微分形式及其应用

微分形式及其应用1 引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢比如 y x f +=2，602224+++=y y x x g ，它们之间就有关系602+=f g ，这很明显。

但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。

另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式()0221442////),(,22=++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂yx xyx x y g y f x g x f y x g f ，因此它们相关，互为函数关系。

对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。

比如),,(),,,(z y x g z y x f ，要想判定他们是否互为函数，就要判定()()y x g f ,,∂∂，()()z y g f ,,∂∂，()()x z g f ,,∂∂都为0才对。

有没有更好的表达方式呢有利用外微分（过一会再解释）44444444)44()22(2)22()22(2)2()2()602()602()602()(3333322242222422222422422242=∧-∧-∧+∧=∧+∧+∧+∧=+∧++∧=++∧+++∧=+∧++∧=+++∧++++∧=+++∧+=∧dy xydx dy dx x dy xydx dy dx x dx xydy dx dy x dy xydx dy dx x xydx dx x dy ydy dy x xdx dy x y dx dx dy dy dy x y dx xdx y x x d dy y y x d dx y y x x d dy y y x x d dx y y x x d y x d dg df好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。

da db db da ∧-=∧，0=∧da da这让我们想起了面积的定义。

对了！外积的意义就是面积。

我们重新理解一下（见图）如果将),(g f 作为两个变量，则组成空间。

),(g f 作为),(y x 的函数，当),(y x 改变时，),(g f 也随之改变。

当函数g f ,互不关联（不互为函数时），由于各自独立改变，当),(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 也形成一个小面积。

但是当函数g f ,互为关联（互为函数时），由于各自改变不独立，当),(y x 遍历一个非常小的方形区域)(dy dx ∧时，),(g f 仅在一个小线段上（或者在一个点，总之在低维的空间上）运动。

由于dg df ∧就代表面积元，因此为0.可见，在高维空间中，微分形式非常有用啊！2 微分形式我们看在二维空间上的一个线积分⎰+ldx xdy )32(l 是 ),0()),sin(),(cos(,:2πφ∈→→t t t t R R 定义的一段曲线（在这里是半圆弧线）。

可以很容易积分出来6))sin(3)(cos 2())cos(3)sin()cos(2(02-=-=+⎰⎰====πππdtt t t d t d t t t t t如果换一条曲线，会得到另一个值。

比如，如果l 是)1,1(),,(,:22-∈→→t t t t R R φ定义的一段抛物线，可得积分ffgy634)32(112+=+⎰=-=t t dt tdt如果不定义曲线l ，这个积分则不能得到具体的数值。

因此，可以认为这个积分⎰+ldx xdy )32(是曲线l 的函数，也就是说，给定一条曲线，它就能给出一个值。

我们称它为积分形式。

（只有形式，等待内容——曲线） 如果去掉积分号dx xdy 32+我们则称其为微分形式（只有形式，等待内容——曲线或1维的映射）。

给定一个映射，如))sin(),(cos(,:2t t t R R →→φ，我们就能计算这个微分dt t t t d t d t dx xdy ))sin(3)cos(2()cos(3)sin()cos(2)32(2*+-=+=+φ我们称映射将二维空间上的微分形式dx xdy 32+，拉回到1维空间上dt t t ))sin(3)cos(2(2+-。

微分形式是与坐标无关的。

也就是说，一个积分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其积分值是不变的。

同样，一个微分形式，不论如何改变坐标系，只要定义的曲线不变，其微分是不变的。

这个性质，满足了物理学描述客观性的愿望，因此物理规律（物理方程）用微分形式表达非常简单漂亮。

3 微分形式的外积我们看面积分⎰⎰∑+dxdy y x )43(，给定一个面，就可以计算这个积分。

但是这个表达式有一个缺憾，就是对于复杂表达，如⎰⎰∑++dy y x d y x )2()43(定义模糊。

我们看变换变量),(),(,:uv y v u x v u N M =+=→→φ时，这个表达式变为⎰⎰⎰⎰∑∑∂+∂++=+++dudv v u uv v u uv v u uv d v u d uv v u ),(),()4)(3()()()4)(3(，其中),(),(v u uv v u ∂+∂是变换的Jacobi 行列式。

因此我们将其表达为⎰⎰∑∧+dy dx y x )43(，规定对于任何表达式g f ,，都要满足df dg dg df ∧-=∧，0=∧df df 则变量改变就可以名正言顺地写为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∧∂+∂++=∧-∧++=∧+∧+∧+∧++=+∧+++=∧+++dvdu v u uv v u uv v u dv vdu udv du uv v u udv dv duv dv udv du duv du uv v u udv duv dv du uv v u uv d v u d uv v u ),(),()4)(3())(4)(3())(4)(3()())(4)(3()()()4)(3(刚好满足变量变换的关系。

这样我们类推地定义外积：我们知道一个微分形式（1-形式）ii dx ωω=描述了一个线形式。

可以推理，两个1-微分形式i i dx ωω=，ii dx θθ=可以构造出面形式（2-微分形式）。

j i i j j i j i j i dx dx dx dx ∧-=∧=∧=)(21θωθωθωθωτ如果两个1-微分形式外积为0，0≡∧θω 这两个微分形式相关，即存在某个函数f 使得θωf =4 外微分给定一个1-微分形式能否得到一个2-微分形式 可以通过外微分。

我们定义一个微分形式ω的外微分ωd ，与这个微分形式的闭合回路积分有关。

对于无穷小面元∑，有其边界组成的闭合回路∑∂⎰⎰⎰∑∂∑=ωωd具体地i j i x i i i i dx dx dx d dx d d j ∧∂=∧==ωωωω)(5 微分形式的应用1． 函数是常函数0≡df2． 函数极值点0=df表明自变量改变时，函数值不变。

比如302++=x x f ，0)12(=+=dx x df ，得到2/1-=x 。

如果将函数看成映射，在这一点的映射出现奇异，即这一点附近无穷小的邻域映射为一点。

3． 两个函数相关（这在引子中给出了）0≡∧dg df如果将函数看成映射，将自变量整个空间映射成一条线或点（低于2维的空间）。

3个函数相关0≡∧∧dh dg df其他以此类推。

4． 条件极值即在0=g 情况下计算f 的极值。

通常用Lagrange 乘子法，这里可以用微分形式表达式。

0=∧dg df在极值点附近区域映射为线。

比如在约束03=-+=y x g ，情况下计算22y x f +=的极值点。

因为dy dx y x dy dx ydy xdx dg df ∧-=+∧+=∧)(2)()22(所以30)(2=-+=-y x y x得到⎩⎨⎧==2/32/3y x ，与Lagrange 乘子法计算的一致，但是方程简单。

gg多个约束以此类推，如两个约束极值问题, 在0,0==h g 情况下计算f 的极值, 就可以按照下面方程给。

0=∧∧==dh dg df h g5． 计算偏导数问题在热力学中经常需要计算各种偏导数问题。

采用微分形式可以方便地计算。

热力学中只有两个自由参数。

利用PdV TdS dE -=等关系定义变量间关系。

将其外微分，得到dV dP dS dT ∧=∧ 那么热力学可以方便地给出热力学公式，比如dV dP dS dT ∧=∧，两边除以dV dT ∧可以得到dVdT dVdP dV dT dS dT ∧∧=∧∧ 可以得到VT T P V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 对任意一个等式，都可以改变自变量 如dV TP dS dE T -=1 外微分后dV TPd dE T d ∧-=∧1除以dP dE ∧可以得到E EP PEP V P T P E V E T P dP dE dV T P d P T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∧∧-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂1 三对换关系1=∧∧∧∧∧∧dPdT dT dV dT dV dV dP dV dP dP dT就是1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-TV P P V T P V T 求导换自变量 比如()()()()()()()()()PV P V V P V P P V P V V P V P TS T S T S E S E S dV dP dT dS dV dP dE dS dT dS dE dS E ∂∂∂∂∂∂∂∂=∧∧∧∧=∧∧=∂)/()()/()(方便得很6． 正交曲线坐标系的求导公式∑∑==ii i i ii i d h d ξωe e r∑∑=∧kk k ii id d ωωe e形式地写作∑∧=jij j i k d ωω，jj i i jiij h h d d k ,ξωω==∑∑=∧ikk k ii id d ωωe e可以特解∑=kikki d d ωωe e ，其齐次方程0=∧∑ii id e ω的解 i i i d ωλe =满足0=⋅+⋅i j j i d d e e e e 的解为 k kkiiki d d d e e ∑-=)(ωωωω根据微分关系记忆很容易∑∑=∧ikk k ii id d ωωe e k kkiiki d d d e e ∑-=)(ωωωω, 系数反对称化是0=⋅+⋅i j j i d d e e e e 的要求例如 球坐标系ϕθϕθd r rd dr d sin ˆˆˆ++=θrr ϕθωθωωϕθd r rd drr sin === θr r θθr θrr ˆ)sin (sin )(ˆ))sin (sin (ˆˆ)sin )()sin ((ˆ))((ˆˆ)sin )()sin ((ˆ)()(ˆsin ˆˆˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=θϕθϕθθϕθϕθϕϕϕθθθϕθθθϕϕθϕθθθϕθϕθrd d r d d r rd d dr d r d d r ddr d d r rd d rd d r d dr rd d rd ddr d d r dr d dr d r d rd dr d drrd d d d r rd dr dϕθϕθϕϕθϕθϕθϕθd d d d d d d d d cos ˆsin ˆˆcos ˆˆˆsin ˆˆˆθr r θθr--=+-=+=根据这个公式可以写出在球面坐标系下的各种梯度、旋度、散度等。