嵌套函数问题

嵌套函数问题

嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.

类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例1 (){}|A x f x x ==，()(){}|B x f f x x ==.

（1）求证：A B ⊆；

（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.

【解析】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，

()()()(),f t t f f t f t t ===，t B ∴∈，故A B ⊆.

（2）

2,1A ax x ≠∅∴-=有实根，14

a ∴≥-

.又A B ⊆，所以()22

11a ax x --=， 即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()

222110ax x a x ax a --+-+=

A B =，2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=的根.

若2210a x ax a +-+=没有实根，则34

a <

； 若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根，则由方210ax x --=， 得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +-+=，有210ax +=.由此解得12x a

=-

， 再代入得

111042a a +-=，由此34a =，故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

. （3）由题意：x 0是函数的稳定点, 则00))((x x f f =，

① 若00)(x x f >，)(x f 是R 上的单调增函数，则)())((00x f x f f >，所以)(00x f x >，矛盾 ② 若)(00x f x >，)(x f 是R 上的单调增函数，则))(()(00x f f x f >，所以00)(x x f >，矛盾 故00)(x x f =，所以x 0是函数的不动点.

类型二 嵌套函数中零点个数问题

典例2若函数()32

f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程

()()()2

320f x a f x b ++=的不同实根的个数是_____.

【解析】函数()3

2

f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，

说明方程2

'()320f x x ax b =++=的两根为1x ，2x ， ∴方程()

()

()2

320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，

若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，∴1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，

21()()f x x f x =>只有一解，∴此时只有3解，

若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，∴1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，

21()()f x x f x =<只有一解，∴此时只有3解.

类型三 嵌套函数中参数问题

典例3 已知函数()()2

21,0

,0

x ax a x f x ln x x ⎧--+≥⎪=⎨

-<⎪⎩ ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 【解析】令()()0,f t t g x ==

当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴

当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=- 所以()()

y f g x =有5个零点，舍； 当10a ->时，由于121a ->-

所以2

4440a a ∆=+-> ，且2

112a a a a +->- 5-1

1a << 综上实数a 的取值范围是()511,⎫

-⋃+∞⎪⎪⎝⎭

【小结】求解复合方程问题时，往往把方程[()]0f g x =分解为()0f t =和()g x t =处理，先从方程()0f t =中求t ，再带入方程()g x t =中求x 的值．

巩固1. 设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________ 【解析】由题意可得 y 0=si nx 0∈[-1，1]，f （y 0）=e y 0

+y 0-a ，

∵曲线y =si nx 上存在点（x 0，y 0）使得f （f （y 0））=y 0，∴存在y 0∈[0，1]，使f （y 0）=y 0成立， 即f （x ）=x 在[0，1]上有解，即 e x +x -x 2

=a 在[0，1]上有解． 令g （x ）=e x +x -x 2

，则a 为g （x ）在[0，1]上的值域．

∵当x ∈[0，1]时，g ′（x ）=e x +1-2x ＞0，故函数g （x ）在[0，1]上是增函数， 故g （0）≤g （x ）≤g （1），即1≤a ≤e ， 故答案为：[1，e ]

巩固2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5

sin() (01)42()1() 1 (1)4

x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2

[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.

【解析】作出5

sin() (01)42()1() 1 (1)4

x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象如下，又∵函数()y f x =是定义域为R 的偶函数， 且关于x 的方程2

[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，

∴2

0x ax b ++=的两根分别为15

4x =

，2514x <<或101x <≤，2514x <<， 由韦达定理可得a x x -=+21，若451,4521<<=x x ，则2549<-

9

25-<<-a ，

若101x <≤，2514x <<，则491<-

9

-<<-a