关于重积分对称性的结论
n重积分的对称性探究
第41卷 第3期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 41 No.3 2021年 3月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2021文章编号：1007-9831（2021）03-0012-04n 重积分的对称性探究丁君丽，孙庆有（杭州师范大学 理学院，浙江 杭州 311121）摘要：积分对称性在积分计算中有着十分重要的地位，善用积分的对称性，能提高积分计算的效率. 给出了一般情况下n 重积分的对称性的相关结论，并给出了应用实例． 关键词：n 重积分；对称性；奇偶性中图分类号：O172.1 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2021.03.003On the symmetry of n -fold integralsDING Junli，SUN Qingyou（School of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 311121，China）Abstract：The symmetry for integrals plays an important role in integral calculation．The efficiency of integral calculation can be improved by making good use of the symmetry of integral．Some conclusions about the symmetry of n -fold integrals was given，some application example was given. Key words：n -fold integrals；symmetry；parity积分学发展到今天已经十分成熟，积分学在物理、经济和数学等领域都发挥着重要作用. 重积分与定积分、曲线积分、曲面积分本质上都是和式极限的思想，其基本思想都是“分割，近似求和，取极限”，只不过n 重积分的被积函数的变量增多了．文献[1]给出了n 重积分的定义以及求n 维球体体积和面积的方法，对于一般情况下n 重积分对称性的情况并没有讨论. 沈澄[2]给出了n 维空间上一类n 重积分的性质，考虑的是基于坐标轴对称的情况，没有给出更一般的情况. 王庆东[3]给出了几类常见积分的对称性定义，白秀琴[4]给出了多元被积函数的奇偶性定义，文献[5-10]给出了几类对称性在积分中的应用．本文完善了n 重积分的对称性定理，并可由此得到定积分、二重积分、三重积分等情形的已知结论．1 重积分对称性的相关结论定理（n 重积分的对称性） 设函数()12, , , n f x x x L 是定义在空间有界闭区域n W ÌR 上可求体积的连续函数，若积分区域W 具有某种对称性，W 可以划分为对称的２个子空间域，即12W W W =U 且12W W =ÆI ，如果对称点1p W Î，2p W ¢Î时，被积函数在空间对称点处值相等或互为相反数，则n 重积分()()()()()()11212 1212 2, , , d d d , , , d d d 0n n n n f x x x x x x f p f p f x x x x x x f p f p W W ì¢=ï=í¢=-ïîòòòòL L L L L L 其中，对称点p ¢的坐标由空间区域W 的对称类型决定．收稿日期：2020-09-14基金项目：杭州师范大学“一师一优课”课堂教学创新专项（4085C5211931417）；杭州师范大学精品在线开放课程（4085C52120319023） 作者简介：丁君丽（1995-），女，河南郸城人，在读本科生．E-mail：*****************通信作者：孙庆有（1980-），男，辽宁大连人，讲师，博士，从事偏微分方程及其应用研究．E-mail：**************.cn第3期 丁君丽，等：n 重积分的对称性探究 13证明 因为函数()12, , , n f x x x L 是定义在有界闭区域n W ÌR 上可求体积的连续函数，积分区域具有某种对称性，对称点满足1p W Î时，2p W ¢Î．分２步对定理进行证明．第一步，证明有界闭域W 是单维对称的情况，即区域关于某条直线011x x =，022x x =，L ，011i i x x --=，011i i x x ++=，L ，0n n x x =对称，此时若点()121, , , , , i n x x x x W ÎL L ，则有其对称点()00001122111122, 2, , 2, , 2, , 2i i i i i n n xx x x x x x x x x x W --++-----ÎL L令01112u x x =-，02222u x x =-，L ，01112i i i u x x ---=-，i i u x =，01112i i i u x x +++=-，L ，02n n n u x x =-，变换的雅可比行列式为()()()1121210000100, , , 10010, , , 001n n n x x x J u u u ---¶===-¶-L L L L L M MM M M M L L L M M M M M M LL ．所以()()210012121112, , , d d d 2, , , , 2d d d n n i nn n f u u u J u u u f x x x x x x x x W W =--òòòòL L L L L L L ,于是()()2112121112 , , , d d d 2, , , , 2d d d n n i n n n f x x x x x x f x x x x x x x x W W =--òòòòL L L L L L L ，所以 ()()()12121212121212, , , d d d , , , d d d , , , d d d =n n n n n n f x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x W W W=+òòòòòòL L L L L L L L L ()()()100121112 , , , 2, , , , 2d d d ni n n nf x x x f xx x x x x x x W +--òòL L L L L由定理条件可知，被积函数()12, , , n f x x x L 在关于直线011x x =，022x x =，L ，011i i x x --=， 011i i x x ++=，L ，0n n x x =的对称点处的函数值相等或互为相反数．当被积函数在关于该直线的对称点处取值相等时，()()001211, , , 2, , , , 2n i n n f x x x f x x x x x =--L L L ，有()1212 , , , d d d n n f x x x x x x W=òòL L L()11212 2, , , d d d n n f x x x x x x W òòL L L ；当被积函数在关于该直线的对称点处取值相反时，()12, , , n f x x x =-L()00112, , , , 2i n n f x x x x x --L L ，有()1212, , , d d d 0n n f x x x x x x W=òòL L L ．第二步，证明有界闭域W 是()1k k n ££维对称的情况，即有界闭域W 关于i x 中任意k 维对称，不失一般性，不妨取关于()11, , , 1, 1i i i k x x x i i k n ++-³+-£L 对称．令(), , 1, 1, 1l l y x l i i k i k n ==+-³££L ，()021, 2, , 1, , , j j j y x x j i i k n =-=-+L L ．此时，若()121, , , , , i n p x x x x W =ÎL L ，则有()122, , , n p y y y W ¢=ÎL ．变换的雅可比行列式为()()()1212, , , 1, , , n kn n y y y J x x x -¶==-¶L L ．因为积分值与积分变量无关，只与积分区域有关，因此()()()22112121212 0011112 , , , d d d , , , d d d 2, , , , , , 2d d d n n n n i i k n n n f x x x x x x f y y y y y y f x x x x x x J x x x W W W +-==--=òòòòòòL L L L L L L L L L L ()112 d d d .n f p x x x W ¢òòL L故()()()()()1211121212121212 1212 , , , d d d , , , d d d , , , d d d d d d d d n n n n n n n f x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f p x x x f p x x W W W W W =+=¢+òòòòòòòòòòL L L L L L L L L L L L ()()()112d d d d n nx f p f p x x x W =¢+òòL L L因为被积函数在空间对称点处的值相等或相反，所以有14 高 师 理 科 学 刊 第41卷()()()()()()11212 12122, , , d d d , , , d d d 0 n n n n f x x x x x x f p f p f x x x x x x f p f p W Wì¢=ï=í¢=-ïîòòòòL L L L L L 证毕．注 当0000012110, 0, , 0, 0, , 0i i n x x x x x -+=====L L 时，是关于坐标轴i x 对称的情况． 由定理1可以很容易得到定积分、二重积分、三重积分等的常用对称性结论．推论1（定积分的对称性） 设函数()f x 在定义域D 上可积，若()f x 关于直线0x x =对称（或反对称），即()()00f x x f x x +=-（或()()00f x x f x x +=--），则对于任意{}0a D x γI ，有()00 d x a x af x x +-=ò()002d x a x f x x +ò（或()00 d 0x ax af x x +-=ò）． 当0a =时，表示的是积分区域关于y 轴对称，被积函数关于x 轴成奇函数或偶函数的情况． 推论2（二重积分的对称性） 设(), f x y 是定义在有界闭区域D ¢上的连续函数，有（1）若区域D ¢关于直线0x x =对称，且(), f x y 关于直线0x x =对称或反对称，记12D D D ¢¢¢=U ，则 ()()()()()()1002, d d 2, , , d d 02, , D D f x y x y f x x y f x y f x y x y f x x y f x y ¢¢ì-=ï=í-=-ïîòòòò 当00x =时，是区域D ¢关于y 轴对称的情况，此时(), f x y 是关于x 轴的单变量偏偶函数（函数关于某一自变量是偶函数）或单变量偏奇函数（函数关于某一自变量是奇函数）．当区域D ¢关于直线0y y =对称时，有类似结论．（2）若积分区域D ¢关于直线y x =对称，且34D D D ¢¢¢=U ，则 ()()()()()1, d d , d d , , d d 2D D D f x y x y f y x x y f x y f y x x y ¢¢¢==+òòòòòò 若函数(), f x y 关于直线y x =对称或反对称，则()()()()()()32, d d , , , d d 0 , , D D f x y x y f x y f y x f x y x y f x y f y x ¢¢ì=ï=í=-ïîòòòò （3）若积分区域D ¢关于点()00, x y 对称，且函数(), f x y 关于点()00, x y 对称或反对称，记56D D D ¢¢¢=U ，则 ()()()()()()500002, d d 2, 2, , d d 0 2, 2, D D f x y x y f x x y y f x y f x y x y f x x y y f x y ¢¢ì--=ï=í--=-ïîòòòò 当000, 0x y ==时，是积分区域D ¢关于原点对称的情况，也就是被积函数(), f x y 关于原点的对称或反对称的情况．推论3（三重积分的对称性） 设函数(), , f x y z 在有界闭区域():, z x y S j =上连续，有 （1）若积分区域S 关于平面0z z =对称，且12S S S =U ，则()()()()()()10 02, , d d d , , 2, , , , d d d 0 , , 2, , f x y z x y z f x y z z f x y z f x y z x y z f x y z z f x y z SSì-=ï=í-=-ïîòòòòòò 当00z =时，积分区域S 是关于xoy 面对称，函数(), , f x y z 是关于z 轴的单变量偏偶函数或单变量偏奇函数．类似地，可以得到积分区域S 关于平面0x x =或0y y =对称时的结果． （2）若积分区域S 关于直线00, , x x y y z z ===对称，且34S S S =U ，则()()()()()()300 002, , d d d 2, 2, , , , , d d d 0 2, 2, , , f x y z x y z f x x y y z f x y z f x y z x y z f x x y y z f x y z SSì--=ï=í--=-ïîòòòòòò第3期 丁君丽，等：n 重积分的对称性探究 15当000, 0x y ==时，是积分区域S 关于z 轴对称的情况．类似地，可以得到积分区域S 关于直线00, , x x y y z z ===或00, , x x y y z z ===对称时的结果．（3）若积分区域S 关于点()000, , x y z 对称，且56S S S =U ，则()()()()()()5000 0002, , d d d 2, 2, 2, , , , d d d 0 2, 2, 2, , f x y z x y z f x x y y z z f x y z f x y z x y z f x x y y z z f x y z SSì---=ï=í---=-ïîòòòòòò 当()()000, , 0, 0, 0x y z =时，积分区域S 关于原点对称．2 应用举例例 计算二重积分()()221sin ed d x y Dx y x y --+òò，其中：D 是()22x x f x x x ì³ï=í-<ïî，1, 1x y =-=围成的闭区域．分析 当积分区域不对称时，可以通过划分使积分区域分成对称的形式．区域D 一部分是关于x 轴对称的区域，另一部分是关于y 轴对称的区域．所以可根据推论2（1）计算．解 记()()()22, 1sin e xy f x y x y --=+，()()22, sin e xy g x y xy --=．做辅助线()20y x x =£，则可将积分区域分为２部分，一部分（上边）是关于x 轴对称的区域1D ，另一部分（左边）是关于y 轴对称的区域2D ．则()()()()()22121sin e d d , d d , d d x y DD D x y x y f x y x y x g x y x y --+=++òòòòòò．因为()(), , f x y f x y -=-，()(), , g x y g x y -=-，所以(), f x y 是关于x 的奇函数，(), g x y 是关于y 的奇函数．由推论2可知，()1, d d 0D f x y x y =òò，()2, d d 0D g x y x y =òò．所以()()222211sin e d d d d 2d d 2xy DD D x y x y x x y x x y --¢+===-òòòòòò，其中：2D ¢是2D 被x 轴所截的上半部分，被积函数x 是关于y 的偶函数．3 结语本文研究了n 重积分对称性在积分计算中的作用，并由此推导出定积分、二重积分、三重积分的对称性定理．这有助于提高积分计算速度和精确度，有助于理解有关积分的几何意义和物理意义．积分对称性是指积分区域的对称性和被积函数的对称性，对于n 重积分来说有“偶倍奇零”的特点．利用积分对称性能够在很大程度上简化积分计算，达到事半功倍的效果． 参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．4版．北京：高等教育出版社，2010[2] 沈澄．n 维空间上一类对称区域的n 重积分性质及应用研究[J]．四川理工学院学报，2016，29（2）：90-93 [3] 王庆东．利用对称性计算积分域无方向性的积分[J]．广东技术师范学院学报，2016（5）：19-22 [4] 白秀琴．巧用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题[J]．数理与化学研究，2013（12）：180-182 [5] 朱红宝．积分运算中的对称性[J]．高等数学研究，2017，20（1）：96-101 [6] 宋洪雪．对称性在积分运算中的应用[J]．高等数学研究，2013，16（2）：53-54[7] 肖莉．轮换对称性在微分与重积分计算中的应用[J]．数学理论与应用，2010，30（4）：107-108 [8] 张国林．积分对称性质的研究[J]．高师理科学刊，2015，35（8）：15-18[9] 王庆东，刘磊．对称性在积分计算中的应用规律[J]．高师理科学刊，2015，35（3）：17-20 [10]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006。
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
对称性解决积分问题方法
利用对称性、奇偶性求积分
有关对称性的结论
（1 ）对于对称区间上的积分，有
（a ）当在区间上为奇函数[ 即] 时
（b ）当在区间上为偶函数[ 即] 时
（2 ）对于平面区域D 上的二重积分，有
1 ）设D 关于y 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半部分：
2) 设D 关于x 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的上半部分：
3) 设D 关于原点对称，则
（a ）当时，得
（b ）当时，得
其中，。
4 ）设D 关于x 轴和y 轴均对称，且关于变量和均为偶函数，则
其中是在第一象限的部分：
5 ）设D 关于直线对称，则
（3 ）积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质。
例如，
设关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
如果积分区域关于坐标面（或）对称，而被积函数
是（或）的奇函数或偶函数时，有类似的结论。
（4 ）第一型曲线积分和曲面积分也有类似的结论。
例如
1 ）设平面分段段线关于轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半段：
2 ）设分片光滑曲面关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
说明：以上结论不适用于第二型曲线积分和第二型曲面积分。
积分中的对称性
积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
关于重积分对称性的结论
关于重积分对称性的结论重积分是数学中的重要分支之一，主要用于描述空间中的各种物理量和现象。
对于重积分来说，对称性是一个非常重要的概念，可以帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
下面我们将从不同角度探讨重积分对称性的结论。
一、平面对称性对于平面上的图形，如果它对某一条直线对称，那么它的任何一条平行线上的函数值相等，即函数在这一条平行线上的积分相等。
具体地说，如果图形关于直线x=a对称，那么就有如下性质：$$\int_{y=a}f(x,y)\text{d}y=\int_{y=a}f(x,-y)\text{d}y$$这个式子表明，对于平面上的函数f(x,y)，如果它关于直线x=a对称，那么它在直线y=a处的积分值相等。
同样地，如果f(x,y)关于直线y=b对称，那么它在直线x=b处的积分值也相等。
显然，这个结论对于重积分的计算具有一定的帮助，可以减少计算量，提高计算效率。
二、空间对称性这个结论表明，对于空间区域f(x,y,z)，如果它关于平面z=a对称，那么它在平面z=-a处对应的积分值相等。
这个结论对于许多物理问题具有重要的意义，例如电场、磁场、重力场等。
三、轮换对称性除了平面对称性和空间对称性之外，还存在轮换对称性。
轮换对称性是指对于n维空间中的一个图形或者物体，如果它可以通过n维空间中的某些旋转操作而得到自身，那么就具有轮换对称性。
常见的轮换对称性包括正方形的旋转对称性、圆球的球面对称性等等。
对于具有轮换对称性的图形，它们在不同位置的积分值具有相同的性质，因此可以大大简化积分的计算。
四、柯西定理柯西定理是重积分对称性的一个重要推论，它是高等数学中非常著名的一个公式，可以用于计算复变函数的积分。
基本思想是利用重积分的对称性，将一个区域沿一条或者多条封闭曲线分成若干部分，通过对各个部分的积分求和得到整个区域的积分值。
总之，重积分对称性是重要的数学概念，能够帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
在求解具体问题时，我们可以根据题目中给出的对称性来选择合适的求解方法，提高计算的效率和准确性。
1对称性在二重积分中的应用
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解： 由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续， 则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时
对称性在多元函数积分中的应用
对称性在多元函数积分中的应用1.引言多元函数积分计算是微积分中的一个重点和难点，很多初学者对此是望而却步。
但被积函数和积分区域的某些特殊结构特征常常会对问题的求解带来便捷，对于被积函数存在奇偶性、积分区域具有对称性的重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的计算问题，巧妙利用对称性，能使复杂的计算变得简单易行。
2.主要结论定理1：（1）如果积分区域D关于y轴对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有其中.（2）如果积分区域D关于x轴对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有，其中.证明：（1）如果积分区域D关于y轴对称，按y型积分区域顺序计算二重积分有，其中为D在y轴上的投影，为任意平行于x轴的且穿越区域内部的直线与区域边界交点的横坐标。
由于积分区域D关于y轴对称，故在平行于x轴的直线上关于点对称，由定积分对称性结论[1]，[3]可得：当时，，所以；当时，，所以，其中同理可证结论（2）。
以上结论可进一步推广到积分区域关于原点和关于直线对称的情况。
推论1（1）如果积分区域D关于原点对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有，其中D1为D的右半平面.（2）如果积分区域D关于对称，则，其中，分别为在的上方与下方部分。
将二重积分积分区域定义的平面直角坐标系推广到空间直角坐标系，将平面直角坐标系中关于坐标轴的对称推广到空间直角坐标系中关于坐标面的对称即可得到三重积分的相关结论。
定理2：设在有界闭区域连续，若关于平面对称，则：（1），若关于为奇函数；（2），若关于为偶函数，其中.类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
另外，由二重积分的结论可直接推广得到第一类曲线积分的结论，由三重积分的结论可直接推广得到第一类曲面积分的结论。
定理3：设在分段光滑的曲线L上连续.若L关于x轴（或y轴）对称，则：（1），若关于y（或x）为奇函数；（2），若关于y（或x）为偶函数，其中L1为L的右半平面或上半平面。
定理4：设在分块光滑曲面S上连续，若S关于平面对称，则：（1），若关于x为奇函数；（2），若关于x为偶函数，其中.类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
积分对称性解答
问题 1、为什么说设 f (x, y) 在区域 D ⊂ R2 上可积，若 D 的的形状关于 x 轴
对称，当 f (x, − y) = − f (x, y) 时， ∫∫ f (x, y)dxdy = 0 ；当 f (x, − y) = f (x, y) 时，
D
∫∫ f (x, y)dxdy = 2∫∫ f (x, y)dxdy ，其中 D1 为 D 中位于 x 轴上方的部分？
D(2) k
,
D(1) k
与
D(2) k
关于
x
轴对称.
∀(ξk ,ηk
)∈
D(1) k
(ηk
≥
0)
，则 ∃(ξk , −ηk
)∈
Dk(2) ，记 λ
=
max{Dk(1)
的直径}，则
n2
∫∫ ∑ D1
f (x, y)dxdy = lim λ →0 k =1
f (ξk ,ηk )Δσ k
，
n2
∫∫ ∑ D2
Σ
Σ1
于 xz 面右边的部分。
(3) 设 Σ 的形状关于 yz 面对称，若在 Σ 上，有 f (−x, y, z) = − f (x, y, z) ，则
∫∫ f (x, y, z)dS = 0
Σ
若 f (−x, y, z) = f (x, y, z) ，则 ∫∫ f (x, y, z)dS = 2∫∫ f (x, y, z)dS ，其中 Σ1 是 Σ
D
D1
1
问题 2、若区域 D ⊂ R2 关于直线 y = x （或 y = −x ）对称，且
f (x, y) = − f ( y, x) (或 f (− y, −x) = − f (x, y) )，是否有 ∫∫ f (x, y)dxdy = 0 ？ D
多元函数积分学的对称性问题
（1） x 2 y 2 2 x 2 y 2 ；
2
（2） x 2 y 2 2 xy.
2
解 （1） 由 x 2 y 2
2 x y 2 2 2
而被积函数 xy 围成的积分区域 D (图 6—2)对称于 x 轴．
D
关于 y 是奇函数，即 x y xy ．故由第 2 种情况知 xy d x d y 0 . （2） 由 x 2 y 2 2 xy 所围的域 D (图 6—3)对称于原点． 而被积函数 x y xy ，
借助于几何意义,此结论不难理解． 证将区域 D D1
D2 关于 y 轴进行对称性划分, i D1 ,与之对称的有 i D2 ,令
为小区域的最大直径,取点 (i ,i ) i ,与点 (i,i) i 对称．
f ( , ) f ( , ) f ( x, y ) d x d y lim
解 积分域是圆 x 2 y 2 a 2 ，故关于 x 、 y 轴、原点及变元 x 、
y 均对称．将被积函数分项积分
x2 y 2 a2
2 x 3 y d 0
2
O
2
x
而
2
x y a
2
x2 d
2 2
x y a
2
y2 d
2
1 a4 2 2 x y d ，又 2 x2 4 y 2 a2
解 依积分区域 D 及被积函数 arcsin x y 的特点， 首先将 D 分解为 D （ i 1,2,3 ）如图所示． 因为 D2 与 D3 关于直线 x y 0 对称，而被积函数 arcsin x y 在 D2 奇函数，所以
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
《重积分对称性》课件
04
CATALOGUE
重积分对称性的证明
偶函数对称性的证明
偶函数在对称轴两侧的积分值相等
如果函数$f(x)$是偶函数，那么对于任意实数$a$，有$f(-x) = f(x)$。因此，在重积分 中，偶函数关于对称轴的两侧对称，它们的积分值相等。
举例
考虑函数$f(x) = x^2$，这是一个偶函数。在区间$[-a, a]$上，该函数关于$x=0$对称 。因此，$int_{-a}^{a} x^2 dx = int_{0}^{a} x^2 dx + int_{-a}^{0} x^2 dx$，两侧
。
周期函数对称性的证明
要点一
周期函数在周期内的积分值相等
如果函数$f(x)$是周期函数，那么对于任意实数$a$，有 $f(x+T) = f(x)$，其中$T$是函数的周期。因此，在重积分 中，周期函数在每个周期内的积分值相等。
要点二
举例
考虑函数$f(x) = sin(x)$，这是一个周期为$2pi$的函数。 在区间$[0, 2pi]$上，该函数的图像是周期性的。因此， $int_{0}^{2pi} sin(x) dx = int_{0}^{pi} sin(x) dx + int_{pi}^{2pi} sin(x) dx$，两侧的积分值相等。
05
CATALOGUE
重积分对称性的扩展
对称性与积分路径无关
总结词
重积分对称性的一个重要特性是积分路 径的无关性，即积分结果不依赖于积分 路径的选择。
VS
详细描述
在多重积分中，如果积分区域在坐标平面 上是对称的，那么无论选择什么样的积分 路径，只要最终经过相同的积分点，积分 的结果都是相同的。这个特性在解决复杂 积分问题时非常有用，因为它允许我们选 择更简单的积分路径来简化计算。
二、三重积分的计算技巧
二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。
一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、在闭区域D为x2y 2 a 2的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）x 2 dxdy y2 dxdyx 2 y2 a2x2 y2 a2（2）若m, n中有一个为奇数有x n y m dxdy 0.x2y2a2例 1．求( x2 3 y 2 )dxdyx2y 2 a 2解：根据对称性，2a原式 =2(x 2y2 )dxdy =2d r 3dr a4 .x2y2a200例 2．求( x2dxdy 3y)x2y 2 a 2解：原式 =( x29 y 2 6 xy)dxdy5(x 2y 2 )dxdy5 a 4 .x2 y 2 a 2x2 y2 a22例 3．求(x3y 5 ) 2.（积分区域为球）z dxdydzx2y 2z2a2解：原式 =(x29y225z26xy30yz10).xz dxdydzx2y 2 z2a2=35( x2y 2z2 )dxdydz.35. 4a528 a 5 .3 x2y2z2a2 3 532、在闭区域D为( x a)2y 2 a 2的圆上例 4．求x dxdy( x a) 2y2a2(x a a)2a3 .解：原式 =dxdy( x a) 2y2a2—例 5．求x 2dxdy( x a) 2 y2a2解：原式 =(x a2a) dxdy( x a) 2y2a2(x 22a( x a)dxdy a 2dxdy 5 a4.=a) dxdy( x a) 2 y2 a2(x a)2 y 2 a2( x a )2 y2 a 243、在闭区域D为( x a)2( y b) 2c2的圆上(处理方法同2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分）1、区域关于坐标轴对称例 6．区域D由y x 2与 y 1 围成，求( xy2x 2 y 2 )dxdy.D2211224x y dxdy dx dy =解：原式 =x y..D1x2272、区域关于y x 对称，(x, y) D ,( y, x) D ，有 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.D D例 7．求( xy2yx2 )dxdy. 其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D解：原式 =( yx2yx2 )dxdy. =0.D例 8．( xy23yx2)dxdy.其中区域 D 为x2y 2 a 2， x0, y0D2a解：原式 = 4xy2 dxdy=4d r cos r 2 sin 2rdrD00ar 5 sin2 2 a6= 4 2 d d sin=09例 9.求 a ( x)b ( y)dxdy. 其中区域D为 x2y2a2， ( x ) 为正值连续函数。
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
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考虑如何正确利用二重积分中的被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化二重积分的计算，主要结论如下：
一般设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)D
I f x y d σ=⎰⎰存在。
1.若D 关于y 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么
（1）当(,)f x y 在D 上为x 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；
（2）当(,)f x y 在D 上为x 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有1
2(,)D I f x y d σ=⎰⎰，其中
1{()|(),0}D x,y x,y D x =∈≥或者1{()|0}D D x,y x =≥。
2. 若D 关于x 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么
（1）当(,)f x y 在D 上为y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；
（2）当(,)f x y 在D 上为y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有2
2(,)D I f x y d σ=⎰⎰，其中
2{()|(),0}D x,y x,y D y =∈≥或者2{()|0}D D x,y y =≥。
3. 若D 关于原点对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么
（1）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y --=-时，有0I =；
（2）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y --=时，则我们就有12
2(,)2(,)D D I f x y d f x y d σσ==⎰⎰⎰⎰，其中1D 、2D 同上述1与2中所述。
4. 若D 关于直线y x =对称，那么我们有
(,)()D D
f x y d f y,x d σσ=⎰⎰⎰⎰，称此特性为积分区域D 关于积分变量具有对称性。
考虑如何利用对称性简化三重积分的计算，直接给出相应的主要结论如下：
设函数(,,)f x y z 在空间闭区域Ω上连续，则(,,)I f x y z dv Ω
=⎰⎰⎰存在。
1.（1）若(,,)f x y z 在Ω上是关于变量x 的奇函数，且Ω关于yoz 面对称，则有0I =；
（2）若(,,)f x y z 在Ω上是关于变量x 的偶函数，且Ω关于yoz 面对称，则有： 12(,,)I f x y z dv Ω=⎰⎰⎰，其中1Ω
为Ω在yoz 面前方或后方的部分。
注意：在上述结论中，将x 换成y 或z ，相应的坐标面换成zox 或xoy ，结论均成立。
2. 若Ω关于z 轴对称，则有：
2
0,(-,-,)=(,,)(,,)2(,,)(-,-,)=(,,)f x y f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y f x y z f x y z ΩΩΩ-⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上为关于和的奇函数，即；，在上为关于和的偶函数，即，其中2Ω为Ω在平面x y =或x y =-一侧部分的区域。
注意：上述结论中z 轴换为x 轴或y 轴亦有相似的结论。
3. 若Ω关于原点对称，则有：
3
0,,,(-,-,-)=(,,)(,,)2(,,),,(-,-,-)=(,,)f x y z f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z f x y z ΩΩΩ-⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上为关于的奇函数，即；，在上为关于的偶函数，即其中3Ω是Ω中关于原点对称的两部分区域中的任意一部分。