微积分 第六章 第五节 广义积分初步
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6.5广义积分 《高等数学》(经管类专业适用)课件
【小结】
本节讨论了无限区间上的广义积分及计算方法，是 利用极限的思想，把无限区间上的广义积分转化为 有限区间上的定积分，再转化到无限的过程，即从 无限—有限—无限的过程.
第六章 定积分
综 上 所 述 ： 计 算 积 分 1d x 的 方 法 ： 1 x2
第一步计算定积分
b1 1 x2
dx，
第二步1设函数f (x)在无限区间[a, )连续，
则称 f (x)dx为函数f (x)在无限区间[a, )上的广义积分. a
b 0
)
lim(1eb) b
1
例2 计算0 sinxdx
解：由定义6.5.2得：
0
0
sinxdx lim sinxdx
a a
lim(cosx a
0a)
lim(1cosa) a
极 限 lim ( 1 c o s a ) 不 存 在 ， 所 以 0s in x d x 发 散
a
取b a，若极限 lim b f (x)dx存在，则称广义积分收敛， b a
并称这个极限值为广义积分的值，即
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
若极限 lim b f (x)dx不存在，则称广义积分发散. b a
定义6.5.2设函数f (x)在无限区间( ,b]连续，
则称 b f (x)dx为函数f (x)在无限区间( ,b]上的广义积分.
取a b，若极限 lim b f (x)dx存在，则称广义积分收敛， a a
并称这个极限值为广义积分的值，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
若极限 lim b f (x)dx不存在，则称广义积分发散. a a
广义积分
a→∞ a
b
广义积分发散. 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散. 广义积分收敛
定义 3
内连续， 设函数 f (x) 在 (- ∞, + ∞) 内连续， 且
对任意实数 c， 如果广义积分 ，
∫
c
−∞
f ( x )dx 与 ∫
+∞
c
f ( x )dx
例.
无穷积分 ∫
∞
1
dx 收敛还是发散. x
解: 考虑
∫
b
1
dx = x
∫
b
1
x dx = 2 x
b
1 − 2
1 b 2 1
=
1 2b 2
−2
可以看出当b → +∞时, ∫ 因此积分∫
∞
1
dx 增长且无界, x
y= 1 x
1
dx 发散. y x
∫1
b
dx x
0
1
b
x
例7. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b 所需能量由
例4 解
计算
∫
0
−∞
xe x dx .
用分部积分法， 用分部积分法，得
∫
0
−∞
xe d x = ∫
x
0
−∞
xde = xe
x x 0 −∞
x
0 −∞
− ∫ e x dx
−∞
0
= −e
x
= −1.
x 1 其中 lim xe = lim − x = lim = 0, −x x → −∞ − e x →−∞ x →−∞ e
数 a > b， 如果极限 ，
b
广义积分发散. 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散. 广义积分收敛
定义 3
内连续， 设函数 f (x) 在 (- ∞, + ∞) 内连续， 且
对任意实数 c， 如果广义积分 ，
∫
c
−∞
f ( x )dx 与 ∫
+∞
c
f ( x )dx
例.
无穷积分 ∫
∞
1
dx 收敛还是发散. x
解: 考虑
∫
b
1
dx = x
∫
b
1
x dx = 2 x
b
1 − 2
1 b 2 1
=
1 2b 2
−2
可以看出当b → +∞时, ∫ 因此积分∫
∞
1
dx 增长且无界, x
y= 1 x
1
dx 发散. y x
∫1
b
dx x
0
1
b
x
例7. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b 所需能量由
例4 解
计算
∫
0
−∞
xe x dx .
用分部积分法， 用分部积分法，得
∫
0
−∞
xe d x = ∫
x
0
−∞
xde = xe
x x 0 −∞
x
0 −∞
− ∫ e x dx
−∞
0
= −e
x
= −1.
x 1 其中 lim xe = lim − x = lim = 0, −x x → −∞ − e x →−∞ x →−∞ e
数 a > b， 如果极限 ，
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
人大微积分课件5-5广义积分
2021/4/21
22
a
0
1 xp
dx
当
0
p 1 时收敛，当p 1时发散；
再考察a
1 xp
dx
p
0
的敛散性.
当 p 1 时，a 0
a
1dx x
lim
t
ln
t
ln
a
,
当 p 1 时，a 0
1 dx 1 lim t1p a1p
a xp
1 p t
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23
a1 p , p 1 p 1
2.说明
（1）设 Fx f x ，则
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
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5
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
tc a
tc t
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15
这至散时少. 称有广一义个积不分存在ab ，f 则x称dx广收义敛积，分若上ab f述 x两d极x发限
2.说明
（1）在定义2中f x在点a,b,c 的邻域内都无 界，这些点均为f x的无界间断点，也称为f x
的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.
（2）设 Fx f x ，则
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
cos
27-第27讲广义积分
发散 .
x
0
例5
讨论 P－积分
d x a xp
(a 0) 的敛散性，
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
1
x
解 因为
lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故无穷积分 arctan x d x 是发散的 .
1
x
例11
判别无穷积分
1
x3 d x 1 x2
的敛散性.
解 因为
lim
x
x
1
x3 x2
lim x2 x 1
x x2
,
故无穷积分
1
x3 d x 1 x2
a
x
lim f (t) d t I .
x a
由于有极限的量在该极限过程中必有界, 故可知
G(x)
x
g(t) d t
在[a, ) 上有上界.
a
由 a x 时, 0 f (x) g(x) 得
x
x
0 a f (t) d t a g(t) d t ,
从而, 积分上限函数
F(x)
x
f (t) d t
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义.
A R , A a , 且 f (x) R([a, A] ) . 记
微积分教学课件第6章定积分第5节广义积分初步
,
0
0
而 lim cos t 不存在，因此积分
sin x dx
发散，
t
0
所以积分 sin x dx 发散.
6
例1 讨论下列无穷限积分的敛散性.
1
(4)
dx
e x ln x
解 对任意t 0 ,有
t 1 dx e x ln x
t 1 d ln x ln(ln x) t ln(lnt) ,
如果瑕点 c 在[a, b] 内部,a c b ,则
f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛时, f ( x)dx 收敛,且
a
c
a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx .
15
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
11
(1) 0
dx x
解 0为瑕点 ，
原式 lim 1 1 dx lim 2(1 ) 2 .
x 0
0
注 若 x a 是 f (x) 的瑕点,但它的原函数 F(x) 在 x a
处连续,则仍可以形式地使用牛顿-莱布尼茨公式.
11
1
dx 2 x 2 .
0x
0
16
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
(2)
t
lim f ( x)dx
t a
存在,则称此极限为函数 f (x) 在[a, ) 上的广义积分,
记作 f (x)dx ,即
f ( x)dx lim
t f ( x)dx ，
a
a
t a
此时称广义积分 f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在, a
则称广义积分 f (x)dx 发散. a 2
广义积分
§2.4 广义积分一、主要知识点和方法1、基本概念和性质设()f x 在[,)a +∞上有定义，且b a ∀>，()f x 在[,]a b 上可积，定义()d l i m ()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰ ，称为无穷（广义）积分。
类似有()d lim ()d bbaa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰，()d ()d ()d ccf x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰且与c 无关。
这些积分统称为无穷积分。
当上述定义中右端的极限存在时，称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。
对于()d ()d ()d c cf x x f x x f x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个无穷积分都收敛时，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则称为发散。
()f x 在[,)a b 上有定义，在点b 的任何邻域内无界（称b 为瑕点），若对任何a c b <<，()f x 在[,]a c 上可积，定义()d lim ()d bcaac bf x x f x x -→=⎰⎰，称为无界函数广义积分，也称以b 为瑕点的瑕积分。
类似地也有以区间左端点为瑕点的瑕积分。
又当c 是()f x 在[,]a b 内的唯一瑕点时，定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。
当定义中右端的极限存在时，称瑕积分收敛。
对于瑕积分()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个瑕积分都收敛时，称()d baf x x ⎰收敛。
无穷积分和瑕积分统称为广义（反常）积分。
由此可见，广义积分的敛散性就是变动限积分的极限存在性，从而可归结为函数极限来讨论。
设0a >，由定义立即得到：1d p ax x+∞⎰当1p >时收敛，当1p ≤时发散；1d apx x ⎰当1p <时收敛，当1p ≥时发散。
第5节 广义积分1
无界函数的积分—瑕积分.
2
一、无穷限积分
1. 定义 f(x) 的反常积分（即广义积分）
t t a a
f ( x )dx lim f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a ).
t a
条件：t : f ( x )dx存在.
2
3 1 n 1 n 3 n n 2 4 2 2 , n为正偶数 n 2 0 cos xdx n 1 n 3 4 2 , n为大于1的奇数 n n2 5 3
10
x 例5 计算 dx. 2 1 x
1 0
dx 1 q 1 t 2 dt q x t
x
1 t
1
1 t
2 q
dt
1
2q 1 , 1 1 dt = 2 q t 2 q 1, 2 q 1
, q 1 = 1 . 1 q , q 1
x
dx x e
u x
x
0
0
e x dx
1.
Γ ( 1) x e
0 x 0 0
x e dx
x
0
0
x de
x
e x x 1 dx
0
N
e x x 1 dx Γ ( ) .
x
x 0 t
1 et ,
t
所以
0
lim (1 e t ) 1 . e dx
x
5
例1
微积分(上册)第六章
一、 定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不 可积的.这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对 ［a,b］怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数 f(x)在其上无界.因此，在［xi－1 ,xi］上一定可以取一点ξi， 使得f(ξi)大于任意一个正数M ∑ni=1f(ξi)Δxi可以任意的大.当λ→0时，这个和就不可能 趋向于任何极限.由此可知，f(x)在［a,b］上可积的必要 条件是f(x)在［a,b］上有界.
(1)若在［a,b］上f(x)≥0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形的面积A
∫baf(x)dx=A. (2)若在［a,b］上f(x)≤0，则定积分∫baf(x)dx在几何 上表示由曲线y=f(x)、直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边 梯形面积A的负值,
一、 定积分的概念
然而，函数f(x)在［a,b］上有界并不是可积的充分条件.
0,1］上是有界函数，但不可积.因为不论对［0,1］怎样 分割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数，这 时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0.所以对［0,1］的任何
当λ→0时，这两个和式的极限分别为1和0，所以f(x)在［0,1］上 不可积.
m(b－a)≤∫baf(x)dx≤M(b－a).
三、 定积分的性质
由上式得m≤1b－a∫baf(x)dx≤M.这表明1b－a∫baf(x)dx 介于函数f(x)的最小值与最大值之间，由连续函数的介值定理 知，在［a,b］上至少存在一点ξ
1b－a∫baf(x)dx=f(ξ). 这就是下面给出的定积分中值定理.
高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质
y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和
处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割
设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式
微积分课件 广义积分
1.无穷积分敛散性判别法
定理10 若ƒ(x)≥0, 则
a
f
(x)dx收敛的充要条件是
x
F (x) a f (t)dt 在[a,+∞)上有界.
证 必要性显然成立. 下证充分性. 因 F(x) f (x) 0 知, F(x)在[a, +∞)上单调增加;
而由F(x)在[a, +∞)上的有界性知F(x)必有极限, 即
a
0 a
存在. 6
注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点
c(a<c<b)时,
瑕积分
b
a
f
( x)dx
的敛散性,
即
b
b
(1)若瑕点为b,
则定义 a
f (x)dx lim 0 a
f (x)dx.
(2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义
b
f (x)dx lim
c1 f (x)dx lim
9
三.两个重要的广义积分
下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的
特殊积分—Γ函数和β函数, 这两个函数也称为欧拉积分.
1. Γ函数
定义4 参变量s的函数 (s) xs1exdx 0
(s 0) 称为Γ函数.
注5 当s > 0时, 定义4中的广义积分收敛.(证明略)
注6
(s) xs1exdx 不仅是个无穷积分, 0
f (x)dx
a
不再表示数值了, 无穷积分没有意义.
注1 若 f (x)dx收敛, 则有 f (x)dx lim b f (x)dx存在.
a
a
b a
注2 类似地可定义
b
f (x)dx lim
65广义积分04238
收敛; 当 p≥1时,
发散.
A 以下广义积分收敛的是（ ）
1 1
A), dx, x 0
2020/6/27
B),
1
1dx, x微积分II
1 C第六)章, 定1积分x2
d
x,
D),
13
1 x4
dx.
9
三*.Г函数
下面介绍在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊积分—Γ
函数. 定义6.5.5 参变量 s 的函数
这是因为 在[Leabharlann 1, 1]上无界.我们将积分区间无限的积分称为无穷积分, 将被积函数无界 的积分称为瑕积分, 它们统称为广义积分(或称为反常积分). 相
应, 前面的积分称为正常积分或狭义积分.
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
2
一.无穷积分
将积分区间无限的积分称为无穷积分，无穷区间
有三种形式：[a,) (,, a]和 (, ) .
定义6.5.1 设ƒ(x)在[a, +∞)上连续, 若极限
存在, 则称此极限值为函数f(x)在 此时称无穷积分
上的无穷积分, 记为 收敛, 即
bl im F(x)|babl im [F(b)F(a)]
若极限不存在, 就称无穷积分
发散. lim F(b)F(a)
为简单起见, 广义积分可以简化为
b
其中
7
例4 计算积分
解 因为
所以x=0是一个瑕点.
1 是偶函数 x2
1
2lim 0
1 x2
d x2lim 1x2dx 0
2 lim 0
1 x
|1
2lim(11).
0
从而
05--第五节--广义积分.doc
第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★无界函数的广义积分★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分.解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散.例3(E03) 计算广义积分.解例4 计算广义积分解原式例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分.解故题设广义积分发散.例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.例10 计算广义积分瑕点.解,例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分.解被积函数有两个可疑的瑕点:和因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而例13计算解分母的阶数较高,可利用到代换,令则再令则课堂练习1. 计算广义积分;2. 判断广义积分的瑕点.科教兴国。
高等数学微积分课件--65广义积分初步
瑕点的处理
在处理含有瑕点的积分时，需要特别注意如何处理瑕 点，以得到正确的积分结果。
广义积分与普通积分的区别与联系
广义积分在处理无界函数或者瑕 点时具有特殊的性质，与普通积 分有所不同。
广义积分是普通积分的扩展和补 充，两者在某些情况下可以相互 转化。
定义域不同 性质不同
应用场景不同 联系
普通积分定义在闭区间上，而广 义积分可能定义在半开半闭区间 或者无穷区间上。
热传导分析
在热传导分析中，广义积分可以用来计算在不同温度分布下的热流 密度和热能传递效率，从而优化热设计。
结构力学
在结构力学中，广义积分可以用来计算结构的应力和应变分布，从而 优化结构设计。
05
广义积分的注意事项
Chapter
计算过程中的常见错误
积分区间错误
01
在计算广义积分时，容易忽视积分的区间，导致结果不准确。
高等数学微积分课件--65广义积 分初步
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的实际应用 • 广义积分的注意事项
01
广义积分的定义与性质
Chapter
广义积分的定义与性质
• 请输入您的内容
02
广义积分的计算方法
Chapter
积分区间有限的情况
积分上限或下限错误
02
在确定积分上下限时，容易混淆或遗漏，导致积分范围不正确
。
积分函数错误
03
在积分过程中，容易将积分函数写错或理解错，导致积分结果
偏离正确值。
广义积分的适用范围
无穷区间上的积分
当积分区间为无穷时，需要考虑广义积分的适用性。
无界函数的积分
在处理含有瑕点的积分时，需要特别注意如何处理瑕 点，以得到正确的积分结果。
广义积分与普通积分的区别与联系
广义积分在处理无界函数或者瑕 点时具有特殊的性质，与普通积 分有所不同。
广义积分是普通积分的扩展和补 充，两者在某些情况下可以相互 转化。
定义域不同 性质不同
应用场景不同 联系
普通积分定义在闭区间上，而广 义积分可能定义在半开半闭区间 或者无穷区间上。
热传导分析
在热传导分析中，广义积分可以用来计算在不同温度分布下的热流 密度和热能传递效率，从而优化热设计。
结构力学
在结构力学中，广义积分可以用来计算结构的应力和应变分布，从而 优化结构设计。
05
广义积分的注意事项
Chapter
计算过程中的常见错误
积分区间错误
01
在计算广义积分时，容易忽视积分的区间，导致结果不准确。
高等数学微积分课件--65广义积 分初步
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的实际应用 • 广义积分的注意事项
01
广义积分的定义与性质
Chapter
广义积分的定义与性质
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02
广义积分的计算方法
Chapter
积分区间有限的情况
积分上限或下限错误
02
在确定积分上下限时，容易混淆或遗漏，导致积分范围不正确
。
积分函数错误
03
在积分过程中，容易将积分函数写错或理解错，导致积分结果
偏离正确值。
广义积分的适用范围
无穷区间上的积分
当积分区间为无穷时，需要考虑广义积分的适用性。
无界函数的积分
第五节 广义积分
cos
1 b
cos
2
1.
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
例6. 计算广义积分
解: Q lim 1 , xa0 a2 x2
显然瑕点为 a , 所以
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0
a2 x2
lim
0
arcsin
当x
1时
,u 4
, 当x
时
, u
2
,
arctanx 1 x 2 dx
2
u
sec 2 u d u
4
tan 2 u
2 u csc 2udu
4
2
4
u
d cotu
[
u
cot
u
]
2
4
2 cot u d u
4
4
[ln
sinu
]
2
4
1 ln 2
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0
0
Γ (n 1) n!
证 Γ (n 1) nΓ (n) n(n 1)Γ(n 1)
n(n 1)(n 2)21 Γ(1) n!
Γ (6) x5ex dx 5! 0
28
例9
计算广义积分
x
7
2e
x
dx
.
0
解
7
x 2ex
dx
Γ(7
1)
7
Γ(7)
0
2
22
7
5
Γ(5)
7
5
1 0
dx 1 x2
arcsinx
1 0
2
.
0 1
dx 1 x2
arcs
inx
0 1
0 ( )
2
2
.
1 dx
0 dx
1 dx
1 1 x2 1 1 x2 0 1 x2
.
22
17
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
2
(3)
x
dx
2 x11 dx
1 x1
1 x1
2
1
1 ( x 1
arctan x
1
x2 dx .
解
原式
1
arctan x d
1
x
arctan x dx
x
1 1
x(1 x2 )
1 42
1
1 x2(1
x2
)
dx 2
4
1 2
(
1
1 x2
1 1 x2
) dx 2
4
1 2
x2
ln 1
x2
1
4
1 2
ln 2
.
12
f ( x)dx 的性质： a
解 0为瑕点 ，
原式 lim 1 1 dx lim 2(1 ) 2 .
x 0
0
注 若 x a 是 f (x) 的瑕点,但它的原函数 F(x) 在 x a
处连续,则仍可以形式地使用牛顿-莱布尼茨公式.
11
1
dx 2 x 2 .
0x
0
16
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
(2)
证 Γ (t 1) x te x dx x t de x
0
0
x t e x t e x x t1 dx
0
0
0 t e x x t1 dx t Γ (t) . 0
27
Γ (t 1) t Γ (t)
Γ (1) 1
证 Γ (1) e x dx e x 1 .
a
0 a
b
若极限不存在，则称瑕积分 f ( x)dx 发散. a
14
类似地,设 f ( x) 在[a,b) 上连续,点 b 为瑕点,
如果极限 lim b f ( x)dx 存在,则称瑕积分 0 a
b
f ( x)dx 收敛，即 a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
存在定理 定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
计 算 法
定 积 分 的
1、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意
若干若干个分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，
1 1
1 x2 dx
1 1 2 , x 1
x 0是瑕点，
1 0
1 x2
dx ，发散.
25
思考题
1 ln x
积分
dx 的瑕点是哪几点？
0 x1
解 可能的瑕点是 x 0, x 1 ,
lim ln x lim 1 1, x1 x 1 x1 x
x 1 不是瑕点,
1 ln x dx 的瑕点是 x 0.
1
1
(5)
0 (2 x)
dx 1 x
解 x 1为瑕点.
用换元法，令 t 1 x ，则x 1 t 2 ，dx 2t dt ，
1
于是有
1
0
dx
2t
dt
0 (2 x) 1 x
1 (1 t 2 ) t
12 01 t2
dt
2 arctan
t
|10
2
.
20
例7 讨论暇积分
1 dx 0 xp
b
a 为 f ( x) 的瑕点(或奇点)；称 f ( x)dx 为瑕积分. a
定义 设函数 f (x) 在(a, b] 上连续,点 a 为f (x) 的瑕点,
b
如果极限 lim f ( x)dx 存在，则称瑕积分 0 a
b
f ( x)dx 收敛，即 a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
t f ( x)dx ，
a
a
t a
此时称广义积分 f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在, a
则称广义积分 f (x)dx 发散. a
3
f ( x)dx lim
t f ( x)dx ，
a
t a
b
b
类似地， f ( x)dx lim f ( x)dx
t t
b
而对 f ( x)dx ,当且仅当 f ( x )dx 和
广 分义
积
oa
x
⑷
一、无穷限积分
定义 设函数 f ( x) 在区间[a, ) 上有定义,且对 任何 t a , f ( x) 在[a, t] 上可积,如果极限
t
lim f ( x)dx
t a
存在,则称此极限为函数 f (x) 在[a, ) 上的广义积分,
记作 f (x)dx ,即
f ( x)dx lim
如果瑕点 c 在[a, b] 内部,a c b ,则规定两个瑕积分
c
b
b
f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛时, f ( x)dx 收敛,且
a
c
a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx .
15
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
11
(1) 0
dx x
的收敛性(p 0 ).
解 当 p 1 时,
1 dx lim lnx 1
x 0
0
，积分发散；
当 p 1 时,
1 dx 0 xp
lim 0
1 x p dx 1 lim x1 p 1
1 p 0
1
,
1 1
p
(1
lim
0
1 p )
1 p
,
p1 p1
所以
1 dx 收敛, 0 p 1
a a
sin
xdx
limcos
a
a
cos
a
0
sin xdx 0.
0
sin
xdx
发散
sin xdx 发散.
广义积分发散就严格按照定义.
例1 讨论下列无穷限积分的敛散性.
(3) sin x dx
解 对 sin x dx ，对任意 t 0 ,有 0
t sin
x
dx
cosx
t
1
cos t
,
0
xp
发 散，
. p1
21
例7 讨论暇积分
1 dx 0 xp
的收敛性(p 0 ).
解 当 p 1 时,
1 dx lim lnx 1
x 0
0
，积分发散；
当 p 1 时,
1 dx 0 xp
lim 0
1 x p dx 1 lim x1 p 1
1 p 0
比较：
1
1 xp
第五节 广义积分初步
在定积分的定义中,有两个限制: (1)积分区间有限； (2)被积函数有界. 当这两个条件至少有一个不满足时,称广义积分 (现一般称为反常积分) . 无限区间上的积分——称为无穷限积分； 无界函数的积分——称为瑕积分.
1
y
oa⑴ b x y
oa
bx
⑶
y
常 分义
积
oa ⑵ b x
y
3
1
1 Γ( )
22 2
2222 2
105 Γ(1) . 16 2
在第八章8.7中将证明：Γ ( 1 ) .
2
29
练习：
P45 习题六 25（1、4）, 27（1、2）
30
第六章 定积分及其应用 习 题 课（一）
主要内容 典型例题
一、主要内容
问题1: 曲边梯形的面积
问题2: 变速直线运动的路程
1
f ( x)dx 与
f ( x)dx 具有相同的敛散性；
a
b
2
kf ( x)dx 与 f ( x)dx (k 0) 具有相同的
a
a
敛散性；
3 设
f ( x)dx 与
g( x)dx 都收敛，则
a
a
[ f ( x) g( x)]dx 也收敛. a
13
二、瑕积分
如果函数 f ( x) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
处连续,则仍可以形式地使用牛顿-莱布尼茨公式.
11
1
dx 2 x 2 .
0x
0
23
例8
讨论
1
1
1 x2
dx
的收敛性.
解
1 dx 1 x 2
0 dx 1 x 2