用复数的代数表示法及其几何意义排列、组合及简单计数问题【解析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知正确；根据复数的几何意义可知正确；根据先分组再分配的原则可知错误，利用挡板法可知正确．【解答】解：对于，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以正确；对于，因为，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以正确；对于，份不同的礼物分组的方式只有，，，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的方法，所以错误；对于，个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，所以正确，故选．11.【答案】A,B,D【考点】A E(X)=np =30D(X)=np(1−p)=20p =13A B B C P (−1<ξ≤0)=1−2P(ξ>1)2==−p 1−2p 212C D 290(1−)=C 23()1221238D BCD X A B C D A X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=2E (X)−1=9D (2X −1)=D (X)=822A B |z −3−4i|=1z P (x,y)C (3,4)1|z|P (x,y)O |z||CO|+1=6B C 4112=6C 24A 3336C D 1041C 39D ABD直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，所以四边形是正方形，所以，因为 平面， 平面，所以平面，故正确；因为平面平面，平面，平面．所以，故正确；若是底面圆周上的动点，当时，的最大面积等于的面积，当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，故错误；因为，与平面所成的角就是与平面所成的角，即，故正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】S O AB CD AB ⊥CD ACBD AD//BC BC ⊂SBC AD ⊂SBC AD//SBC A SAD∩SBC =l AD ⊂SAD AD//SBC l//AD B E ∠ASB ≤90∘△SAE △SAB ∠ASB >90∘△SAE 90∘C l//AD l SCD AD SCD ∠ADO =45∘D ABD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD (1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵＝，∴＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是，14.【答案】【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∵的面积为，，∴，解得：，∴，解得：.故答案为：.15.【答案】【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数求出的值，再计算方差的值．(1,1)iz −1+i −i ⋅iz −i ⋅(−1+i)z (8,1)2–√cos C =34sin C =7–√4△ABC 7–√4a =1ab sin C =127–√4b =2cos C ==+−a 2b 2c 22ab 34c =2–√2–√65x解：五次射击中分别打出了，，，，环，∴这组数据的平均数为，解得；∴这组数据的方差是．故答案为：.16.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥母线长为 ，侧面积为，底面圆半径为.圆锥的高.圆锥的轴截面如图，设球的半径为，∵圆锥的高，底面圆的半径，∴，即＝，解得：，故该球的体积．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.10x 1079×(10+x +10+7+9)=159x =9=×[2×(10−9+(7−9+2×(9−9]=s 215)2)2)265654π3∵3–√π32∴r =3–√2∴h ==(−(3–√)23–√2)2−−−−−−−−−−−−√32R h =32r =3–√2=R 2(h −R +)2r 2R 2(−R +32)234R =1V =π×=43134π34π3解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：【考点】斜二测画法【解析】（1）用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．（2）直接利用正四棱锥的图形，判断正视图，侧视图，俯视图的形状画图即可．【解答】解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：18.【答案】ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD X'Y '∠X'O'Y '=45∘ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD 18+21解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数【考点】频数与频率众数、中位数、平均数、百分位数【解析】本题考查数据统计本题考查概率统计，平均数【解答】解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数19.【答案】解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．20.【答案】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．【考点】同角三角函数间的基本关系(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．21.【答案】证明：连接、．(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12(1)DP AC 1AB B C DP //AC∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵ 平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接、．∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．22.【答案】证明：取中点，连接，P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABCDE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)DP AC 1P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABC DE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】由已知中为的中点，易判断四边形为平行四边形，进而，同时，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．取的中点，连接，以为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的大小．【解答】证明：取中点，连接，D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AEBF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF (I)F CD ABCD AF //BC EF //SC (II)AB O SO O SAC ACF S −AC −F (1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AE BF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF。
山东高一高中数学同步测试带答案解析
山东高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）A ．a-2B ．3a-(1+a)2C ．5a-2D ．3a-a22.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） A ．lg5·lg7B ．lg35C ．35D ．3.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．4.函数y=lg （）的图像关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y=x 对称5.函数y=log (2x-1)的定义域是（ ） A ．（，1）（1，+）B ．（，1）（1，+）C ．（，+）D ．（，+）6.函数y=log (x 2-6x+17)的值域是（ ） A ．RB ．[8，+]C ．（-，-3）D ．[3，+]7.函数y=log (2x 2-3x+1)的递减区间为（ ） A ．（1，+）B ．（-，］C ．（，+）D ．（-，］8.log a ，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，）（1，+）B ．（，+） C ．（）D ．（0，）（，+）9.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2）D ．[2，+)10.已知函数f(x)=,0<a<b,且f(a)>f(b)，则（ ）A ．ab>1B ．ab<1C ．ab=1D ．(a-1)(b-1)>0二、填空题1.lg25+lg2lg50+(lg2)2=_________.2.函数f(x)=lg()是_________（奇、偶）函数.3.函数y=lg(ax+1)的定义域为（-，1），则a=_________.4.若函数y=lg[x 2+(k+2)x+]的定义域为R ，则k 的取值范围是_________.三、解答题1.若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log，试比较f(x)与g(x)的大小.2.已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+30,求函数f(x)=log 2的最大值和最小值.3.已知，求使f(x)>1的x 的值的集合．山东高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ）A ．a-2B ．3a-(1+a)2C ．5a-2D ．3a-a2【答案】A【解析】log 38-2log 36，选A.点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． (3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．2.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） A ．lg5·lg7B ．lg35C ．35D ．【答案】D【解析】lg 2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0 ,选D.3.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】log 7[log 3(log 2x)]=0,选C.4.函数y=lg（）的图像关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】其定义域为{x|-1＜x＜1}，∴f（x）为奇函数，奇函数的图象关于点（0，0）对称【考点】函数奇偶性5.函数y=log的定义域是（）(2x-1)A．（，1）（1，+）B．（，1）（1，+）C．（，+）D．（，+）【答案】A【解析】由题意得，选A.6.函数y=log (x2-6x+17)的值域是（）A．R B．[8，+]C．（-，-3）D．[3，+]【答案】C【解析】，因此选C.7.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为（）A．（1，+）B．（-，］C．（，+）D．（-，］【答案】A【解析】，所以当时，当时，，即递减区间为（1，+），选A.点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.，则a的取值范围是（）8.logaA．（0，）（1，+）B．（，+）C．（）D．（0，）（，+）【答案】A【解析】log，选A.ax的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝loga决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论．(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）9.已知函数y=logaA．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．[2，+)【答案】B【解析】由题意得，选B.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.10.已知函数f(x)=,0<a<b,且f(a)>f(b)，则（）A．ab>1B．ab<1C．ab=1D．(a-1)(b-1)>0【答案】B【解析】由题意得，选B.二、填空题1.lg25+lg2lg50+(lg2)2=_________.【答案】2【解析】lg25+lg2lg50+(lg2)2=2.函数f(x)=lg()是_________（奇、偶）函数.【答案】奇【解析】又所以函数f(x) 是奇函数.点睛:判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．3.函数y=lg(ax+1)的定义域为（-，1），则a=_________.【答案】-1【解析】解集为（-，1），所以4.若函数y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，则k的取值范围是_________.【答案】-【解析】由题意得x2+(k+2)x+解集为R，所以三、解答题1.若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log ，试比较f(x)与g(x)的大小.【答案】见解析【解析】比较大小，一般利用作差法，利用对数运算法则得差为log x .再根据底与1大小比较，分类讨论，最后比较真数与1大小二次讨论试题解析：f(x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x .当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=时，f(x)=g(x);当1<x<时，f(x)<g(x);当x>时，f(x)>g(x).点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．2.已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+30,求函数f(x)=log 2的最大值和最小值.【答案】最小值-；最大值2.【解析】先将log 2x 看作整体，通过解不等式可得log 2x 取值范围，再将函数化为关于log 2x 二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，并求最值 试题解析：由2（log 2x ）2-7log 2x+30解得 log 2x 3.∵f(x)=log 2(log 2x-2)=(log 2x-)2-,∴当log 2x=时，f(x)取得最小值-；当log 2x=3时，f(x)取得最大值2.3.已知，求使f(x)>1的x 的值的集合．【答案】见解析【解析】按底与1大小分类讨论，注意去对数时真数大于零这个条件，最后根据写出解集形式 试题解析：解：f(x)>1即 当a>1时∴解为x>2a －1 当0<a<1时∵a －1<2a －1∴解为a －1<x<2a －1 ∴当a>1时，{x|x>2a －1}当0<a<1时，{x|a －1<x<2a －1}均能使f(x)>1成立．。
高一数学下测试题及答案
高一数学下测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2^x-1，若f(a)=3，则a的值为（）A. 1B. 2C. log2(3)D. log2(4)3. 函数f(x)=x^3-3x的单调递增区间为（）A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)4. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，那么a5的值为（）A. 2^5B. 3^4C. 2×3^4D. 3^55. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0, b>0），若双曲线C的渐近线方程为y=±(√2)x，则a与b的关系为（）A. a=bB. a=√2bC. b=√2aD. b=2a6. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(-2, -3)，向量a与向量b的夹角为（）A. π/3B. π/2C. 2π/3D. π7. 已知函数f(x)=|x|，若f(a)=2，则a的值可以是（）A. 2B. -2C. 2或-2D. 08. 已知直线l的方程为y=2x+1，且直线l与圆x^2+y^2=4相切，则圆心到直线l的距离为（）A. √2B. 1C. 2D. √59. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，那么三角形ABC为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定10. 已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的解为x=1，则f(1)的值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^2-6x+8，求f(3)的值为________。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求a5的值为________。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习含答案及解析080914.pdf)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )A.8，15，7B.16，2，2C.16，3，1D.12，5，32. 一组数据16，16，15，14，12，11的平均数为( )A.11B.12C.13D.143. 若cos(π4+α)=35，则sin2α=( )A.15B.−15C.725D.−7254. 甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点．则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A.1B.2C.3D.45. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.2√2B.3C.2√3D.46. 若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.√26B.√23C.√33D.237. 如图，已知两条异面直线a,b.所成的角为、 a ，点M,N分别在a,b上，且 MN⊥aMN⊥b P,Q分别为直线a,b上位于线段 MN同侧的两点，则PQ的长为（）A.√MP2+NQ2+MN2−2MP⋅NOcosθB.√MP2+NQ2+MN2+2MP⋅NOcosθC.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}- 2MP\cdot NO\operatorname{ sin }\theta}D.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}+ 2MP\cdot NQ\operatorname{ sin }\theta}8. 以BC为斜边的Rt△ABC中， BC2=AB2+AC2，由类比推理．在三棱锥P−ABC中，若PA，PB，PC．两两垂直，PA=a,PB=b,PC=c,S△ABC=s1,SΔA=S2S△APB=s3，则（）S△ABC=A.√a2b2+b2c2+a2c2B.√s21s22+s22S23+S23S21C.√a2+b2+c2D.√s21+s22+s23二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D.甲得分的极差小于乙得分的极差10. 下列命题中，错误的是( )A.若z1，z2∈C，且z1−z2<0，则z1<z2B.若x+yi=1+i（x，y∈C），则x=y=1C.若z=a+bi（a，b∈R）则当且仅当a=0且b=0时，z=0D.若z1，z2∈C，且z21+z22=0，则z1=z2=011. 如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC=l，以下四个结论中正确的是( )A.AD//平面SBCB.l//ADC.若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积D.l与平面SCD所成的角为45∘12. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是( )A.→CB=→EFB.→OA+→OC+→OB=→0C.→OA⋅→FA=→ED⋅→BCD.|→OF+→OD|=|→OC−→OB|卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若iz＝−1+i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在△ABC中，a=1,cosC=34，△ABC的面积为√74，则c=________.15. 已知一组数据82，91，89，88，90，则这组数据的方差为________．16. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹．）18. 为增强学生体质，加强学生锻炼意识，某学校在高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率分布直方图如图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120) ，[120,130)上的频率依次成等差数列．(1)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(2)估计样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数（结果精确到个位）．19. 甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)现要从甲，乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由. 20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ab +ba =sin 2CsinAsinB −1.(1)求角C ；(2)若BC =4 ，△ABC 的中线CD =2，求△ABC 的面积．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB ，点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，点D 在PC 上，且PD =2DC.(1)证明：CF// 平面BDE ；(2)若△ABC 是边长为2的等边三角形，求三棱锥P −BDE 的体积.22. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,AD//BC,AB =1,BC =2,∠ABC =60∘.(1)求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2)设平面PBC ∩平面PAD =l ，求证：BC//l.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题．根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行体检，∴每个个体被抽到的概率是20200=110，∴职员要抽取160×110=16人，中级管理人员要抽取30×110=3人，高级管理人员10×110=1人.故选C.2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：因为数据为16，16，15，14，12，11，所以平均数为16+16+15+14+12+116=14.故选D．3.【答案】C【考点】诱导公式二倍角的余弦公式【解析】由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】解：∵cos (π4+α)=35，∴sin2α=−cos(π2+2α)=−cos[2(π4+α)]=−[2cos 2(π4+α)−1]=1−2cos 2(π4+α)=1−2×(35)2=725．故选C ．4.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】由题意可知乙没有去磁器口古镇，对丙分两种情况讨论，若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，若丙没有去过磁器口古镇，则丁一定去过磁器口古镇，所以四人中去过磁器口古镇的人数为2人．【解答】因为甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，所以乙没有去磁器口古镇，又因为丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点①若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，②若丙没有去过磁器口古镇，则丙去的是洪崖洞民俗风貌区、乌江画廊三个网红景点中的某2个，所以丁一定去过磁器口古镇，综上所述，四人中去过磁器口古镇的人数为2人，5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】不妨设N 在B 处，AM =h ，CQ =m ，则有MB 2=h 2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(h −m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2−hm+2=0．△=h 2−8≥0⇒h 2≥8，可得直角三角形斜边MB =√4+h 2≥2√3．【解答】解：建立空间直角坐标系(如图)，由题意可设点M(0，−1，a)，N(√3，0，b)，Q(0，1，c)，且0≤a≤6，0≤b≤6，0≤c≤6，则→MN=(√3，1，b−a)，→QN=(√3，−1，b−c)，因为△MNQ为直角三角形，由题意不妨设∠MNQ为直角，所以→MN·→QN=0，即(b−a)(b−c)+2=0，√4+(a−c)2=√4+[(a−b)+(b−c)]2斜边长|MQ|=≥√4+4(a−b)(b−c)=√4+4×2=2√3，当a−b=b−c时取等号.故选C.6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体（即由两个同底等高的正四棱锥组成），所有棱长均为1，其√22，中每个正四棱锥的高均为2×√22=√23．故正八面体的体积V=2V正四棱锥=2×13×1故选B．7.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).【解答】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).8.【答案】D【考点】类比推理柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理二面角的平面角及求法与二面角有关的立体几何综合题【解析】此题暂无解析【解答】二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】C,D【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：由图可得甲的得分从小到大依次为8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，乙的得分从小到大依次为8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10，则甲得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.5，9.5，1.1，乙得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.6，9.6，1.5，故A ，B 错误，C ，D 正确．故选CD ．10.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用复数的基本概念【解析】由题意，根据复数的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解.【解答】解：对于选项A ，因为复数不能进行比较大小，故选项A 错误；对于选项B ，因为x +yi =1+i ，若x =i ，y =−i ，则x +yi =i−i 2=1+i ，此时x ≠y ≠1，故选项B 错误；对于选项C ，已知z =a +bi （a ，b ∈R ），则当且仅当a =0且b =0时，z =0，故选项C 正确；对于选项D ，若z 1=1+i ，z 2=1−i ，则z 21=2i ，z 22=−2i ，此时z 21+z 22=0，但是z 1≠z 2≠0，故选项D 错误，综上，结论错误选项有ABD.故选ABD.11.【答案】A,B,D【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 是正方形，所以AD//BC ，因为 BC ⊂平面SBC ， AD ⊄平面SBC ，所以AD//平面SBC ，故A 正确；因为平面SAD ∩平面SBC =l ，AD ⊂平面SAD ，AD//平面SBC ．所以l//AD ，故B 正确；若E 是底面圆周上的动点，当∠ASB ≤90∘时，△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积，当∠ASB >90∘时，△SAE 的最大面积等于两条母线的夹角为90∘的截面三角形的面积，故C 错误；因为l//AD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，即∠ADO=45∘，故D正确．故选ABD．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：A，∵→CB与→EF长度相等，方向相同，∴→CB=→EF，故A正确；B，→OA+→OC+→OB=→OA+→AB+→OB=2→OB，故B错误；C，→OA⋅→FA=→OA⋅→OB=|→OA|⋅|→OB|⋅cos60∘，→ED⋅→BC=→AB⋅→OA=|→AB|⋅|→OA|cos∘，∵|→OA|=|→OB|=|→AB|，∴→OA⋅→FA=→ED⋅→BC，故C正确；D，|→OF+→OB|=|→OA|，|→OC−→OB|=|→BC|，∵|→OA|=|→BC|，∴|→OF+→OD|=|→OC−→OB|，故D正确．故选ACD．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】(1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵iz＝−1+i，∴−i⋅iz＝−i⋅(−1+i)，则复数z在复平面内对应的点的坐标是(8,1)，14.【答案】√2【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵cosC =34，∴sinC =√74，∵△ABC 的面积为√74，a =1，∴12absinC =√74，解得：b =2，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =34，解得：c =√2.故答案为：√2.15.【答案】10【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据定义，计算这组数据的平均数和方差即可．【解答】解：数据82，91，89，88，90的平均数为¯x =15×(82+91+89+88+90)=88，方差为s 2=15×[(82−88)2+(91−88)2+(89−88)2+(88−88)2+(90−88)2]=10．故答案为：10.16.【答案】√6π【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连结EF ，EC ，取AC 的中点N ，连结PN ，BN ，取△ABC的内心O1,连结PO1，O1C,在PO1上取点O，使PO=OC，则点O即为三棱锥的外接球的球心.∵∠CEF=90∘，∴CE⊥EF.∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF//PB，∴CE⊥PB.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AC⊥BN.∵PA=PB=PC，∴AC⊥PN.∵PN∩BN=N，∴AC⊥面PBN，∴AC⊥PB.又CE⊥PB，AC∩CE=C，∴BP⊥面PAC，∴BP⊥PC，∴△PBC是等腰直角三角形，∴PB=PC=√2.在Rt△O1NC中，√32=2√33.O1C=NCcos30∘=1在Rt△O1CP中，O1P=√PC2−O1C2=√2−43=√63.∴在Rt△OO1C中，(√63−R)2+(2√33)2=R2，√62，解得R=3=√6π.故球的体积为43πR故答案为：√6π.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：【考点】斜二测画法【解析】在OABC的等腰梯形中，作出EC⊥OA于E，BA⊥OA于F，利用斜二测画法画出直观图．【解答】解：18.【答案】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.【考点】频率分布直方图频数与频率等差数列的性质众数、中位数、平均数、百分位数【解析】(1)利用频数分布直方图得到[120，130)的频率，进而求出[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和，再利用[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率依次成等差数列即可得到答案.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，列式即可得到答案.【解答】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.19.【答案】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数，分别做出两组数据的平均数．【解答】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.20.【答案】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式向量在几何中的应用【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理求解即可；(2)由题意得到2→CD =→CA +→CB ，两边平方求出|→CA |=4，代入三角形面积公式即可得到答案.【解答】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.21.【答案】(1)证明：设AE 中点为G ，连结GF,GC ，则GF//EB ， GF//平面EBD ，PGPE =PCPD =32 ,∴ED//GC ，GC//平面EBD ，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：设AE中点为G，连结GF,GC ，则GF//EB， GF//平面EBD，PGPE=PCPD=32 ,∴ED//GC，GC//平面EBD，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.22.【答案】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.【考点】余弦定理两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.。
高一下期数学同步测试一
高一数学同步测试〔1〕一、选择题1．下列命题中的真命题是〔 〕A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π<k ∈Z>2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是〔 〕A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin3．已知sin 0.908θ=-,900θ-<<,则点(cos(45),tan1444)P θ-一定在 〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若x x f tan )(=,则)600(︒f 的值为〔 〕A ．3-B ．3C ．33- D ．335．将分针拔快15分钟,则分针转过的弧度数是〔 〕A ．4πB ．－4πC ．6πD ．－6π6．角α的终边上有一点P 〔a ,|a |〕,a ∈R 且a ≠0,则sinα值为 〔 〕A ．22- B ．22C ．1D ．22或22-7．一个半径为R 的扇形,它的周长为4R,则这个扇形所含弓形的面积为〔 〕A ．2)1cos 1sin 2(21R ⋅-B ．1cos 1sin 212⋅RC ．221R D ．221cos 1sin R R ⋅⋅-8．下列命题中,唯一正确的命题是 〔 〕A 若角α在第二象限,且sin α=m ,cos α=n ,则tan α=n m-B 无论α为何角,都有sin 2α+cos 2α=1C ．总存在一个角α,使得sin α+cos α=1D ．总存在一个角α,使得sin α=cos α=219．设α是第三象限角,且|2cos α|=2cos α-,则2α所在象限是〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．函数x x x x x xy 222tan tan sin cos 1sin 1cos --+-=的值域是〔 〕 A ．{－3,1} B ．{1,3}C ．{－3,－1,1}D ．{－1,1,3}二、填空题11．与－1050°终边相同的最小正角是.12．tan2010°的值为.13．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ,其中m 、n 、1α、2α都是非零实数,若 (2005)1,f = 则(2006)f =． 14．已知β∈［0,2π>,且ββ22sin 1cos 1-+-=sin β－cos β,则β的取值范围是三、计算题15．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合〔包括边界〕〔1〕〔2〕〔3〕16．已知一扇形的周长为c <c ＞0>,当扇形的弧长为何值时,它有最大面积？并求出面积的最大值．17．已知sin〔3π＋θ〕＝12,求cos(3)cos(4)cos[cos()1]cos(2)cos(3)cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-的值．18.且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=.〔Ⅰ〕求{}n a 、{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{}n na b 的前n 项和n S 。
2023-2024学年下学期高一联合测评数学试卷
2023-2024学年下学期高一联合测评数学试卷注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数20232024i z =−+在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第―象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图，平面//α平面β，PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．已知向量,a b 满足1==a b ，且a b ⊥ ，若()()a b a b λµ+⊥+ ，则（ ） A ．0λµ+= B ．1λµ+=− C ．1λµ=− D ．0λµ=4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c a π6B =，ABC b =（ ）A ．BC ．4D ．25．有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）A ．第75百分位数B ．平均数C ．极差D ．众数6．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A ．14 B ．724 C ．1124 D ．17247．故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE −和BDG ACH −是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（ ）A B ．12a C D 8．如图，在棱长为2的正方体111ABCD AB C D −中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，1CC 的中点，点P 在线段11B D 上，//BP 平面EFG ）A ．1D C 与EF 所成角为60°B ．点P 为线段11B D 的中点C ．三棱锥P EFG −的体积为12D ．平面EFG 截正方体所得截面的面积为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin A B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若2π3C =，则c =；B．若tan C ，则ABC 是直角三角形；C ．若ABC是等腰三角形，则sin B =； D ．若3c =，则ABC 的面积最大值为3.10．下列说法错误的是（ ）A ．已知向量()()2,3,,2ab x = ，则“,a b 的夹角为锐角”是“3x >−”的充要条件 B．已知向量((),cos ,sin a b θθ ，若a b ⊥，则tan θ= C ．若向量()()4,3,1,3a b =−= ，则a 在b 方向上的投影向量坐标为13,22D ．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC +⋅=，则ABC 为等边三角形 11．已知事件,,A B C 满足()0.6P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是（ ）A ．如果()1P ABC = ，那么()0.2P C =B ．如果B A ⊆，那么()0.6P A B ∪=，()0.25P B A =C ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.32P A B ⋅=三、填空题：本题共35分，共15分．12．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为 .13．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+ λµ，则λµ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅ 的最小值为 ．14．定义：a b ad bc c d=−．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若2cos 12cos 1cos C C C−+0=，且5a b +=，则边c 的最小值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知向量a ，b ，c 在同一平面上，且()2,1a =− ．(1)若//a c ，且25c = ，求向量c 的坐标；(2)若()3,2b = ，且ka b − 与2a b + 垂直，求k 的值．16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,,tan (1)tan a b c Ca B =−． (1)求证：cos 1b C =；(2)若2a =，ABC 面积为1，求边c 的长．17.（本小题15分）新高考实行“312++”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.18.（本小题17分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边.(1)若()cos 2cos 0a C b c A ++=，求A 的大小； (2)若BC 边上的高等于2a ，且02A π<<，求c b b c +的取值范围； (3)求实数t 的取值范围，使得对任意实数x 和任意角A （02A π<≤），恒有()()22132sin cos sin cos 32x A A x t A t A +++++≥.19.（本小题17分） 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD −,点E 在棱PB 上，满足23PE PB =, 点F 在棱PC 上，满足12PF PC =，要求同学们按照以下方案进行切割：(1)试在棱PC 上确定一点G ，使得 //EF 平面ABG ，并说明理由；(2)过点A ，E ，F 的平面α交PD 于点H ，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置；①请求出 PH PD的值； ②若正四棱锥模型P ABCD −的棱长均为6，求直线PA 与平面α所成角的正弦值.。
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高一下期数学同步测试一
2
高一数学同步测试（1）
一、选择题
1．下列命题中的真命题是（ ）
A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
B ．第一象限的角是锐角
C ．第二象限的角比第一象限的角大
D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2
π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2
B ．1
sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
3．已知sin 0.908θ=-，900
θ-<<，则点(cos(45),tan1444)
P θ-一定在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．若x x f tan )(=，则)600(︒f 的值为（ ）
A ．3
-
B ．
3
C ．3
3
-
D ．
3
3
5．将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数
3
是（ ） A ．4
π B ．－4π C ．6
π
D ．－6
π 6．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为 （ ）
A ．22-
B ．22
C ．1
D ．22或2
2-
7．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A ．2
)1cos 1sin 2(2
1R ⋅- B ．1
cos 1sin 2
12
⋅R
C ．2
2
1R D ．2
2
1cos 1sin R R ⋅⋅-
8．下列命题中，唯一正确的命题是 （ ）
A 若角α在第二象限，且sin α=m ，cos α=n ，则tan α=n
m - B 无论α为何角，都有sin 2α+cos 2α=1 C ．总存在一个角α，使得sin α+cos α=1 D ．总存在一个角α，使得sin α=cos α=2
1
4
9．设α是第三象限角，且|2cos α|=2cos α-，则2
α
所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象
限 C ．第三象限 D ．第四象
限 10．函数x
x
x x x x
y 222tan tan sin cos 1sin 1cos -
-+-=的值域是（ ）
A ．{－3，1}
B ．{1，3}
C ．{－3，－1，1}
D ．{－1，1，3}
二、填空题
11．与－1050°终边相同的最小正角是 . 12．tan2010°的值为 .
13．设)cos()sin()(2
1
απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2
α
都是非零实数，若
(2005)1,
f = 则(2006)f = ．
14．已知β∈［0，2π)，且β
β2
2
sin 1cos 1-+-=sin
β－cos β，则β的取值范围是
三、计算题
15．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1）（2）（3）
5
16．已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．
6
7
17．已知sin （3π＋θ）＝
12
，求
cos(3)cos(4)
cos [cos()1]cos(2)cos(3)cos()
πθθπθπθθππθθ+-+
+-+++-的值．
8
9
18.且1
1
1a b ==，3
521
a
b +=，5
313
a
b +=.
（Ⅰ）求{}n
a 、{}n
b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n
a b
的前n 项和n
S 。
19.设a 为实数，记函数2
()111f x x x x =-+-的最大值为()g a
⑴设11t x x =+-，求t 的取值范围，并把()f x 表示成t 的函数()m t ； ⑵求()g a。