解析几何复习序列之二(直线的倾斜角和斜率)
解析几何直线的倾斜角与斜率直线的方程课件
2023-11-09CATALOGUE目录•直线倾斜角与斜率的定义•直线方程的表示方法•直线倾斜角与斜率的计算方法•直线方程的应用01直线倾斜角与斜率的定义直线与x轴正向之间的夹角,通常用α表示。
直线倾斜角范围特殊情况0° ≤ α < 180°。
当直线与x轴平行时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°。
03直线倾斜角的定义0201直线斜率:描述直线在某一点处的变化率,通常用k表示。
斜率等于倾斜角的正切值,即k = tan(α)。
斜率与倾斜角的关系:k随α的增大而增大,随α的减小而减小。
直线斜率的定义直线倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率之间存在一定的关系,可以通过三角函数进行计算。
在实际应用中,可以根据需要选择使用倾斜角或斜率来描述直线的状态。
直线倾斜角与斜率是解析几何中描述直线的重要参数。
02直线方程的表示方法点斜式方程是描述直线通过某一点,并且斜率为某一固定值的方程。
定义y-y1 = k(x-x1)形式其中(x1, y1)是给定的点,k是直线的斜率。
描述斜截式方程是描述直线与y轴交于某一点,并且斜率为某一固定值的方程。
定义y = kx + b形式其中k是直线的斜率,b是直线与y轴的交点。
描述形式x = ty + c描述其中t是直线的斜率,c是直线与x轴的交点。
定义截斜式方程是描述直线通过某一点,并且与x轴交于某一点的方程。
03直线倾斜角与斜率的计算方法03计算公式如果直线与x轴夹角为α,则直线的斜率为tanα。
利用直线的斜率计算直线的倾斜角01直线斜率的定义直线斜率是指直线与x轴夹角的正切值,即直线与x轴夹角的正切值。
02斜率与倾斜角的关系直线的斜率与倾斜角之间存在一种反比例关系,即当直线斜率增大时,倾斜角减小,反之亦然。
直线与x轴正向夹角为直线倾斜角,取值范围为[0,π)。
利用直线的倾斜角计算直线的斜率定义直线倾斜角如果直线倾斜角为α,则直线的斜率为tan(α)。
高考数学复习笔记第八章 平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l 倾斜角的取值范围是[0,π). 2.斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2),则斜率k =tan_α.(2)P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l 上,且x 1≠x 2,则l 的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1.3.直线方程的五种形式若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则⎩⎨⎧x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.[小题体验]1.设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l 1,则直线l 1的倾斜角为( )A .α+45°B .α-135°C .135°-αD .α+45°或α-135°解析:选D 由倾斜角的取值范围知,只有当0°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l 1的倾斜角才是α+45°.而0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,l 1的倾斜角为α-135°,故选D.2.下列说法中正确的是( )A.y -y 1x -x 1=k 表示过点P 1(x 1,y 1),且斜率为k 的直线方程 B .直线y =kx +b 与y 轴交于一点B (0,b ),其中截距b =|OB | C .在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +yb =1D .方程(x 2-x 1)(y -y 1)=(y 2-y 1)(x -x 1)表示过点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线 解析:选D 对于A ,直线不包括点P 1,故A 不正确;对于B ,截距不是距离,是B 点的纵坐标,其值可正可负,故B 不正确;对于C ,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,不能表示为x a +yb =1,故C 不正确;对于D ,此方程为直线两点式方程的变形,故D正确.故选D.3.(2018·嘉兴检测)直线l 1:x +y +2=0在x 轴上的截距为________;若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°,则所得到的直线l 2的方程为________________.解析:对于直线l 1:x +y +2=0,令y =0,得x =-2,即直线l 1在x 轴上的截距为-2;令x =0,得y =-2,即l 1与y 轴的交点为(0,-2),直线l 1的倾斜角为135°,∴直线l 2的倾斜角为135°-90°=45°,∴l 2的斜率为1,故l 2的方程为y =x -2,即x -y -2=0.答案:-2 x -y -2=01.点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x ,y 轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2.截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注意讨论截距是否为零.3.求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在加以讨论.[小题纠偏]1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6,π2∪⎣⎡⎦⎤π2,5π6 B.⎣⎡⎦⎤0,π6∪⎣⎡⎭⎫5π6,π C.⎣⎡⎦⎤0,5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6,5π6解析:选B 设直线的倾斜角为θ,则tan θ=-33cos α, 又cos α∈[-1,1],所以-33≤tan θ≤33, 又0≤θ<π,且y =tan θ在⎣⎡⎭⎫0,π2和⎝⎛⎭⎫π2,π上均为增函数, 故θ∈⎣⎡⎦⎤0,π6∪⎣⎡⎭⎫5π6,π.故选B. 2.过点(5,10),且到原点的距离为5的直线方程是________. 解析:当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0满足题意; 当斜率存在时,设其为k ,则所求直线方程为y -10=k (x -5), 即kx -y +10-5k =0.由距离公式,得|10-5k |k 2+1=5,解得k =34.故所求直线方程为3x -4y +25=0.综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0. 答案:x -5=0或3x -4y +25=0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.若直线l 经过A (2,1),B (1,-m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π4 B.⎝⎛⎭⎫π2,π C.⎣⎡⎭⎫π4,π2D.⎝⎛⎦⎤π2,3π4解析:选C 因为直线l 的斜率k =tan α=1+m 22-1=m 2+1≥1,所以π4≤α<π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4,π2.2.经过P (0,-1)作直线l ,若直线l 与连接A (1,-2),B (2,1)的线段总有公共点,则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________,________.解析:如图所示,结合图形,若l 与线段AB 总有公共点,则k PA ≤k ≤k PB ,而k PB >0,k PA <0,故k <0时,倾斜角α为钝角,k =0时,α=0,k >0时,α为锐角.又k PA =-2-(-1)1-0=-1,k PB =1-(-1)2-0=1,∴-1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时,0≤α≤π4;当-1≤k <0时,3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π. 答案:[-1,1] ⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π 3.若A (2,2),B (a,0),C (0,b )(ab ≠0)三点共线,求1a +1b的值.解:∵k AB =0-2a -2=-2a -2,k AC =b -20-2=-b -22,且A ,B ,C 三点共线,∴k AB =k AC ,即-2a -2=-b -22,整理得ab =2(a +b ),将该等式两边同除以2ab 得1a +1b =12.[谨记通法]1.倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0,π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时,k 的值由0增大到+∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,k 也是关于α的单调函数,当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时,k 的值由-∞趋近于0(k ≠0).2.斜率的3种求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k =tan α求斜率. (2)公式法:若已知直线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),一般根据斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2)求斜率.(3)方程法:若已知直线的方程为Ax +By +C =0(B ≠0),则l 的斜率k =-AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程:(1)经过点(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点(-1,-3),倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍; (3)经过点(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解:(1)设直线方程在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0,即直线方程过点(0,0)和(4,1), ∴直线方程为y =14x ,即x -4y =0;若a ≠0,则设直线方程为x a +ya =1,∵直线方程过点(4,1),∴4a +1a =1, 解得a =5,∴直线方程为x +y -5=0.综上可知,所求直线的方程为x -4y =0或x +y -5=0.(2)由已知,设直线y =3x 的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=-34.又直线经过点(-1,-3),因此所求直线方程为y +3=-34(x +1),即3x +4y +15=0.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y -4=±(x -3).即所求直线的方程为x -y +1=0或x +y -7=0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).[即时应用]求适合下列条件的直线方程:(1)经过点A (-3,3),且倾斜角为直线3x +y +1=0的倾斜角的一半的直线方程为________.(2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________. 解析:(1)由3x +y +1=0,得此直线的斜率为-3, 所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°, 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (-3,3),所以所求直线方程为y -3=3(x +3), 即3x -y +6=0.(2)由题意可设直线方程为x a +yb=1,则⎩⎪⎨⎪⎧a +b =6,2a +1b =1,解得a =b =3,或a =4,b =2. 故所求直线方程为x +y -3=0或x +2y -4=0.答案:(1)3x -y +6=0 (2)x +y -3=0或x +2y -4=0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一,它常与函数、导数、不等式、圆相结合,命题多为客观题.常见的命题角度有:(1)与基本不等式相结合的最值问题;(2)与导数的几何意义相结合的问题; (3)由直线方程解决参数问题.[题点全练]角度一:与基本不等式相结合的最值问题1.过点P (2,1)作直线l ,与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,求: (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程;(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程; (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程. 解:(1)设直线l 的方程为y -1=k (x -2), 则可得A ⎝⎛⎭⎫2-1k ,0,B (0,1-2k ). ∵直线l 与x 轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点,∴⎩⎨⎧2k -1k>0,1-2k >0,得k <0.∴S △AOB =12·|OA |·|OB |=12·⎝⎛⎭⎫2-1k ·(1-2k )=12⎝⎛⎭⎫4-1k-4k ≥12⎣⎡⎦⎤4+2 ⎝⎛⎭⎫-1k ·(-4k ) =4,当且仅当-1k=-4k ,即k =-12时,△AOB 的面积有最小值4,此时直线l 的方程为y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2-1k ,0,B (0,1-2k )(k <0), ∴截距之和为2-1k +1-2k =3-2k -1k ≥3+2 (-2k )·⎝⎛⎭⎫-1k =3+22,当且仅当-2k =-1k ,即k =-22时等号成立.故截距之和的最小值为3+22, 此时直线l 的方程为y -1=-22(x -2), 即x +2y -2-2=0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2-1k ,0,B (0,1-2k )(k <0), ∴|PA |·|PB |=1k 2+1·4+4k 2=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-k +(-k )≥4, 当且仅当-k =-1k , 即k =-1时上式等号成立.故|PA |·|PB |的最小值为4,此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0. 角度二:与导数的几何意义相结合的问题2.设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0,π4,则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤-1,-12 B.[]-1,0 C .[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12,1解析:选A 由题意知y ′=2x +2,设P (x 0,y 0), 则k =2x 0+2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0,π4,所以0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,故-1≤x 0≤-12.角度三:由直线方程解决参数问题3.已知直线l 1:ax -2y =2a -4,l 2:2x +a 2y =2a 2+4,当0<a <2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.解:由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,所以四边形的面积S =12×(2-a )×2+12×(a 2+2)×2=a 2-a +4=⎝⎛⎭⎫a -122+154,当a =12时,四边形的面积最小,故a =12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.(2)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.[演练冲关]1.设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|PA |·|PB |的最大值是________.解析:易求定点A (0,0),B (1,3).当P 与A 和B 均不重合时,因为P 为直线x +my =0与mx -y -m +3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA ⊥PB ,所以|PA |2+|PB |2=|AB |2=10,所以|PA |·|PB |≤|PA |2+|PB |22=5(当且仅当|PA |=|PB |=5时,等号成立),当P 与A 或B 重合时,|PA |·|PB |=0,故|PA |·|PB |的最大值是5.答案:52.已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.解:(1)证明:直线l 的方程可化为y =k (x +2)+1,故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).(2)直线l 的方程为y =kx +2k +1,则直线l 在y 轴上的截距为2k +1,要使直线l 不经过第四象限,则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0,1+2k ≥0,解得k ≥0,故k 的取值范围为[)0,+∞.(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-1+2kk ,在y 轴上的截距为1+2k ,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+2k k ,0,B (0,1+2k ).又-1+2kk <0且1+2k >0,∴k >0.故S =12|OA ||OB |=12×1+2k k ×(1+2k )=12⎝⎛⎭⎫4k +1k +4≥12(4+4)=4, 当且仅当4k =1k ,即k =12时取等号.故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x -2y +4=0.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·金华一中模拟)直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4,π C.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫π2,π D.⎣⎡⎭⎫π4,π2∪⎣⎡⎭⎫3π4,π 解析:选B 由直线方程可知斜率k =-1a 2+1,设倾斜角为α,则tan α=-1a 2+1,而-1≤-1a 2+1<0,∴-1≤tan α<0,又∵α∈[0,π),∴3π4≤α<π,故选B.2.直线x sin α+y +2=0的倾斜角的取值范围是( ) A .[0,π) B.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π C.⎣⎡⎦⎤0,π4 D.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫π2,π 解析:选B 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α,其中sin α∈[-1,1].又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.3.(2018·湖州质检)若直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P ,Q ,且线段P Q 的中点坐标为(1,-1),则直线l 的斜率为( )A.13 B .-13C .-32D.23解析:选B 依题意,设点P (a,1),Q (7,b ),则有⎩⎪⎨⎪⎧a +7=2,b +1=-2,解得a =-5,b =-3,从而可得直线l 的斜率为-3-17+5=-13.4.如图中的直线l1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( ) A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2解析:选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2,故选D.5.(2018·豫西五校联考)曲线y =x 3-x +5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________.解析:设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)), 因为y ′=3x 2-1≥-1,所以tan θ≥-1, 结合正切函数的图象可知, θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫3π4,π. 答案:⎣⎡⎭⎫0,π2∪⎣⎡⎭⎫3π4,π 二保高考,全练题型做到高考达标1.已知A (-1,1),B (3,1),C (1,3),则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A .x +y =0 B .x -y +2=0 C .x +y +2=0D .x -y =0解析:选B 因为B (3,1),C (1,3), 所以k BC =3-11-3=-1,故BC 边上的高所在直线的斜率k =1,又高线经过点A ,所以其直线方程为x -y +2=0.2.已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x -2y -4=0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( )A .y =3x +2B .y =3x -2C .y =3x +12D .y =-3x +2 解析:选A ∵直线x -2y -4=0的斜率为12,∴直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y =3x +2,故选A.3.(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中,直线l 1:ax +y +b =0和直线l 2:bx +y +a =0的图象可能是( )解析:选B 当a >0,b >0时,-a <0,-b <0,选项B 符合.4.若直线x -2y +b =0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b 的取值范围是( )A .[-2,2]B .(-∞,-2]∪[2,+∞)C .[-2,0)∪(0,2]D .(-∞,+∞)解析:选C 令x =0,得y =b 2,令y =0,得x =-b ,所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|-b |=14b 2,且b ≠0,因为14b 2≤1,所以b 2≤4,所以b 的取值范围是[-2,0)∪(0,2]. 5.函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1n 的最小值为( )A .2B .4C .8D .1解析:选B ∵函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1). ∴把A (1,1)代入直线方程得m +n =1(mn >0). ∴1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n (m +n )=2+n m +m n ≥2+2 n m ·m n =4(当且仅当m =n =12时取等号), ∴1m +1n 的最小值为4.6.(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析:∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32,-12,∴BC 边上中线所在直线方程为y -0-12-0=x +532+5,即x+13y +5=0.答案:x +13y +5=07.若直线ax +y +3a -1=0恒过定点M ,则直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为________________.解析:由ax +y +3a -1=0,可得a (x +3)+(y -1)=0,令⎩⎪⎨⎪⎧ x +3=0,y -1=0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =1,∴M (-3,1),M 不在直线2x +3y -6=0上,设直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0(c ≠-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c |4+9,解得c =12或c =-6(舍去),∴所求直线方程为2x +3y +12=0.答案:2x +3y +12=08.若圆x 2+y 2+2x -6y +1=0关于直线ax -by +3=0(a >0,b >0)对称,则1a +3b 的最小值是________.解析:由圆x 2+y 2+2x -6y +1=0知其标准方程为(x +1)2+(y -3)2=9, ∵圆x 2+y 2+2x -6y +1=0关于直线ax -by +3=0(a >0,b >0)对称, ∴该直线经过圆心(-1,3),即-a -3b +3=0, ∴a +3b =3(a >0,b >0). ∴1a +3b =13(a +3b )⎝⎛⎭⎫1a +3b =13⎝⎛⎭⎫1+3a b +3b a +9≥13⎝⎛⎭⎫10+23a b ·3b a =163, 当且仅当3b a =3ab ,即a =b 时取等号. 故1a +3b 的最小值是163.答案:1639.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l 的方程:(1)过定点A (-3,4); (2)斜率为16.解:(1)设直线l 的方程为y =k (x +3)+4,它在x 轴,y 轴上的截距分别是-4k -3,3k +4, 由已知,得(3k +4)⎝⎛⎭⎫4k +3=±6,解得k 1=-23或k 2=-83.故直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =16x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,由已知,得|-6b ·b |=6,∴b =±1.∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.如图,射线OA ,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)的直线AB 分别交OA ,OB 于A ,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =12x 上时,求直线AB 的方程.解:由题意可得k OA =tan 45°=1, k OB =tan(180°-30°)=-33, 所以直线l OA :y =x ,l OB :y =-33x . 设A (m ,m ),B (-3n ,n ),所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m -3n 2,m +n 2,由点C 在直线y =12x 上,且A ,P ,B 三点共线得⎩⎨⎧m +n 2=12·m -3n2,m -0m -1=n -0-3n -1,解得m =3,所以A (3,3). 又P (1,0),所以k AB =k AP =33-1=3+32,所以l AB :y =3+32(x -1),即直线AB 的方程为(3+3)x -2y -3-3=0.三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知曲线y =1e x+1,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________.解析:y ′=-e x(e x +1)2=-1e x +1ex +2, 因为e x >0,所以e x +1e x ≥2e x ·1e x =2(当且仅当e x =1e x ,即x =0时取等号),所以e x +1ex+2≥4,故y ′=-1e x +1ex +2≥-14(当且仅当x =0时取等号).所以当x =0时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0,12,切线的方程为y -12=-14(x -0),即x +4y -2=0.该切线在x 轴上的截距为2,在y 轴上的截距为12,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S =12×2×12=12.答案:122.已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如图所示,当△ABO 的面积取最小值时,求直线l 的方程.解:法一:设A (a,0),B (0,b )(a >0,b >0), 则直线l 的方程为x a +yb =1.因为l 过点P (3,2),所以3a +2b =1.因为1=3a +2b ≥26ab ,整理得ab ≥24,所以S △ABO =12ab ≥12,当且仅当3a =2b ,即a =6,b =4时取等号. 此时直线l 的方程是x 6+y4=1,即2x +3y -12=0.法二:依题意知,直线l 的斜率k 存在且k <0, 可设直线l 的方程为y -2=k (x -3)(k <0), 则A ⎝⎛⎭⎫3-2k ,0,B (0,2-3k ), S △ABO =12(2-3k )⎝⎛⎭⎫3-2k =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+(-9k )+4-k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+2 (-9k )·4-k=12×(12+12)=12, 当且仅当-9k =4-k,即k =-23时,等号成立.所以所求直线l 的方程为2x +3y -12=0.第二节两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行:①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直:①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点的求法直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解. 3.三种距离公式1.(2018·金华四校联考)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m=()A.2B.-3C.2或-3 D.-2或-3解析:选C∵直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,∴2m=m+13≠4-2,解得m=2或-3.2.“a=14”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直,得(a+1)(a-1)+3a(a+1)=0,即4a2+3a-1=0,解得a=14或-1,∴“a=14”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分不必要条件,故选A.3.(2018·浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P的轨迹方程为________,它到原点距离的最小值为________.解析:设点P的坐标为(x,y),则y=1-x,即动点P的轨迹方程为x+y-1=0.原点到直线x+y-1=0的距离为d=|0+0-1|1+1=22,即为所求原点到动点P的轨迹的最小值.答案:x+y-1=02 21.在判断两条直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在,两条直线都有斜率可根据条件进行判断,若无斜率,要单独考虑.2.运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错.[小题纠偏]1.已知P :直线l 1:x -y -1=0与直线l 2:x +ay -2=0平行,Q :a =-1,则P 是Q 的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由于直线l 1:x -y -1=0与直线l 2:x +ay -2=0平行的充要条件是1×a -(-1)×1=0,即a =-1.所以P 是Q 的充要条件.2.(2018·安庆模拟)若直线l 1:x +3y +m =0(m >0)与直线l 2:2x +6y -3=0的距离为10,则m =( )A .7B.172C .14D .17解析:选B 直线l 1:x +3y +m =0(m >0),即2x +6y +2m =0,因为它与直线l 2:2x +6y -3=0的距离为10,所以|2m +3|4+36=10,解得m =172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.已知a ≠0,直线ax +(b +2)y +4=0与直线ax +(b -2)y -3=0互相垂直,则ab 的最大值为( )A .0B .2C .4D. 2解析:选B 若b =2,两直线方程分别为y =-a 4x -1和x =3a ,此时两直线相交但不垂直.若b =-2,两直线方程分别为x =-4a 和y =a 4x -34,此时两直线相交但不垂直.若b ≠±2,两直线方程分别为y =-a b +2x -4b +2和y =-a b -2x +3b -2,此时两直线的斜率分别为-ab +2,-ab -2,由-ab +2·⎝⎛⎭⎪⎫-a b -2=-1,得a 2+b 2=4.因为a 2+b 2=4≥2ab ,所以ab ≤2,且当a =b =2或a =b =-2时取等号,故ab 的最大值为2.2.(2018·诸暨模拟)已知a ,b 为正数,且直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0平行,则2a +3b 的最小值为________.解析:由两直线平行可得,a (b -3)=2b ,即2b +3a =ab ,2a +3b =1.又a ,b 为正数,所以2a +3b =(2a +3b )·⎝⎛⎭⎫2a +3b =13+6a b +6b a≥13+2 6a b ·6ba =25,当且仅当a =b =5时取等号,故2a +3b 的最小值为25.答案:253.已知两直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0,试确定m ,n 的值,使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2-8+n =0,2m -m -1=0,解得m =1,n =7.即m =1,n =7时,l 1与l 2相交于点P (m ,-1).(2)∵l 1∥l 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-16=0,-m -2n ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =4,n ≠-2或⎩⎨⎧m =-4,n ≠2.即m =4,n ≠-2或m =-4,n ≠2时,l 1∥l 2. (3)当且仅当2m +8m =0, 即m =0时,l 1⊥l 2. 又-n8=-1,∴n =8.即m =0,n =8时,l 1⊥l 2, 且l 1在y 轴上的截距为-1.[谨记通法]1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.[提醒] 当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况. 2.由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时,比例式A 1A 2与B 1B 2,C 1C 2的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.(2018·衢州模拟)若直线l 1:x +ay +6=0与l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析:选B 因为l 1∥l 2,所以1a -2=a 3≠62a ,解得a =-1,所以l 1:x -y +6=0,l 2:x-y +23=0,所以l 1与l 2之间的距离d =⎪⎪⎪⎪6-232=823.2.直线3x +4y -3=0上一点P 与点Q (2,-2)的连线的最小值是________. 解析:∵点Q 到直线的距离即为P ,Q 两点连线的最小值, ∴|P Q |min =|3×2+4×(-2)-3|32+42=1.答案:13.若直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________.解析:法一:当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1, 即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13. ∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.故所求直线l 的方程为x +3y -5=0或x =-1.法二:当AB ∥l 时,有k =k AB =-13, ∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0. 当l 过AB 中点时,AB 的中点为(-1,4).∴直线l 的方程为x =-1.故所求直线l 的方程为x +3y -5=0或x =-1.答案:x +3y -5=0或x =-1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上,从而使计算简便.[即时应用]1.已知P 是直线2x -3y +6=0上一点,O 为坐标原点,且点A 的坐标为(-1,1),若|PO |=|PA |,则P 点的坐标为________.解析:法一:设P (a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2a -3b +6=0,a 2+b 2=(a +1)2+(b -1)2,解得a =3,b =4.∴P 点的坐标为(3,4).法二:线段OA 的中垂线方程为x -y +1=0,则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -3y +6=0,x -y +1=0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =3,y =4,则P 点的坐标为(3,4). 答案:(3,4)2.已知直线l :ax +y -1=0和点A (1,2),B (3,6).若点A ,B 到直线l 的距离相等,则实数a 的值为________.解析:法一:要使点A ,B 到直线l 的距离相等,则AB ∥l ,或A ,B 的中点(2,4)在直线l 上.所以-a =6-23-1=2或2a +4-1=0, 解得a =-2或-32. 法二:要使点A ,B 到直线l 的距离相等, 则|a +1|a 2+1=|3a +5|a 2+1,解得a =-2或-32. 答案:-2或-32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.常见的命题角度有:(1)点关于点对称;(2)点关于线对称;(3)线关于线对称.[题点全练]角度一:点关于点对称1.过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________________.解析:设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,把B 点坐标代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以由两点式得直线l 的方程为x +4y -4=0.答案:x +4y -4=02.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),则直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程为________.解析:法一:在l :2x -3y +1=0上任取两点,如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A 的对称点M ′,N ′均在直线l ′上.易知M ′(-3,-5),N ′(-6,-7),由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9=0.法二:设P (x ,y )为l ′上任意一点,则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ),∵P ′在直线l 上,∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0,即2x -3y -9=0.答案:2x -3y -9=0角度二:点关于线对称3.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求:(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程.解:(1)设A ′(x ,y ),则⎩⎨⎧ y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎨⎧ x =-3313,y =413.∴A ′⎝⎛⎭⎫-3313,413. (2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设M ′(a ,b ),则⎩⎨⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0.得N (4,3). 又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.角度三:线关于线对称4.直线2x -y +3=0关于直线x -y +2=0对称的直线方程是( )A .x -2y +3=0B .x -2y -3=0C .x +2y +1=0D .x +2y -1=0 解析:选A 设所求直线上任意一点P (x ,y ),则P 关于x -y +2=0的对称点为P ′(x 0,y 0),由⎩⎨⎧ x +x 02-y +y 02+2=0,x -x 0=-(y -y 0),得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=y -2,y 0=x +2, 由点P ′(x 0,y 0)在直线2x -y +3=0上,∴2(y -2)-(x +2)+3=0,即x -2y +3=0.[通法在握]1.中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M (x 1,y 1)及N (x ,y )关于P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x =2a -x 1,y =2b -y 1,进而求解.(2)直线关于点的对称,主要求解方法是:①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称:若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax +By +C =0对称,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22+B ⎝⎛⎭⎫y 1+y 22+C =0,y 2-y 1x 2-x 1·⎝⎛⎭⎫-A B =-1,可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2,y 2)(其中B ≠0,x 1≠x 2).(2)直线关于直线的对称:一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.[演练冲关]1.已知直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A .(-2,4)B .(-2,-4)C .(2,4)D .(2,-4)解析:选C 设A (-4,2)关于直线y =2x 的对称点为(x ,y ),则⎩⎨⎧y -2x +4×2=-1,y +22=2×-4+x 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =-2,∴BC 所在直线的方程为y -1=-2-14-3(x -3),即3x +y -10=0. 同理可得点B (3,1)关于直线y =2x 的对称点为(-1,3),∴AC 所在直线的方程为y -2=3-2-1-(-4)(x +4),即x -3y +10=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +y -10=0,x -3y +10=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,可得C (2,4). 2.已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.解析:设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎨⎧ b -4a -(-3)·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0. 又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1, 即6x -y -6=0.答案:6x -y -6=03.已知△ABC 中,顶点A (4,5),点B 在直线l :2x -y +2=0上,点C 在x 轴上,求△ABC 周长的最小值.解:设点A 关于直线l :2x -y +2=0的对称点为A 1(x 1,y 1),点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2,y 2),连接A 1A 2交l 于点B ,交x 轴于点C ,则此时△ABC 的周长取最小值,且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l :2x -y +2=0对称,∴⎩⎨⎧ y 1-5x 1-4×2=-1,2×x 1+42-y 1+52+2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=7.∴A 1(0,7).易求得A 2(4,-5), ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2=(4-0)2+(-5-7)2=410.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·浙江名校协作体联考)“a =-1”是“直线ax +3y +3=0和直线x +(a -2)y +1=0平行”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 因为直线ax +3y +3=0和直线x +(a -2)y +1=0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a (a -2)=3×1,a ×1≠3×1,解得a =-1,故选C. 2.(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A .(3,3)B .(2,3)C .(1,3) D.⎝⎛⎭⎫1,32 解析:选C 直线l 1的斜率为k 1=tan 30°=33,因为直线l 2与直线l 1垂直,所以k 2=-1k 1=-3,所以直线l 1的方程为y =33(x +2),直线l 2的方程为y =-3(x -2).两式联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =3,即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1,3). 3.(2018·诸暨期初)已知点A (7,-4)关于直线l 的对称点为B (-5,6),则该对称直线l 的方程为( )A .6x +5y -1=0B .5x +6y +1=0C .5x -6y -1=0D .6x -5y -1=0 解析:选D 由题可得,直线l 是线段AB 的垂直平分线.因为A (7,-4),B (-5,6),所以k AB =6+4-5-7=-56,所以k l =65.又因为A (7,-4),B (-5,6)的中点坐标为(1,1).所以直线l 的方程为y -1=65(x -1),即6x -5y -1=0. 4.已知点P (4,a )到直线4x -3y -1=0的距离不大于3,则a 的取值范围是________.解析:由题意得,点P 到直线的距离为|4×4-3×a -1|5=|15-3a |5.因为|15-3a |5≤3,即|15-3a |≤15,解得0≤a ≤10,所以a 的取值范围是[0,10].答案:[0,10]5.若两平行直线3x -2y -1=0,6x +ay +c =0之间的距离为21313,则c 的值是________.解析:依题意知,63=a -2≠c -1, 解得a =-4,c ≠-2,即直线6x +ay +c =0可化为3x -2y +c 2=0, 又两平行直线之间的距离为21313, 所以⎪⎪⎪⎪c 2+132+(-2)2=21313,解得c =2或-6. 答案:2或-6二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·舟山调研)在直角坐标平面内,过定点P 的直线l :ax +y -1=0与过定点Q 的直线m :x -ay +3=0相交于点M ,则|MP |2+|M Q |2的值为( )A.102B.10C .5D .10解析:选D 由题意知P (0,1),Q (-3,0),∵过定点P 的直线ax +y -1=0与过定点Q 的直线x -ay +3=0垂直, ∴M 位于以P Q 为直径的圆上,∵|P Q |=9+1=10,∴|MP |2+|M Q |2=|P Q |2=10.2.(2018·慈溪模拟)曲线y =2x -x 3在x =-1处的切线为l ,则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析:选A 由题可得,切点坐标为(-1,-1).y ′=2-3x 2,由导数的几何意义可知,该切线的斜率为k =2-3=-1,所以切线的方程为x +y +2=0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d =|3+2+2|12+12=722.3.(2018·绵阳模拟)若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|P Q |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析:选C 因为36=48≠-125,所以两直线平行, 由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离, 即|-24-5|62+82=2910, 所以|P Q |的最小值为2910. 4.(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m ,n )重合,则m +n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析:选A 由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y =2x -3,它也是点(7,3)与点(m ,n )连线的中垂线,则⎩⎨⎧ 3+n 2=2×7+m 2-3,n -3m -7=-12,解得⎩⎨⎧ m =35,n =315,故m +n =345. 5.(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ,y )=0,P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)分别为直线l 上和l 外的点,则方程f (x ,y )-f (x 1,y 1)-f (x 2,y 2)=0表示( )A .过点P 1且与l 垂直的直线B .与l 重合的直线C .过点P 2且与l 平行的直线D .不过点P 2,但与l 平行的直线解析:选C 由直线l 的方程为f (x ,y )=0,知方程f (x ,y )-f (x 1,y 1)-f (x 2,y 2)=0表示与l 平行的直线,P 1(x 1,y 1)为直线l 上的点,则f (x 1,y 1)=0,f (x ,y )-f (x 1,y 1)-f (x 2,y 2)=0化为f (x ,y )-f (x 2,y 2)=0,显然P 2(x 2,y 2)满足方程f (x ,y )-f (x 1,y 1)-f (x 2,y 2)=0,所以f (x ,y )-f (x 1,y 1)-f (x 2,y 2)=0表示过点P 2且与l 平行的直线.故选C.6.已知三角形的一个顶点A (4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1:x -y -1=0和l 2:x -1=0,则BC 边所在直线的方程为________________.解析:A 不在这两条角平分线上,因此l 1,l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1,点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1,y 1),则有⎩⎨⎧ y 1+1x 1-4×1=-1,x 1+42-y 1-12-1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=0,y 1=3,所以A 1(0,3). 同理设A 2(x 2,y 2),易求得A 2(-2,-1).所以BC 边所在直线方程为2x -y +3=0.答案:2x -y +3=07.(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (-2,2),B (4,-2)等距离,则直线l 的方程为________.解析:显然直线l 的斜率不存在时,不满足题意;设所求直线方程为y -4=k (x -3),即kx -y +4-3k =0, 由已知,得|-2k -2+4-3k |1+k 2=|4k +2+4-3k |1+k2, ∴k =2或k =-23. ∴所求直线l 的方程为2x -y -2=0或2x +3y -18=0.答案:2x -y -2=0或2x +3y -18=8.如图所示,已知两点A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P点,则光线所经过的路程为________.解析:易得AB 所在的直线方程为x +y =4,由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2),点P 关于y 轴对称的点为A 2(-2,0),则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离.于是|A 1A 2|=(4+2)2+(2-0)2=210. 答案:2109.(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1,l 2分别过点P (-1,3),Q (2,-1),它们分别绕P ,Q 旋转,但始终保持平行,则l 1,l 2之间的距离的取值范围是________.解析:∵l 1∥l 2,且P ∈l 1,Q ∈l 2,∴l 1,l 2间的最大距离为|P Q |=[2-(-1)]2+(-1-3)2=5,又l 1与l 2不重合,∴l 1,l 2之间距离的取值范围是(0,5].答案:(0,5]10.已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解:依题意知:k AC =-2,A (5,1), ∴l AC 的方程为2x +y -11=0,联立⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,得C (4,3).设B (x 0,y 0),则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+52,y 0+12, 代入2x -y -5=0, 得2x 0-y 0-1=0,联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,得B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知线段AB 的两个端点A (0,-3),B (3,0),且直线y =2λx +λ+2与线段AB 总相交,则实数λ的取值范围为________.。
新解析几何直线的倾斜角斜率与直线的方程
总结词
通过直线上任意一点(x1, y1)和斜率k,表达直线方程的方式 。
详细描述
点斜式方程是直线方程的一种表示方式,它通过直线上任意 一点(x1, y1)和斜率k来表达。其一般形式为y-y1=k(x-x1)。
两点式方程
总结词
通过直线上任意两点(x1, y1)和(x2, y2)表达直线方程的方式。
详细描述
垂直于y轴的直线
总结词
对于垂直于y轴的直线,其倾斜角为90度,斜率不存在。
详细描述
垂直于y轴的直线与y轴正方向垂直,即直线的斜率不存 在。此类直线在坐标系中表示为y=k的形式,其中k为常 数。
平行于坐标轴的直线
总结词
平行于坐标轴的直线,其倾斜角和斜率均不存在。
详细描述
平行于坐标轴的直线与任意坐标轴平行,因此其倾斜角 为0度,斜率也不存在。此类直线在坐标系中表示为 Ax+By+C=0的形式,其中A、B为常数且A≠0或B≠0 。
两点式方程是直线方程的另一种表示方式,它通过直线上任意两点(x1, y1)和(x2, y2)来表达。其一般 形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
一般式方程
总结词
通过Ax+By+C=0的形式表达直线方程的 方式。
VS
详细描述
一般式方程是直线方程的一种常见表示方 式,它的一般形式为Ax+By+C=0,其中 A、B、C是常数,且A和B不同时为0。该 方程表示通过点(0,0)和(A,B)的直线。
04
直线方程的应用
求直线的交点
两个直线交点的求法
给定两条直线y=kx+b1和y=kx+b2,联立 这两个方程,解出x的值,即可得到交点的 横坐标;联立这两个方程,解出y的值,即 可得到交点的纵坐标。
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率,直线方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角概念的注意点:1)注意旋转方向:逆时针2)规定平行x轴(或与x轴重合)的直线倾斜角为0°3)直线倾斜角的范围是0°≤<180°2.直线的倾率:直线的倾斜角的正切值tan(倾斜角不为90°时)。
概念注意点:1)倾斜角为90°的直线无斜率2)斜率k可以是任何实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但不是每条直线都有斜率3)=0°时,k=0;0°<<90°时,k>0;=90°时,k不存在;90°<<180°时,k<0。
3.斜率公式:设直线l的倾斜角为(≠90°),P1(x1,y2),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点,直线l的斜率为k,则:k=tan=,当=90°时,或x1=x2时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在。
例1.求过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解:k==-1,即tan=-1,∵0°≤<180°,∴=135°。
点评:已知直线的斜率,可以直接得出直线的倾斜角,但要注意角的范围。
例2.设直线l的斜率为k,且-1<k<1,求直线倾斜角的范围。
解法1:当-1<k<0时,∈(),则,当k=0时,=0,当0<k<1时,∈(0,),则0<<解法2:作k=tan,∈[0,π)时的图形:由上图可知:-1<k<1时,∈[0,)()。
点评:1、当直线的斜率在某一区间内时,要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1.两个独立的条件确定一条直线,常见的确定直线的方法有以下两种(1)由一个定点和确定的方向可确定一条直线,这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
高中数学必修二-直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率知识集结知识元直线的倾斜角知识讲解一、直线的倾斜角1.定义:平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,则叫做直线的倾斜角.2.规定:当直线和轴平行或重合时,直线倾斜角为,所以,倾斜角的范围是.3.(1)倾斜角的概念中含有三个条件:①直线向上的方向;②x轴的正方向;③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可.例题精讲直线的倾斜角例1.已知直线的倾斜角为,并且0°≤<120°,直线的斜率k的范围是()D.k≥0或A.B.C.k≥0或例2.已知点M(2m+3,m),N(m-2,1),当m∈________时,直线MN的倾斜角为锐角;当m∈________时,直线MN的倾斜角为直角;当m∈________时,直线MN的倾斜角为钝角.例3.若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150D.60°或120°例4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的范围是( )A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.直线的斜率知识讲解一、直线的斜率1.定义:倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用表示,即.2.注意:(1)当直线与x轴平行或重合时,=0°,k=tan0°=0;(2)直线与x轴垂直时,=90°,k不存在.由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.二、斜率公式已知点、,且与轴不垂直,过两点、的直线的斜率公式.三、应用斜率公式求斜率时,首先应注意这两点的横坐标是否相等,若相等,则这两点的连线必与x轴垂直,即直线的倾斜角为90°,故其斜率不存在,也就不能运用斜率公式求斜率.事实上,此时若将两点坐标代入斜率公式,则其分母为零无意义,即斜率不存在;其次,在运用斜率公式时,分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标.例题精讲直线的斜率例1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A.(4,2)与(―4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,―1)与(2,―1)D.(―2,2)与(―2,5)例2.已知三点A(2,―3),B(4,3),在同一条直线上,则k=________.例3.'如果三条直线mx+y+3=0,x―y―2=0,2x―y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线,求m的值.'例4.'直线mx+y+2=0与线段AB有公共点,其中A(-2,3),B(3,2),求实数m的取值范围.'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的倾斜角和斜率”的题目补充.例题精讲备选题库已知三点A(1,-3),B(8,),C(9,1),求证:A、B、C三点共线.'例2.'直线l经过点(1,1),若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称,求直线l斜率的取值范围.'例3.'求下列在直线l的方程(1)过点A(0,2),它的倾斜角为正弦值是;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x+4y+5=0的倾斜角的一半;(3)过点A(2,1)和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点.'例4.'已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ.(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.'当堂练习单选题练习1.已知直线l的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,),B(-2,-2),则直线l1,l2的位置关系是()A.平行或重合B.平行C.垂直D.重合已知直线经过点A(2,0),B(1,),则连直线的倾斜角是()A.B.C.D.练习3.已知直线l的方程为3x-y-2=0,则直线l的斜率是()A.3 B.-3C.D.练习4.在平面直角坐标系中,过点(2,1)且倾斜角为的直线不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限练习5.已知直线l:x+2y-1=0的倾斜角为θ,则cosθ=()A.-B.C.±D.-练习6.直线3x+2y+m=0与直线2x+3y-1=0的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D.由m决定填空题练习1.已知点A(-1,2),B(2,3),若直线l:kx-y-k+1=0与线段AB相交,则实数k的取值范围是_____________.练习2.直线的斜率为k,若-1<k<,则直线的倾斜角的范围是_________.练习3.过点P(-4,0)的直线l与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点,_.则直线l的斜率是__练习4.已知平面内两点A(-4,1),B(-3,-1),过定点M(-2,2)的直线与线段AB恒有公共点,则直线斜率的取值范围是______._练习5.过点引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取得最大值时,直线l的倾斜角为______.解答题练习1.'直线l经过点(1,1),若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称,求直线l斜率的取值范围.'练习2.'求下列在直线l的方程(1)过点A(0,2),它的倾斜角为正弦值是;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x+4y+5=0的倾斜角的一半;(3)过点A(2,1)和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点.'练习3.'已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ.(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.'。
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线,对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时,斜率不存 在,点斜式方程不适用。
在实际应用中,需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式,它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程,特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式, 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$,其中$m$为直线斜率。
因此,点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$,它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度,当$m > 0$时, 直线从左下到右上倾斜;当$m < 0$时,直线从左上到右下 倾斜;当$m = 0$时,直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况,对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时,即直线过一个点时, 另外,当直线与坐标轴平行或重合时,
两点式方程将失去意义。
斜率不存在,此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标,利用直线方程求解直线方程。
推导过程中,利用了直线上两点间斜率相等的性质,即斜率是固定的值。
直线的倾斜角与斜率
y
1 1
l1 : y =−x +1
x
o
l2 : y =−x l3: y =−x −1
-1
倾斜角: 当直线l 轴相交时, 一 、 倾斜角 : 当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基 ,x轴正向与直线 轴正向与直线l 准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α
y 规定:当直线与x轴无交点时, 规定:当直线与x轴无交点时,(重合 或平行) 或平行),直线的倾斜角为 0 0 则倾斜角的取值范围:0 则倾斜角的取值范围:
思考:如何用直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2, y2)来表示斜率k?
y
P2 P1 Q
从P1P2分别向x 作垂线P1M1、P2M2, 再作P1Q⊥P2M2,垂足是M1、M2、Q。
tan∠QP1P2=|QP2|/|P1Q| =(y2-y1)/(x2-x1)
O
M1 M2x
动手实践: 动手实践: 当调换两点的位置时,结果会发生改变吗? 当调换两点的位置时,结果会发生改变吗? 当倾斜角为钝角时,结果会发生改变吗? 当倾斜角为钝角时,结果会发生改变吗?
三、斜率公式
经过两点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式 y 2 − y1 k = ( x1 ≠ x 2 ) x 2 − x1 :
公式的特点: 公式的特点:
(1)与两点的顺序无关 与两点的顺序无关; 与两点的顺序无关 (2) 公式表明 直线对于 轴的倾斜度 可以通过直线 公式表明,直线对于 轴的倾斜度,可以通过直线 直线对于x轴的倾斜度 上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾 上任意两点的坐标来表示 而不需要求出直线的倾 斜角; 斜角 (3)当x1=x2时,公式不适用 此时直线与x轴垂 当 公式不适用,此时直线与 轴垂 公式不适用 此时直线与 直,α=900
解析几何知识点总结
解析几何知识点总结一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)。
当直线与 x 轴平行时,倾斜角为 0;当直线与 x 轴垂直时,倾斜角为π/2 。
2、直线的斜率经过两点 P₁(x₁, y₁),P₂(x₂, y₂)(x₁≠x₂)的直线的斜率 k =(y₂ y₁)/(x₂ x₁)。
当直线的倾斜角α≠π/2 时,直线的斜率 k =tanα 。
3、直线的方程(1)点斜式:y y₁= k(x x₁) ,其中(x₁, y₁) 是直线上的一点,k 是直线的斜率。
(2)斜截式:y = kx + b ,其中 k 是斜率,b 是直线在 y 轴上的截距。
(3)两点式:(y y₁)/(y₂ y₁) =(x x₁)/(x₂ x₁) ,其中(x₁, y₁),(x₂, y₂) 是直线上的两点。
(4)截距式:x/a + y/b = 1 ,其中 a 是直线在 x 轴上的截距,b是直线在 y 轴上的截距。
(5)一般式:Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为 0)。
4、两条直线的位置关系(1)平行:若两条直线的斜率都存在,分别为 k₁,k₂,则 k₁=k₂;若两条直线的一般式方程分别为 A₁x + B₁y + C₁= 0 ,A₂x+ B₂y + C₂= 0 ,则 A₁B₂ A₂B₁= 0 且 A₁C₂ A₂C₁ ≠ 0 。
(2)垂直:若两条直线的斜率都存在,分别为 k₁,k₂,则k₁k₂=-1 ;若两条直线的一般式方程分别为 A₁x + B₁y + C₁=0 ,A₂x + B₂y + C₂= 0 ,则 A₁A₂+ B₁B₂= 0 。
5、点到直线的距离点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d =|Ax₀+ By₀+ C| /√(A²+ B²) 。
6、两条平行线间的距离两条平行线 Ax + By + C₁= 0 ,Ax + By + C₂= 0 (C₁≠C₂)间的距离 d =|C₁ C₂| /√(A²+ B²) 。
2.1.1直线的倾斜角和斜率解析
第二章 解析几何初步
栏目导引
解析: (1)由题意可知,直线 AC 的斜率存在,又 A,B,C 三点共线,则
3
4
5
kAB=kAC,即a-1=-3,所以 a=-4.
(2)由于 A,C 两点横坐标不相等,故直线 AC 的斜率存在,
第二章 解析几何初步
栏目导引
确定直线位置的几何条件
在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是:已知直线上的_一__个__点___ 和这条直线的_方__向__.
第二章 解析几何初步
栏目导引
直线的倾斜角的概念和范围
(1)直线 l 的倾斜角的概念 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴_相__交___的直线 l,把 x 轴(正方向)按 _逆__时__针___方__向__绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫作直线 l 的倾斜角.当 直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为__0_°_. (2)直线 l 的倾斜角的范围 当直线 l 和 x 轴平行时,它的倾斜角为 0°.倾斜角通常用_α__表示,其取值范 围为_0_°__≤__α_<__1_8_0_°___.
[问题1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直 线的倾斜程度?
[提示] 可以. [问题2] 由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角 坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量? [提示] 可以.
第二章 解析几何初步
栏目导引
1.理解直线的倾斜角与斜率的概念. 2.掌握倾斜角与斜率的对应关系. 3.掌握过两点的直线的斜率公式.
2 2-b 又 A,B,C 三点共线,于是有2-a= 2 ,
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
(1)
(2)
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
(2)k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率
分别为1,-1,2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1.由一点能否确定一条直线吗?
2.观察并回答问题:
1
B
CO
1x
在图中,直线 AB,AC 都经过哪一点?
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗?
直线的倾斜角定义 一般地,平面直角坐标系内,直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角.
已知直线的倾斜角,求对应的斜率 k :
(=0;
(2)=30;
(3)=135;
(4)=120.
如果给定直线的倾斜角,我们当然可以根据斜率
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$,斜率$m$可由下式计算: $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时,斜率不存在 ,表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系,即斜率等于倾斜角正切值, 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角,通 常用α表示,取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α),其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系,即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时,斜 率为正,表示直线从左下到右上上升; 当α在(π/2,π)范围内时,斜率为负,表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ,表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性,用于描 述直线的方向和倾斜程度,是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角,可以计 算直线上的点到直线的垂直距离, 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时,如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等,需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中,直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹, 如自由落体运动、抛物线运动等。
2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
【解析】 当 0°≤α<135°时,l1 的倾斜角为 α+45°;当 135°≤α<180°时,如图.此时 l1 的倾斜角为 β,则
β=α+45°-180°=α-135°. 【答案】 当 0°≤α<135°时,倾斜角为 α+45°,当 135°≤α <180°时,为 α-135°
【规律总结】 求倾斜角时,主要根据定义,画出图形,找 准倾斜角.有时需分类讨论,把角分为四类:①0°角;②锐角; ③直角;④90°<α<180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时,未结合图形分 析 k 的变化趋势.
【正解】 (1)kPM=-23--11=-4,kPN=- -23- -11=34.
(2)如图所示,l′是经过点 P 且与 x 轴垂直 的直线,当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置 旋转时,直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增 大,斜率也逐渐增大,此时 k≥kPN=34;当直 线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时,直线的倾斜角在钝角 范围内逐渐变大,斜率也逐渐增大,此时,k≤kPM=-4.
5.已知 a>0,若平面上三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3) 共线,求 a 的值.
解:∵kAB=a2-2--1 a=a2+a 存在, 又 A,B,C 三点共线,∴kAC=a3-3--1 a=a3+2 a也存在,且 kAB=kAC,即 a2+a=a3+2 a,整理得 a(a2-2a-1)=0. 解得 a=0 或 a=1± 2.又∵a>0,∴a=1+ 2.
已知三点 A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一
直线上,求 a 的值. 解:∵kBC=-2a4--15=-2a- 9 1存在, 又 A,B,C 三点共线, ∴kAB 也存在,且 kAB=kBC. 即-2a- 9 1=15- -2a(a≠5), ∴2a2-11a+14=0, 解得 a=72或 a=2.
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变,平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时,其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$,其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义,斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时,斜率不存在。
在电磁学中,斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中,斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中,斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系,即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系,供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时,其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下,直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态,如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴,以 斜率为纵轴,使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点1.直线的倾斜角与斜率:(1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.(2)直线的斜率:αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式:(1)点斜式:)(11x x k y y -=-(直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ).注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =.(2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式:121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线.(4)截距式:1=+by a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线.(5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y --=,即,直线的斜率:BA k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =.已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =.(2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合.3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.(1)直线在两坐标轴上的截距相等....⇔直线的斜率为1-或直线过原点.(2)直线两截距互为相反数.......⇔直线的斜率为1或直线过原点.(3)直线两截距绝对值相等.......⇔直线的斜率为1±或直线过原点.4.两条直线的平行和垂直:(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔; ② 12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且.② 0212121=+⇔⊥B B A A l l .5.平面两点距离公式:(111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=.线段21P P 的中点是),(00y x M ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x . 6.点到直线的距离公式:点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l :的距离:2200B A C By Ax d +++=. 7.两平行直线间的距离:两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l :,:距离:2221B A C C d +-=.8.直线系方程:(1)平行直线系方程:① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程..② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=.③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为:00()()0A x x B y y -+-=.(2)垂直直线系方程:① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为:00()()0B x x A y y ---=.(3)定点直线系方程:① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数.② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(4)共点直线系方程:经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l :,:交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l ),其中λ是待定的系数.9.曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解.10.圆的方程:(1)圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-(0>r ). (2)圆的一般方程:)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .(3)圆的直径式方程:若),(),(2211y x B y x A ,,以线段AB 为直径的圆的方程是:0))(())((2121=--+--y y y y x x x x .注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --,F E D r 42122-+=. (2)一般方程的特点:① 2x 和2y 的系数相同且不为零;② 没有xy 项; ③ 0422>-+F E D(3)二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是:① 0≠=C A ; ② 0=B ; ③ 0422>-+AF E D .11.圆的弦长的求法:(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,则:“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+; (2)代数法:设l 的斜率为k ,l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ,,则||11||1||22B A B A y y kx x k AB -+=-+= (其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ,利用韦达定理求解)12.点与圆的位置关系:点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔.②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔.③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔. 【P 到圆心距离d =13.直线与圆的位置关系:直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22B A CBb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ,由直线和圆联立方程组消去x (或y )后,所得一元二次方程的判别式为∆.0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ,半径分别为21,r r ,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<21r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r .15.圆系方程:)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程:1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程.(2)过直线0=++C By Ax l :与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程:0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数.(3)过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程:0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数.特别地,当1λ=-时,2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.16.圆的切线方程:(1)过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+.(2)过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- .(3)过圆220x y Dx Ey F ++++=上的点),(00y x P 的切线方程为:0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. (4) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB 的方程为200xx yy r +=(5) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线,切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=(6)当点),(00y x P 在圆外时,可设切方程为)(00x x k y y -=-,利用圆心到直线距离等于半径,即r d =,求出k ;或利用0=∆,求出k .若求得k 只有一值,则还有一条斜率不存在的直线0x x =.17.把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .18.空间两点间的距离公式:若A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则AB =。
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)(2)
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
a
2、直线倾斜角的范围:
当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为 0 ,因此,直线 的倾斜角的取值范围为: a 180 0
按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y y y
a
锐角 直角
x x o o o x
a
x
o
零度角
钝角
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 tan30 3
a 0 k tan0 0
当a 90时 k ?
y
o
x
思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的倾斜角是多少?
a 90 tana(不存在)
即k不存在
3、探究:由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图,当α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )
第二章 解析几何初步
2.1.1 直线的倾斜角和斜率
在平面直角坐标系 里
点用坐标表示: 直线如何表示呢?
y
y
p ( x, y )
l
x
o
思考?
一条直线的位置由 哪些条件确定呢?
x
o
直线的位 置
y
我们知道,两点确定一条直线。
一点能确定一条 直线的位置吗?
过一点O的直线可以作无数条, 可以用直线与X轴的夹用描述它 们的倾斜程度
x1 o
x2
x
答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0
直线的倾斜角斜率直线的方程
力 提
点
升
突
破
·
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学(理科)
第八章 平面解析几何
要 点
[易错提醒] 在已知条件中不能确定直线的斜率是否
梳
理 存在时,要注意讨论斜率不存在的情况.
·
基 础
(2)已知两直线的一般方程
落
实
两直线方程l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2
综 合
训
=0中系数A1,B1,C1,A2,B2,C2与垂直、平行的关
点
梳
理
· 基
考点一 直线的倾斜角与斜率
础
落
实
例1
(1)(2014·青浦模拟)直线(a2+1)x-2ay+1=0 的
综 合
训
倾斜角的取值范围是
练 ·
能
考 点
A.0,π4
B.π4 ,π2
力 提 升
突
破
· 规 律
C.π4 ,3π4
D.0,π4 ∪3π4 ,π
总
结
菜单
高考总复习·数学(理科)
第八章 平面解析几何
菜单
高考总复习·数学(理科)
第八章 平面解析几何
要
点
梳
理
· 基
(2)(2014·浦东新区二模)已知直线l1:ax-y+2a+1
础 落 实
=0和l2:2x-(a-1)y+3=0(a∈R),若l1⊥l2,则a= 综
________.
合 训
练
【解析】 因为 l1⊥l2,所以 2a+(a-1)=0,解得
· 能
律
总
结
菜单
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直线的斜率与倾斜角
【复习要点】 1、直线的倾斜角:
(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转过的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角,当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0. (2)倾斜角的范围是[0,)π. 2、直线的斜率: (1)定义:倾斜角不是2
π的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即t a n k α=(2
πα≠
)
;倾斜角为
2
π的直线没有斜率.
(2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为1212
y y k x x -=-(12x x ≠)
(3)应用:证明三点共线AB BC k k =. 3、直线的倾斜角和斜率的关系:
(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;
(2)斜率存在的直线,其斜率k 与倾斜角α的关系为tan k α=. 【强化训练】
1、命题:①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;②若两直线的斜率相等,则它们的
倾斜角也相等;③若两直线的倾斜角不相等,则它们中倾斜角较大,其斜率也较大;④若两直线的斜率不相等,则它们中斜率较大,其倾斜角也较大. 其中正确的命题序号是 2
、直线10x -
+=的斜率为 ,倾斜角为
3、直线l 的方向向量为(1,2)-,则其斜率为 ,倾斜角为
4、若三点(2,2)A 、(,0)B a 、(0,4)C 共线,则实数a =
5、若y 轴上有一点M 与点
N (连线的倾斜角为120
,则点M 的坐标是 6、若直线1l 的倾斜角为1α,则直线1l 关于x 轴对称的直线2l 的倾斜角2α= 7、若直线(2)(12)80a x a y ++-+=不过第四象限,则实数a 的取值范围为 8、若直线350ax y -+=与直线6210x ay -+=的斜率相等,则实数a =
9、若直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位,再沿y 轴的正方向
平移1个单位后,又回到原来的位置则直线l 的斜率为
10、如图,直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k
则123,,k k k 大小关系为
11、在同一直角坐标系中,表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )
x y O x y O x y O x
y
O
A B C D
12、直线cos 10x θy -+=(θR ∈)的倾斜角的取值范围是 13、若直线的倾斜角3[
,)(,]4224
ππππα∈ ,则直线的斜率的取值范围是 14、已知直线l 过点(1,2)P -,且与以(2,3)A -和(3,0)B 为端点的线段A B 相交,那么直线l 的斜率 的取值范围是
15、直线022=+-k y x 与两坐标轴所围城的三角形的面积不大于1,那么k 的取值范围是 (A )1-≥k (B) 1≤k (C) 11≤≤-k (D) 1-≤k 或1≥k
16、已知直线l 过点(1,3)A -,它的倾斜角是由(3,5)-、(0,9)C -确定的直线的倾斜角的两倍,求
直线l 的方程.
17、一条直线从点()3,2-A 发出,经x 轴反射,通过点()6,1-B ,求入射光线和反射光线所在的直线
方程.。