高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习02 函数的嵌套问题(解析版)

高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习

第2讲函数的嵌套问题

一．选择题（共15小题）

1．（2021•合肥一模）已知函数,0

()1,0

x x e x f x xe x lnx x -⎧-=⎨--->⎩，则函数()(())()F x f f x ef x =-的

零点个数为()(e 是自然对数的底数）． A ．6B ．5C ．4D ．3

【解答】解：不妨设1()(0)x f x e x -=-，2()1(0)x f x xe x lnx x =--->， 易知，1()0f x <在(-∞，0]上恒成立，且在(-∞，0]单调递增；

211()1(1)()x x x f x e xe x e x x '=+--

=+-，

设1

()(0)x g x e x x

=->，由当0x +→时，()g x →-∞，g （1）10e =->，且函数()g x 在(0,)+∞上单增，

故函数()g x 存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得0()0g x =，即0

10x e x -

=，则00001,0x

x e lnx x =+=， 故当0(0,)x x ∈时，()0g x <，2()0f x '<，2()f x 单减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，2()0f x '>，

2()f x 单增，

故0

220000()()10x min f x f x x e x lnx ==---=，故2()0f x ；

令()t f x =，()()0F t f t et =-=，

当0t 时，0t e et ---=，解得1t =-，此时易知()1f x t ==-有一个解；

当0t >时，10t te t lnt et ----=，即1t te t lnt et ---=，作函数2()f t 与函数y et =如下图所示，

由图可知，函数2()f t 与函数y et =有两个交点，设这两个交点为1t ，2t ，且10t >，20t >， 而由图观察易知，1()f x t =，2()f x t =均有两个交点，故此时共有四个解； 综上，函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为5． 故选：B ．

【点评】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．

2．（2021•绵阳模拟）已知函数()||

x e f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四

个相异的实数根，则a 的取值范围是()

A ．21

(1,)21e e ---B ．(1,)+∞

C ．21(21e e --，2)

D ．21(21

e e --，)+∞

【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22

(1)

()x x x e x e e x f x x x --'==，

当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，

当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22

(1)

()x x x e x e e x f x x x --'=-=-

，此时()0f x '>恒成立，

此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：

设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根 当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，

则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e >， 设2()21h t t at a =-+-，

则(0)0()020

2

h h e a a ⎧

⎪>⎪<⎨⎪-⎪-=>⎩，即2102100a e ae a a ->⎧⎪-+-<⎨⎪>⎩，即21121a e a e >⎧⎪⎨->

⎪-⎩， 即2121

e a e ->-，

即实数a 的取值范围是21

(21

e e --，)+∞，

故选：D ．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 3．（2021•海淀区校级开学）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数．当0x >时，

5

sin(),0142()1()1,14

x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有2个不同实数根，则实数a 的取值范围是()

A ．(-∞，55)(4

4

-⋃，)+∞B ．(-∞，565){}(4

5

4

-⋃，)+∞ C ．5(,)[14

-∞--，51](4

⋃，)+∞D ．5(4

-，5)4

【解答】解：作出函数的图象如图所示，令()f x t =，则由图象可得： 当11t -或54

t =±时，方程()f x t =有1解；

当5

14

t -<<-或514t <<时，方程()f x t =有2解；

当54

t <-或54

t >时，方程()f x t =无解； 因为25[()](56)()60f

x a f x a -++=，