高中数学 必修1 指数函数及幂函数 总复习
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必修1 数学
——指数函数及幂函数
一、指数函数 1.整数指数幂
)0(10
≠=a a
; )0,(1≠∈=
-a N n a
a
n
n
; n
m
n
m
a
a
=
2、指数函数
【1】一般形式:()0,1x y a a a =>≠; 【2】定义域:(,)-∞+∞;值域:(0,)+∞;
【3】函数值变化情况:
当1a >时,1(0)1(0)1(0)x x a x x >>⎧⎪==⎨⎪<<⎩
; 当01a <<时,1(0)1(0)1(0)x
x a
x x <>⎧⎪
==⎨⎪><⎩
【4】单调性:当1a >时,x y a =是增函数;当01a <<时,x y a =是减函数
【类型题归纳】
【例题1】下列哪些是指数函数:(1)(4)x
y =-;(2)2
1
2
x y -=;(3)x
y a =;
(4)1(21)(,1)2
x
y a a a =->
≠;(5)23x
y =⋅.
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数,要紧扣指数函数的定义:其一,底数大于0且不等于1;其二,幂指数是单一的自变量x ;其三,系数为1,且没有其他的项. 2、设137
x
=
,则( )
A 、21x -<<-
B 、32x -<<-
C 、10x -<<
D 、01x << 3、若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠,则下列等式不正确的是( )
A 、()()()f x y f x f y +=
B 、 ()()()n n n f xy f x f y ⎡⎤=⎣⎦
C 、 ()()()
f x f x y f y -=
D 、 ()()n
f nx f x =
【总结】对于()()()f x y f x f y +=类型的抽象函数,x
y a =可以作为它的一个经典原型,用来解决实际
问题。 4、化简4
63
9436
9)(
)(
a a ⋅的结果为( )
A 、a 16
B 、a 8
C 、a 4
D 、a 2
【例题5】求下列函数的定义域、值域:
(1)1
421x x y +=++; (2)1(01
x
x
a y a a -=
>+,且1)a ≠.
【变式训练】求下列函数的定义域、值域:(1)||
2
()
3
x y -=; (2)2
120.5x x y +-=.
【例题6】比较下列各组数的大小. (1) 2.5
1.7,3
1.7;(2)0.10.20.8,1.25-;(3)0.3 3.11.7,0.9;(4) 4.1 3.64.5,3.7.
【例题7】讨论函数2
21
()()
3x x
f x -=的单调性,并求其值域.
【变式训练】求函数|12|
1
()
2x y +=的单调区间.
二、幂函数
(1)定义:一般地,函数a
y x =叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)注意:对于幂函数,我们只讨论11,2,3,,12
α=-时的情形.
(3)图象与性质:
2、幂函数的图象不过第四象限
3、幂函数y x α=的奇偶性的判断:令q p
α
=
(其中,p q 互质,,p q N ∈)
【1】若p 是奇数,则q p
y
x =的奇偶性取决于q 是奇数或偶数。当q 是奇数时,则q
p y x =是奇函数;
当q 是偶数时,则q
p y x =是偶函数.
【2】若p 是偶数,则q 必是奇数,此时q
p y x =既不是奇函数,也不是偶函数. 4. 幂函数的增减性:当α<0时,幂函数在第一象限为减函数。
【类型题归纳】
1、在函数①1
23y x x =+;②3
(1)y x =-;③2
1y x
=
;④1y =;⑤1
22y x =;⑥y =是 .
2、幂函数1234:,:,:,:k m n p
C y x C y x C y x C y x ====的 图象如图所示,则,,,k m n p 的大小关系是
( )
A.k m n p >>>
B.n m k p >>>
C.m n p k >>>
D.k m p n >>>
3、写出下列函数的定义域、值域,判断(1)的奇偶性和单调性.
(1)1
2y x =; (2)35
y x
-
= (3)2
(2)
y x -=+
4、若113
3
(1)
(32)
a a --
+<-,则a 的取值范围是 .
5、函数2
-
=x y 在区间]2,2
1
[上的最大值是
( )
A .
4
1
B .1-
C .4
D .4- 6、函数3
x y =和31
x y =图象满足
( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称