高等数学函数

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
函数是微积分研究的 对象,所以我们的讨论将从函数开 始。
极限的思想是微积分的基础，学习微积分学，首要的
一步就是要理解到“极限”引入的必要性： 极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系
到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及 数学思维的建立 。
交集 A∪B ={x|x∈A或x∈B}
由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记
作A∩B ，即A∩B ={x|x∈A且x∈B} 差集
AB
由属于A但不属于B的元素组成的集称
为A与B的差集，记作A–B 或A \ B 即 A B { x | x A但x B}
AB
全集 : 又所研究的全部事物构 成的集合称为全集 .
第一节 函数的概念及其基本性质 第二节 初等函数 第三节 经济学中常见的函数
第一节 函数的概念及其基本性质
一.集合及其运算
集合：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有某种确定性质的对象的全体，简称集。 集合的元素：组成集合的各个对象。
用大写的英文字母A、B、C……表示集合，用小写的 英文字母a、b、c……表示集合的元素。
若a属于集合A的元素，则称a属于A，记作 ;否则 称a不属于A ,记作 a A（或a A ）。
(a,b) ={x|a<x<b}, a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b)且b (a,b). 数集 [a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b] 的端点 , a∈[a,b]且b∈[a,b]. 数集[a,b)={x|a≤x<b}和(a,b]={x|a<x≤b}为半开半闭间. 以上这些区间都称为有限区间,数b-a称为区间长度.
第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒 的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌 握定理，要注意不同例题的特点和解法，在理解例题的基 础上做适量的习题。做题时要善于总结 ---- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会 有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把 握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的 理解，还会对进一步的学习有所帮助。
i 1
集合运算的基本规律：
(1) A∪B =B∪ A ， A∩B = B∩A ； (交换律)
(2) (A∪B)∪C= A∪(B∪C)，
(A∩B)∩C= A∩(B∩C)；
(结合律)
(3) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，
(A - B)∩C=(A∩C)-(B∩C)； (分配律)
所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思 维训练的过程。
另外，人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用 是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普 及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技 发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科 学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。
微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一， 一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪 元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”
子集
设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，
则称A是B的子集，记作A B(或B A ),读作A包
含于B包含（或B包含A ）. 若A B，且有元素a∈B ，但a A，则说A是B的真 子集.
规定: A.
相等
若A B ，且B A，则称A与B相等,记作A=B.
并集
由属于A或属于B的所有元素组成的集合 A B 称为A与B的并集记作A∪ B ，即
要想学好高等数学，至少要做到以下四点:
首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的 是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性 质，才能真正地理解一个概念。
其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条 件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结 论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
积为I或U . 若研究某一问题时将所考虑对象的全体看作全集，
记为I,则对于任意集合A I, I A(即I \ A)称为A的补集，
_
记为 A或Ac.
n
定义 Ai A1 A2 An
i 1
n
Ai A1 A2 An
i 1
Ai A1 A2 An
i 1
Ai A1 A2 An
(4) ______ __ __ A B A B(或（A B)c AC Bc ).
_________ ___ ___
A B A B (或（A B)c Ac Bc ).德 摩根律.
二.区间与邻域
设a和b都是实数，将满足不等式a<x<b的所有实数组 成的数集称为开区间，记作(a,b)即
含有限元素的集合称为有限集，不含任何元素的集合称 为空集；用表示空集。 不是有限集也不是空集的集合 称为无限集。
表示集合的方法: (1)列举法 将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内； (2)描述法 在花括号内指明集合元素所具有的性质。
一般，用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示 有理数集，用R表示实数集．
什么是高等数学?
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学. 通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微 积分学，概率论与数理统计，线性代数等。 另外，我们这里也把微积分称为高等数学（B).
微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重 要性无论做怎样的估计都不会过分.
初等数学与高等数学（广义）的区别
初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量。 高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑 性和广泛的应用性。 抽象性是数学最基本、最显著的特点—有了高度抽象和 统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更 广泛的应用。 严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是 概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则， 遵循思维的规律。