第11章 Matlab方程与方程组的数值解
重要:MATLAB常微分方程(组)数值解法
Matlab常微分方程求解问题分类
边值问题:
初值问题:
• 定解附加条件在自变量 的一端
• 一般形式为: y' f (x, y)
y(a)
y0
• 初值问题的数值解法一 般采用步进法,如 Runge-Kutta法
➢ 在自变量两端均给定附加 条件
y' f (x, y)
➢ 一般形式:y(a)y1, y(b)y2
1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求
求解初值问题:
y
'
y
2x y
y ( 0 ) 1
(0x1)
比较ode45和ode23的求解精度和速度
ode45和ode23的比较-1
function xODE clear all clc
format long
y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'b--') xlabel('x') ylabel('y')
rD = k(3)*C(2)-k(5)*C(4);
rE = k(4)*C(3)+k(5)*C(4);
% Mass balances dCdt = [rA; rB; rC; rD; rE];
三个串联的CSTR等温反应器(例4-3)
function IsothermCSTRs clear all clc CA0 = 1.8; % kmol/m^3 CA10 = 0.4; % kmol/m^3 CA20 = 0.2; % kmol/m^3 CA30 = 0.1; % kmol/m^3 k = 0.5; % 1/min tau = 2; stoptime = 2.9; % min [t,y] = ode45(@Equations,[0 stoptime],[CA10 CA20 CA30],[],k,CA0,tau); disp(' Results:') disp(' t CA1 CA2 CA3') disp([t,y]) plot(t,y(:,1),'k--',t,y(:,2),'b:',t,y(:,3),'r-') legend('CA_1','CA_2','CA_3') xlabel('Time (min)') ylabel('Concentration') % -----------------------------------------------------------------function dydt = Equations(t,y,k,CA0,tau) CA1 = y(1); CA2 = y(2); CA3 = y(3); dCA1dt = (CA0-CA1)/tau - k*CA1; dCA2dt = (CA1-CA2)/tau - k*CA2; dCA3dt = (CA2-CA3)/tau - k*CA3; dydt = [dCA1dt; dCA2dt; dCA3dt];
MATLAB求解方程与方程组
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MATLAB求 解 方 程 与 方 程 组
1. solve函数 ①求解单个一元方程的数值解 syms x; x0 = double(solve(x +2 - exp(x),x)); 求x+2 = exp(x)的解,结果用double显示. 使用过程中,也可以写作x+2 == exp(x),注意是‘==’. 另外,若有多个解,该函数只返回一个的解. ②求解含有符号变量方程的解 syms x a b c; x0 = solve(a*x^2ห้องสมุดไป่ตู้b*x+c,x); 可以求得两个解. ③求解方程组 syms x y z; e1 = 2*x - y +z; e2 = x + y - 6; e3 = z^2 +2*y; [x0,y0,z0] = solve(e1,e2,e3,x,y,z); double([x0,y0,z0]) 可以返回多个解,注意不能直接solve进行double转换.
matlab求解方程组 整数解
一、概述MATLAB 是一种强大的科学计算软件,能够对各种数学问题进行求解和模拟。
其中,求解方程组是 MATLAB 的一项重要功能。
在实际的数学和工程问题中,需要求解多元方程组的整数解。
本文将介绍如何使用 MATLAB 来求解整数解的方程组。
二、方程组的表示在 MATLAB 中,方程组可以表示为矩阵的形式。
假设有一个包含 n 个变量和 n 个方程的方程组,可表示为以下形式:A * x = b其中,A 是一个n×n 的系数矩阵,x 是一个n×1 的未知数向量,b 是一个n×1 的常数向量。
三、MATLAB 求解整数解的方程组在 MATLAB 中,可以使用 linprog 函数来求解整数解的方程组。
该函数的语法如下所示:x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)其中,f 是一个n×1 的目标函数系数向量,A 和 b 分别是n×n 和n×1 的不等式约束系数矩阵和常数向量,Aeq 和 beq 分别是n×n 和n×1 的等式约束系数矩阵和常数向量,lb 和 ub 分别是n×1 的下界和上界向量,options 是一个结构体用于指定求解器的参数。
四、实例演示为了更好地理解如何使用 MATLAB 求解整数解的方程组,下面举一个简单的实例进行演示。
假设有以下方程组:2x + 3y = 74x - 3y = 5需要将方程组表示为矩阵形式。
系数矩阵A 和常数向量b 如下所示:A = [2, 3; 4, -3]b = [7; 5]可以使用 linprog 函数进行求解。
假设目标函数为空,不需要约束条件和下界上界,即可直接使用如下命令进行求解:x = linprog([], -A, -b, [], [], zeros(2, 1))求解得到的 x 即为方程组的整数解。
五、注意事项在使用 MATLAB 求解整数解的方程组时,需要注意以下几点:1. 方程组必须为线性方程组。
MATLAB方程与方程组的数值解ppt课件
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第二节 MATLAB求解方程(组)的 函数及其用法
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一、左除”\”与右除”/”
在MATLAB环境中,强烈建议使用左除”\”或者右除”/”解线性方程组 左除和右除是根据除号左侧还是右侧是分母而定的,方程系数矩阵 在未知数左侧,则用左除,反之用右除。使用左除”\”或者右除”/”的 好处是因为其对线性方程(组)的广泛适用性,当未知数个数大于方程 个数的时候,左除或右除会给出方程的特解,结合null函数,可以得 到通解。当未知数个数小于方程个数的时候,左除或右除会给出方 程的最小二乘解。
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二、 MATLAB编程求解等额还款模型
➢ 给定月还款额、还款期数、贷款总额和利率计算到期剩余 贷款(AJfixPayment函数)
➢ 测试AJfixPayment 函数 ➢ 使用fsolve求出合适的月还款值,使得在120次还款后,
贷款余额为零。(SolveAJfixPayment函数)
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r = roots(c)
其中输入参数: c: 多项式方程系数组成的行向量或者列向量,按降幂顺序排列。
函数输出参数: r: 多项式方程的解向量
参考: 【例11.2-4】8 Nhomakorabea四、 fsolve 函数
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(fun,x0,options) 其中输入参数:
Fun: 目标函数,一般用函数句柄形式给出 X0: 优化算法初始迭代解 Options: 参数设置(具体设置参考帮助文档) 输出参数: X: 最优解输出(或最后迭代解) Fval: 最优解(或最后迭代解)对应的函数值 Exitflag: 函数结束信息 (具体参考帮助文档 ) Output: 函数基本信息 包括迭代次数,目标函数最大计算次数,使 用的算法名称,计算规模 Jacobian:Jacobian矩阵(主要用来判断是否得到有效解)
用MATLAB求解微分方程及微分方程组
建立m-文件eq2.m如下: function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); 取t0=0,tf=2,建立主程序chase2.m如下: [t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,'-'), hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*')
k1t y Me 即
模型2:快速饮酒后,体液中酒精含量的变化率
dx k1t k x k Me 2 1 dt x(0) 0
用Matlab求解模型2:
syms x y k1 k2 M t x=dsolve('Dx+k2*x=k1*M*exp(-k1*t)','x(0)=0','t') 运行结果: M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2))-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2) 即:
假设导弹在 t 时刻的位置为 P(x(t), y(t)),乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
由于导弹头始终对准乙舰,故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线,
v0 t y y' 即有 1 x v0t (1 x) y' y 即
(1)
又根据题意,弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍, 即
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 运行结果为 : y =3e-2xsin(5x)
MatLab解线性方程组
MatLab解线性方程组MatLab解线性方程组当齐次线性方程AX=0,rank(A)=r<n时,该方程有无穷多个解,怎样用matlab求它的一个基本解呢?< p="">用matlab 中的命令 x=null(A, r )即可.其中:r=rank(A)A=[ 1 1 1 1 -3 -1 11 0 0 0 1 1 0-2 0 0 -1 0 -1 -2]用matlab 求解程序为:A=[1 1 1 1 -3 -1 1;1 0 0 0 1 1 0;-2 0 0 -1 0 -1 -2];r=rank(A);y=null(A, r )得到解为:y=[ 0 -1 -1 0-1 2 1 11 0 0 00 2 1 -20 1 0 00 0 1 00 0 0 1]其列向量为Ay=0的一个基本解一:基本概念1.N级行列式A:|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。
2.矩阵B:矩阵的概念是很直观的,可以说是一张表。
3.线性无关:一向量组(a ,a ,…. a )不线性相关,即没有不全为零的数k ,k ,……kn 使得:k1* a +k2* a +…..+kn*an=04. 秩:向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
5.矩阵B的秩:行秩,指矩阵的行向量组的秩;列秩类似。
记:R(B)6.一般线性方程组是指形式: (1)其中x1,x2,…….xn为n个未知数,s为方程个数。
记:A*X=b7.性方程组的增广矩阵: =8. A*X=0 (2)二:基本理论三种基本变换:1,用一非零的数乘某一方程;2,把一个方程的倍数加到另一个方程;3互换两个方程的位置。
以上称初等变换。
消元法(理论上分析解的情况,一切矩阵计算的基础)首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的一些恒等式”0=0”(如果出现的话)去掉,1:如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数,那么方程组无解;否则有解,在有解的情况下,2:如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数,那么方程组有唯一的解,3:如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数,那么方程组就有无穷个解。
matlab方程组数值解法
matlab方程组数值解法Matlab方程组数值解法随着科学技术的发展,数值计算在科学研究和工程实践中的应用越来越广泛。
对于复杂的数学模型,通过解析方法求得准确的解析解往往是困难的甚至不可能的。
因此,数值解法成为了求解这些问题的重要手段之一。
Matlab作为一种强大的数值计算工具,提供了多种数值解法来解决方程组的数值求解问题。
在Matlab中,求解方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法两种。
直接法是指通过一系列直接计算来求解方程组的解,常见的方法有高斯消元法和LU分解法。
迭代法则是通过迭代计算来逼近方程组的解,常见的方法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
高斯消元法是一种经典的直接法,它通过消元和回代的方式将方程组化为简化的三角方程组,然后通过回代计算得到解。
Matlab中提供了直接调用的函数,如"linsolve"函数,可以直接求解线性方程组。
对于非线性方程组,可以通过牛顿法等迭代法来求解。
LU分解法是另一种常用的直接法,它将方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积,然后通过回代计算得到解。
在Matlab中,可以使用"lu"函数进行LU分解,并通过"\"运算符求解线性方程组。
雅可比迭代法是一种简单而有效的迭代法,它通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
在每一步迭代中,通过将方程组中的每个未知数的迭代解代入到方程组中的对应方程中,得到新的近似解。
通过多次迭代,可以得到逼近方程组解的解向量。
在Matlab中,可以使用"jacobi"函数进行雅可比迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版,它在每一步迭代中使用上一步迭代得到的未知数的新近似解。
这样可以更快地逼近方程组的解。
在Matlab中,可以使用"gauss_seidel"函数进行高斯-赛德尔迭代。
除了这些常见的数值解法外,Matlab还提供了其他一些数值求解函数,如"fsolve"函数可以求解非线性方程组,"ode45"函数可以求解常微分方程组等。
matlab求解二元一次方程组的数值解
matlab求解二元一次方程组的数值解摘要:一、引言二、Matlab中求解二元一次方程组的常用方法1.直接法2.迭代法3.数值方法三、数值方法的原理及应用1.雅可比迭代法2.托马斯迭代法3.平方根法四、实例演示1.编写Matlab程序2.输出结果及分析五、结论与展望正文:一、引言二元一次方程组是数学中的一种基本问题,而在工程、科学等领域中也广泛存在。
求解二元一次方程组的数值解是Matlab编程中的常见任务,本文将介绍在Matlab中求解二元一次方程组的常用方法及实例演示。
二、Matlab中求解二元一次方程组的常用方法直接法是通过高斯消元法求解二元一次方程组。
在Matlab中,可以使用`gesdd`函数直接求解。
例如:```matlabA = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = gesdd(A, b);```2.迭代法迭代法是通过不断更新变量来求解方程组。
在Matlab中,可以使用`fsolve`函数进行迭代求解。
例如:```matlabA = [1, 1; 1, 1];b = [2; 3];x0 = [1; 1];x = fsolve(@(x) A*x == b, x0);```3.数值方法数值方法包括雅可比迭代法、托马斯迭代法、平方根法等。
在Matlab 中,可以使用`fsolve`函数结合数值方法求解。
例如:```matlabA = [1, 1; 1, 1];x0 = [1; 1];options = optimoptions("fsolve", "Display", "on", "Tolerance", 1e-6);x = fsolve(@(x) A*x == b, x0, options);```三、数值方法的原理及应用1.雅可比迭代法雅可比迭代法是基于雅可比矩阵的迭代公式进行求解。
在Matlab中,可以使用自定义函数实现。
matlab_常微分方程数值解法
dt 2
简朴问题可以求得解析解,多数实际问题靠数值求解 。
第4页
一阶常微分方程(ODE )初值问题 : ODE :Ordinary Differential Equation
dy
f
(x,
y)
dx
x0 x xn
y(x0 ) y0
数值解法就是求y(x)在某些分立旳节点 xn 上旳近似值 yn,用以近似y(xn)
x0
y0
x1 f y(x), x dx
x0
x2 f y(x), x dx
x1
y(x1) f y(x1), x1 h
第17页
同样,在[x0,xn+1] ,积分采用矩形近似,得:
y(xn1) y0
f xn1
x0
y(x), x dx
y(xn ) f y(xn ), xn h
yn y(xn )
第5页
2、欧拉近似办法
2.1 简朴欧拉(L.Euler, 1707-1783)办法。
dy
dx
f
(y, x)
y(x0 ) y0
欧拉数值算法就是由初值通过递推求解,递推求解
就是从初值开始,后一种函数值由前一种函数值得到。核 心是构造递推公式。
y0 y1 y2 yn
第6页
i 1,2,...
第36页
没有一种算法可以有效地解决所有旳 ODE 问题,因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数 ODE类
特点
阐明
型
ode45
非刚性 单步法;4,5 阶 R-K 措施;合计 大部分场合旳首选措施
截断误差为 (△x)3
ode23
非刚性 单步法;2,3 阶 R-K 措施;合计 使用于精度较低旳情形
MATLAB教程方程组
例2:可直接将方程代入
例3:若符号表达式不含等号,则 >> s=solve('cos(2*x)+sin(x)=1') 函数solve会自动将表达式转成等 号右端为0的符号表达式 s= >> solve('p*tan(x)-r') [ 0] [ pi] ans = [ 1/6*pi] atan(r/p) [ 5/6*pi]
n=m且A非奇异
n>m n<m
恰定方程
超定方程 欠定方程
可尝试计算精确解
可尝试计算最小二乘解 可尝试计算含有最少m的 基解
1、调用格式:
① linsolve(A,b) %求解析解 ② x =A \ b %求数值解 注意:A,b可以是符号矩阵或数值矩阵
2、举例: ①恰定方程
3x 5 y 7 z 34 2 x 12 y 3z 56 x 9 y 8 z 27
3 5.9 8.4 12.2 16.6 18.8
三、 求非线性方程组的数值解 指令格式: x=fsolve(fun,x0) x=fsolve(fun,x0,options) [x,fval]=fsolve(fun,x0,…) x,fval 零点的位置与对应的函数值,可以是矢量 fun 与非线性方程对应的函数,通常用M文件建立 x0 猜测的初始值,作为求解过程的出发点 option 控制算法的优化选项
x 2 y 2 1 0 >> syms x y alpha >> [x,y]=solve(x^2*y^2-1,x-(y/2)-alpha) y x 0 2
二、 求线性方程组的解析解与数值解 对形式为 Ax=b 的线性方程 a x a x a x b 11 1 12 2 13 3 1 组(这里 A 是n×m的矩阵,b a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 2 是已知矢量,x 是未知矢量) , a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2 可分为三种:
数学应用软件作业6-用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解
数学应用软件作业6-用Matlab 求解微分方程(组)的解析解和数值解注:上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名,文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。
上机报告模板如下:佛山科学技术学院上机报告课程名称数学应用软件上机项目用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解专业班级姓名学号一. 上机目的1.了解求微分方程(组)的解的知识。
2.学习Matlab中求微分方程的各种解的函数,如dsolve命令、ode45函数等等,其中注意把方程化为新的方程的形式。
3.掌握用matlab编写程序解决求解微分方程的问题。
二. 上机内容1、求高阶线性齐次方程:y’’’-y’’-3y’+2y=0。
2、求常微分方程组2210cos,224,0tttdx dyx t xdt dtdx dyy e ydt dt=-=⎧+-==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩3、求解分别用函数ode45和ode15s计算求解,分别画出图形,图形分别标注标题。
4、求解微分方程,1)0(,1'=++-=ytyy先求解析解,在[0,1]上作图;再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示),在同一副图中作图进行比较,用不同的颜色表示。
三. 上机方法与步骤给出相应的问题分析及求解方法,并写出Matlab 程序,并有上机程序显示截图。
题1:直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。
Matlab程序:dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x')题2:将微分方程组改写为5cos2exp(2)5cos2exp(2)(0)2,(0)0dxt t x yxtdyt t x ydtx y⎧=+---⎪⎪⎪=-+-+-⎨⎪==⎪⎪⎩,再用命令dsolve求解微分方程的通解。
Matlab程序:建立timu2.m如下:[x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y ','x(0)=2,y(0)=0','t')x=simple(x)y=simple(y)题3:由于所给的微分方程为一阶微分方程,则直接用函数ode45和ode15s求解微分方程的数值解,具体程序如下:(1)Matlab程序:建立M文件fun2.m,如下:function dy=fun2(t,y);dy=zeros(2,1);dy(1)=0.04*(1-y(1))-(1-y(2))*y(1)+0.0001*((1-y(2))^2);dy(2)=-10000*y(1)+3000*((1-y(2))^2);取t0=0,tf=100,建立程序timu32.m如下:t0=0;tf=100;[T,Y]=ode45('fun2',[0 100],[1 1]);plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*');title('ode45图形');(2)Matlab程序:建立M文件fun1.m,如下:function dy=fun1(t,y);dy=zeros(2,1);dy(1)=0.04*(1-y(1))-(1-y(2))*y(1)+0.0001*((1-y(2))^2);dy(2)=-10000*y(1)+3000*((1-y(2))^2);取t0=0,tf=100,建立程序timu3.m如下:t0=0;tf=100;[T,Y]=ode15s('fun1',[0 100],[1 1]);plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*');title('ode15s图形');题4:Matlab程序:(1)先建立程序timu41.m如下:y=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t') 截图如下:作图:建立程序tuxing41.m如下:ezplot('t + 1/exp(t)',[0,1])title('t + 1/exp(t)')(2)先建立M文件fun3.m,如下:function dy=fun3(t,y)dy=zeros(1,1);dy(1)=-y(1)+t+1;再取t0=0,tf=1,建立程序tuxing42.m如下:t0=0;tf=1;[T,Y]=ode45('fun3',[0 1],[1]);plot(T,Y,'ro');title('比较图');t=0:0.1:1;y=t+1./exp(t);hold onplot(t,y,'b');四.上机结果题1结果为:ans =C4*exp(2*x) + C2*exp(x*(5^(1/2)/2 - 1/2)) + C3/exp(x*(5^(1/2)/2 + 1/2))题2结果为:x =4*cos(t) - 2/exp(2*t) + 3*sin(t) - (2*sin(t))/exp(t) y =sin(t) - 2*cos(t) + (2*cos(t))/exp(t)题3结果为:题4结果为:解析解为:y =t + 1/exp(t)作图如下:。
MATLAB第十部分-解方程
第十一章、MATLAB解方程一、线性方程组求解1、直接解法:利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax =b ,可以利用左除运算符求解:x=A\b⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x A=[12 -3 3; -18 3 -1; 1 1 1];b=[15;-15;6]x=A\b2、利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解,奇异值分解等。
(1)LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明,只要方阵A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。
LUX=b调用格式为:[L,U]=lu(A)功能:产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换),使之满足X=LU。
注意,这里的矩阵X必须是方阵。
调用格式为:[L,U,P]=lu(A):功能:产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P,使之满足PA=LU。
当然矩阵A同样必须是方阵。
实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb),这样可以大大提高运算速度。
置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。
置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是0。
在线性代数中,每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素(n维空间的基)的置换。
当一个矩阵乘上一个置换矩阵时,所得到的是原来矩阵的横行(置换矩阵在左)或纵列(置换矩阵在右)经过置换后得到的矩阵。
第一种调用格式:A=[12 -3 3; -18 3 -1; 1 1 1];b=[15;-15;6][L,U]=lu(A);x=U\(L\b)采用LU分解的第二种格式,命令如下:[L,U ,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)(2)QR分解对矩阵A进行QR分解,就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。
matlab数值解方程
matlab数值解方程MATLAB是一种高级的数值计算软件,它非常适合数学求解问题。
MATLAB有一个非常强大的数值解方程工具箱,可以帮助人们解决各种复杂的方程问题。
在本文中,我们将介绍如何使用MATLAB数值解方程。
MATLAB数值解方程是通过迭代法或牛顿迭代法求解非线性方程或方程组的解。
它可以求解非线性方程组,线性方程组,常微分方程,偏微分方程等。
MATLAB数值解方程可以通过以下步骤进行:1. 定义方程在MATLAB中,通常使用symbolic工具箱来定义方程。
使用syms函数定义变量,并使用等于号将方程左边与右边连接。
例如,要定义以下方程:x ^ 2 + 3 * x - 2 = 0使用以下代码:syms xf = x ^ 2 + 3 * x - 2;2. 求解方程使用solve函数来求解方程。
该函数的输入参数是方程变量和方程,输出是方程的根。
例如,使用以下代码求解上述方程:x = solve(f)执行后,MATLAB将返回方程的根,即[-3.3029, 0.3029]。
3. 解非线性方程组使用fsolve函数可以求解非线性方程组,它可以将一个或多个非线性方程组等效于可用函数语法的单一函数。
示例如下:x0 = [0,0];[x,fval] = fsolve(@(x)[x(1)^2+x(2)^2-1, exp(x(1))-x(2)], x0)其中,x0为初始猜测,@(x)表示匿名函数,包含需要求解的方程组。
4. 解线性方程组使用linsolve函数可以求解线性方程组,它可以将系数矩阵和常数矢量作为输入,并返回解向量。
示例如下:A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0];B = [3; 6; 9];X = linsolve(A,B)其中,A为系数矩阵,B为常数矢量。
5. 解常微分方程使用ode45函数(一种常用的MATLAB求解常微分方程框架函数)来求解常微分方程。
该函数需要一个匿名函数作为输入,该函数返回微分方程的右侧。
MATLAB求解方程解析解和数值解
辽宁工程技术大学上机实验报告用MATLAB求解质点振动方程振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。
利用常系数线性微分方程的理论来讨论有关自由振动和强迫振动的相关问题。
利用MATLAB数学软件大致可分四类情况:(1)无阻尼自由振动情况;(2)有阻尼自由振动;(3)无阻尼强迫振动;(4)有阻尼强迫振动求其数值解和解析解;MATLAB软件求解微分方程解析解的命令“ dsolve() ”求通解的命令格式:(’微分方程’自变量'注:微分方程在输入时,一阶导数y'应输入Dy,y'应输入D2y等,D应大写。
1, 无阻尼自由振动情况:常见的数学摆的无阻尼微小振动方程代码如下:>> t=0:pi/50:2*pi;>> y=2*s in( 3*t+2);>>plot(t,y,'b')2 ! ----------------- B------------------ , ------------------- p ----------------- , ------------------ , ------------------- , -----------------1.5 -\ ;1X ; '| - '■' ■I,°.5 ■-! I-0.5 --1 ■-\ : ■-1.5-2 ........................ ....................................................................................................................0 1 2 3 4 5 6 72, 有阻尼自由振动由无阻尼振动的通解可以看出,无阻尼振动是按照正弦规律运动的,摆动似乎可以无限期的进行下去,但事实上,空气从在阻力,在运动时,我们必须把空气阻力考虑在内,所以我们得到有阻尼摆动方程为:记u/m=2n,g/l=w A2,这里n,w是正常数,所以:y=dsolve('D2y+2* n*Dy+wA2*y=0','t'); ( 4.43)解得:y = C3*exp(-t*(n + ((n + w)*(n - w))A(1/2))) + C2*exp(-t*(n - ((n + w)*(n - w))A(1/2)))(1)小阻尼情形:n<w时,方程(4.43)的通解为:y=exp(-n*t)*(c1*cos(w1*t)+c2*si n(w1*t))和前面无阻尼的情形一样,可以把上式的通解改写为一下形式:y=A*exp(-n*t)*si n(w1*t+Q), (4.45)这里的A,Q为任意常数。
Matlab一般方程数值求解 solve
Matlab一般方程数值求解solveMATLAB为我们求解方程及方程组提供了便利条件.1 任意函数方程与线性方程组MATLAB命令输人格式:solve('eqqu1','equ2',...'equN')或 solve('eqqu1','equ2',...'equN','val1','val2'...,'valN')其中eqni表示第i个方程,vari表示第i个变量,i=1,2,…,N.1.一般方程例如,求解方程 x x^2+b*x+c=0输入:solve('x^2+b*x+c')输出:-1 -1/2*b+1/2*(b^2-4*c)^(1/2)-1/2*b-1/2*(b^2-4*c)^(1/2)注意:如果不能求得精确的符号解,可以计算可变精度的数值解.2.多项式方程除了用上面求解一般方程的方法外,还可以直接用求解多项式方程的MATLAB函数roots(p),其中p是多项式的系数按降幂排列所形成的n+l维列向量,它能够给出全部根(包含重根)。
求解多项式方程x^9+x^8+1=0输入:p=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,1];输出:-l.213-0.9017+0.5753 i-0.9017-0.5753 i-0.2694+0.9406 i-0.2694-0.9406 i0.4168+0.8419 i0.4168-0.8419i0.8608+0.3344i0.8608-0.3344i注意:也可以用solve求解,有何区别?3.线性方程组除了使用MATLAB函数solve以外,还可以用其他的MATLAB 命令.如果将线性方程组写成矩阵形式AX=b,就可以考虑用几种形式之一求解.linsolve(A,b);sym(A)\sym(b);A\b;inv(A)*b;pinv(A)*b其中inv(A)表示A的逆矩阵,因此要求A为方阵且可逆;pinv (A)表示 A的广义逆矩阵,A可以为任意矩阵.*************************************************************** ******想:以上MATLAB函数均可以对任意的线性方程组求解,不管有解,无解、有一个还是有无穷多.它们有何区别?A\b:提示1)当Ax=b有唯一解时,给出该唯一解;2)当其有无穷多解时,给出其中零元素最多的一组解;3)当其无解时,给出一个最小二乘(广义)解.pinv(A)*b:当AX=b有无穷多解时,给出其中一个最小范数解;其他两种情形与A\b相同.linsolve(A,b):对齐次方程组,等价于A\b.sym(A)\sym(b):linsolve(A,b)相同.考虑以下几个求解线性方程组AX=b的例子:1)A=[4 1 0;l -1 5;2 2 -3],b=[6; 14; -3];2)A=[4 3 0;3 4 -l;0 -1 4],b=[24;30;-24];3)A=hilb(12),b=sum(A)';或A=hilb(20),b=sum(A)’.其中hilb(n)表示N阶希尔伯特矩阵分析:1)此例中rank(A)=rank(A|b)=2<3,说明方程组有无穷多解;2)此例中rank(A)=rank(A|b)=3,说明方程组有唯一解;3)此例是希尔伯特方程,rank(A)=rank(A|b)=n,说明方程组有唯一解。
matlab解方程数值解
matlab解方程数值解一、前言MATLAB是一款强大的数学软件,可以用于解决各种数学问题,包括解方程。
在本文中,我们将详细介绍如何使用MATLAB进行方程的数值解。
二、MATLAB中的方程求解函数MATLAB中有多种函数可以用于求解方程,例如fzero、fsolve和vpasolve等。
这些函数的使用方法略有不同,但都可以用于求解方程。
1. fzero函数fzero函数是用于寻找单个变量非线性函数的根。
该函数需要输入一个函数句柄和一个初始猜测值,并返回根的估计值。
例如,要求解方程x^2-2=0,在MATLAB中可以使用以下代码:```f = @(x) x^2 - 2;x0 = 1;x = fzero(f,x0);```其中,@符号表示创建一个匿名函数句柄f,x0为初始猜测值,x为返回的根的估计值。
2. fsolve函数fsolve函数是用于求解多个非线性方程组的根。
该函数需要输入一个包含多个非线性方程的匿名函数句柄和一个初始猜测向量,并返回根向量。
例如,要求解以下非线性方程组:```x^2 + y^2 - 4 = 0exp(x) + y - 1 = 0```在MATLAB中可以使用以下代码:```f = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 4; exp(x(1)) + x(2) - 1];x0 = [1;1];x = fsolve(f,x0);```其中,f为一个包含两个非线性方程的匿名函数句柄,x0为初始猜测向量,x为返回的根向量。
3. vpasolve函数vpasolve函数是用于求解符号方程的数值解。
该函数需要输入一个符号方程和一个变量,并返回该变量的数值解。
例如,要求解方程sin(x) + x^2 = 0,在MATLAB中可以使用以下代码:```syms xeqn = sin(x) + x^2 == 0;sol = vpasolve(eqn,x);```其中,syms关键字表示将变量x声明为符号变量,eqn为符号方程,sol为返回的数值解。
Matlab求解线性方程组、非线性方程组
Matlab求解线性方程组、非线性方程组姓名:罗宝晶学号:1012208015 专业:材料学院高分子系第一部分数值计算Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用除法运算符“/”和“\”。
如:X=A\B表示求矩阵方程AX=B的解;X=B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X=A\B,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X=B/A同理。
如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n,则有:m=n 恰定方程,求解精确解;m>n 超定方程,寻求最小二乘解;m<n 不定方程,寻求基本解,其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解。
一.恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有唯一的一组解,其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式:Ax=b 其中A是方阵,b是一个列向量;在线性代数中,最常用的方程组解法有:(1)利用Cramer公式来求解法;(2)利用矩阵求逆解法,即x=A-1b;(3)利用Gaussian消去法;(4)利用Lu法求解。
一般来说,对维数不高,条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大。
前三种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算。
MATLAB 中,出于对算法稳定性的考虑,行列式及逆的计算大都在Lu分解的基础上进行。
在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式:x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后,就对它进行Lu分解,并最终给出解x;若矩阵A的条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不唯一;如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息;如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息;如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息。
此外还要注意:在求解方程时,尽量不要用inv(A)*b命令,而应采用A\b的解法。
matlab求解二元一次方程组的数值解
matlab求解二元一次方程组的数值解【实用版】目录1.引言2.二元一次方程组的一般形式3.MATLAB 求解二元一次方程组的数值解的方法4.示例5.结论正文1.引言在数学中,求解二元一次方程组是一个基本问题。
二元一次方程组是指包含两个未知数的一次方程组,例如 ax + by = c 和 dx + ey = f。
使用 MATLAB 可以方便地求解这类方程组,得到数值解。
本文将介绍如何使用 MATLAB 求解二元一次方程组的数值解。
2.二元一次方程组的一般形式二元一次方程组可以表示为:ax + by = cdx + ey = f其中,a、b、c、d、e、f 是已知数,x 和 y 是未知数。
3.MATLAB 求解二元一次方程组的数值解的方法在 MATLAB 中,可以使用命令行或编写脚本求解二元一次方程组。
这里我们将介绍两种方法:方法一:使用命令行在 MATLAB 命令窗口中,输入以下命令:```matlabx = -c/b;y = (ad - bc) / (b^2 - ac);```其中,a、b、c、d、e、f 和 x、y 分别代表方程组中的系数和未知数。
执行该命令后,MATLAB 将返回未知数 x 和 y 的数值解。
方法二:编写脚本在 MATLAB 编辑器中,编写以下脚本:```matlabfunction [x, y] = solve_linear_equations(a, b, c, d, e, f) x = -c/b;y = (ad - bc) / (b^2 - ac);end```保存脚本后,在命令窗口中调用该函数,如下所示:```matlab[x, y] = solve_linear_equations(a, b, c, d, e, f);```MATLAB 将返回未知数 x 和 y 的数值解。
4.示例假设我们有以下二元一次方程组:2x + 3y = 53x - 4y = 6使用上述方法,我们可以求解该方程组。
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2017/9/14
二、 MATLAB编程求解等额还款模型
给定月还款额、还款期数、贷款总额和利率计算到期剩余 贷款(AJfixPayment函数) 测试AJfixPayment 函数 使用fsolve求出合适的月还款值,使得在120次还款后, 贷款余额为零。(SolveAJfixPayment函数)
Exitflag: 函数结束信息 (具体参见帮助文档 )
Output: 函数基本信息 包括迭代次数,目标函数最大计算次数,使用的 算法名称,计算规模。 参考书中 【例11.2-3】
2017/9/14
三、 roots 函数
多项式方程如果用fzero求解的话,需要提供初值,而且每次只能得 到一个解,求得的解依赖于初值点的选取。而且如果方程含有虚根的 话,fzero直接求解是无法得到的。因此MATLAB针对多项式方程专门 设计了roots函数来求解。其一般调用格式如下:
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五、含参数方程组求解
实际问题中,许多带参数的方程组,参数往往在程序运行中才知道 具体值。 参考: 【例11.2-6】
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第三节 应用扩展
ห้องสมุดไป่ตู้
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一、等额还款模型与计算
“按揭”的含义及还款方式 等额还款模型
• • • • • 给定如下参数: R:月贷款利率,B:总借款额,MP:为月还款额,YE(t)为月初贷款余额, IR(t) 为月利息偿还额,BJ(t)为月本金偿还额 ,t=1,…,n,n为还款期数。 则根据每月还款额中的现金流包括支付的利息和偿还的本金,月还总额一定 ,有如下模型: YE(t+1)=YE(t)- BJ(t),BJ(t)=MP-IR(t),IR(t)= YE(t)×R 随着如期缴纳最后一期月供款,贷款全部还清,即YE(n)=0。
2017/9/14
二、fzero函数 [x,fval,exitflag,output] = fzero(fun,x0,options)
输入参数:
Fun: 目标函数,简单表达式的函数一般用匿名函数表示,复杂的用函数 文件的函数句柄形式给出
X0: 优化算法初始迭代解,一般根据经验或者猜测给出。 Options: 优化参数设置。 输出参数: X: Fval: 最优解输出(或最后迭代解) 最优解(或最后迭代解)对应的函数值
方程与方程(组) 的数值求解
2017/9/14
主要内容
概述 MATLAB求解方程(组)的函数及其用法 应用扩展
2017/9/14
第一节 概述
2017/9/14
非线性方程种类繁多,大体可以分为多项式非线 性方程和其他非线性方程。 MATLAB中和求解方程有关的函数(运算符)有 solve,/,\,fzero,roots,fsolve等。其中,solve是符号求解 方程(组),在符号计算章节已经介绍了。/,\(右除和 左除)是求解线性方程(组),fzero是求解一元非线性 方程,roots是求多项式方程的根,fsolve是求解非线 性方程组。 注意函数适用的范围。
r = roots(c)
其中输入参数: c: 多项式方程系数组成的行向量或者列向量,按降幂顺序排列。 函数输出参数: r: 多项式方程的解向量
参考: 【例11.2-4】
2017/9/14
四、 fsolve 函数
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(fun,x0,options) 其中输入参数: Fun: 目标函数,一般用函数句柄形式给出 X0: 优化算法初始迭代解 Options: 参数设置(具体设置参考帮助文档) 输出参数: X: 最优解输出(或最后迭代解) Fval: 最优解(或最后迭代解)对应的函数值 Exitflag: 函数结束信息 (具体参考帮助文档 ) Output: 函数基本信息 包括迭代次数,目标函数最大计算次数,使 用的算法名称,计算规模 Jacobian:Jacobian矩阵(主要用来判断是否得到有效解) 参考: 【例11.2-5】
2017/9/14
第二节 MATLAB求解方程(组)的 函数及其用法
2017/9/14
一、左除”\”与右除”/”
在MATLAB环境中,强烈建议使用左除”\”或者右除”/”解线性方程组 左除和右除是根据除号左侧还是右侧是分母而定的,方程系数矩阵 在未知数左侧,则用左除,反之用右除。使用左除”\”或者右除”/”的 好处是因为其对线性方程(组)的广泛适用性,当未知数个数大于方程 个数的时候,左除或右除会给出方程的特解,结合null函数,可以得 到通解。当未知数个数小于方程个数的时候,左除或右除会给出方 程的最小二乘解。 参考书中【例11.2-1】, 【例11.2-2】
2017/9/14