积分学中的对称性问题
对称性在高等数学积分计算中的应用
对称性在高等数学积分计算中的应用作者：刘记川来源：《课程教育研究·学法教法研究》2017年第09期【摘要】积分计算是高等数学教学中的重点和难点之一，如何进行积分计算，教学过程中对每一类积分都给出了相应的计算方法。
然而有些积分的被积函数和积分区域比较复杂，计算起来比较困难，甚至有些积分采用常规的方法无法计算。
对称性是积分计算中经常采用的积分技巧，可以把问题简单化，减少计算量。
对具有一定特性的被积函数和积分区域，对称性可以展现出高效快捷的计算优势。
【关键词】对称性积分【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）09-0031-02积分学是高等数学教学中的重点和难点，内容包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分[1，2]。
在高等数学教学的过程中，对每一类积分都罗列出很多种计算方法。
每一类积分计算都有很多的难点，想要真正的掌握并非易事，并且各种积分之间的相互转化就更为复杂。
然而在积分计算的过程中，有些积分的积分区域比较特殊（例如：积分区域具有对称性）或者被积函数具有奇偶性，这类积分的计算运用一定的技巧，可以省掉繁琐的计算过程，从而达到简单、快捷、高效和准确的目的。
一、定义对称性主要是指积分区域的对称性。
二维平面上的区域关于坐标轴的对称以及关于直线y=x对称。
三维中是空间区域关于三个坐标面的对称以及关于面y=x，z=x和y=z的对称。
轮换对称性是对称性的一种特殊情况，二维上是关于直线y=x对称，三维上是关于面y=x，z=x 和y=z的对称。
定义1.1：坐标轴对称：区域，对任意的（x，y）∈D，如果（x，-y）∈D，则区域D关于x轴对称；如果（-x，y）∈D，则区域D关于y轴对称。
定义1.2：坐标面对称：区域，对任意的（x，y，z）∈Ω，如果（x，y，-z）∈Ω，则区域Ω关于xoy面对称；如果（x，-y，z）∈Ω，则区域Ω关于xoz面对称；如果（-x，y，z）∈Ω，则区域Ω关于yoz 面对称。
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
对称性在积分运算中的应用
人 们 经 常 利 用 函数 的奇 偶 性 来 简 化 定 积 分 计
算Ⅲ ， 即若 厂 （ ｚ ）在 ［ 一ａ ， 。 ］上 连续 ， 则 有
Ｌ ｆ （ ｚ ， ） 如 ＝ ｆ Ｉ ｏ ｉ （ ， ） 曲 一
划。 ［ 厂 （ ｚ ， ） ＋ （ ． ｙ ， ｚ ） ，
Ｌ ｆ （ 一 矾，
其中Ｄ 表示 Ｄ 中直线 Ｙ — ｚ上 （ 或 下）方 的部 分．
证 明 取关 于直 线 Ｙ— 对 称 的分 割 ， 将 区域
某 种对 称 性． 当厂 （ Ｐ）在 力 中各对 称 点 处 的 函数 值 的绝对 值相 等且 符 号相反 ， 即＿ 厂 （ Ｐ） 为相 应 于 区域
ｌ ｉ ｍ
当对 区域 力 及被 积 函数 （ Ｐ） 赋 以具 体 的含义
￣ ｆ （ ８ 一 ｊ Ｊ 。 厂 （ ） ｄ
＝
所以， 式（ １ ）成立 ． 式（ ２ ） 和式（ ３ ）易证 ， 从 略． 性质 ２ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ２ ） 在 闭 区域 上 连续 ，
…ｆ （ ｚ ， ｚ ， ） ｄ ｖ ．
证 明 与性质 １的证 明类 似 ， 从 略．
类 似地 ， 还 有 以下轮 换 性质 ． 性质 ３ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ｚ ）在 光滑 曲线 Ｉ １ 上 连
基金项 目： 南 京 邮 电大 学 教 改 项 目（ Ｊ ＧＯ Ｏ Ｔ １ １ Ｊ Ｘ４ ０ ） 作者简介 ： 宋洪雪（ １ ９ ７ ７－ －） ， 女， 辽宁西丰人 ， 硕士 ， 讲师 ， 从 事 非 线 性
动力系统研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｏ ｎ ｇ ｈ ｘ ＠ｎ ｊ ｕ ｐ ｔ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
５ ４
高 等 数 学 研 究
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在第一型曲线积分中的应用
对称性在第一型曲线积分中的应用1对称性在第一型曲线积分中的应用对称性是几何学中重要的概念，也是微积分中重要的概念。
一般来说，利用对称性可以简化求解某些微积分问题的难度，特别是第一型曲线积分的求解，解决这种问题时特别利用对称性的优势，有效的完成求解。
1.1对称性的基本定义```对称性(Symmetry)指一个图形或系统能够通过某种转换（如旋转、镜像等）保持不变，换而言之，它指的是一种图形或系统的对称性。
```对称性存在于自然界的几何结构，特别是物理系统的结构。
它可在数学的曲线、抛物线、多面体等几何图形中观察到。
根据这些形状在不同的位置上可以表示出来，可以形成一个个带有对称性的图形。
1.2对称性的应用第一型曲线积分是利用曲线的对称性进行积分。
具体来说，如果一条曲线能够对折，则该曲线拥有对称性，即曲线两端所有特征都是对称的，存在自反特性。
例如，抛物线具有翻转对称性，可将其翻转180度;函数椭圆具有绕椭圆中心0度旋转后仍然保持不变的空间变换;函数双曲线具有绕双曲线中心旋转180度后仍然保持不变的变换。
从直观上看，这类曲线的总积分为0，因为其两端的面积是对称的，可以用一条曲线的积分为另一条曲线的积分的负值来表示，即可以用只进行一次实现曲线的积分。
1.3典型的第一型曲线积分的例子第一型曲线积分是求函数及其导函数存在对称性的情况下关于自变量的积分，比如抛物线，它是给定一条抛物线关于x轴正负相等的积分。
又例如，当函数y=sin(ax+b)有它的对称性时，积分可以转换成求零点来计算；此外，第一型曲线积分还可以用于求解月牙形的面积等问题。
1.4总结综上所述，对称性对于求解第一型曲线积分十分重要，它能够有效减少计算量，使求解问题更加简便，从而提高计算效率。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算积分
利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算积分积分的计算是数学分析中一个非常重要的内容，它在物理学、工程学和经济学等许多科学领域中都有广泛的应用。
在实际计算积分时，我们可以利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性来简化计算。
对称性是指函数在一些轴对称的性质。
如果被积函数在积分区域关于x轴或者y轴对称，即$f(-x,y)=f(x,y)$或者$f(x,-y)=f(x,y)$，那么我们可以利用对称性将积分区域划分为两个相等的部分，只计算其中一部分的积分，然后将结果乘以2即可得到整个区域的积分。
例如，考虑函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在区域$D: -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1$上的积分。
我们可以发现函数$f(x,y)$关于x轴和y轴都是对称的，即$f(-x,y) = f(x,y)$和$f(x,-y) = f(x,y)$。
因此，我们可以将积分区域D划分为四个相等的部分，分别为$D_1: 0 \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq 1$，$D_2: -1 \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq1$，$D_3: -1 \leq x \leq 0, -1 \leq y \leq 0$和$D_4: 0 \leq x\leq 1, -1 \leq y \leq 0$。
然后，我们只需要计算其中一个部分的积分，比如$D_1$，然后将结果乘以4即可得到整个区域的积分。
利用被积函数的奇偶性也可以简化积分的计算。
奇函数的性质是$f(-x)=-f(x)$，即函数关于原点对称。
如果被积函数是一个偶函数，即$f(-x)=f(x)$，那么在积分区域关于y轴对称的情况下，我们可以将积分区域从$-a$到$a$缩小为0到$a$，然后将结果乘以2即可得到整个区域的积分。
例如，考虑函数$f(x)=x^3$在区间$[-1,1]$上的积分。
函数$f(x)$是一个奇函数，即$f(-x)=-f(x)$。
关于对称性在积分中的应用
关于对称性在积分中的应用作者：杨昌海来源：《今日湖北·中旬刊》2014年第02期在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往能使计算简捷，达到事半功倍的效果。
Q1：对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面？对称性在积分中的应用非常广泛，不仅在定积分，二重积分，还在线、面积分上也有应用。
Q2：什么样的定积分，可以应用对称性求解？有些什么样的结论？如何应用？定积分是积分学的基本内容，定积分的计算方法很重要且多种多样，有的方法不对，计算更繁琐，若能恰当应用对称性，即可简化定积分的计算。
应用对称性，有下面的结论：定理1 设f（x）在[-a，a]上连续，则（1）若f（x）为奇函数，则 .（2）若f（x）为偶函数，则 .例1 求积分 .解：虽然被积函数非奇非偶，但可以把它分成两个部分和，前一部分是偶函数，后一部分是奇函数，因此，可用定理1的结论简化其计算。
这样的例子很多，有的直接应用定理1，有的通过定积分性质拆项后再应用定理1，达到简化积分运算。
Q3：对于无穷限的广义积分，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？对于无穷限的广义积分，根据被积函数的奇偶性也有一些结论：由定理1，很容易得到下面的结论：推论1 设f（x）在（-∞，∞）上连续， F（x）是f（x）的一个原函数，且无穷限非正常积分f（x）dx收敛，则有（1）若f（x）为奇函数，则f（x）dx=0.（2）若f（x）为偶函数，则f（x）dx=.证明：因为f（x）在（-∞，∞）上连续， f（x）在任何区间[a，A]（a再由定积分的性质得：.若f（x）为奇函数，则 F（x）是一个偶函数，所以F（-A）=F（A）若f（x）为偶函数，则一定有一个奇函数F（x），所以F（-A）=-F（A） .Q4：如果积分区间不是关于原点对称，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？我们知道，若函数f（x）在其定义域内满足f（-x）=f（x），那么f（x）的图形关于y轴对称；若函数f（x）满足f（x）=-f（x），那么 f（x）的图形关于原点对称。
定积分的对称性
定积分的对称性定积分是数学中重要的一部分，既有满足取值方式的特殊性质，同时又具备着对称性质。
定积分的对称性质可以延伸出许多重要的应用，也是学习定积分不可或缺的部分。
一、定积分的基础概念在学习定积分的对称性质之前先来回顾一下定积分的基础概念。
定积分可以理解为是函数曲线下所夹的面积，它的本质就是一个数值，可以用来表示某个函数在一个区间内面积大小。
表达成公式就是：∫_a^bf(x)dx=F(b)- F(a)其中f(x)代表函数，a和b代表积分的区间，F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式很好地概括了定积分的基本信息，包括了区间、函数、面积等。
二、定积分的对称性质定积分具有几个重要的对称性质，这些对称性质深受数学家们的喜爱，被广泛应用在数学研究中。
下面介绍几种常见的对称性质。
1.函数关于y轴对称如果函数f(x)关于y轴对称，那么在积分范围内，函数的左半部分区域所夹的面积等于函数右半部分所夹的面积，即：∫_a^bf(x)dx=2*∫_0^af(x)dx (a>0)这个对称性质可以使我们在计算一些积分时显著地减轻繁琐的计算，提高计算效率和精度。
2.函数关于原点对称如果函数f(x)关于原点对称，那么在积分范围内，函数在第一象限（x>0, y>0）、第二象限（x<0, y>0）所夹面积大小相等，函数在第三象限（x<0,y<0）、第四象限（x>0，y<0）所夹面积大小也相等，即：∫_0^af(x)dx=∫_0^-af(-x)dx在计算面积时，如果函数关于原点对称，可以很好地运用这个性质进行计算。
另外，这个性质的应用不仅局限于面积计算，在一些计算中也是很重要的。
3.函数关于x轴对称如果函数f(x)关于x轴对称，那么在积分范围内，函数上下部分所夹面积大小相等，即：∫_a^bf(x)dx=2*∫_a^0f(x)dx (a>0)这个性质的使用在计算面积时也非常方便，可以大大地减少计算中的不必要浪费。
积分学中的对称性问题
积分学中的对称性问题
作者：文生兰梁银双
来源：《科教导刊》2009年第34期
摘要本文通过一元函数积分学中的奇偶对称性问题,推广到了二元及二元以上的多元函数,并得到了圆域上二重积分及球形区域上三重积分的轮换对称性。
关键词多元函数奇偶对称性轮换对称性
中图分类号:O172文献标识码:A
积分学是微积分的主要内容,也是高等数学的主要组成部分。
如果能掌握积分学中的对称性问题,将使某些运算变得非常简单。
在一元积分问题中有:
引理1 (1)若f(x)在上连续且为奇函数,
则;
(2)若f(x)在上连续且为偶函数,
则。
实际上,上述引理也适用于二元及二元以上的多元函数:
定理1设f(x,y)是区域D上的连续函数,
(1)若f(x,y)是关于y的奇函数,D是关于x轴上下对称的,则;
(2)若f(x,y)是关于x的奇函数,D是关于y轴左右对称的,则;
(3)若f(x,y)是关于y的偶函数,D是关于x轴上下对称的,则,其中D1是D在x轴上方的一部分;
(4)若f(x,y)是关于x的偶函数,D是关于y轴左右对称的,则,其中D1是D在y轴左方的一部分.
证明:(仅证(1)) 设D=D1+D2,
解:由于积分区域D关于x轴上下对称,,关于y是奇函数,所以;又D关于y轴左右对称,5xy2关于x是奇函数.从而,原式=.
类似地,对于三重积分,有
推论1若关于面上下对称(左右对称,前后对称),关于z(y,z)是奇函数,则.
推论2若积分区域是球形区域:,则
例2 求
解:由于关于面上下对称,2xz关于z是奇函数,则;又关于xoz面左右对称,关于y是奇函数,则.因此,原式=。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
三重积分对称性总结
三重积分对称性总结三重积分对称性是多元函数积分中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对三重积分对称性进行总结，包括对称性的定义、分类、性质及其在实际问题中的应用等方面进行详细的讨论。
首先，我们来介绍三重积分对称性的定义。
对称性是指在某种变换下，函数或者几何图形保持不变的性质。
在三重积分中，我们通常考虑的是函数在坐标轴的对称性，以及在空间中的对称性。
根据对称性的不同性质，我们可以将其分为轴对称性和中心对称性两种。
其次，我们将讨论三重积分对称性的分类。
轴对称性是指函数在坐标轴的对称性，包括关于x轴、y轴、z轴的对称性。
而中心对称性则是指函数在空间中的对称性，即关于某一点对称。
根据对称性的不同分类，我们可以利用对称性简化三重积分的计算过程，从而减少工作量，提高计算效率。
接下来，我们将分析三重积分对称性的性质。
对称性不仅可以简化计算，还可以帮助我们更好地理解函数在空间中的分布规律。
通过对称性的分析，我们可以找到函数的对称轴或者对称中心，从而更好地理解函数的性质，并且可以更加方便地进行积分计算。
最后，我们将探讨三重积分对称性在实际问题中的应用。
对称性在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在求解物体的质心、惯性矩、电荷分布等问题时，对称性可以帮助我们简化计算，提高求解的准确性。
因此，对称性不仅在数学中有着重要的意义，同时也在实际问题中有着重要的应用价值。
综上所述，三重积分对称性是多元函数积分中的重要概念，它在简化计算、理解函数性质以及解决实际问题中都具有重要的作用。
通过对对称性的深入理解和灵活运用，我们可以更好地解决复杂的积分计算问题，提高工作效率，同时也可以更好地理解函数在空间中的分布规律，为实际问题的求解提供更加有效的方法和思路。
定积分的对称性奇偶性公式
定积分的对称性奇偶性公式
定积分的对称性奇偶性公式是的一类在数学当中的重要定理，它揭示了定积分
的数学特征。
定积分的对称性奇偶性公式定义为：假设定积分F（x），则当f（x）是奇偶
函数（即f（-x）=f（x））时，定积分的值也具有奇偶性（即F（-x）=F（x））。
也就是说，当f（x）是一个奇函数或者偶函数时，定积分也一定会具有相应的对
称性性质。
值得一提的是，定积分的对称性奇偶性公式是基于定积分的特性，其原理仍然
基于Riemann积分奇偶性定理，也就是假设函数f（x）与它的导数之间是存在一
定关系的，则定积分即使改变函数在不同位置的绝对值，也不会影响其和的大小，即继承了Riemann积分的奇偶性定理。
此外，定积分的对称性奇偶性公式还有一个显而易见的实际优势，那就是可以
大幅减少定积分的计算量，这种减少本身是在定积分减少系数和保证其和大小不变的基础上实现的。
因此，掌握定积分的对称性奇偶公式，对于深入了解定积分的细节，有助于加深对定积分的理解和掌握。
总的来说，定积分的对称性奇偶性公式是非常有价值的数学结论，它可以有效
简化定积分的求解过程，帮助我们更准确地理解定积分的数学特性。
对称性在积分教学中的一些应用
在Ｄ＾ ＋ Ｄ 上 关于ｙ 为奇 函数 ，故为０ ；
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【 ２ 】 陈云新 对 称性在 积分 中的应用 Ｕ 】 数学理 论 与应
用， ２ ０ ０ ０ ， １ ０ ．
【 ３ 】 徐小湛 对称 性在 积分计 算 中的应用叭 高等数 学研
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从 以 上 可 以 看 出 ， 对 称 性 在 积 分 的 计 算 中 具 有 非 常 重 要 的 作 用 ， 在 教 学 中 ， 可 告 诉 学 生 ， 当看 到 积 分 区 域 对 称 或 函 数 有 奇 偶 性 时 ，就 可 以 思 考 能 用 上 述 的 一 些 结 论 ， 说 不 定 可 以 起 到 意 想 不 到 的效 果 。
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一
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区域 ：Ｄ ： ｆ （ 盖 圳ｘ ： ＋ ， ４ ｏ ， ， ｏ ｝ ｊ 解 ：积 分 区 域Ｄ 关于直线Ｊ ， ＝ Ｘ 轴 对 称 ， 由二 重 积 分 的 对 称 性 ３ ，
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、
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究， ２ ０ ０ １ ， ０ ３ ．
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对称性在重积分及曲面积分中的应用
学类）第 ３题 ） 计 算二 重积 分
Ｊ“ 【 ２ Ⅲ
０ ，
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中 图 分 类 号 Ｏ１ ２ ２ ７ ． 文献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４０ ９ —２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ Ｏ — ０ ３０
性质 １ 。
设 ｆ ｘ， 在 区域 Ｄ上 可积 ， （ ） 若
Ｄ关 于 Ｘ轴对 称 ， Ｄ 是 Ｄ 在 ｚ轴上 边 的部分 ， 有 则
（ 州 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ，江 苏 徐 州 ２ １ ０ ） 徐 ２ ０ ８
摘
要 在 积 分 区 域 具 有 某 种 对 称 性 时 ， 出重 积 分 及 曲面 积 分 所 具 有 的 相 应 性 质 ， 通 过 例 题 给 出 这 些 性 给 并
质 在重 积 分 及 曲 线 、 面 积 分 中 的应 用 方 法 ． 曲 关 键 词 对 称 性 ； 积 分 ； 重 曲面 积 分 ； 分 区 域 积
第１ ４卷 第 ４ 期
２１ ０ １年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵＤＩ Ｎ ０ＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
定积分区间对称
定积分区间对称定积分区间对称是指在一定的条件下，定积分的值在对称区间内具有对称性。
这个概念在数学中非常重要，因为它可以帮助我们简化计算，并且可以应用到许多不同的领域，如物理学和工程学等。
一、什么是定积分在了解定积分区间对称之前，我们需要先了解什么是定积分。
在数学中，定积分是一个数值，表示函数在一个区间上的面积。
它可以用来计算曲线下方的面积或者求出函数值的平均值。
二、什么是区间对称性区间对称性指的是函数在某个区间内具有对称性质。
例如，在[-a,a]这个区间内，如果一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么这个函数就具有关于y轴对称性。
三、定积分区间对称当一个函数具有关于y轴对称性时，在[-a,a]这个区间内进行定积分时，其结果会具有区间对称性。
也就是说，如果f(x)在[-a,a]上满足f(-x)=f(x)，那么∫[-a,a] f(x)dx=0。
四、证明为了证明上述结论，我们可以将定积分的区间[-a,a]分成两个部分：[-a,0]和[0,a]。
由于f(x)具有关于y轴对称性，所以f(-x)=f(x)，因此在[-a,0]这个区间内，我们可以将积分变为∫[0,a] f(-x)dx。
这样就可以将整个积分写成∫[-a,a] f(x)dx=∫[-a,0] f(x)dx+∫[0,a] f(x)dx=∫[0,a] f(-x)dx+∫[0,a] f(x)dx=2∫[0,a] f(x)dx。
由于f(x)具有关于y轴对称性，所以在[0,a]这个区间内，f(-x)=f(x)，因此2∫[0,a] f(x)dx=2(1/2 ∫[0,a](f(-x)+f(x))dx)=2(1/2 ∫[-a,a]f(x)dx)=∫[-a,a] f(x)dx。
因此，我们得到了结论：如果一个函数在[-a,a]上满足f(-x)=f(x)，那么∫[-a,a] f(x)dx=0。
五、应用定积分区间对称的概念在数学中非常重要，并且可以应用到许多不同的领域。
对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别
创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald242DOI：10.16660/ki.1674-098X.2018.14.242对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别①孟泽红(浙江财经大学数据科学学院 浙江杭州 310018)摘 要：利用对称性求解曲线积分可以大大简化曲线积分的求解，但学生在利用对称性求解第一型曲线积分和第二型曲线积分时很容易弄错使用条件，因此，本文针对这些情况，从曲线的同向对称和异向对称的定义开始介绍，接下来给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分对称性使用的定理，并给出了一些例题来对比这些定理的使用条件，并对第二型曲线积分对称性求解的例题进行了正确和错误两种解法来进行分析归纳总结定理的使用条件。
关键词：对称性 第一型曲线积分 第二型曲线积分 异向 同向中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)05(b)-0242-02①作者简介：孟泽红（1978—），女，汉族，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：反问题与不适定问题的研究，高等数学 课题研究。
曲线积分的求解是高等数学里面本科生必须熟练掌握的，也是全国研究生入学考试中的重点内容。
利用积分区域对称性和函数的奇偶性可以简化积分运算，在教学过程中发现，由于第一型曲线积分和第二型曲线积分一个与方向无关，一个与方向有关，因此在使用中，一旦使用不当，会造成对问题的错解，为了让学生在学习过程中注意到这个陷阱，本文通过具体的例题把错误的结题方法和正确的解题方法进行比较，并对这两种积分的对称性使用进行了简要的总结。
1 预备知识定义1：有向曲线L 成两段有向弧L 1和L 2，如果观察者沿L 1行到L 2时方向不发生改变，就称L 1与L 2同向，否则称异向。
定义2：如果有向积分曲线课分为关于点A 对称的两段弧L 1和L 2，L 1和L 2同向，则称该积分曲线关于点A 同向对称，否则，L 1和L 2异向，则称该积分曲线关于点A 异向对称。
曲面积分的对称性
曲线，曲面积分的对称性，奇偶性是什么？1、曲线的对称性，奇偶性是指根据对函数性质的分析,找出图像上控制形状的关键点,比较简便、迅速、准确地用描绘，熟练掌握函数奇偶性（曲线对称性）的判别：如果函数的定义域D是关于原点对称的，对任意的x∈D，若都有f（x）=-f（x），则为奇函数，图像关于坐标原点对称。
2、曲面积分的对称性，奇偶性：区域Q的对称性：(1)若(x,y,z)∈S则(x，y,一z)∈Q那么0关于xoy面对称。
8关于xox面yo面对称类似。
(2) 若(x.y,z)∈Q则(一x，一 y.z)∈Q那么2关于z轴对称。
Q关于x轴)轴对称类似。
(3)若(xy.2)∈则(x一)2)(y1一二)和(-.y2)均∈2那么O关于三个坐标面对称。
(4)若(x.y.2)∈Q则(一x-γ→∈Q那么0关于原点对称。
(5)若(x,y,z)∈Q则(，r.2)和(一x、z)∈2那么0关于x和y∞面对称。
1.2函数的奇偶性。
(6)若f(x,y,z)在2上满足f(-x,y.z)-干了(x,y.2),称f为o上关于x的奇、偶函数。
f关于y或2的奇偶性类似。
(7)若f(x.y.z)在2上满足f(一x，一y,z)=干f(x.y.c)，称厂为关于:与y的奇偶函数。
」关于心与:或)与z的奇偶性类似。
(8)若f(x.y,z)在2上满足F(-x,2-2)元Ff(x.y.2).称厂为关于x和:的奇、偶函数。
扩展资料：学好积分的方法：首先仔仔细细的看一下那四类积分，把那些积分公式写下来，然后尽量直观的理解一下，比如对坐标的曲线积分以及对弧长的曲线积分，前者可以理解为力的做功，后者理解为已知曲线密度，求曲线质量，这样有了理解之后对公式的记忆会有帮助的，要不然会很乱。
理解了公式之后，就可以运用一些对称性了，那些对称性的公式也要理解，并不是硬背的，什么关于x是偶函数，关于y是奇函数，积分是两倍还是为0这点也很重要，陈文登的书上面好像都总结了。
然后理解公式以后就到教科书上找相应的例子巩固一下，同济第五版的高等数学，上面的例题很简单，并且也把知识点包含进去，所以是个很不错的教材。