2019届绵阳二诊考试文科数学
2019年四川省绵阳市高考文科数学二诊试卷及答案解析
2019年四川省绵阳市高考文科数学二诊试卷一、选择题（60分） 1．（5分）在复平面内，复数12i+对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．（5分）己知集合{0A =，1，2，3，4}，1{|1}x B x e -=>，则(A B = )A ．{1，2，3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4}D ．{4}3．（5分）如图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m 的值可能为( )A ．0B ．2C ．3D ．54．（5分）“1a b ==”是“直线10ax y -+=与直线10x by --=平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）直线:20l x y +-=与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则AOB ∠等于( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．（5分）设a ，b 是互相垂直的单位向量，且()(2)a b a b λ+⊥+，则实数λ的值是( ) A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．（5分）执行如图的程序框图，其中输入的7sin6a π=，7cos 6b π=，则输出a 的值为()A ．1-B ．1C D ．8．（5分）若函数2()21f x lnx x bx =+--的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b 的取值范围为( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．(0,4)9．（5分）已知斜率为2的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则(p = )A ．1B C ．2D ．410．（5分）已知1F ，2F 是焦距为8的双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点，点2F 关于双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若1||4AF =，则此双曲线的离心率为( )A B C ．2D ．311．（5分）博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为1P ，2P ，则( ) A ．1214P P =B ．1213P P ==C ．1256P P +=D ．12P P <12．（5分）已知椭圆22:1(4)4x y C m m m +=>-的右焦点为F ，点(2,2)A -为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得||||8PA PF +=，则m 的取值范围是( )A．(6+ B ．[9，25] C．(6+ D ．[3，5]二、填空题、（20分）13．（5分）数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，则数据11x -，21x -，31x -，41x -，51x -的方差是 ．14．（5分）某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7:30，8:00，8:30，某人上午7:40至8:30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是 ． 15．（5分）若()x x f x e e -=-，则满足不等式(31)f x f -+（2）0>的x 的取值范围是 ．16．（5分）已知点P 是椭圆22:19x C y +=上的一个动点，点Q 是圆22:(4)3E x y +-=上的一个动点，则||PQ 的最大值是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344n n S a =-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：（1）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．19．（12分）ABC ∆的内角A ．B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，(3sin )AC b a C =-． （1）求角A 的大小；（2）若b c +=a =ABC ∆的面积．20．（12分）己知椭圆22:184x y C +=的左右焦点分别为1F ，2F ，直线:l y kx m =+与椭圆C交于A ，B 两点．O 为坐标原点．（1）若直线l 过点1F ，且||AB =，求k 的值； （2）若以AB 为直径的圆过原点O ，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）己知函数()f x lnx mx =-，m R ∈． （1）试讨论()f x 的单调性：（2）若函数()()()g x x e f x =-有且只有三个不同的零点，分别记为1x ，2x ，3x ，设123x x x <<，且31x x 的最大值是2e ，求13x x 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos (3sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+=（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线()6R πθρ=∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知||||||10OM OP OQ =，求t 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()||f x x m =-，m R ∈（1）1m =时，求不等式(2)(2)4f x f x -+>的解集； （2）若0t <，求证：()()()f tx tf x f tm +…．2019年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分） 【解答】解：12222(2)(2)555i i i i i i --===-++-， ∴复数12i +对应的点的坐标为21(,)55-，位于第四象限． 故选：D ．【解答】解：{|1}B x x =>； {2AB ∴=，3，4}．故选：B ．【解答】解：甲的数据是：25，30，35，40，40，中位数是35， 乙的数据是：30，30，30m +，35，40， 若两组数据的中位数相同， 则m 可能是5， 故选：D ．【解答】解：“直线10ax y -+=与直线10x by --=平行”由两直线平行的充要条件可得：(1)01ab a ---=⎧⎨-≠⎩， 即11ab a =⎧⎨≠-⎩，“1a b ==”是“11ab a =⎧⎨≠-⎩“的充分不必要条件，即“1a b ==”是“直线10ax y -+=与直线10x by --=平行”的充分不必要条件， 故选：A ．【解答】解：根据题意，圆22:4O x y +=，圆心为(0,0)，半径2r =，圆心O 到直线20lx y +-=的距离d ==则||2AB = 又由||||2OA OB ==，。
四川省绵阳市2019届高三数学第二次(1月)诊断性考试试题文(含解析)
绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60分）1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】z＝＝－i2.己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B={x ｜＞1｝，则A∩B＝( )A. {1，2，3，4}B. {2，3，4}C. {3，4}D. {4}【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出A∩B．【详解】＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，故A∩B＝{2，3，4} .故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为( )A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5故选D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题．4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得∠AOB．【详解】∵圆心O（0，0）到直线x＋y－2＝0的距离d，可得AB＝2, 所以∠AOB＝90°，故选D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．6.设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（）A. 2B. －2C. 1D. －1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为（）A. 1B. －1C.D. －【答案】A【解析】【分析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论．【详解】由a＝，b＝，a＞b，则a变为﹣＝1，则输出的a＝1．故选A.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．8.若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为（）A. （－∞，4）B. （－∞，4］C. （4，＋∞）D（0,4）【答案】A【解析】【分析】由条件得到k＝f'（x）对x>0恒成立，所以b<（）min，即可b的取值范围．【详解】，则有k＝f'（x）对x>0恒成立，所以b<（）min，又当x＝时，取得最小值4，所以b<4．故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了函数的最小值的求法，属于基础题．9.已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）A. P1•P2＝B. P1＝P2＝C. P1+P2＝D. P1＜P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。
四川省绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试数学文试题(精编含解析)
3
，点
F2（4,0），渐近线：
y
b a
x
，
所以，
a
4b a2 b2 2 b2
2 16
3
，解得：b＝2
3 ， a ＝2，所以，离心率为 e＝ 4 ＝2。 2
11．博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往 酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第
2 i (2 i)(2 i) 5 5
55
2、己知集合 A={0, 1，2, 3，4}，B=｜x ｜ ex1 ＞1｝，则 A∩B＝
A、{1，2，3，4} B、{2，3，4} C、{3，4} D、{4} 答案：B 考点：集合的运算，指数运算。
解析： ex1 ＞1＝ e0 ，所以，x－1＞0，即 x＞1，集合 A 中，大于 1 的有：{2，3，4} ，
5 考点：几何概型。
解析：上午 7：40 至 8：30 共 50 分钟，等待时间不多于 10 分钟的到达时间为：
8：00-8：10，8：30－8：40，共 20 分钟，所以，所求的概率为：P＝ 20 2 50 5
15．若 f（x)＝ ex ex ，则满足不等式 f(3x 一 1)十 f(2)＞0 的 x 的取值范围是 ．
所以，必要性不成立，选 A。
5、直线 l：x＋y－2＝0 与圆 O：x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于
A、 B、 C、 D、
6
4
3
2
答案：D
考点：直线与圆的方程。
解析：圆心为（0,0），半径 R＝2，画出直线与圆的方程，如下图，相交点 A，B 刚好在坐标轴上，
2019届四川省绵阳市高三第二次(1月)诊断性考试数学(文)试卷及解析
A. B.［9，25］C. D.［3，5］
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2 ＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2 ﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2 ，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．
A.0B.2C.3D.5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．
【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，
乙班成绩：30、30、30+m、35、40，
因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5
故选D.
4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )
所以，必要性不成立，
∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．
故选：A．
5.直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得∠AOB．
2019届绵阳市高三第二次（1月）诊断性考试
数学（文）试卷
一、选择题（60分）
1.在复平面内，复数 对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
四川省绵阳市2019届高三第二次(1月)诊断性考试数学(文)试题+Word版含解析
绵阳市高中2019届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60分）1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】z＝＝－i2.己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B={x ｜＞1｝，则A∩B＝( )A. {1，2，3，4}B. {2，3，4}C. {3，4}D. {4}【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，由此能求出A∩B．【详解】＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，故A∩B＝{2，3，4} .故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为( )A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5故选D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题．4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得∠AOB．【详解】∵圆心O（0，0）到直线x＋y－2＝0的距离d，可得AB＝2, 所以∠AOB＝90°，故选D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．6.设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（）A. 2B. －2C. 1D. －1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为（）A. 1B. －1C.D. －【答案】A【解析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论．【详解】由a＝，b＝，a＞b，则a变为﹣＝1，则输出的a＝1．故选A.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．8.若函数的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为（）A. （－∞，4）B. （－∞，4］C. （4，＋∞）D（0,4）【答案】A【解析】【分析】由条件得到k＝f'（x）对x>0恒成立，所以b<（）min，即可b的取值范围．【详解】，则有k＝f'（x）对x>0恒成立，所以b<（）min，又当x＝时，取得最小值4，所以b<4．故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了函数的最小值的求法，属于基础题．9.已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】C【解析】设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选：C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）A. P1•P2＝B. P1＝P2＝C. P1+P2＝D. P1＜P2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。
数学-绵阳二诊文科数学答案
绵阳市高中2019级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CDABC BDBAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-3 14．-2 15．230x y +−= 16．[ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设等差数列{a n }的首项为1a ，公差为(0)d d >．由题意得112111()(2)15(3)(24)a d a d a d a a d ++=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，， 解得112a d ==，， …………………………………………………………………4分∴12(1)21n a n n =+−=−．∴数列{a n }的通项公式是21n a n =−． ………………………………………………6分 （2）由（1）知，111111=()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +==−⋅−+−+， ……………8分 ∴111111[(1)()()]23352121n S n n =−+−++−−+ 11(1)22121nn n =−=++． ……………………………………………………………10分 ∵2041m S =，∴202141m m S m ==+，解得20m =．∴m 的值为20．………………………………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，每售出一部该手机为甲、乙、丙、丁配置 型号的频率分别为14，25，320，15． ……………………………………………4分 ∴该商场销售一部该款手机的平均利润为600123140050045045205⨯+⨯+⨯+⨯=475元． ……………………………………6分（2）由题意得，该消费者购买的两部手机的型号可能是甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁．……………………………………………8分 这两部手机获得的利润不低于1000元的情况为：甲乙，甲丙，甲丁．∴这两部手机获得的利润不低于1000元的概率为3162P ==．……………………12分19．解：（1）由a sin A -c sin C -b )sin B ，得222a c b −−， …………………2分∴2222a b c ab +−=，即cos C =…………………………………………………………………………4分又(0)，C π∈ ，∴6C π=．……………………………………………………………6分 （2）由正弦定理，得4sin sin sin a b cA B C===， ∴4sin 4sin ，a A b B ==．………………………………………………………………8分∴1sin 8sin sin sin 26ABC S ab C A B π∆==⨯⨯⨯=12分20．解：(1)当a =2时，f (x )=ln x +1-2x 2， 则2114(12)(12)()4x x x f x x x x x−−+'=−==(x >0)． …………………………………2分 由()0f x '>，解得102x <<；由()0f x '<，解得12x >． ∴函数f (x )的单调递增区间为1(0)2，，单调递减区间为1()2，+∞．……………………5分 （2）由题意得2112()2ax f x ax x x−'=−=(x >0)． ……………………………………6分①当a ≤0时，函数f (x )在(0)，+∞上的单调递增． 又0x →时，()f x →−∞，(1)10f a =−>，∴函数f (x )只有一个零点． …………………………………………………………8分②当0a >时，2112()2ax f x ax x x −'=−=．由()0f x '>，解得0x <；由()0f x '<，解得x >∴函数f (x )在(0上的单调递增，在)+∞上的单调递减．……………10分∵函数f (x )有且只有一个零点， ∴0f =，解得e2a =．综上，实数a 取值范围a ≤0或e2a =． ……………………………………………12分21．解：（1）∵11e OF OA FA +=，∴11e c a a c+=−．∵12OAB S ab ∆=ce a=，222a b c =+∴联立解得2a b =，∴椭圆E 的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设点00()M x y ，，11()P x y ，，22()Q x y ，，则点00()N x y −−，． 由题意得A (2，0)． ∵点M ，N 在椭圆E 上，∴2200142x y +=，∴00001222y y x x −⋅=−−−−， 即12AM AN k k ⋅=−． ……………………………………………………………………7分设直线AM 的方程为2x my =+ ，则直线AN 的方程为22x y m=−+．联立222142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消x 整理得22(+2)y 40m my +=．由点A ，M 均在E 上，∴0242m y m =−+．∴20024222m x my m −=+=+，∴012022y mk x m ==−． …………………………………………………………………10分 联立2224x my x y =+⎧⎨+=⎩，， 消x 整理得22(+1)y 40m my +=． 由点A ，P 均在C 上，∴1241my m =−+，∴21122221m x my m −=+=+．同理：2284my m =+，222284m x m −=+．∴22124221(36)342y y m m mk x x m m −+===−−−． ∴2122222233k m m k m m −=⋅=− ，即12k k 为定值． ………………………………………………………………………12分22．解：（1）由2222(2)(sin 2cos )sin 4sin cos 4cos x αααααα−=+=++， αααααα2222sin 4cos sin 4cos )sin 2(cos )1(+−=−=−y两式相加可得曲线C 的普通方程即5)1()2(22=−+−y x ．…………………………3分 直线l的极坐标方程1cos cos sin sincos sin 1332ππρθρθρθθ−==， ∵cos sin x y ρθρθ==，，∴直线l的直角坐标方程为20x −−=．………………………………………5分（2）由（1）可知直线l，倾斜角为6π，且点A (2，0)在直线l 上，∴直线l的参数方程为212，x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ．……………………………………7分代入曲线C 的普通方程可得042=−−t t ． 令交点P ，Q 两点的参数分别为12t t ，，则有121214t t t t +==−，，∴1212121111t t AP AQ t t t t ++=+=⋅1212t t t t −===⋅． ………10分 23．解：（1）由题意可得21220x x −−+−≥， 令函数212)(+−−=x x x g ．当2()12(2)32x g x x x x −=−−−−=−≤，≥，解得2x −≤； 当12()12(2)1322x g x x x x −<<=−−+=−−，≥，解得21x −<≤−； 当1()21(2)322x g x x x x =−−+=−+≥，≥，解得5x ≥． 综上，1x −≤或5x ≥．∴函数()f x 的定义域为(1][5)−∞−+∞，，．…………………………………………5分（2）由题意可得当12m >−时，不等式|21|||0x x m m −−+−≥在1[]2x m ∈−，内恒成立，∴120x x m m −−−−≥，即231m x −+≤在1[]2x m ∈−，内恒成立，解得14m −≤．综上，1124m −<−≤． ………………………………………………………………10分。
绵阳市高中2019级第二次诊断性考试数学(文科)
保密★启用前[考试时间:2019年1月10 日 15:00—17:00]绵阳市高中2019级第二次诊断性考试数学（文科)本试卷分第I卷(选择题)觀第II卷(非选择题)两部分。
第I卷1至3页,第II卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后,将答题卡收回。
参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A+B) =P (A) +P (B);如果事件A,B相互独立，那P(A.B)=P(A)•P(B);如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：第I卷（选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 直线x-y=O 的倾斜角为(A) (B) (C) (D)2要从60人中抽取6人进行身体健康检查,现釆用分层抽样方法进行抽取，若这60人中老年火和中年人分别是40人,20人，则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是(A) 2 人 (B) 3 人（C) 4 人 (D) 5 人3. 平面内动点P(x,y)与A（-1,0)，B(1, 0)两点连线的斜率之积为1,则动点P的轨迹方程为(A) (B)(C) (D)4. 若条件条件则p是q成立的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件（D)既不充分也不必要条件5. 设角a的终边经过点，那么(A) (B) (C) (D)6. 在平行四边形ABCD中，，已知，则＝(A) (B)(C) (D)7 已知函数则函数f(x)的图象是8. 在等比数列中,如果，是等差数列的前n项和，且则=(A) 2 (B) 4 (C) 10 (D) 209. 把函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则函数在区间上的最大值为(A) 1 (B) 0 (C)(D) -110.已知曲线(为参数)和曲线義于直线l1对称，直线l2过原点且与l1的夹角为30°,则直线l2的方程为(A) (B)(C) (D)11.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点,过F2且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M N两点.若ΔMNF1为锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是(A) (B)(C) (D)12.已知关于x的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m、n为横纵坐标的点P( m,n)表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为(A) a>2 (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.13. 已知集合，则=_______14. 已知扇形AOB(为圆心角）的面积为，半径为2,则的面积为_______15. 已知为抛物线上的动点,点N的坐标为，则的、最小值为_______.16.对于具有相同定义域D的函数和，，若对任意的，都有，则称和在D上是“密切函数”.给出定义域均为的四组函数如下：①②③④其中,函数印在D上为“密切函数”的是_______.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟(本题满分12分）已知向量,函数—且最小正周斯为,(1) 求函数，的最犬值,并写出相应的x的取值集合；(2)在中角A,B，C所对的边分别为a，b，c且，求b的值.18(本题满分12分)已知函数的反函数为,且(1)求a的值;(2)若，是数列的前n项和,若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.19.(本题满分12分）已知圆的半径为1,圆心C在直线上，其坐标为整数,圆C截直线所得的弦长为(1) 求圆C的标准方程;(2)设动点P在直线上，过点P作圆的两条切线PA,PB切点分别为A,B,求四边形PACB面积的最小值.20. (本题满分12分）已知数列的前n项和，数列满足b1=1,(1) 求数列的通项公式;(2) 设，求数列的前n项和21. (本题满分12分）已知函数,a,b为常数,(1) 若曲线%在点(2, 0)处有相同的切线，求a,b的值;(2) 当且时，函数在上有最小值，求实数a的取值范围.22. (本题满分14分>已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F lF2 ,离心率,A为右顶点,K为右准线与x轴的交点，且.v(1) 求椭圆的标准方程设椭圆的上顶点为B ,问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C,D两点，且椭圆的左焦点F 1恰为的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.绵阳市高2019级第二次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAD ACCAB BC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{x|-1≤x<0}14．3 15．2 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）∵m=)sin (cos x x ωω，，n=)sin cos 32(cos x x ωωω-，， ∴∣m ∣=1sin cos 22=+x x ωω，m ·n=x x x x ωωωω22sin cos sin 32cos -+x x ωω2sin 32cos +=)2sin 232cos 21(2x x ωω+=)62sin(2πω+=x ，∴ 1)62sin(2)(++=πωx x f ．……………………………………………………4分由πωπ==22T ，解得ω=1．∴ 1)62sin(2)(++=πx x f ．∴此时πππk x 2262+=+(k ∈Z)，即ππk x +=6(k ∈Z)，即当x ∈{x|ππk x +=6，k ∈Z}时，f (x)有最大值3．…………………………7分 （Ⅱ）∵ f (B)=2，∴ 由（1）知21)62sin(2=++πB ，即21)62sin(=+πB ．于是6562ππ=+B ，解得3π=B ． ……………………………………………10分由36sin 21==∆B ac S ABC ，即 3623321=⨯⨯a ，解得a=8，由余弦定理得 b 2=a 2+c 2-2accosB 21382964⨯⨯⨯-+==49，∴ b=7． ………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）令113->-=x y ，则)1(log 3+=y x ，∴ 1)1(log )(31->+=-x x x f ，．∵2)17(1+=-a f ，即218log 3+=a ，解得 2log 3=a ． ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵n a f n 31log )1(=--， ∴ n a n 33log log =，即n a n =． 则数列{a n }的前n 项和2)1(+=n n S n ， 要使n n n S a ⋅-2λ≤0对任意∈n N*恒成立， 即使λ≤)1(21+⋅-n n 对任意∈n N*恒成立． 又数列)1(21+⋅=-n b n n 为单调递增数列，∴ n b 的最小值为21=b ，∴ λ≤2，即λ的最大值为2． ………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设圆心C 的坐标为(2a ，3a)，a ∈Z ，则由题意可知：1)515()31|992|(2222=+++-a a ， 解得 a=1．∴所求圆C 的标准方程为：(x-2)2+(y-3)2=1． ……………………………4分 （Ⅱ）因CA ⊥PA ，CB ⊥PB ，|PA|=|PB|，|AC|=1， 故S 四边形PACB =2S △PAC =|AC|·|PA|=|PA|=1||2-PC ． 显然当PC ⊥l 0时，|PC|取得最小值， ∴ |PC|min =2232|232|=--． 此时214129||min =-=PA ． 即四边形PACB 面积的最小值为214． ……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由n n S n 42+=，当1=n 时，511==S a ；当n ≥2时，32)1(4)1(4221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ．∴当∈n N*时，a n =2n+3． ……………………………………………………3分又11211=+=+b b b n n ，，即)1(211+=++n n b b ，可得2111=+++n n b b ， ∴数列{b n +1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴1222211-==⨯=+-n n n n n b b 即，． …………………………………………6分 （Ⅱ）由（1）得n n n c 2⋅=．n n n T 2232221321⋅++⨯+⨯+⨯= ， 13222)1(22212+⋅+⋅-++⨯+⨯=n n n n n T ，由132222222+⋅-++++=-n n n n n T T ，得111222221)21(2+++⋅--=⋅---=-n n n n n n n T ，∴ 22)1(1+⋅-=+n n n T ． ……………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由44)(+-='x x g ，∴ 切线的斜率4424-=+⨯-=k ． 又b ax x x f +-='43)(2，所以切线斜率b a b a k +-=+⨯-⨯=81224232． 由题意知b a +-=-8124， 即168=-b a ． ①又点)02(，在)(x f 的图象上，即b a +-=440． ②由①②解得 83==b a ，．……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意知x a x a x x x x a ax x x h )14()22(42)34(2)(23223+++-=+--+-=， 由)1)](14(3[14)22(23)(2-+-=+++-='x a x a x a x x h ，得0)(='x h 的根为)21(131421<=<+=a x a x ． 当0)(>'x h 时，314+<a x 或1>x ，当0)(<'x h 时，1314<<+x a ，∴)(x h 在1=x 处取得极小值为a h 2)1(=．……………………………………8分由a x h 2)(=，即a x a x a x 2)14()22(23=+++-， 可得02422223=-++--a x ax x ax x ，即0)2()1()1(2)1()1(22222223=--=---=--+-a x x x a x x x a x x x ， ∴ x=1或a x 2=使得a x h 2)(=． ……………………………………………10分要使)(x h 在)31(2a a --，上有最小值， 则23112a a a -<<-≤，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<--<-≤，，，，22231313212a a a a a a a 解得a <-2≤-1．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）设焦点坐标为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，由22=e ，得c a 2=． ① 由题知 A(a ，0)，K(c a 2，0)，∴ 2AF =(c-a ，0)，=(ca 2-a ，0)，由2342-=⋅AK AF 得234)()(2-=-⋅-a ca a c ②由①、②解得2=a ，c=1，从而b 2=a 2-c 2=1，即b=1．∴ 椭圆方程为1222=+y x ．……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意，B(0，1)，F 1(-1，0)，于是直线F 1B 的斜率为11=B F k ．由于BF 1⊥CD ，令l ：y=-x+m ，代入x 2+2y 2=2整理，得 3x 2-4mx+2m 2-2=0．令C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+>-=∆.322340)3(8221212m x x m x x m ，，又BD C F ⋅1=(x 1+1，y 1)·(x 2，y 2-1)=x 1x 2+x 2+y 1y 2-y 1=x 1x 2+x 2+(m-x 1)(m-x 2)-(m-x 1)=2x 1x 2+m 2-m(x 1+x 2)-m+(x 1+x 2)=2x 1x 2 +(1-m)(x 1+x 2) +m 2-m ，由01=⋅BD C F ，代入x 1+x 2，x 1x 2得034)1(322222=-+⋅-+-⋅m m mm m ，整理得3m 2+m-4=0，解得m=1或34-． ……………………………………………………………11分当m=1时，直线l 恰过B 点，于是B 、C 、D 不构成三角形，故m=1舍去．当34-=m 的，满足Δ=8(3-m 2)>0．故所求的直线l 为：34--=x y ，即3x+3y+4=0．…………………………14分。
2019年绵阳市二诊数学文试题及答案
2019年绵阳市二诊数学文试题及答案一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分 1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合PQ 为 （ ）（A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2、复数212i i-+的虚部是（ ）（A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i3、已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49-4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )（A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β（C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=- （C ）()2sin()3f x x π=- （D ）()2sin()66f x x ππ=-7、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a(A) )2,(--∞(B) ),2[+∞- (C) ]2,2[-8、定义运算()()a ab a b b a b ⎧≤⊗=⎨>⎩，则函数1()(0)f x x x x =⊗>的图象大致为（ ） 9、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-⋅()0OBOC -=，则∆ABC 是（） （A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形（D ）以BC 为斜边的直角三角形10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}0123b,c ∈，，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )（A ）14 （B ）34 （C ）78 （D ）1516二、填空题：每小题5分，共25分11、已知数列{}n a 的前n 项和332n n S =-⨯，则n a = ．12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7， 那么从高三学生中抽取的人数应为 ．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，则θcos 等于 ．15、设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、m 同余，用符号(Mod )a b m =表示； 在6(Mod )b m =中，当bN m∈，且1m >时，b 的所有可取值为 ．三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅=且，AB BC 与的 夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值． 17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当60PCB ∠=︒时，求三棱锥A PCB -的体积．主视图 侧视图俯视图AB18、（本题满分12分）设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x f（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围. 19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 20、（本题满分13分） 设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若2n an n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若()222322nnn a n a a c =+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C二、填空题：11、132n --⨯（*n N ∈） 12、10 1314、4515、2,3,4 三、解答题： 16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θBC AB BC AB …………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++= …………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+==当即时最大最大值为分17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB PC ==， ∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵PA PB PC ==，60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形∵2AC CB == ， ∴2PA PBPC === ∴OA =PO =∴三棱锥A PCB -的体积13A PCB P ACB ABC V V S PO --∆==⋅11113232AC BC PO =⨯⋅⋅=⨯⨯=．………….12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=则,21t x -=.230≤<t,34732122122--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t a因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 则,21t x +=.210≤<t,34732122122+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--；当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--．∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩…………………6分 （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<，即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）．当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元． …………………12分 20、解：(Ⅰ)()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….4分 （Ⅱ）∵22na n n nb a n =⋅=⋅∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅2(12)12n -=-12n n +-⋅11222n n n ++=--⋅∴1(1)22n n S n +=-⋅+． …………………….13分（Ⅲ）()()()()()121122211.2121212221212322nn n n n n n n n n n n c ---====-+++++++⨯+则0112111111111.212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………13分 21、解：（Ⅰ）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------3分（Ⅱ）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------5分解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------7分 （Ⅲ）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，则切线方程是：))(34()3231(112112131x x x x x x x y -+-=+--，化简得：)232()34(2131121x x x x x y +-++-=，而过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=， 由于两切线是同一直线，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------11分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。
四川省绵阳市2019-2020学年高三第二次诊断性测试文科数学试题(解析版)
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122iz i i+==-．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15【答案】A 【解析】 【分析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ．【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．4.已知向量()1,2a =r ，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）B.52D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模．【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴2(1)b =-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要【解析】 分析】 说明命题1cos 23α=⇒sin α=和sin α=⇒1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则s i n α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6.已知()2,0M ，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A. 22195x y +=B. 22159x y -=C. ,? a c ==D. 22195x y -=【答案】A 【解析】 【分析】利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程． 【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6， ∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆， ∴3,2a c ==，b =∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b【得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m值是20【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游的参观的概率为（ ） A18B.14C. 38D.12【答案】B 【解析】 【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．9.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．.故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10.已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A. 220x y -+= B. 260x y +-= C. 220x y --= D. 260x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程．【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+，∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB rθ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CMk k =-=-，∴直线l 方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=． 故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用．11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1c o s 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，的∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. (][)1,23,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D 【解析】 【分析】由零点存在定理1(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a上是否只有一个零点，然后讨论(0)0f =和1()0f a=两种情形是否符合题意．【详解】（1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a--<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a --<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数， 作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a >==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意． （3）若1()0f a=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ．【点睛】本题考查函数零点分布问题．()f x 在闭区间[,]m n 上只有一个零点，首先由零点存在定理()()0f m f n <确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)m n 上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0f m =和()0f n =两种情形是否满足题意．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8. 【解析】 【分析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差．【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8= 故答案为：30.8【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 15.函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π.【解析】 【分析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点．【详解】由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3. 【解析】 【分析】不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ∆∆=，得2111422MF y MF y =⨯，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ．【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y y x x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ∆和MBF ∆有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B 的纵坐标，从而得三角形面积．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【解析】【分析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N=+∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）222n n b -=；（2）2241n n S n n =+--.【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ；（2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+⋅-=-. ∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n n n c a n -==-+.12n n S c c c =+++()123112512nn -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =代入可得23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值． 【详解】（1）ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅． 20.已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值. 【答案】（1）220x y --=；（2）1n =. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y 的二次方程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-可求得t ，只要满足>0∆即可；（2）由题意()11,M x y -，MN NB λ=，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=.220t ∆=->，解得t >t <由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.①∵AB 中点Q 的纵坐标是23-， ∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =. ∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线， 即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--，即121121y y y n x x x +=--， 解得()121121y x x n x y y -=++. 将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.②由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会． 21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >函数()f x在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减；（2）32ln 22-. 【解析】 【分析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0∆≤，第二类0a >且>0∆．（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-222211122ln x x x x x x -=-2211122ln x x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21x t x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值．【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+，则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当0a >⎧⎨∆>⎩，即a >由()'0f x >，得0x <<或x >由()'0f x <，得22a a x -+<<.∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）. 则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根，∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥，即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<， ∴()h t 在[)2,+∞上单调递减， ∴()()max 322ln 22h t h ==-.即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设21x t x =（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．（二）选考题：共10分。