重积分利用对称性和换元法简化计算归纳
高等数学§9.3.2三重积分的计算2
x c os z
显 然 : y s 。 in
z z
M(x,y,z)
c o s 0 i s n
y J ( ( x , , y , , z z ) ) s i c n 0 o , s O
00 1 x
P(,)
∴ f (x, y, z)dxdydz f ( cos, sin, z) dddz.
z cr cos .
x2 a2
by22
cz22
r2.
r1
I (a x 2 2 b y2 2c z2 2)dx d y r2 d Jd z rd d
Jabcr2sin
I a b c 0 2 d0 s in d0 1 r 4 d r 54abc.
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
f (rs ic n o ,rss isn i,r n c o )r2 s id n r d d
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
x ar sin cos , 解: y br sin sin ,
zzu,v,w
( 2 ) 上 面 变 换 中 的 函 数 在 区 域 具 连 续 偏 导 有 数 ;
( 3 ) J u x , , v y , , w z 0 , u , v , w , 则
f (x, y,z)dxdydz
f(xu ,v,w ,yu ,v,w ,z(u ,v,w )Jdudv
z
d
d
dz
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法摘要:本文旨在探讨计算二重积分的几种简便方法,通过对不同方法的比较和分析,旨在提高计算效率和准确性。
文章首先介绍了二重积分的基本概念及其在计算中的重要性,随后详细阐述了极坐标法、换元法、对称性法,并结合具体实例展示了这些方法的应用过程。
关键词:二重积分;极坐标法;换元法;对称性法一、引言二重积分是数学分析中的重要内容,广泛应用于物理、工程、经济等领域。
然而,二重积分的计算往往较为复杂,需要选择合适的方法进行简化。
因此,本文旨在探讨计算二重积分的简便方法,为相关领域的研究者提供实用的计算工具。
二、二重积分的基本概念与重要性1.二重积分的定义二重积分是多元函数积分学中的一个基本概念,它描述了一个二元函数在某一给定二维区域上的面积积分。
具体而言,二重积分可以看作是函数值在二维平面上某区域内所有点的累积和,或者理解为函数曲面在指定区域内与坐标平面所围成的体积。
形式上,二重积分可以表示为对两个变量的连续积分,通常写成∫∫f(x,y)dxdy的形式。
2.二重积分的几何与数值意义从几何角度看,二重积分可以表示某个二维区域内函数曲面的面积或者体积。
当被积函数为1时,二重积分计算的就是该区域的面积;当被积函数表示某种密度或强度时,二重积分则计算的是该区域内的总质量或总强度。
因此,二重积分在几何和物理领域具有广泛的应用。
从数值角度看,二重积分提供了一种计算函数在一定区域内平均值的方法。
此外,通过二重积分还可以研究函数的极值、曲线的长度等性质,进而揭示函数图形的变化规律。
3.二重积分的应用领域与范围二重积分在自然科学、工程技术和社会科学等多个领域具有广泛的应用。
在物理学中,二重积分用于计算质心、转动惯量、引力势能等;在经济学中,可以用于计算总收入、总成本等经济指标;在图像处理、计算机视觉等领域,二重积分也被用于计算图像特征、积分变换等。
此外,二重积分还广泛应用于地理学、气象学、生物医学等领域,用于解决各种实际问题。
必考难点!!考研数学“二重积分”(两篇)2024
引言概述:在考研数学中,二重积分是一个必考的难点。
对于很多考生而言,理解和掌握二重积分的概念和计算方法是一项具有挑战性的任务。
本文将以此为主题,通过分析二重积分的基本特点和应用,帮助考生全面理解和掌握这一知识点。
正文内容:一、二重积分的定义和基本特点1. 二重积分的基本定义:二重积分是在二维平面上将一个函数在某个有限区域上的积分运算。
通过将区域分成无数个微小的面元,对每个面元的函数值进行积分,最终求得整个区域上的积分值。
2. 二重积分的性质:二重积分具有线性性、区域可加性、保号性等基本性质。
考生需要深入理解这些性质,并能够灵活应用于计算过程中。
3. 面积与二重积分的关系:二重积分可以看作是计算平面上某个区域的面积。
通过对函数的积分运算,我们可以得到该区域的面积值,并且可以灵活应用于计算各种形状的区域面积。
4. 二重积分的坐标变换:对于一些复杂的区域,我们可以通过合适的坐标变换来简化二重积分的计算。
考生需要了解极坐标变换、直角坐标变换等常见的坐标变换方法,并能够灵活运用于解题过程中。
5. 三种常用坐标系下的二重积分:直角坐标系、极坐标系和柱坐标系是三种常见的坐标系,对应着不同的求积分公式。
考生需要学会在不同的坐标系下进行积分计算,并掌握它们之间的转换关系。
二、二重积分的计算方法1. 变上限与定积分的关系:二重积分的计算可以通过变上限与定积分的关系来实现。
考生需要了解变上限与定积分之间的等价性,并能够将二重积分转化为定积分进行计算。
2. 积分上限与积分下限的交换:二重积分中,积分上限和积分下限的交换是一个常见的操作。
掌握交换积分上下限的条件和规则,能够简化计算过程,并准确求得正确的结果。
3. 利用对称性简化计算:对于一些具有对称性的区域和函数,可以通过利用对称性将二重积分的计算简化。
考生需要善于发现和应用对称性,以提高计算的效率。
4. Fubini定理:Fubini定理是二重积分计算的重要工具,可以将二重积分转化为两个一重积分,从而简化计算过程。
三重积分对称性详解
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
22
2020年7月24日4时5分
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
(1) 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
(2) 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
0
4 5 10
15
2020年7月24日4时5分
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成, 采用球面坐标,
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 , 0 2,
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
所围成立体的投影区域如图,
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
7
2020年7月24日4时5分
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
重积分(解题方法归纳)Word版
第十章 重积分解题方法归纳一、重积分的概念、性质重积分的定义是一个黎曼和的形式,对于一些和式的极限问题,有时可根据定义,将其转化为重积分,再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中,直接考查重积分的性质,常考的性质一般有:比较性质、对称性质、中值定理等.例1 (2010年考研 数一、数二)2211lim ()()→∞==++∑∑nnn i j nn i n j =( ) 11211()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰xxA dx dyB dx dy x y x y11112000011()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰C dx dyD dx dy x y x y解 由于 222211111()()=====++++∑∑∑∑nnnni j i j n nn i n j n i n j而 10111111lim lim 11→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n i i dx i n in x n12220211111lim lim 11()→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n j j n dy j n j n y n 因此 1122200111lim ()()(1)(1)→∞===++++∑∑⎰⎰nnn i j n dx dy n i n j x y 故选()D .『方法技巧』 当遇到黎曼和的形式时,经常考查积分的定义式,在积分中,积分变量的符号是任意的,可根据题目的要求选取.例2 设(,,)f x y z 在{}2222(,,)Ω=++≤R x y z x y z R 上连续,又(0,0,0)0≠f ,则0→R 时,(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的 阶无穷小.解 由题意 要确定 0(,,)lim0Ω→=≠⎰⎰⎰RnR f x y z dva R 中的n .由积分中值定理知,存在000(,,)∈ΩR x y z ,使得30004(,,)(,,)3πΩ=⎰⎰⎰Rf x y z dv f x y z R 因此 30003300(,,)(,,)4lim lim (0,0,0)03πΩ→→==≠⎰⎰⎰RR R f x y z dvf x y z R f R R故 3=n ,即(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的3阶无穷小.『方法技巧』 要将被积函数从积分号内取出时,常会用到积分中值定理,尤其在证明题中经常遇到.二、重积分的计算方法当给定被积函数和积分区域时,重积分是一个确定的数值.对于简单的函数,用性质或几何意义即可求得积分值;对一般函数,需要化为累次积分计算.1.重积分的计算方法归纳如下:(1) 利用重积分的性质计算重积分.(2) 利用重积分的几何意义(针对二重积分)计算重积分. (3) 直角坐标系下计算重积分.(4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下,计算重积分. (5) 利用换元法计算重积分.2. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)若积分区域D 关于x (或y )轴对称,则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰(或10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y )其中1D 是D 在x (或y )轴上(或右)方的部分. (2)若积分区域D 关于直线y x =对称,则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ=-⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在直线y x =上方的部分.(3)若积分区域Ω关于xOy (或,yOz zOx )面对称,则10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z (或10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z , 10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z ) 其中1Ω是Ω在xOy (或,yOz zOx )面上(或前,右)方的部分.(4)若积分区域D 是X (或Y )型域,即12:()()a x b D x y x ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩(或12:()()c y d D y x y ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩),则二重积分 21()()(,)(,)ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰bx a x Df x y d dx f x y dy (或21()()(,)(,)ψψσ=⎰⎰⎰⎰dy cy Df x y d dy f x y dx )(5)若极点O 在积分区域D 内或边界上,即02:0()D θπρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则二重积分2()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d πϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)若极点O 在积分区域D 外,即12:()()D αθβϕθρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则二重积分21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d βϕθαϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(7)若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈xy x y z z x y z z x y x y D (或{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈yz x y z x y z x x y z y z D , {}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈zx x y z y z x y y z x z x D )则三重积分(投影法)21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz (或21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰yzx y z x y z D f x y z dv dydz f x y z dx21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zxy z x y z x D f x y z dv dzdx f x y z dy )(8)若积分区域{}(,,),(,)Ω=≤≤∈z x y z a z b x y D (或{}(,,),(,)Ω=≤≤∈x x y z c x d y z D ,{}(,,),(,)Ω=≤≤∈y x y z m y n z x D ) 则三重积分(截痕法)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zbaD f x y z dv dz f x y z dxdy (或(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdcD f x y z dv dx f x y z dydz ,(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ynmD f x y z dv dy f x y z dzdx )(9)若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O z z z z D (或{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O x x x x D ,{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O y y y y D )则三重积分(柱面坐标)(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O z z D d d f z dz(或(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O x x D d d f x dx(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O y y D d d f y dy )(10)若积分区域{}1212(,,)(,)(,),()(),ϕθϕθϕθϕθϕϕθαθβΩ=≤≤≤≤≤≤r r r r则三重积分(球面坐标)2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰(1) 计算重积分的步骤:(1)二重积分画出积分区域D 的草图;三重积分想象出积分区域Ω的图形; (2)选取坐标系(依据D 或Ω的形状和被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 的形式);(3)选择积分次序;(4)确定累次积分的上、下限,分别计算定积分.例3 设{}222(,),0D x y x y a a =+≤>,若Dπ=,则a =( ).()1()()()A B C D 解由于被积函数z =a 的上半个球面,根据二重积分的几何意义知,D等于以D 为底,z =31423Da ππ==因此 a =()B . 『方法技巧』 当被积函数是我们比较熟悉的曲面时,首先要考虑二重积分的几何意义.本题也可直接利用极坐标计算二重积分.例4 设{}(,)1D x y x y =+≤,计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解 积分区域D 如图10.35所示,它关于x 轴、y 轴及原点对称,1D 为D 在第一象限部分.()DDDx y dxdy x dxdy ydxdy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于二重积分Dx dxdy ⎰⎰,由于被积函数对变量x均为偶函数,由二重积分的对称性知14DD x dxdy xdxdy =⎰⎰⎰⎰.对于二重积分Dydxdy ⎰⎰,由于被积函数对y 为奇函数,由二重积分的对称性知0Dydxdy =⎰⎰.故1110()44xDD x y dxdy xdxdy dx xdy -+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3x x dx =-=⎰ 『方法技巧』 当积分区域关于x 轴或y 轴对称时,首先要考虑被积函数是否存在对变量x 和y 的奇、偶性,若存在,可以先化简,再计算,这样会简化运算过程. 本题也可直接利用直角坐标计算二重积分.例5 设{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥,计算二重积分22x ydxdy x y++⎰⎰. 解 积分区域D 如图10.36所示,由于积分区域 与圆有关,被积函数中含有22x y +,因此采用极坐标.2211x y ρ+=⇒=11sin cos x y ρθθ+=⇒=+所以 1(,)1,0sin cos 2D πρθρθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭,故222cos sin (cos sin )D D Dx y dxdy d d d d x y ρθρθρρθθθρθρ++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1221sin cos (cos sin )(cos sin 1)22d d d ππθθπθθθρθθθ+=+=+-=-⎰⎰⎰『方法技巧』 当积分区域与圆(圆、圆环、扇形)有关,被积函数中含有22x y +、x y 或yx时,一般计算二重积分时,会考虑利用极坐标. 例6 设{}22(,)D x y x y x y =+≤+,计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解 积分区域是由圆周22111()()222x y -+-=围成的,令1212u x v y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则作变换11,22x u y v =+=+,将xOy 面上的闭区域D 转化为uOv 面上的闭区域221(,)2D u v u v ⎧⎫'=+≤⎨⎬⎩⎭,则 10(,)(,)1001(,)x y J u v u v ∂===≠∂因此()(1)(1)DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由于D '关于u 轴、v 轴均对称,所以()0D u v dudv '+=⎰⎰,故2()()22DD x y dxdy dudv ππ'+===⎰⎰⎰⎰『方法技巧』 当复杂的积分区域D 可经过坐标变换(平移或旋转),变成简单区域D '时,一般会用二重积分的换元法.例7 设{}2222222(,,),,0Ω=++≤+≤≥x y z x y z R x y z z ,将三重积分(,,)Ω⎰⎰⎰f x y z dv 在三种坐标系下化为累次积分.解 积分区域Ω如图10.37所示.在直角坐标系下,先对z 积分,作平行于z 轴并与其方向一致的射线穿入Ω,穿进的曲面=z 是变量z 的下限,穿出的曲面=z是变量z 的下限,再将Ω投影 到xOy 面得闭区域(,)⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭xy D x yy x在xy D 上将二重积分转化为二次积分,故(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰f x y z dv dx f x y z dz在柱面坐标系下,将Ω转化为柱面坐标系下的积分区域,即(,,),022ρθρρθπ⎧⎫⎪⎪Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭z z R则(,,)(cos,sin,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz200(cos,sin,)πρθρρθρθρ=⎰d d f z dz 在球面坐标系下,将Ω转化为球面坐标系下的积分区域,即(,,)0,0,024πϕθϕθπ⎧⎫Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭r r R则2(,,)(sin cos,sin sin,cos)sinf x y z dv f r r r r d d dϕθϕθϕϕρθϕΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰224000sin(sin cos,sin sin,cos)ππθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰Rd d f r r r r dr『方法技巧』有些三重积分既可用直角坐标计算,也可用柱面坐标和球面坐标计算,甚至直角坐标可以用投影法计算,还可用截痕法计算,但计算的难易程度还是有区别的,需要同学加强这方面的练习,以便在考试中,以最快的速度找出最简单的计算方法.三、交换积分次序交换积分次序的题目,在考试中选择题和填空题居多,且大多数为二重积分,题型可分为以下几类:(1)给出一种次序的二次积分,要求交换成另一种次序的二次积分;(2)给出一种次序的二次积分,要求计算此积分(一般按给定次序不能进行计算);(3)计算一个二重积分(只有一种次序的二次积分可以计算);(4)直角坐标系下的二次积分与极坐标系下的二次积分互相转化.(5)证明一个二次积分等于一个定积分时,需要先交换二次积分的积分次序.例8计算sin=⎰⎰DxI dxdyx,其中积分区域D是由直线=y x及抛物线2=y x围成的闭区域.解积分区域D如图10.38所示.积分区域既是X型又是Y型区域,但被积函数为sin =xy x,若对x 积分时,不能得到原函数,故化为二次积分时,只能先对y 后对x 积分,故21100sin sin (1)sin 1sin1===-=-⎰⎰⎰⎰⎰x x Dxx I dxdy dx dy x xdx x x『方法技巧』 二重积分用任何次序都可转化为二次积分,但并不代表用任何次序的二次积分都可以求出结果,因此,做题时,若一种次序的二次积分计算非常繁琐,就需要考虑换一种积分次序试一试,尤其当被积函数中含有sin xx、2x e 等函数时,要特别注意. 例9 证明211()()=-⎰⎰y x dy f x dx e e dx证 在左边的二次积分中,由于被积函数含有 未知函数()f x ,而积分变量又是x ,因此不能按给 定次序求出定积分,需要交换积分次序. 首先还原成 二重积分的积分区域D ,如图10.39所示.左边=2211111()()()==⎰⎰⎰⎰⎰y y y xxdy f x dx dx e f x dy f x dx e dy221110()()()()==-⎰⎰yx x f x e dx e e f x dx =右边 证毕.四、重积分的几何应用和物理应用在几何上,二重积分可以求平面图形的面积、曲顶柱体的体积及空间曲面的面积等,三重积分可以求空间区域的体积.在物理上,重积分可以求物体的质量、质心(形心)坐标及转动惯量等. 在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)()σ=⎰⎰Dd A D 的面积(2)(,)((,))σ=⎰⎰Df x y d V D f x y 以为底,为顶的曲顶柱体的体积(3)()Ω=Ω⎰⎰⎰dv V 的体积(4)()=∑DA 的面积其中D 为曲面:(,)∑=z f x y 在xOy 面的投影区域.(5)(,)()ρσ=⎰⎰Dx y d M xOy D 占平面上区域的物体的质量(,,)()ρΩ=Ω⎰⎰⎰x y z dv M 占空间区域的物体的质量(6) 质心坐标平面物体的质心坐标: (,)(,),(,)(,)ρσρσρσρσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx x y d y x y d x y x y d x y d空间物体的质心坐标:(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρΩΩΩΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dvy x y z dvz x y z dvx y z x y z dvx y z dvx y z dv当密度均匀时,质心也称为形心.(7) 转动惯量平面物体的转动惯量:22(,),(,)ρσρσ==⎰⎰⎰⎰x y DDI y x y d I x x y d空间物体的转动惯量:2222()(,,),()(,,)ρρΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dv I z x x y z dv22()(,,)ρΩ=+⎰⎰⎰z I x y x y z dv在(5)—(7)中,(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别表示物体的面密度和体密度.例10 设{}2222(,,)()()()Ω=-+-+-≤x y z x a y b z c R ,则()Ω++⎰⎰⎰x y z dv = .解 利用球的形心坐标公式31(,,)(,,),,,,43πΩΩΩΩΩΩΩΩΩ⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv ydv zdv a b c x y z xdv ydv zdv dv dv dv R 因此 333444,,333πππΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv aR ydv bR zdv cR 故34()()3πΩΩΩΩ++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dv xdv ydv zdv a b c R例11 设{}22(,)2=+≤D x y x y y ,计算(4)σ--⎰⎰Dx y d .解 由于积分区域D 是圆域,关于y 轴对称,且形心(圆心)为(0,1),半径为1,因此,1σσσπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDxd yd d故(4)4403σσσσπππ--=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx y d d xd yd『方法技巧』 以上两题说明,若积分区域的形状是规则的(如圆形、球形、柱形等),形心坐标很容易看出,在计算被积函数为x 、y 或z 的积分时,可以逆向利用形心坐标公式,使得计算更加简单(此方法非常实用).友情提示:范文可能无法思考和涵盖全面,供参考!最好找专业人士起草或审核后使用,感谢您的下载!。
多重积分的计算方法与技巧
多重积分的计算方法与技巧在数学中,多重积分是一种重要的计算方法,用于求解多变量函数在特定区域上的积分。
计算多重积分需要掌握一些方法和技巧,本文将介绍其中常用的计算方法以及一些实用的技巧。
1. 二重积分的计算方法二重积分是最基本的多重积分形式,其计算方法分为直角坐标系下和极坐标系下的计算方法。
以下将介绍这两种计算方法。
1.1 直角坐标系下的计算方法直角坐标系下的二重积分计算方法如下:首先,确定积分区域D,并在直角坐标系下建立相应的坐标系。
其次,写出被积函数f(x,y)在D上的积分形式,即∬f(x,y)dxdy。
然后,根据积分区域D的形状和对称性,选择适当的积分顺序,如先x后y或先y后x。
最后,通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式,依次进行积分计算,可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
1.2 极坐标系下的计算方法对于某些具有旋转对称性的问题,使用极坐标系进行积分计算更加方便快捷。
极坐标系下的二重积分计算方法如下:首先,确定积分区域D,并在极坐标系下建立相应的坐标系。
其次,写出被积函数f(r,θ)在D上的积分形式,即∬f(r,θ)rdrdθ。
然后,根据积分区域D的特点,确定积分的范围。
最后,通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式,依次进行积分计算,可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
2. 三重积分的计算方法三重积分是在三维空间中计算体积、质量、重心等物理量时常用到的方法,其计算方法比二重积分复杂一些。
计算三重积分的方法如下:首先,确定积分区域D,并在三维坐标系下建立相应的坐标系。
其次,写出被积函数f(x,y,z)在D上的积分形式,即∭f(x,y,z)dxdydz。
然后,根据积分区域D的特点,确定积分的范围。
最后,通过将三重积分转化为三个一重积分相结合的形式,依次进行积分计算。
在实际计算中,可以利用对称性、数学变换和数值计算等方法简化复杂的三重积分计算。
3. 多重积分的技巧除了上述的基本计算方法外,还有一些技巧可以帮助我们更高效地计算多重积分。
利用对称性技巧解多元函数重积分
Ω
Ω
Ω
Ω
µ µ f ( y) d v = f ( z ) d v . 我们常将轮换对称性的性质与前面的命题 4 ,5 ,6 结合起来运用.
Ω
Ω
µ µ 例 5 计算三重积分 f ( x) d v =
( x + y + z ) 2d v ,其中 Ω 是 0 Φ x Φ a ,0 Φ y Φ a ,0 Φ z Φ
1 利用对称性简化二重积分的计算 根据被积函数的奇 、偶性和积分区域关于线对称的不同情况分别用下述三个命题简化计算 (命题的证
明[1 ]从略) . 前提 :被积函数在积分区域 D 上连续
命题 积分区域 D 的特点
被积函数的特点
结论
命题 1 命题 2 命题 3
①D 关于 y 轴对称 ②D 关于 x 轴对称 ③D 关于 y 轴 (或 x 轴) 对称 ④ D 关于原点对称 (对称于原点的两部分 区域记为 D1 和 D2) ⑤D 关于直线 y = x 对 称 , ( x , y) ∈ D ∴( y , x) ∈D
5. ⑴关于 x 轴对称 5. ⑵关于 y 轴对称 5. ⑶关于 z 轴对称
命题 6 6. 关于原点对称
5. ⑴a : f ( x , - y , - z ) = - f ( x , y , z ) 5. ⑴b : f ( x , - y , - z ) = f ( x , y , z ) 5. ⑵a : f ( - x , y , - z ) = - f ( x , y , z ) 5. ⑵b : f ( - x , y , - z ) = f ( x , y , z) 5. ⑶a : f ( - x , - y , z ) = - f ( x , y , z ) 5. ⑶b : f ( - x , - y , z ) = f ( x , y , z)
二重积分的计算方法与技巧
二重积分的计算方法与技巧二重积分是微积分中的重要概念之一,它用于计算平面区域上的定积分。
二重积分的计算方法和技巧有很多,下面将介绍一些常用的方法。
1.通过直角坐标系进行计算。
在直角坐标系中,计算二重积分的方法很简单。
首先,将二重积分所在的区域投影到水平和垂直轴上,确定积分的上下限。
然后,将被积函数表示为直角坐标系下的函数形式,进行具体的计算。
可以根据被积区域的形状选择适当的坐标变换,从而简化计算过程。
2.通过极坐标系进行计算。
在一些情况下,使用极坐标系可以更方便地计算二重积分。
特别是对于圆形区域或具有旋转对称性的区域,使用极坐标系可以大大简化计算过程。
在极坐标系下,被积函数需要进行一定的变换,然后利用极坐标系下的积分公式进行计算。
3.利用对称性简化计算。
如果被积函数具有其中一种对称性,可以利用这种对称性来简化计算。
例如,如果被积函数关于一些坐标轴对称,那么可以将积分区域分为两个对称的部分,然后只计算其中一个部分的积分值,并乘以2即可。
这样可以显著简化计算过程。
4.利用奇偶性简化计算。
如果被积函数具有奇偶性,也可以利用这种性质来简化计算。
如果被积函数关于一些坐标轴是奇函数,那么在计算积分时可以将积分区域分为两个部分,然后只计算其中一个部分的积分值,并乘以2再加上另一个部分的积分值即可。
如果被积函数关于一些坐标轴是偶函数,那么只需要计算其中一个部分的积分值即可。
5.利用换元法进行计算。
对于一些复杂的二重积分,可以通过变量替换的方法来简化计算。
根据被积函数的特点选择适当的变量替换可以使得积分的计算变得更加容易。
例如,如果被积函数中包含平方根或三角函数等复杂的函数形式,可以选择适当的代换来简化计算过程。
6.利用积分的线性性质简化计算。
二重积分具有线性性质,即两个函数的和或差的积分等于分别对这两个函数进行积分后再求和或差。
因此,对于复杂的被积函数,可以将其分解为简单的部分,然后对每个部分进行积分,最后求和或差即可。
利用好对称性化简三重积分计算
例2 计算
( x + y + z ) 2 dxdydz 其中 是由抛物面 ∫∫∫
z = x 2 + y 2 和球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 所围成的空间闭区域.
Q ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx) 解:
其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数,且 关于 zox 面对称,
1
2 r 2
r (2r 2 cos 2 θ + z 2 )dz
=
π
60
(90 2 89).
�
∴
∫∫∫( xy + yz)dv = 0
同理
∫∫∫ xzdv = 0,
由对称性可知:∫∫∫ x dv = ∫∫∫ y dv
2 2
I = ∫∫∫ ( x + y + z ) 2 dxdydz = ∫∫∫ (2 x 2 + z 2 )dx3; y + z ) 2 dxdydz 其中 是由抛物面 ∫∫∫
例1 计算
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz
2 2 2
其中积分区域 = {( x, y, z ) | x + y + z ≤ 1}. 解:积分域关于三个坐标面都对称,被积 函数是Z 的奇函数,
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0.
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的一个重要概念,在实际问题的建模和求解中有着广泛的应用。
但是对于初学者来说,计算二重积分可能是一个比较困难的任务。
有一些简便的方法可以帮助我们更轻松地计算二重积分。
本文将介绍几种简便方法来计算二重积分,希望能对大家的学习有所帮助。
一、直角坐标系下的计算我们首先回顾一下在直角坐标系下计算二重积分的过程。
设积分区域为D,函数为f(x, y),则二重积分的计算公式为:∬ f(x, y) dA = ∫∫D f(x, y) dx dy其中D表示积分区域,dA表示面积元素,f(x, y)表示要被积的函数。
在直角坐标系下,我们通常通过将积分区域D分解为水平方向和垂直方向的两个部分,然后进行累次积分的方法来计算二重积分。
这种方法在处理一些复杂的积分区域时可能会比较繁琐,下面我们就介绍一些简便的方法来计算二重积分。
对于一些具有旋转对称性的积分区域,我们可以转换到极坐标系下来简化计算过程。
极坐标系的坐标变换公式为:x = rcosθy = rsinθr表示从原点到点(x, y)的距离,θ表示向量OP与x轴的夹角。
在极坐标系下,面积元素dA可以表示为:dA = rdrdθ利用这个变换,我们可以将二重积分转化为极坐标下的累次积分。
具体来说,我们首先确定极坐标系中r和θ的取值范围,然后进行r方向和θ方向的累次积分。
这样做可以帮助我们简化积分区域,并且在计算上也更加方便。
三、换元法除了极坐标系下的计算方法,换元法也是计算二重积分的一种简便方法。
换元法是一种常用的积分技巧,在解决一些复杂函数积分时特别有用。
换元法的基本思想是通过一些代数变换来简化被积函数或者积分区域。
对于二重积分来说,我们可以通过一些变换来将原积分转化为一个更容易计算的积分。
当积分区域为一个矩形时,我们可以通过线性变换来将其变为单位矩形,这样做可以大大简化计算过程。
换元法在实际应用中需要具体问题具体分析,需要我们灵活运用。
对称性在重积分计算中的应用
对称性在重积分计算中的应用作者:左俊梅来源:《大学教育》2014年第14期[摘要]在积分计算中,运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,以及轮换对称性可以简化计算.对称性在重积分计算中具有多方面的应用.[关键词]对称性重积分积分计算[中图分类号] O172.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2014)14-0177-02一、对称性在二重积分计算中的应用对于二重积分,我们主要讨论积分区域关于x轴(或y轴)对称、关于原点对称以及轮换对称性的类型.定理1 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续,且D关于x轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数,即f(x,-y)=-f(x,y),(x,y)∈D则■f(x,y)dσ=0;如果f(x,y)是关于y的偶函数,即f(x,-y)=f (x,y),(x,y)∈D,则■f(x,y)dσ=2■f(x,y)dσ.其中D1是D在x轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.当积分区域关于原点对称时,我们可以得到如下的定理.定理2 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续,且D关于原点对称.如果f (-x,-y)=-f(x,y),(x,y)∈D,则■f(x,y)dσ=0;如果f (-x,-y)=f(x,y),(x,y)∈D,则■f(x,y)dσ=2■f(x,y)dσ=2■f(x,y)dσ,其中D1={(x,y)∈D|x≥0},D2={(x,y)∈D|y≥0}.为了叙述的方便,我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.定义1 设D为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段),如果对于任意(x,y)∈D,存在(y,x)∈D,则称区域D(或光滑平面曲线段)关于(x,y)具有轮换对称性.关于区域的轮换对称性,有如下定理.定理3 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续,且D关于x,y具有轮换对称性,则■f(x,y)dσ=■f(y,x)dσ.例1 计算二重积分I=■■ dσ,其中f(x)是区间[-1,1]上的正值连续函数,D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0}.解由于积分区域D关于x,y具有轮换对称性,则由定理3得I=■■ dσ=■■ dσ,所以I=■■[■+■]dσ=■■dσ=■(a+b).二、对称性在三重积分计算中的应用经过分析,我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似,根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.定理4 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Ω上的连续函数,且Ω关于坐标平面x=0对称,则(1)若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数,则■f(x,y,z)dV=0;(2)若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数,则■f(x,y,z)dV=2■f(x,y,z)dV.其中Ω1是Ω的前半部分,Ω1={(x,y,z)∈Ω|x≥0}.同理可写出Ω关于坐标平面y=0(或z=0)对称时的情形.例2 计算三重积分I=■(x+z)dV,其中Ω是由曲面z=■与z=■所围成的区域.解I=■xdV+■zdV,由于Ω关于坐标面x=0对称,且x为关于变量x的奇函数,则由定理4知■xdV=0.则I=■zdV=■dθ■dφ■rcosφr2sinφdr=■.与二重积分类似,我们也可得到如下结论.定理5 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域Ω上的连续函数,且Ω关于原点对称,则(1)若f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z),(x,y,z)∈Ω,则■f(x,y,z)dV=0;(2)若f(-x,-y,-z)=f(x,y,z),(x,y,z)∈Ω,,则■f(x,y,z)dV=2■f(x,y,z)dV=2■f(x,y,z)dV=2■f(x,y,z)dV.其中Ω1={(x,y,z)∈Ω|x≥0},Ω2={(x,y,z)∈Ω|y≥0},Ω3={(x,y,z)∈Ω|z≥0}为了方便叙述,我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义.定义2 设Ω是一有界可度量的几何体(Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块),且它的边界光滑,若对任意的(x,y,z)∈Ω,都存在(y,z,x)∈Ω,存在(z,x,y)∈Ω,则称Ω关于x,y,z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性,我们有如下的定理.定理6 设函数y(x,y,z)是定义在空间有界区域Ω上的连续函数,且Ω关于x,y,z具有轮换对称性,则■f(x,y,z)dV=■f(y,z,x)dV=■f(z,x,y)dV.例3 计算■f(x+y+z)2dΩ.其中Ω为正方体0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1.解由于Ω关于x,y,z具有轮换对称性,由定理6知■x2dΩ=■y2dΩ=■z2dΩ,■2xydΩ=■2yzdΩ=■2zxdΩ,那么■(x+y+z)2dΩ=■(3x2+6xy)2dΩ=■dx■dy■(3x2+6xy)dz=■.[ 参考文献 ][1] 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用[J].曲阜师范大学学报,2008(29):9-10.[2] 张仁华.二重积分计算中的若干技巧[J].湖南冶金职业技术学院学报,2008(2):102-104.[3] 陈云新.轮换对称性在积分中的应用[J].高等数学研究,2001(4):29-31.[4] 王宪杰.对称区域上二重积分和三重积分的计算[J].牡丹江师范学院学报,2007(4):65-66.[责任编辑:林志恒]。
三重积分计算中的一些技巧
三重积分计算中的一些技巧在三重积分的计算中,有一些技巧可以帮助我们简化计算过程,提高效率。
接下来,我将介绍一些常用的三重积分计算技巧。
1.先进行变量代换:在求解三重积分时,通过适当的变量代换可以简化被积函数的形式。
常见的变量代换方法包括球坐标系、柱坐标系和抛物坐标系等。
2.交换积分次序:当被积函数在不同变量的积分中存在其中一种对称性时,可以考虑交换积分次序。
例如,当被积函数在一些变量的积分中只依赖于另外两个变量时,可以将该变量的积分放在最后进行计算,从而简化计算。
3.利用对称性:当被积函数具有其中一种对称性时,可以通过利用对称性简化计算。
例如,当被积函数关于一个坐标轴对称时,可以将整个积分区域对称折叠,从而减少积分区域的计算量。
4.利用奇偶性:当被积函数具有奇偶性时,可以利用奇偶性简化计算。
例如,当被积函数为奇函数时,可以将积分区域关于原点对称分成两个部分,只计算一个部分的积分再乘以2,从而简化计算。
5.使用对称性的特殊点:在一些情况下,利用对称性的特殊点可以简化计算。
例如,当被积函数在其中一点处取得极值时,可以将该点作为积分区域的对称中心,从而简化计算。
6.利用积分的性质:在进行具体计算时,可以利用积分的性质简化计算。
例如,利用积分线性性质,将被积函数拆分成多个部分进行计算,再将计算结果加和即可。
7.重心坐标法:在一些特殊情况下,可以通过引入重心坐标法简化计算。
重心坐标法是一种利用面积、体积比例关系的坐标变换方法,通过引入重心坐标,可以将多重积分转化为更简单的单重积分计算。
8.利用积分的几何意义:在进行三重积分的计算时,可以利用积分的几何意义进行估算。
通过将积分区域分成若干个小区域,在每个小区域上进行近似计算,最后将计算结果进行求和,可以得到对原积分的估计值。
总而言之,三重积分的计算过程需要我们熟练掌握数学知识,并结合具体问题运用相应的技巧。
以上介绍的仅仅是一些常用的技巧,实际计算过程中还需要根据具体情况进行灵活运用。
三重积分的计算方法
学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。
一是建立明晰的伦理道德责任。
从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。
二是建立责任评价和追究机制。
目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。
或者根本就没有单独制定这样的评价机制。
对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。
三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。
我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。
目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。
所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。
当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。
通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。
社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。
参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。
重积分对称性的数学原理及应用
重积分对称性的数学原理及应用
王晓东;李义强
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2022(25)2
【摘要】本文系统疏理了重积分的对称性,从重积分的换元法出发,给出了几种常用对称性的数学原理,并通过一些算例展示了这些对称性在简化重积分计算方面所发挥的重要作用.
【总页数】6页(P73-78)
【作者】王晓东;李义强
【作者单位】西北工业大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.积分区域对称性在计算二重积分中的应用
2.对称性在重积分及曲面积分中的应用
3.积分区域的对称性在定积分和重积分计算中的应用
4.对称性在定积分、重积分中的应用
5.对称性、轮换对称性在重积分计算中的应用
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{(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ 0},即������3 为������在上半平面的那一部分区域.
四、 设������关于������ = ������ 对称:
1. 若������(������, ������) = −������(������, ������),则������ = 0. 2. 若������(������, ������) = ������(������, ������),则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������,其中������4 = {(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ ������},即������4 为 ������
1
{(x, y) ∈ D: x ≥ 0},即D1 为������中位于������轴右边的那一部分区域. 3. 若������ 关于������没有奇偶性,则������ = ∬������ [������(������, ������) + ������(−������, ������)]������������,其中������1 = {(������, ������) ∈
������������ ������������ ������������ | ������������ ������������
(2) 在������′上雅可比行列式������(������, ������) = ������(������,������) = |������������ ������������
1
������: ������ ≥ 0},即D1 为������中位于y轴右边的那一部分区域.(这是因为任意一个函数������(������)都 可以表示成“奇函数+偶函数”的形式,即������(������) =
������(������)+������(−������) 2
+
������(������)−������(−������) 2
1 1
由于Ω1在X轴上的投影区间为[0,1],在Ω1上垂直于X轴的截面区域D������ 为������ ≥ 0, ������ ≥ 0, ������ 2 + ������ 2 ≤ 1 − ������ 2, 所以������ = 8 ∫0 ������������ ∬ ������ ������ ������������������������ = 8 ∫0 ������ ������ 4 ������(1 − ������ 2 )������������ = 2������ ∫0 ������ ������ (1 − ������ 2 )������������ = 2������. ������
例 1.计算二重积分������ = ∬ ������������������ (������+������) ������������������������,其中D是由������ + ������ = 1, ������ = 0 及������ = 0所围成. ������ ������ = ������ = ������ − ������ 2 解:令{������ = ������ + ������,则{ ������−������,在此变换下,������ = 0变为������ = ������ ,������ = 0变为������ = −������,������ + ������ = 1变为������ = 1. ������ =
注:此要靠自己去理解和体会.
二重积分的换元法及三重积分的换元法
一、 二重积分的换元法:
1. 二重积分从直角坐标系中的������, ������变换为极坐标中的������, ������是二重积分换元法的一种特殊 情形. 2. 二重积分换元法的一般情形: 设函数������(������, ������)在闭区域������上连续,变换������: ������ = ������(������, ������), ������ = ������(������, ������)将������������������平面上的闭 区域������′变为������������������平面上������,且满足: (1) ������(������, ������), ������(������, ������)在������′上具有一阶连续偏导数;
4
������在直线������ = ������以上的那一部分区域. 注:三重积分利用区域对称性与函数奇偶性简化计算与二重积分类似.
例 1.计算������ = ∭ ������ |������| ������������������������������������,其中Ω为:������ 2 + ������ 2 + ������ 2 ≤ 1. ������ 解:设Ω在第一象限内的区域为Ω1,由于Ω关于三个坐标面均对称,同时,函数������ |������| 关于������, ������, ������都为偶函数, 所以I = ∭ ������ |������| ������������������������������������ = 8 ∭ ������ |������| ������������������������������������ = 8 ∭ ������ ������ ������������������������������������. Ω Ω Ω
.)
二、 设������关于X轴对称:
1. 若������ 关于y为奇函数,即������(������, ������) = −������(������, −������),则������ = 0. 2. 若������ 关于������为偶函数,即������(������, ������) = ������(������, −������),则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������,其中������2 = ������
二、 三重积分的换元法:
������ = ������(������, ������, ������) ������(������,������,������) 设{������ = ������(������, ������, ������) , ������ = ������(������,������,������) ≠ 0, (������, ������, ������) ∈ ������′,������(������, ������, ������)在������ 上连续,则: ������ = ������(������, ������, ������) ������(������, ������, ������)������������������������������������ = ∭ ������(������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������))|������|������������������������������������ . ∭ ������ ������′ ������ = ������������������������������������������������������������ 常用的变换有{ ������ = ������������������������������������������������������������ ,此时������ = ������������������������ 2 ������������������������.(化椭球为球) ������ = ������������������������������������
1
������: ������ ≥ 0},即������1 为������中位于X轴上边的那一部分区域.
三、 设������关于原点对称:
1. 若������ 关于������, ������为奇函数,即������(������, ������) = −������(−������, −������),则������ = 0. 2. 若������ 关于������, ������为偶函数,即������(������, ������) = ������(−������, −������),则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������,其中������3 = ������
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳
一、 设������关于������轴对称:
1. 若������ 关于������为奇函数,即������(������, ������) = −������(−������, ������),则������ = 0. 2. 若������ 关于������为偶函数,即������(������, ������) = ������(−������, ������),则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������,其中D1 = ������
2
{(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ 0},即������1 为������中位于������轴上边的那一部分区域. 3. 若������ 关于������没有奇偶性,则������ = ∬ [������(������, ������) + ������(������, −������)]������������,其中������1 = {(������, ������) ∈ ������
������ 2������ ������ ������ ������