向量法求空间的距离和角
专题6 向量法求空间角与距离(课件)高考数学二轮复习(新高考地区专用)
=|cos 〈u,n〉|=
·
=
·
.
例1 [2023·河北沧州模拟]如图,在三棱锥P - ABC中,AB是△ABC外
接圆的直径,△PAC是边长为2的等边三角形,E,F分别是PC,PB的
中点,PB=AB,BC=4.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
答案:ABD
)
2.[2022·新高考Ⅰ卷 ]如 图,直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积为4 ,
△A1BC的面积为2 2.
(1)求A到平面A1BC的距离;
=2.
(1)证明:BD⊥EA.
(2)求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
题型三 (空间距离)点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过
点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P
到平面α的距离就是AP到直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=
(1)证明:A1C⊥AB1;
(2)若三棱锥B1 -
2 2
A1AC的体积为 ,求二面角A1
3
- B1C - A的大小.
题后师说
用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量,再利用两
个平面的夹角公式求解.
巩固训练2
[2023·河南安阳模拟]在多面体EF - ABCD中,平面EDCF⊥平面
ABCD,EDCF是面积为 3的矩形,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB
向量方法——求空间角和距离
§8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1. 斜线和平面所成的角(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). (2)斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 2. 二面角(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)在二面角α—l —β的棱上任取一点O ,在两半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角. 3. 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ=|cos 〈m 1,m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. (3)求二面角的大小1°如图①,AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉.2°如图②③,n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos 〈n 1,n 2〉或-cos 〈n 1,n 2〉.4. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d =|AB →·n ||n |.1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π2],二面角的范围是[0,π].( √ )(5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l 和α所成角为30°.( √ ) (6)若二面角α-a -β的两个半平面α、β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α-a -β的大小是π-θ.( × )2. 已知二面角α-l -β的大小是π3,m ,n 是异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m ,n 所成的角为 ( )A.2π3B.π3 C.π2 D.π6答案 B解析 ∵m ⊥α,n ⊥β,∴异面直线m ,n 所成的角的补角与二面角α-l -β互补. 又∵异面直线所成角的范围为(0,π2],∴m ,n 所成的角为π3.3. 在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量为n =(2,-2,1),已知点P (-1,3,2),则点P 到平面OAB 的距离d 等于 ( )A .4B .2C .3D .1 答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为 d =|OP →·n||n |=|-2-6+2|9=2,故选B.4. 若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的正弦值为_________. 答案41133解析 ∵n·a =-8-3+3=-8,|n |=16+1+1=32, |a |=4+9+9=22,∴cos 〈n ,a 〉=n·a |n|·|a |=-832×22=-41133.又l 与α所成角记为θ,即sin θ=|cos 〈n ,a 〉|=41133. 5. P 是二面角α-AB -β棱上的一点,分别在平面α、β上引射线PM 、PN ,如果∠BPM =∠BPN =45°,∠MPN =60°,那么二面角α-AB -β的大小为________. 答案 90°解析 不妨设PM =a ,PN =b ,如图, 作ME ⊥AB 于E ,NF ⊥AB 于F , ∵∠EPM =∠FPN =45°, ∴PE =22a ,PF =22b , ∴EM →·FN →=(PM →-PE →)·(PN →-PF →) =PM →·PN →-PM →·PF →-PE →·PN →+PE →·PF → =ab cos 60°-a ×22b cos 45°-22ab cos 45°+22a ×22b =ab 2-ab 2-ab 2+ab2=0, ∴EM →⊥FN →,∴二面角α-AB -β的大小为90°.题型一 求异面直线所成的角例1 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010 C.21510 D.31010思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系,利用向量BC 1→、AE →所成的角来求. 答案 B解析 建立坐标系如图,则A (1,0,0),E (0,2,1),B (1,2,0),C 1(0,2,2).BC 1→=(-1,0,2),AE →=(-1,2,1), cos 〈BC 1→,AE →〉=BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|=3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎤0,π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],所以要注意二者的区别与联系,应有cos θ=|cos α|.已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为正方形,AA 1=2AB ,E 为AA 1的中点,则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010 B.15 C.31010 D.35答案 C解析 如图,以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 设AA 1=2AB =2,则B (1,1,0),E (1,0,1),C (0,1,0),D 1(0,0,2), ∴BE →=(0,-1,1), CD 1→=(0,-1,2),∴cos 〈BE →,CD 1→〉=1+22·5=31010.题型二 求直线与平面所成的角例2 如图,已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥CD ,AC ⊥BD ,垂足为H ,PH 是四棱锥的高,E 为AD 的中点. (1)证明:PE ⊥BC ;(2)若∠APB =∠ADB =60°,求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值.思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,本题可通过建立坐标系,利用待定系数法求出平面PEH 的法向量.(1)证明 以H 为原点,HA ,HB ,HP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,线段HA 的长为单位长度,建立空间直角坐标系(如图), 则A (1,0,0),B (0,1,0).设C (m,0,0),P (0,0,n ) (m <0,n >0),则D (0,m,0),E ⎝⎛⎭⎫12,m 2,0. 可得PE →=⎝⎛⎭⎫12,m 2,-n ,BC →=(m ,-1,0).因为PE →·BC →=m 2-m 2+0=0,所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m =-33,n =1, 故C ⎝⎛⎭⎫-33,0,0,D ⎝⎛⎭⎫0,-33,0,E ⎝⎛⎭⎫12,-36,0, P (0,0,1).设n =(x ,y ,z )为平面PEH 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HE →=0,n ·HP →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧12x -36y =0,z =0.因此可以取n =(1,3,0).又P A →=(1,0,-1), 所以|cos 〈P A →,n 〉|=24.所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 思维升华 利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.(2013·湖南)如图,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,AC ⊥BD ,BC =1,AD =AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D ;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值. 方法一 (1)证明如图,因为BB 1⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ,所以AC ⊥平面BB 1D , 而B 1D ⊂平面BB 1D , 所以AC ⊥B 1D .(2)解 因为B 1C 1∥AD ,所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ).如图,连接A 1D ,因为棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD =90°, 所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1,从而A 1B 1⊥AD 1. 又AD =AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形. 于是A 1D ⊥AD 1,故AD 1⊥平面A 1B 1D ,于是AD 1⊥B 1D . 由(1)知,AC ⊥B 1D ,所以B 1D ⊥平面ACD 1. 故∠ADB 1=90°-θ,在直角梯形ABCD 中, 因为AC ⊥BD ,所以∠BAC =∠ADB . 从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ,故AB DA =BC AB ,即AB =DA ·BC = 3.连接AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 21+BD 2=BB 21+AB 2+AD 2=21,即B 1D =21.在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=AD B 1D =321=217, 即cos(90°-θ)=217.从而sin θ=217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.方法二 (1)证明 易知,AB ,AD ,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设AB =t ,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B (t,0,0),B 1(t,0,3),C (t,1,0),C 1(t,1,3),D (0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D →=(-t,3,-3),AC →=(t,1,0),BD →=(-t,3,0).因为AC ⊥BD ,所以AC →·BD →=-t 2+3+0=0, 解得t =3或t =-3(舍去).于是B 1D →=(-3,3,-3),AC →=(3,1,0), 因为AC →·B 1D →=-3+3+0=0, 所以AC →⊥B 1D →,即AC ⊥B 1D .(2)解 由(1)知,AD 1→=(0,3,3),AC →=(3,1,0), B 1C 1→=(0,1,0).设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →=0,n ·AD 1→=0,即⎩⎨⎧3x +y =0,3y +3z =0,令x =1,则n =(1,-3,3). 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos 〈n ,B 1C 1→〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|=37=217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 题型三 求二面角例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E分别是AB ,BB 1的中点,AA 1=AC =CB =22AB . (1)证明:BC 1∥平面A 1CD ; (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值.思维启迪 根据题意知∠ACB =90°,故CA 、CB 、CC 1两两垂直,可以C 为原点建立空间直角坐标系,利用向量求二面角.(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点,连接DF ,则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC =CB =22AB 得,AC ⊥BC . 以C 为坐标原点,CA →的方向为x 轴正方向,CB →的方向为y 轴正方向,CC 1→的方向为z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 设CA =2,则D (1,1,0),E (0,2,1),A 1(2,0,2), CD →=(1,1,0),CE →=(0,2,1),CA 1→=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →=0,n ·CA 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0.可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →=0,m ·CA 1→=0.可取m =(2,1,-2).从而cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=33,故sin 〈n ,m 〉=63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63. 思维升华 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.如图,在圆锥PO 中,已知PO =2,⊙O 的直径AB =2,C 是AB 的中点,D 为AC 的中点. (1)证明:平面POD ⊥平面P AC ; (2)求二面角B -P A -C 的余弦值. (1)证明如图,以O 为坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),D (-12,12,0).设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面POD 的一个法向量, 则由n 1·OD →=0,n 1·OP →=0, 得⎩⎪⎨⎪⎧-12x 1+12y 1=0,2z 1=0.所以z 1=0,x 1=y 1,取y 1=1,得n 1=(1,1,0). 设n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面P AC 的一个法向量, 则由n 2·P A →=0,n 2·PC →=0,得⎩⎨⎧-x 2-2z 2=0,y 2-2z 2=0.所以x 2=-2z 2,y 2=2z 2. 取z 2=1,得n 2=(-2,2,1). 因为n 1·n 2=(1,1,0)·(-2,2,1)=0, 所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面P AC . (2)解 因为y 轴⊥平面P AB ,所以平面P AB 的一个法向量为n 3=(0,1,0).由(1)知,平面P AC 的一个法向量为n 2=(-2,2,1). 设向量n 2和n 3的夹角为θ, 则cos θ=n 2·n 3|n 2|·|n 3|=25=105.由图可知,二面角B -P A -C 的平面角为锐角, 所以二面角B -P A -C 的余弦值为105. 题型四 求空间距离例4 已知正方形ABCD 的边长为4,CG ⊥平面ABCD ,CG =2,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则点C 到平面GEF 的距离为________.思维启迪 所求距离可以看作CG 在平面GEF 的法向量的投影. 答案61111解析 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,则CG →=(0,0,2),由题意易得平面GEF 的一个法向量为n =(1,1,3), 所以点C 到平面GEF 的距离为d =|n ·CG →||n |=61111.思维升华 求点面距一般有以下三种方法:①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法;③向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.(2012·大纲全国改编)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为正方形,AB =2,CC 1=22,E 为CC 1的中点,则点A 到平面BED 的距离为 ( ) A .2 B. 3 C. 2 D .1 答案 D解析 以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图),则D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),C 1(0,2,22),E (0,2,2). 设n =(x ,y ,z )是平面BDE 的法向量. 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →=2x +2y =0n ·DE →=2y +2z =0.取y =1,则n =(-1,1,-2)为平面BDE 的一个法向量. 又DA →=(2,0,0),∴点A 到平面BED 的距离是 d =|n ·DA →||n |=|-1×2+0+0|(-1)2+12+(-2)2=1.利用空间向量求角典例:(12分)(2013·江西)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G为PD 的中点,△DAB ≌△DCB ,EA =EB =AB =1,P A =32,连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证:AD ⊥平面CFG ;(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值. 思维启迪 (1)可利用判定定理证明线面垂直;(2)利用AD 、AP 、AB 两两垂直建立空间直角坐标系,求两个平面的法向量,利用向量夹角求两个平面BCP 、DCP 夹角的余弦值. 规范解答(1)证明 在△ABD 中,因为E 为BD 的中点, 所以EA =EB =ED =AB =1,故∠BAD =π2,∠ABE =∠AEB =π3.因为△DAB ≌△DCB ,所以△EAB ≌△ECB , 从而有∠FED =∠BEC =∠AEB =π3,所以∠FED =∠FEA .[2分]故EF ⊥AD ,AF =FD ,又因为PG =GD ,所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ,[4分] 所以GF ⊥AD , 故AD ⊥平面CFG .[6分](2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,0,D (0,3,0),P ⎝⎛⎭⎫0,0,32,故BC →=⎝⎛⎭⎫12,32,0,CP →=⎝⎛⎭⎫-32,-32,32,CD →=⎝⎛⎭⎫-32,32,0.[8分]设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →=0,n 1·BC →=0,即⎩⎨⎧-32x 1-32y 1+32z 1=012x 1+32y 1=0令y 1=-3,则x 1=3,z 1=2,n 1=(3,-3,2).[9分] 同理求得面DCP 的法向量为n 2=(1,3,2),[10分] 从而平面BCP 与平面DCP 的夹角θ的余弦值为 cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=44×22=24.[12分]利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标.第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角.第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点,几乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用.(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴,导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时,要注意根据角的概念和图形特征进行转化,否则易错.方法与技巧1.用向量来求空间角,各类角都可以转化为向量的夹角来计算.2.求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的平面的斜线段. 失误与防范1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定 义、范围不同.2.求点到平面的距离,有时利用等体积法求解可能更方便.3.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1如图所示,则直线B 1D 和CD 1所成的角为( )A .60°B .45°C .30°D .90°答案 D解析 以A 为原点,AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体边长为1,则射线CD 1、B 1D 的方向向量分别是CD 1→=(-1,0,1),B 1D →=(-1,1,-1),cos 〈CD 1→,B 1D →〉=1+0-12×3=0,∴直线B 1D 和CD 1所成的角为90°.2. 如图,四棱锥S -ABCD 的底面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下列结论中不正确的是( )A .AC ⊥SB B .AB ∥平面SCDC .SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D .AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D解析 ∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD . 又∵SD ⊥底面ABCD ,∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD =D ,∴AC ⊥平面SDB ,从而AC ⊥SB . 故A 正确;易知B 正确;设AC 与DB 交于O 点,连接SO .则SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ,SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO , 又OA =OC ,SA =SC ,∴∠ASO =∠CSO . 故C 正确;由排除法可知选D.3. (2013·山东)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 如图所示:S ABC =12×3×3×sin π3=334.∴111ABC A B C V -=S ABC ×OP =334×OP =94,∴OP = 3.又OA =32×3×23=1, ∴tan ∠OAP =OP OA =3,又0<∠OAP <π2,∴∠OAP =π3.4. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22 答案 B解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1, 则A 1(0,0,1),E ⎝⎛⎭⎫1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1),A 1E →=⎝⎛⎭⎫1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧y -z =0,1-12z =0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧y =2,z =2.∴n 1=(1,2,2).∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1),∴cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23.即所成的锐二面角的余弦值为23.5. 在四面体P -ABC 中,P A ,PB ,PC 两两垂直,设P A =PB =PC =a ,则点P 到平面ABC的距离为( )A.63 B.33a C.a3D.6a 答案 B 解析根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ,则P (0,0,0),A (a,0,0),B (0,a,0),C (0,0,a ).过点P 作PH ⊥平面ABC ,交平面ABC 于点H ,则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离. ∵P A =PB =PC ,∴H 为△ABC 的外心. 又∵△ABC 为正三角形,∴H 为△ABC 的重心, 可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3,a 3,a 3. ∴PH =⎝⎛⎭⎫a 3-02+⎝⎛⎭⎫a 3-02+⎝⎛⎭⎫a 3-02=33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 二、填空题6. 已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为________. 答案 π4或3π4解析 cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |=22,∴〈m ,n 〉=π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或3π4.7. 如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点,则直线EF 和 BC 1所成的角是________. 答案 60°解析 以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系.设AB =BC =AA 1=2,则C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),则EF →=(0,-1,1),BC 1→=(2,0,2), ∴EF →·BC 1→=2, ∴cos 〈EF →,BC 1→〉=22×22=12,∴EF 和BC 1所成的角为60°.8. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 分别为BB 1、CD 的中点,则点F 到平面A 1D 1E的距离为________. 答案3510解析 以A 为坐标原点,AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则A 1(0,0,1),E (1,0,12),F (12,1,0),D 1(0,1,1).∴A 1E →=(1,0,-12),A 1D 1→=(0,1,0).设平面A 1D 1E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E →=0,n ·A 1D 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -12z =0,y =0.令z =2,则x =1.∴n =(1,0,2). 又A 1F →=(12,1,-1),∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为 d =|A 1F →·n ||n |=|12-2|5=3510.三、解答题9. 如图,四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,P A 与平面ABD所成的角为60°,在四边形ABCD 中,∠ADC =∠DAB =90°, AB =4,CD =1,AD =2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B ,P 的坐标; (2)求异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值. 解 (1)建立如图空间直角坐标系,∵∠ADC =∠DAB =90°,AB =4,CD =1,AD =2, ∴A (2,0,0),C (0,1,0),B (2,4,0).由PD ⊥平面ABCD ,得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角, ∴∠P AD =60°.在Rt △P AD 中,由AD =2, 得PD =23,∴P (0,0,23).(2)∵P A →=(2,0,-23),BC →=(-2,-3,0), ∴cos 〈P A →,BC →〉 =2×(-2)+0×(-3)+(-23)×0413=-1313,∴异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值为1313.10.(2013·天津)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,AD =CD =1,AA 1=AB =2,E 为棱 AA 1的中点. (1)证明:B 1C 1⊥CE ;(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值;(3)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26,求线段AM 的长.方法一 如图,以点A 为原点,以AD ,AA 1,AB 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,依题意得A (0,0,0),B (0,0,2),C (1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E (0,1,0). (1)证明 易得B 1C 1→=(1,0,-1),CE →=(-1,1,-1),于是B 1C 1→·CE →=0,所以B 1C 1⊥CE . (2)解 B 1C →=(1,-2,-1). 设平面B 1CE 的法向量m =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →=0,m ·CE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -2y -z =0,-x +y -z =0.消去x ,得y +2z =0,不妨令z =1,可得一个法向量为m =(-3,-2,1).由(1)知,B 1C 1⊥CE ,又CC 1⊥B 1C 1,可得B 1C 1⊥平面CEC 1,故B 1C 1→=(1,0,-1)为平面CEC 1的一个法向量.于是cos 〈m ,B 1C 1→〉=m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|=-414×2=-277,从而sin 〈m ,B 1C 1→〉=217,所以二面角B 1-CE -C 1的正弦值为217. (3)解 AE →=(0,1,0),EC 1→=(1,1,1),设EM →=λEC 1→=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM →=AE →+EM →=(λ,λ+1,λ).可取AB →=(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角,则 sin θ=|cos 〈AM →,AB →〉|=|AM →·AB →||AM →|·|AB →|=2λλ2+(λ+1)2+λ2×2=λ3λ2+2λ+1, 于是λ3λ2+2λ+1=26,解得λ=13(负值舍去),所以AM = 2.方法二 (1)证明 因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E =5,B 1C 1=2,EC 1=3,从而B 1E 2=B 1C 21+EC 21,所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E ,又CC 1,C 1E ⊂平面CC 1E ,CC 1∩C 1E =C 1, 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ,又CE ⊂平面CC 1E ,故B 1C 1⊥CE .(2)解 过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ,连接C 1G .由(1)知,B 1C 1⊥CE ,故CE ⊥平面B 1C 1G ,得CE ⊥C 1G ,所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE -C 1的平面角.在△CC 1E 中,由CE =C 1E =3,CC 1=2,可得C 1G =263.在Rt △B 1C 1G 中,B 1G =423,所以sin ∠B 1GC 1=217, 即二面角B 1-CE -C 1的正弦值为217. (3)解 连接D 1E ,过点M 作MH ⊥ED 1于点H ,可得MH ⊥平面ADD 1A 1,连接AH ,AM ,则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角. 设AM =x ,从而在Rt △AHM 中,有 MH =26x ,AH =346x . 在Rt △C 1D 1E 中,C 1D 1=1,ED 1=2, 得EH =2MH =13x .在△AEH 中,∠AEH =135°,AE =1, 由AH 2=AE 2+EH 2-2AE ·EH cos 135°, 得1718x 2=1+19x 2+23x , 整理得5x 2-22x -6=0,解得x =2(负值舍去). 所以线段AM 的长为 2.B 组 专项能力提升 (时间:30分钟)1. 过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ,若AB =P A ,则平面ABP 与平面CDP所成的二面角为( )A .30°B .45°C .60°D .90° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =P A =1,知A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),C (1,1,0),P (0,0,1) 由题意得,AD ⊥平面ABP ,设E 为PD 的中点, 连接AE ,则AE ⊥PD ,又∵CD ⊥平面P AD ,∴AE ⊥CD , 又PD ∩CD =D ,∴AE ⊥平面CDP .∴AD →=(0,1,0),AE →=(0,12,12)分别是平面ABP 、平面CDP 的法向量,而〈AD →,AE →〉=45°,∴平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为45°.2. 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中点,E ,F 分别是CC 1,AD 的中点,那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________. 答案155解析 以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,∴F (1,0,0),D 1(0,0,2),O (1,1,0),E (0,2,1), ∴FD 1→=(-1,0,2), OE →=(-1,1,1),∴cos 〈FD 1→,OE →〉=1+25·3=155.3. 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是________.答案233解析 如图建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),A 1(2,0,2),D (0,0,0),B (2,2,0), ∴D 1A 1→=(2,0,0),DA 1→=(2,0,2),DB →=(2,2,0),设平面A 1BD 的一个法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→=2x +2z =0n ·DB →=2x +2y =0.令x =1,则n =(1,-1,-1),∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d =|D 1A 1→·n ||n |=23=233.4. 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =2,点E 在棱AB 上移动. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角D 1-EC -D 的大小为π4.解 以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设AE =x ,则D (0,0,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x,0),A (1,0,0),C (0,2,0).(1)∵DA 1→=(1,0,1),D 1E →=(1,x ,-1),∴DA 1→·D 1E →=(1,0,1)·(1,x ,-1)=0,故DA 1→⊥D 1E →.(2)因为E 为AB 的中点,则E (1,1,0),从而AC →=(-1,2,0),D 1E →=(1,1,-1),AD 1→=(-1,0,1),设平面ACD 1的法向量为n =(a,1,c ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →=0,n ·AD 1→=0,也即⎩⎪⎨⎪⎧ -a +2=0,-a +c =0,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,c =2,从而n =(2,1,2),所以点E 到平面ACD 1的距离为h =|D 1E →·n ||n |=2+1-23=13.(3)设平面CD 1E 的法向量m =(m,1,n ),从而CE →=(1,x -2,0),D 1C →=(0,2,-1),DD 1→=(0,0,1),由⎩⎪⎨⎪⎧m ·D 1C →=0,m ·CE →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2-n =0,m +x -2=0,得m =(2-x,1,2),依题意得:cos π4=|m ·DD 1→||m ||DD 1→|=22,∴2(x -2)2+5=22,解得x 1=2+3(不合题意,舍去),x 2=2-3,∴AE =2-3时,二面角D 1-EC -D 的大小为π4.5. (2013·北京)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ; (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BD BC 1的值. (1)证明 在正方形AA 1C 1C 中,A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ,∴AA 1⊥平面ABC .(2)解在△ABC 中,AC =4,AB =3,BC =5,∴BC 2=AC 2+AB 2,AB ⊥AC∴以A 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4),B (0,3,0),C 1(4,0,4),B 1(0,3,4),A 1C 1→=(4,0,0),A 1B →=(0,3,-4),B 1C 1→=(4,-3,0),BB 1→=(0,0,4).设平面A 1BC 1的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面B 1BC 1的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).∴⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1→·n 1=0,A 1B →·n 1=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 1=03y 1-4z 1=0, ∴取向量n 1=(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧ B 1C 1→·n 2=0,BB 1→·n 2=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-3y 2=0,4z 2=0. 取向量n 2=(3,4,0)∴cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=165×5=1625. 由题意知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)证明 设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD →=λBC 1→.∴(x ,y -3,z )=λ(4,-3,4),解得x =4λ,y =3-3λ,z =4λ.∴AD →=(4λ,3-3λ,4λ)又AD⊥A1B,∴0+3(3-3λ)-16λ=0则λ=925,因此BDBC1=925.。
向量法求空间距离和角
—的平而角“a®牆用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解 法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向 量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,木专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角.(1)求异而直线所成的角.=arcsinli I/II H I法一、在Q 内N 丄/,在0内b 丄/,其方向如图,则二面角设方、乙分别为异而直线a 、b 的方向向量, a 则两异而直线所成的角 a — arccos 1 而Q 所成的角方向向量,;;是平而&的法 (3)求二而法二、设入云是二而角a-/-0的两个半平而的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角a-1-p的平而角a =arccos彳"22求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异而直线间的距离、线而距离;而而距离都可化为点而距离来求.(1)求点而距离法一、设;;是平面Q的法向量,在a内取一点B,则A■ ■■I“・•到&的距离d =1 AB II cos 0\=空叫\n\法二、设AO丄a于O,利用AO丄a和点0在&内的向量表示,可确定点O的位置,从而求出I走1・(2)求异而直线的距离二 ___ ?—法一、找平而0使比0且砂0,则异而直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离,又转化为点A到平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、b分别为异面直线a、b的方向向量,求;;(万丄方,齐丄乙),则・・D于点而距异而直线a、b的距离心而llcos弘空叫(此方法移植丨川(I )求异而直线DE 与FG 所成的角;rh 向量法求空间距离和角例1.如图,在棱长为2的正方体ABCD-gCQ 中,分别是棱4久心的中点•(II )求g 和ffiEFBD 所成的角;(III)求Q 到面EFBD 的距离解:(I )记异而直线DE 与g 所成的角为—则&等于向量码运的夹角或其补角,■ D E.FC 、|cos a =1—:_ I \DE\.\FC {\(II)缈初万冷万石)•(两霸頁艸坐标系D-小, —I 一 ・• II DE bl FC [丨呢= (1,0,2),面= (220)设面E 単翌進|=二・・・a 回風X^s£=("l ) A /5V5 5— _v 、 DE ・H = 0<DB • /z = 0得 7 = (-221)又 BC ; = (-2,0,2)记g 和而EFBD 所成的角为&则 sin 0 =1 cos 〈BC], n) 1=1 ."9 ? 1=I BC { II7? I 2 ・•・Bq 和面EFBD 所成的角为冬.4(III)点目到ffiEFBD 的距离d 等于向量丽;在而EFBD 的法向量上的投影的绝对值,BiTl 33.完成这3道小题后, 总结:例2・己知A BCD 是边长为1的正方形,四边形DA ・ q=0DC ・ q = 0向量法求空间距离和角设计说明:1・作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系 的多而体 正方体为载体,来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后,可让学生进一步求这两条异而直线的距离,并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线的作法不作要求).角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况),都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会,它程序化,不需技巧.AA'B'B 是矩形,平丄平面A3CD 。
高考数学复习考点知识讲解课件40 向量方法求空间角 空间距离
=
|cos
〈
→ AB1
,
→ EB1
〉
|
=
-12,
23,-1·0,
2×
3 2
23,0=
46.故选
A.
— 13 —
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4.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( C )
A.45°
B.135°
C.45°或 135° D.90°
= 2,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( B )
A.
2 3
B.
2 4
C.
14 4
D.-
2 4
— 19 —
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[解析] 取 BD 的中点 O,连接 AO,OC,由 CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2,
得 AO⊥BD,CO⊥BD,且 OC= 3,AO=1.在△AOC 中,AC2=AO2+OC2,故 AO⊥OC,
方向向量为 u,平面 α 的法向量为 n,则 sinθ=|cos u,n |=|uu|·|nn|= |u||n| .
— 4—
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3.平面与平面的夹角 如图,平面 α 与平面 β 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 90°的 二面角称为平面 α 与平面 β 的夹角.
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利用向量求线面角的 2 种方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的 夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取 其余角就是斜线与平面所成的角.
8.8_立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离
3.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 的一条斜线段,n 为平面 的 法向量,则 B 到平面 的距离 d=
AB n n
基础自测 1.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 a=(1,0,1), b=(0,1,1), 那么,这条斜线与平面所成的角是( D ) A.90° B.30° C.45° D.60° 1 1 解析 ∵cos〈a,b〉= = , 2· 2 2
变式训练 1 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点.1求证:EF∥平面 ACD1; 2求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值; 3在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P—AC—B 的大小为 30° ?若存在,求出 BP 的长,若不存在,请说明理由.
思维启迪: 建立空间直角坐标系, 求出各点及向量的坐标,
求出 AB 与 EG 夹角的余弦值的绝对值即可. 1
解 如图所示,建立空间直角坐标系,坐标原点为 C, 设 CA=2a,则 A2a,0,0,B0,2a,0,D0,0, 1 , A12a , 0 , 2,Ea , a , 1 , G(
2 在 Rt△D1DE1 中,D1E1= DE2+DD1 1
= AE2+AD2+DD2= 12+32+22= 14. 1 1 在 Rt△D1DF 中,FD1= FD2+DD2 1
2 = CF2+CD2+DD1= 22+42+22= 24.
在△E1FD1 中,由余弦定理得: D1E2+FD2-E1F2 21 1 1 cos∠E1D1F= = . 14 2×D1E1×FD1 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14
探究提高
课件2:8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |=| AB || cos〈AB,n〉| =
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距 离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小 知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个 热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度 命题角度1:计算二面角的大小 【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成 的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3,m, 3m).
用空间向量研究距离,夹角问题公式
用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究,空间向量提供了一种有效的方法。
空间向量是指具有方向和大小的矢量,可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。
首先,我们来讨论两个点之间的距离问题。
在空间向量中,两个点的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来确定。
欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直线距离。
如果我们将两个点表示为向量A和向量B,那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算:
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中,Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标,Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。
通过这个公式,我们可以计算出两个向量之间的距离。
接下来,让我们来看一下关于夹角问题的公式。
在空间向量中,可以使用两个向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。
如果我们将两个向量表示为向量A和向量B,它们的夹角可以通过以下公式计算:
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中,向量A·向量B表示两个向量的点积,|向量A|和|向量B|分别表示向量A 和向量B的模长。
通过这个公式,我们可以确定两个向量之间的夹角。
通过使用上述的距离和夹角问题的公式,我们可以将空间向量用于研究并解决各种几何和物理问题。
这些公式能够提供详细而完整的信息,帮助我们深入了解空间中不同物体之间的距离和夹角关系。
无论是在几何学、物理学还是其他相关领域,空间向量的研究都具有重要的应用价值。
高中数学优质课件【立体几何中的向量方法——求空间角与距离】
面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.
1 4
解析:设等边三角形的边长为 2.取 BC 的
中点 O,连接 OA,OD.因为等边三角形 ABC 和
BCD 所在平面互相垂直,所以 OA,OC,OD 两
两垂直,以 O 为坐标原点,OD,OC,OA 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系.
则 A(0,0, 3),B(0,-1,0),C(0,1,0),D( 3,0,0), 所以A→B=(0,-1,- 3),C→D=( 3,-1,0), 所以 cos〈A→B,C→D〉=|AA→→BB|·|CC→→DD|=2×1 2=14, 所以异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为14.
1 2 3 45
4.在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,
-2,1),已知点 P(-1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
A.4
B.2
C.3
D.1
B 解析:P 点到平面 OAB 的距离为 d=|O→|Pn·|n|=|-2-96+2|=2.
12345
B1(1,1, 3),所以A→D1=(-1,0, 3),D→B1=(1,1, 3).设异面直线
AD1 与 DB1 所成的角为 θ,
所以 cos θ=|AA→→DD11|·|DD→→BB11|=2×2
5=5 5.Fra bibliotek所以异面直线
AD1
与
DB1
所成角的余弦值为
5 5.
2.有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,则异
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
向量法求解空间距离与空间角
向量法求解空间距离与空间角要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。
一、 空间向量与空间距离由向量的数量积||||cos AB b AB b θ⋅=⋅可知,向量AB 在向量b (直线l 的方向向量)方向上的射影(投影)是||cos ||AB b AB b θ⋅=,也就是说向量AB 在向量b (直线l 的方向向量)方向上的射影(投影)是线段AB 在直线l 上射影线段的长。
1、 点面距离公式:平面α的法向量为n ,P 是平面α外一点,点M 为平面α内任一点,则P 到平面α的距离d 就是MP在向量n 方向上射影的绝对值,即||||n MP d n ⋅=。
2、 线面距离公式: 平面α∥直线l ,平面α的法向量为n ,P ∈直线l ,点M 为平面α内一点,则直线l 与平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值,即||||n MP d n ⋅=。
3、 面面距离公式:平面α∥平面β,平面α的法向量为n,点M 为平面α内一点,点P 为β平面β内一点,则平面α与平面β的距离d就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值,即||||n MP d n ⋅=。
4、向量法求解距离问题的步骤: ① 建立适当的空间直角坐标系;② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来; ③ 利用向量的相应距离公式求解。
5、典例评析: 例1、(03广东)已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=1,AA 1=2,点E 是CC 1的中点,F 是BD 1中点。
(1)证明:EF 是BD 1与CC 1的公垂线; (2)求点D 1到面BDE 的距离。
二、 空间向量与空间的角 1、 异面直线所成的角:异面直线a 、b 的方向向量分别为m 、n,其向量的夹角为θ,直线a 、b 的所成的角为α,(0,]2πα∈,则||cos |cos |||||m n m n αθ⋅== ,即||cos ||||m n arc m n α⋅=。
高中数学空间向量与立体几何立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角空间距离问题数学.doc
3.2.3 利用空间向量求空间角、空间距离问题1.空间角及向量求法(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )(2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.( )(3)若平面α∥β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( )答案 (1)× (2)√ (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为________.(2)(教材改编P 111A 组T 11)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是C 1C 的中点,O 是底面ABCD 的中点,P 是A 1B 1上的任意点,则直线BM 与OP 所成的角为________.(3)已知平面α的一个法向量为n =(-2,-2,1),点A (-1,3,0)在平面α内,则点P (-2,1,4)到平面α的距离为________.答案 (1)45°或135° (2)π2 (3)103解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2 ,则O (1,1,0),P (2,x,2),B (2,2,0),M (0,2,1),则OP→=(1,x -1,2),BM →=(-2,0,1).所以OP →·BM →=0,所以直线BM 与OP 所成角为π2. 探究1 利用空间向量求线线角例1 如图1,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值.[解] 由题设知,ABCD 是正方形,连接AC ,BD ,交于点O ,则AC ⊥BD .连接PQ ,则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知PQ ⊥平面ABCD ,故以O 为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2),则P(0,0,1),A(22,0,0),Q(0,0,-2),B(0,22,0),∴AQ→=(-22,0,-2),PB→=(0,22,-1).于是cos〈AQ→,PB→〉=AQ→·PB→|AQ→||PB→|=39,∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为3 9 .拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法:即通过平移其中一条(也可两条同时平移),使它们转化为两条相交直线,然后通过解三角形获解.(2)取定基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cos〈a,b〉=a·b|a||b|求向量a、b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a、b用一组基底表示出来,再求有关的量.(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系;②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.【跟踪训练1】如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB 的中点,且AC =BC =2,∠VDC =θ.当θ=π3时,求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值.解 由于AC =BC =2,D 是AB 的中点,所以C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,2,0),D (1,1,0).当θ=π3时,在Rt △VCD 中,CD =2,故有V (0,0,6).所以AC →=(-2,0,0),VD →=(1,1,-6).所以cos 〈AC →,VD →〉=AC →·VD→|AC →||VD →|=-22×22=-24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.探究2 利用空间向量求线面角例2 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a ,求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.[解] 建立如下图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (0,a,0),A 1(0,0, 2a ),C 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫-32a ,a2, 2a , 取A 1B 1的中点M ,则M ⎝⎛⎭⎪⎫0,a2,2a ,连接AM ,MC 1,有MC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32a ,0,0, AB →=(0,a,0),AA1→=(0,0,2a ).∴MC 1→·AB →=0,MC 1→·AA 1→=0, ∴MC 1→⊥AB →,MC1→⊥AA 1→, 即MC 1⊥AB ,MC 1⊥AA 1,又AB ∩AA 1=A , ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1 .∴∠C 1AM 是AC 1与侧面A 1ABB 1所成的角.由于AC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32a ,a 2,2a ,AM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2,2a ,∴AC 1→·AM →=0+a 24+2a 2=9a 24,|AC 1→|=3a 24+a 24+2a 2=3a , |AM →|=a 24+2a 2=32a , ∴cos 〈AC1→,AM →〉=9a 243a ×3a 2=32. ∴〈AC 1→,AM →〉=30°,即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. [解法探究] 此题有没有其他解法?解 与原解建立相同的空间直角坐标系,则AB →=(0,a,0),AA1→=(0,0,2a ),AC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32a ,a 2,2a . 设侧面ABB 1A 1的法向量n =(λ,x ,y ),∴n ·AB →=0且n ·AA1→=0.∴ax =0且2ay =0.∴x =y =0.故n =(λ,0,0).∵AC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-32a ,a 2,2a , ∴cos 〈AC 1→,n 〉=n ·AC1→|n ||AC 1→|=-λ2|λ|.∴|cos 〈AC 1→,n 〉|=12. ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.[条件探究] 此题中增加条件“E ,F ,G 为AB ,AA 1,A 1C 1的中点”,求B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值.解 建立如图所示的空间直角坐标系,则B 1(0,a ,2a ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2,0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,0,22a ,G ⎝⎛⎭⎪⎪⎫-34a ,a 4,2a , 于是B 1F →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,-a ,-22a ,EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,-a 2,22a , EG →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-34a ,-a 4,2a . 设平面GEF 的法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧n ·EF →=0,n ·EG →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-a 2y +22az =0,-34ax -a 4y +2az =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y =2z ,x =6z ,令z =1,得x =6,y =2,所以平面GEF 的一个法向量为n =(6,2,1), 所以|cos 〈B 1F →,n 〉|=|n ·B 1F →||n ||B 1F →|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2a -22a 9×a 2+a 22=33. 所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为33.拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).思路二:用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量AB →; (3)求平面的法向量n ;(4)计算:设线面角为θ,则sin θ=|n ·AB→||n ||AB→|.【跟踪训练2】 如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明:MN ∥平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.解 (1)证明:由已知得AM =23AD =2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ,TN =12BC =2.又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ,MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB .(2)取BC 的中点E ,连接AE .由AB =AC 得AE ⊥BC ,从而AE ⊥AD ,且AE =AB 2-BE 2=AB2-⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22= 5.以A 为坐标原点,AE →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知,P (0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52,1,2, PM →=(0,2,-4),PN →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,1,-2,AN →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52,1,2. 设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量,则⎩⎨⎧n ·PM →=0,n ·PN →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y -4z =0,52x +y -2z =0,可取n =(0,2,1).于是|cos 〈n ,AN →〉|=|n ·AN →||n ||AN →|=8525,则直线AN 与平面PMN所成角的正弦值为8525.探究3 利用空间向量求二面角例3 如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.[解] (1)证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,GF→的方向为x轴正方向,|GF→|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则DF=2,DG=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE -F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,3).连接AC,则EC→=(1,0,3),EB→=(0,4,0),AC→=(-3,-4,3),AB→=(-4,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则⎩⎨⎧n ·EC →=0,n ·EB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +3z =0,4y =0,所以可取n =(3,0,-3).设m 是平面ABCD 的法向量,则⎩⎨⎧m ·AC →=0,m ·AB →=0,同理可取m =(0,3,4).则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=-21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为-21919.拓展提升二面角的向量求法(1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角(如图①).(2)利用坐标法求二面角的步骤设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②.用坐标法的解题步骤如下:①建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. ②求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1,n 2.③计算:求n1与n2所成锐角θ,cosθ=|n1·n2| |n1||n2|.④定值:若二面角为锐角,则为θ;若二面角为钝角,则为π-θ.【跟踪训练3】若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC =2,求二面角A-PB-C的余弦值.解 解法一:如下图所示,取PB 的中点D ,连接CD .∵PC =BC =2,∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ,那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小.∵PD =1,PE =PA 2PB =12,∴DE =PD -PE =12,又∵AE =AP ·AB PB =32,CD =1,AC =1,AC →=AE →+ED →+DC →,且AE →⊥ED →,ED →⊥DC→,∴|AC →|2=|AE →|2+|ED →|2+|DC →|2+2|AE →|·|DC →|·cos(π-θ), 即1=34+14+1-2×32×1×cos θ,解得cos θ=33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33.解法二:由解法一可知,向量DC →与EA →的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小,如图,建立空间直角坐标系Cxyz ,则A (1,0,0),B (0,2,0),C (0,0,0),P (1,0,1),D 为PB的中点,D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12,22,12. ∵PE EB =AP 2AB 2=13,即E 分PB →的比为13,∴E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫34,24,34,EA →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14,-24,-34, DC →=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12,-22,-12,|EA →|=32,|DC →|=1,EA →·DC →=14×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-24×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-22+⎝ ⎛⎭⎪⎫-34×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=12.∴cos 〈EA →,DC →〉=EA →·DC →|EA →||DC →|=33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33.解法三:如右图所示,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,1,0),C (0,1,0),P (0,0,1),AP →=(0,0,1),AB →=(2,1,0),CB →=(2,0,0),CP →=(0,-1,1),设平面PAB 的法向量为m =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧m ·AP →=0,m ·AB →=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ,y ,z ·0,0,1=0,x ,y ,z ·2,1,0=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x ,z =0,令x =1,则m =(1,-2,0),设平面PBC 的法向量为n =(x ′,y ′,z ′),则⎩⎨⎧n ·CB →=0,n ·CP →=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′,y ′,z ′·2,0,0=0,x ′,y ′,z ′·0,-1,1=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′=0,y ′=z ′.令y ′=-1,则n =(0,-1,-1),∴cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |=33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.探究4 利用空间向量求距离例4 已知正方形ABCD 的边长为1,PD ⊥平面ABCD ,且PD =1,E ,F 分别为AB ,BC 的中点.(1)求点D 到平面PEF 的距离; (2)求直线AC 到平面PEF 的距离.[解] 解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0),P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0.设DH ⊥平面PEF ,垂足为H ,则DH →=xDE →+yDF →+zDP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12y ,12x +y ,z ·(x +y +z =1),PE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,-1,PF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,-1.∴DH →·PE →=x +12y +12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +y -z =54x +y -z =0.同理,DH →·PF →=x +54y -z =0,又x +y +z =1,∴可解得x =y =417,z =917.∴DH →=317(2,2,3).∴|DH →|=31717.因此,点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)设AH ′⊥平面PEF ,垂足为H ′,则AH ′→∥DH →,设AH ′→=λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),则EH ′→=EA →+AH ′→=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,0+(2λ,2λ,3λ)=⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ,2λ-12,3λ.∴AH ′→·EH ′→=4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,即λ=117.∴AH ′→=117(2,2,3),|AH ′→|=1717, 又AC ∥平面PEF ,∴AC 到平面PEF 的距离为1717.解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,0,PE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,-1,DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,0,设平面PEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧-12x +12y =0,x +12y -z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,z =32x ,令x =2,则n =(2,2,3), ∴点D 到平面PEF 的距离d =|DE →·n ||n |=|2+1|4+4+9=31717.(2)∵AC ∥EF ,∴直线AC 到平面PEF 的距离也即是点A 到平面PEF 的距离.又AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,∴点A 到平面PEF 的距离为 d =|AE →·n ||n |=117=1717.拓展提升1.向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解,其步骤为直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式.注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 2.点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.点面距的求解步骤:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.【跟踪训练4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F ,G 分别是C 1C ,D 1A 1,AB 的中点,求点A 到平面EFG 的距离.解 如图,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),G (2,1,0),∴EF →=(1,-2,1),EG →=(2,-1,-1),GA →=(0,-1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面EFG 的法向量,则⎩⎨⎧n ·EF →=0,n ·EG →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +z =0,2x -y -z =0,∴x =y =z ,可取n =(1,1,1), ∴d =|GA →·n ||n |=13=33,即点A 到平面EFG 的距离为33.探究5 与空间有关的探索性问题例5 如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所成的平面互相垂直,BE ∥CF ,∠BCF =∠CEF =90°,AD =3,EF =2.(1)求证:AE ∥平面DCF ;(2)当AB 的长为何值时,二面角A -EF -C 的大小为60°?[解] 如图,以点C 为坐标原点,以CB ,CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系Cxyz .设AB =a ,BE =b ,CF =c ,则C (0,0,0),A (3,0,a ),B (3,0,0),E (3,b,0),F (0,c,0).(1)证明:AE →=(0,b ,-a ),CB →=(3,0,0),BE →=(0,b,0),∴CB →·AE →=0,CB →·BE →=0, 从而CB ⊥AE ,CB ⊥BE . 又AE ∩BE =E , ∴CB ⊥平面ABE . ∵CB ⊥平面DCF ,∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE , 故AE ∥平面DCF .(2)∵EF →=(-3,c -b,0),CE →=(3,b,0), 且EF →·CE →=0,|EF→|=2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧-3+b c -b =0,3+c -b2=2,解得b =3,c =4.∴E (3,3,0),F (0,4,0).设n =(1,y ,z )与平面AEF 垂直, 则n ·AE →=0,n ·EF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧1,y ,z ·0,3,-a =0,1,y ,z ·-3,1,0=0,解得n =⎝⎛⎭⎪⎪⎫1,3,33a.又∵BA ⊥平面BEFC ,BA →=(0,0,a ),∴|cos 〈n ,BA →〉|=|n ·BA →||n ||BA →|=334a 2+27=12, 解得a =92或a =-92(舍去).∴当AB =92时,二面角A -EF -C 的大小为60°.拓展提升利用向量解决存在性问题的方法策略求解存在性问题的基本策略是:首先,假定题中的数学对象存在;其次,构建空间直角坐标系;再次,利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题;最后,解方程,下结论.利用上述思维策略,可使此类存在性难题变为常规问题.【跟踪训练5】 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=12AB ,点E 是棱AB 上一点,且AEEB=λ. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)是否存在λ,使得二面角D 1-EC -D 的平面角为π4?并说明理由.解 (1)证明:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设AD =AA 1=1,AB =2,则D (0,0,0),A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),A 1(1,0,1),B 1(1,2,1),C 1(0,2,1),D 1(0,0,1).因为AEEB =λ,所以E ⎝⎛⎭⎪⎫1,2λ1+λ,0, 于是D 1E →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,2λ1+λ,-1,A 1D →=(-1,0,-1),所以D 1E →·A 1D →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,2λ1+λ,-1·(-1,0,-1)=-1+0+1=0,故D 1E ⊥A 1D .(2)因为DD 1⊥平面ABCD ,所以平面DEC 的一个法向量为n =(0,0,1),设平面D 1EC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),又CE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,2λ1+λ-2,0,CD 1→=(0,-2,1), 则⎩⎨⎧n 1·CE →=0,n 1·CD 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1,2λ1+λ-2,0=0,n 1·0,-2,1=0,整理得⎩⎪⎨⎪⎧x -y ·21+λ=0,-2y +z =0,取y =1,则n 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫21+λ,1,2. 因为二面角D 1-EC -D 的平面角为π4,所以22=|n ·n 1||n ||n 1|,即22=21+4+⎝⎛⎭⎪⎫21+λ2,解得λ=233-1. 故存在λ=233-1,使得二面角D 1-EC -D 的平面角为π4.1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线,把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及相应的距离和夹角等问题.(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 2.利用法向量求直线AB 与平面α所成的角θ的步骤 (1)求平面α的法向量n .(2)利用公式sin θ=|cos 〈AB →,n 〉|=|AB →·n ||AB →||n |,注意直线和平面所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.3.利用法向量求二面角的余弦值的步骤 (1)求两平面的法向量.(2)求两法向量的夹角的余弦值.(3)由图判断所求的二面角是锐角、直角,还是钝角,从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4.点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.1.若两异面直线l 1与l 2的方向向量分别为a =(0,4,-3),b =(1,2,0),则直线l 1与l 2的夹角的余弦值为( )A.32B.8525C.4315D.33答案 B解析 设l 1,l 2的夹角为θ,则cos θ=|cos 〈a ,b 〉|=0×1+4×2+-3×05×5=8525.2.直角△ABC 的两条直角边BC =3,AC =4,PC ⊥平面ABC ,PC =95,则点P 到斜边AB 的距离是( )A .5B .3C .3 2 D.125答案 B解析 以C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A (4,0,0),B (0,3,0),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,95,所以AB →=(-4,3,0),AP →=⎝⎛⎭⎪⎫-4,0,95, 所以AP →在AB →上的投影长为|AP →·AB →||AB →|=165,所以点P 到AB 的距离为d =|AP →|2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1652=16+8125-25625=3.故选B.3.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角,点E ,F 分别是AD ,BC 的中点,O 是正方形中心,则折起后,∠EOF 的大小为( )A .(0°,90°)B .90°C .120°D .(60°,120°)答案 C解析 OE →=12(OA →+OD →),OF →=12(OB →+OC →),∴OE →·OF →=14(OA →·OB →+OA →·OC →+OD →·OB →+OD →·OC →)=-14|OA →|2.又|OE →|=|OF →|=22|OA →|,∴cos 〈OE →,OF →〉=-14|OA →|212|OA →|2=-12.∴∠EOF =120°.故选C. 4.平面α的法向量n 1=(1,0,-1),平面β的法向量n 2=(0,-1,1),则平面α与β所成二面角的大小为________.答案π3或2π3解析 设二面角的大小为θ,则cos 〈n 1,n 2〉=1×0+0×-1+-1×12·2=-12,所以cos θ=12或-12,∴θ=π3或2π3.5.如图,在长方体AC 1中,AB =BC =2,AA 1=2,点E ,F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心.以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题:(1)求异面直线AF 和BE 所成的角;(2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值.解 (1)由题意得A (2,0,0),F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1,2,22,B (2,2,0),E (1,1,2),C (0,2,0).∴AF →=⎝⎛⎭⎪⎪⎫-1,2,22,BE →=(-1,-1,2), ∴AF →·BE →=1-2+1=0.∴直线AF 和BE 所成的角为90°.(2)设平面BEC 的法向量为n =(x ,y ,z ),又BC→=(-2,0,0),BE →=(-1,-1,2),则n ·BC →=-2x =0,n ·BE →=-x -y +2z =0,∴x =0,取z =1,则y =2,∴平面BEC 的一个法向量为n =(0,2,1).∴cos 〈AF →,n 〉=AF →·n|AF →||n |=522222×3=53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ,则sin θ=53333,即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333.。
向量法求空间的角和距离
向量法求空间的角和距离安徽省阜阳市红旗中学 戴新忠 (邮编:236017) 高中数学第二册(下B )给出了向量a →与b →的夹角公式:cos 〈a →,b →〉=a →·b→|a →|·|b →|①在空间直角坐标系中,设a →=(x 1,y 1,z 1),b →=(x 2,y 2,z 2),则cos 〈a →,b →〉=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2x 21+y 21+z 21·x 22+y 22+z 22②利用公式①、②,再借助法向量,有关空间角和距离方面的问题均可方便解决。
1 空间角和距离的向量解法程式111 求二面角设二面角α-l -β大小为θ,平面α、β的法向量分别为a →、b →,则θ=〈a →,b →〉或θ=π-〈a →,b →〉。
在空间直角坐标系中,先求出a →、b →的坐标,再利用公式②,求出〈a →,b →〉,判断θ与〈a →,b →〉关系,即可求得二面角α-l -β大小θ。
注 为了求平面α的一条法向量n →的坐标,可先设n →=(x ,y ,z ),在α内选取两个不共线向量AB 、CD ,利用n →·AB =0,n ·CD =0,得到含x 、y 、z 的两个方程,令x =0或1,求出y ,z ,即可得到n →的坐标。
112 求异面直线所成的角设两异面直线a 、b 所成的角为θ(0<θ≤π/2),再设AB 、CD 分别在直线a 、b 上或AB ∥a ,CD ∥b ,则当〈AB ,CD 〉为锐角(或直角)时,θ=〈AB ,CD 〉;当〈AB ,CD 〉为钝角时,θ=π-〈AB ,CD 〉。
在空间直角坐标系中,求出AB 、CD 坐标,利用公式②,便可求出〈AB ,CD 〉,利用θ与〈AB ,CD 〉关系,可得θ。
113 求直线与平面所成的角设直线a 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π/2),设平面α法向量为n →,在a 上取一向量AB ,则θ=(π/2)-〈n →,AB 〉或θ=〈n →,AB 〉-(π/2)。
用向量法求空间角和距离
0(吉,吉’1)。
(1) :(一1,1, 1) ,
: (o,1,o),且蕊 _L平
面 BCCIBl。 设 与平 面 脱 c1B1所成 的角为 ,则
眦 吼 “
。
sin = cos [ ,商 】 =
=
2.二 面 角 设 ,l1,n2分别 为平 面 口,卢的法 向量 ,二面角 a—
1.直 线 和 平 面 所 成 的角 设 0为直线 z与平面 a所成 的角 , 为直线 l的 方向向量 , 为 与平 面a的法 向量lrlt之 间的夹 角 ,则
有 =号一 ,或 =号+0。
的公 共 法 向量 ,则 口,6的 距 离 d:
。
例 I (2(100年 江 苏考 题 )如 图 5,在 正 方 体 佃 cD— A1B1C1DI中 ,O 是 上 底 面 A1BlClD1的 中
射影 ,
· .
DJHjIAP。
.
(3)设 ,l:( .v, )是 平 面 D AP 的 一 个 法 向
量,即n垂直平面A 。,则n上面 上 。
= ( 0'1 有{:: 。
,Y=0,
.
’ L— + z= 0。
取 =1,则 n=(1,0,1),设 点 P到平面 ABDl的
心 ,点 P在 CCl上 ,且 CCl=4CP。
的
I垒I 1
特别地,当 =0时,0=詈,l上 ; :詈时,0 a(1,0,0),P(O,1,丢),B(1,l,0),Dl(0,0,1),
= 0,2∈a或 z∥口,且 sinO=sin(詈 + ):cos =
, ∈【0,引 。
一 般 地 ,设 ,l是 平 面 a的法 向量 ,AB是 平 面 a的
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义一、知识梳理1.两条异面直线所成角的求法设a ,b 分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则 l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围]2,0(π[0,π] 求法cos θ=|a ·b ||a ||b | cos β=a ·b |a ||b | 2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n 的夹角为β,则sin θ=|cos β|=|a ·n ||a ||n |. 3.求二面角的大小(1)如图①,AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉.(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).注意:利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB →|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO →|=|AB →·n ||n |. 二、基础检测题组一:思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )(4)两异面直线夹角的范围是]2,0(π,直线与平面所成角的范围是]2,0[π,二面角的范围是[0,π].( ) (5)若二面角α-a -β的两个半平面α,β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α-a -β的大小是π-θ.( ) 题组二 教材改编2.已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )A .45°B .135°C .45°或135°D .90°3.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______.题组三:易错自纠4.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.225.已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若cos 〈m ,n 〉=-12,则l 与α所成的角为__ __.6.过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ,若AB =P A ,则平面ABP 与平面CDP 所成的角为______.二、典型例题题型一:求异面直线所成的角典例 如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC .(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.思维升华:用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.跟踪训练如图所示,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.(1)求证:BD⊥平面ACFE;(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时,求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.题型二:求直线与平面所成的角典例如图,四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,P A=BC=4,M为线段AD 上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面P AB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思维升华:利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.跟踪训练如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D ;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.题型三:求二面角典例 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD ,∠BAD =∠ABC =90°,E 是PD 的中点.(1)证明:直线CE ∥平面P AB ;(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°,求二面角M -AB -D 的余弦值.思维升华:利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.跟踪训练 (2017·天津)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2.(1)求证:MN ∥平面BDE ;(2)求二面角C -EM -N 的正弦值;(3)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721,求线段AH 的长. 题型四:求空间距离(供选用)典例 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,AB =23,求点A 到平面MBC 的距离.思维升华:求点面距一般有以下三种方法:(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.跟踪训练 如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,侧面P AD ⊥底面ABCD ,侧棱P A =PD =2,P A ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 的中点.(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值;(2)求B 点到平面PCD 的距离;(3)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63若存在,求出PQ QD的值;若不存在,请说明理由.注意:利用空间向量求解空间角典例 (12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F -AB -P 的余弦值.四、反馈练习1.在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,AC 与B 1D 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π22.如图所示,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为3,底面边长A 1C 1=B 1C 1=1,且∠A 1C 1B 1=90°,D 点在棱AA 1上且AD =2DA 1,P 点在棱C 1C 上,则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B .-14 C.14 D .-523.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.224.已知六面体ABC —A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 1的中点,则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )A .45°B .60°C .90°D .30°5.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.2336.二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB =4,AC =6,BD =8,CD =217,则该二面角的大小为( )A .150°B .45°C .60°D .120°7.如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是____________.8.在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________.9.已知点E ,F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1,CC 1上,且B 1E =2EB ,CF =2FC 1,则平面AEF与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________.10.设二面角α—CD —β的大小为45°,A 点在平面α内,B 点在CD 上,且∠ABC =45°,则AB 与平面β所成角的大小为________.11.已知三棱锥A —BCD ,AD ⊥平面BCD ,BD ⊥CD ,AD =BD =2,CD =23,E ,F 分别是AC ,BC 的中点,P 为线段BC 上一点,且CP =2PB .(1)求证:AP ⊥DE ;(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值.12.如图,在四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,∠ADC =90°,AD ∥BC ,AB ⊥AC ,AB =AC =2,点E 在AD 上,且AE =2ED .(1)已知点F 在BC 上,且CF =2FB ,求证:平面PEF ⊥平面P AC ;(2)当二面角A —PB —E 的余弦值为多少时,直线PC 与平面P AB 所成的角为45°?13已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.3314.已知三棱锥S —ABC 中,SA ,SB ,SC 两两垂直,且SA =SB =SC =2,Q 是三棱锥S —ABC 外接球上一动点,则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________.15.已知三棱锥P —ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上,AC 为球O 的直径.当三棱锥P —ABC 的体积最大时,二面角P —AB —C 的大小为θ,则sin θ等于( )A.23B.53C.63D.7316.如图,已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P ,Q ,R 分别为AB ,BC ,CA 上的点,AP=PB ,BQ QC =CR RA=2,分别记二面角D —PR —Q ,D —PQ —R ,D —QR —P 的平面角为α,β,γ,则( )A .γ<α<βB .α<γ<βC .α<β<γD .β<γ<α。
用向量方法求空间角和距离
用向量方法求空间角和距离向量方法是利用向量的性质和运算,来求解空间角和距离的方法。
在几何学中,向量可以用来表示位置、方向和大小,因此可以通过向量的定义和运算来求解空间角和距离。
一、空间角的求解空间角是指两个平面或者两个直线之间的夹角。
我们可以通过向量的点积来求解空间角。
对于两个平面,可以先求出它们的法向量,然后计算法向量的夹角即可得到空间角。
设两个平面的法向量分别为n1和n2,则它们的夹角θ为:θ = arccos((n1·n2) / (,n1,n2,))其中,·表示向量的点积,n1,和,n2,分别表示向量n1和n2的模。
对于两个直线,可以先求出它们的方向向量,然后计算方向向量的夹角即可得到空间角。
设两个直线的方向向量分别为u和v,则它们的夹角θ为:θ = arccos((u·v) / (,u,v,))其中,·表示向量的点积,u,和,v,分别表示向量u和v的模。
二、距离的求解距离是指空间中两个点之间的长度。
我们可以通过向量的运算来求解空间中两点之间的距离。
设空间中两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),则点A到点B的距离d为:d=,AB,=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)其中,AB,表示向量AB的模,即两点之间的距离。
通过向量方法求解空间角和距离的步骤如下:1.对于求解空间角,先计算出两个平面或者两个直线的法向量或方向向量。
2.根据向量的点积定义,计算法向量或方向向量的点积。
3.根据向量的模定义,计算法向量或方向向量的模。
4.将点积和模代入空间角的计算公式,求解空间角。
5.对于求解距离,先计算出两个点的坐标。
6.根据向量的运算规则,计算两个坐标点之间的差向量。
7.根据向量的模定义,计算差向量的模,即两个点之间的距离。
通过向量方法求解空间角和距离的优点是简单、直观,并且适用于各种空间问题。
9.8用空间向量求角和距离Microsoft Word 文档
9.8用空间向量求角和距离一、明确复习目标1.了解空间向量的概念;会建立坐标系,并用坐标来表示向量; 2.理解空间向量的坐标运算;会用向量工具求空间的角和距离.二.建构知识网络1.求角:(1)直线和直线所成的角:求二直线上的向量的夹角或补角; (2)直线和平面所成的角: ①找出射影,求线线角;②求出平面的法向量n ,直线的方向向量a,设线面角为θ,则|cos ,|||||||n asin n a n a θ⋅=<>=⋅. (3)二面角:①求平面角,或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角(或补角); ②求两个法向量的夹角(或补角). 2.求距离(1)点M 到面的距离||cos d MN θ=(如图)就是斜线段MN 在法向量n方向上的正投影.由||||cos ||n NM n NM n d θ⋅=⋅⋅=⋅得距离公式:||||n NM d n ⋅=(2)线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离;(3)异面直线的距离:求出与二直线都垂直的法向量n和连接两异面直线上两点的向量NM,再代上面距离公式.三、双基题目练练手1.在空间直角坐标系中,已知点P (x ,y ,z ),下列叙述中正确的个数是 ( ) ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1(x ,-y ,z ) ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2(x ,-y ,-z ) ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3(x ,-y ,z ) ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4(-x ,-y ,-z ) A.3 B.2 C.1D.02. 直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ,∠BCA =90°,D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点,BC =CA =CC 1,则BD 1与AF 1所成角的余弦值是 ( )A .1030B . 21C .1530 D .10153.已知向量a =(1,1,0),b =(-1,0,2),且ka +b 与2a -b 互相垂直,则k = ___ 4. 已知A (3,2,1)、B (1,0,4),则线段AB 的中点坐标和长度分别是 , .◆答案提示: 1. C ; 2. A ; 3. 57;4.(2,1,25),d AB 四、以典例题做一做【例1】 (2005江西)如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,中,AD =AA 1=1,AB =2,点E 在棱AB 上移动.(1)证明:D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到面ACD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角D 1—EC —D 的大小为4π.解:以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴,建立空间直角坐标系,设AE =x ,则A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x ,0),A (1,0,0)C (0,2,0)(1)11(1,0,1)(1,,1)DA D E x ⋅=⋅-因为110,.DA D E =⊥所以 (2)因为E 为AB 的中点,则E (1,1,0), 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ,)1,0,1(1-=AD ,设平面ACD 1的法向量为,n n则不与y 轴垂直,可设 (,1,)n a c = ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD也即200a a c -+=⎧⎨-+=⎩,得2a a c=⎧⎨=⎩,从而)2,1,2(=, ∴点E 到平面AD 1C 的距离:.3132121=-+==h (3)1(1,2,0),(0,2,1),CE x D C =-=-1(0,0,1),DD =设平面D 1EC 的法向量(,1,)n a c =,由10,20(2)0.0,n D C c a x n CE ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩).2,1,2(x n -=依题意11||cos 4||||n DD n DD π⋅==⋅∴321+=x (不合,舍去),322-=x . ∴AE =32-时,二面角D 1—EC —D 的大小为4π【例2】(2005全国)已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且P A =AD =DC =21AB =1,M 是PB 的中点。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何(空间向量求角与距离)一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗,平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. (1)线线角:(正负问题):用向量算取绝对值(因为线线角只能是锐角)直线l,m 所成的角为θ,则0≤θ≤π2,计算方法:cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|; (2)线面角:正常考你正弦值,因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值,需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ,则0≤θ≤π2,计算方法:sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|; (3)二面角:同进同出为补角;一进一出为原角。
注意:考试从图中观察,若为钝角就取负值,若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ,则0≤θ≤π,如图①,AB ,CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩.如图②③,n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). (4)空间距离额计算:通常包含点到平面距离,异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法(1)建系:三垂直,尽量多点在轴上;左右下建系,建成墙角系;锥体顶点在轴上;对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系(2)写点坐标(3)写向量:向量最好在面上或者轴上(可简化计算量) (4)法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,记作,显然一条直线的方向向量可以有无数个.(2)若直线l ⊥α,则该直线的方向向量即为该平面的法向量,平面的法向量记作,有无数多个,任意两个都是共线向量.平面法向量的求法:设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出(或求出)两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2),根据定义建立方程组,得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0,通过赋值,取其中一组解,得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离:先求两异面直线的公共法向量,再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
利用空间向量求空间角和距离
∴EA1⊥平面ABC1D1.
又FO∥EA1, ∴FO⊥平面ABC1D1,
∴FO= 1 EA1= 2 .
2 4
方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,可得
1 1 平面 ABC D 的法向量 C1O=( , ,), 0 DA1 =(1,0,1), 1 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线的夹角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的 夹角.( ) )
(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角.( (4)两异面直线的夹角的范围是(0,
],直线与平面的夹角的 2 范围是[0, ],平面与平面的夹角的范围是[0, ]. 2 2
E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2), BC1 =(-1,0,2),
AE =(-1,2,1), BC1 AE 30 . ∴cos〈 BC1 , AE〉 BC1 | AE | 10
(C)30°
(D)150°
【解析】选C.设l与α的夹角为α, 则sin α=
又∵0°≤α≤90°,∴α=30°.
2.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两 平面的夹角的大小为( (A)45° (C)45°或135° ) (B)135° (D)以上都不对
【解析】选A.∵m=(0,1,0),n=(0,1,1), ∴|m|=1,|n|= 2, m·n=1,
m n 1 2 , ∴cos〈m,n〉= | m || n | 2 2
∴〈m,n〉=45°, ∴两平面的夹角的大小为45°.
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平 面ABC1D1的距离为( (A) 3
利用空间向量求角和距离
利用空间向量求角和距离第二课时利用空间向量求角和距离【基础巩固】1.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为( C )(A) (B)(C) (D)解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos<s1,s2>===-.又两直线夹角的取值范围为(0,),所以l1和l2夹角的余弦值为.2.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D 两点间的距离为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2)所以||=.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<,>的值等于( B )故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==,故选A.6.已知点M(a,0,a),平面π过原点O,且垂直于向量n=(-,,a),则点M到平面π的距离d为.解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d== a.答案: a7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则BO 与平面ABC1D1所成角的正弦值为.解析:建立空间直角坐标系,如图,则B(1,1,0),O(,,1), =(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又=(,,-1),所以BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为==.答案:8. (2019·福州高二期中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为4,E 为面A1D1DA的中心,CF=3FC1,AH=3HD.(1)求异面直线EB1与HF之间的距离;(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解:以D1为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立直角坐标系D1xyz,则E(2,0,2),B1(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1).(1)=(2,4,-2),=(-1,4,-3),=(-1,0,2),设平面EB1FH的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,则z=-3,y=-2,则n=(1,-2,-3),异面直线EB1与HF之间的距离为==.(2)=(2,4,-2),=(2,0,-2),=(-1,0,2),设平面HB1E的法向量为m1=(x′,y′,z′),则即取x′=2,则y′=-,z′=1.所以m1=(2,-,1).设平面A1B1E的法向量为m2=(x,y,z),则即取x=1,y=0,z=1,则m2=(1,0,1),所以cos <m1,m2>==.因为二面角H-B1E-A1为钝二面角,所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-.【能力提升】9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )(A)(B)(C) (D)解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),所以=(1,0,1),=(1,1,).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=-,z=-1,所以n=(1,-,-1).又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),所以cos<n,>==-.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B. 10.已知矩形ABCD与ABEF全等,D-AB-F为直二面角,M为AB的中点,FM 与BD所成角为θ,且cosθ=,则AB与BC的边长之比为( C ) (A)1∶1 (B)∶1 (C)∶2 (D)1∶2解析:设AB=a,BC=b,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则相关各点坐标为F(b,0,0),M(0,,0),B(0,a,0),D(0,0,b),=(-b,,0),=(0,-a,b),所以||=,||=,·=-,|cos<,>|==,整理得4×+5×-26=0,所以==.故选C.11.(2019·烟台高二检测)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.解析:以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),F(0,,0),E(,1,0),D1(0,0,1).所以=(-,-,0),=(-,-1,1).设n=(x,y,z)为平面EFD1B1的法向量,则易求平面EFD1B1一个的法向量为n=(-1,1,),又=(0,,0),所以d==.答案:12.在直三棱柱ABC-A′B′C′中,底面ABC是边长为2的正三角形, D′是棱A′C′的中点,且AA′=2.(1)试在棱CC′上确定一点M,使A′M⊥平面AB′D′;(2)当点M为棱CC′中点时,求直线AB′与平面A′BM所成角的正弦值.解:(1)因为直三棱柱ABC-A′B′C′中,底面ABC是边长为2的正三角形,D′是棱A′C′的中点,所以B′D′⊥A′C′,所以B′D′⊥平面ACC′A′,所以B′D′⊥A′M,所以在棱CC′上确定一点M,使A′M⊥平面AB′D′,只要过A′作A′M⊥AD′交CC′于点M即可.(2)如图以A为原点,以,为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,因为直三棱柱ABC-A′B′C′中,底面ABC是边长为2的正三角形, D′是棱A′C′的中点,且AA′=2.所以A(0,0,0),B′(,1,2),A(0,0,2),B(,1,0),M(0,2,),所以=(,1,2),=(0,2,-),=(,1,-2 ), 设平面A′BM的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则n=(,1,),设直线AB′与平面A′BM所成的角为θ.sin θ=|cos<n,>|=||==.所以当点M为棱CC′中点时,直线AB′与平面A′BM所成角的正弦值为.【探究创新】13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.解:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关的各点坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h). (1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.(2)由题设和(1)知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos , |=|cos , |,即||=||. 由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),=(4,0,-h),故||=||.解得h=.又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=S·PA=×16×=.。
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所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量,因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0), ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, ),且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1:如图1所示: 三棱柱ABC - A1 B1C1中,CA=CB, AB = AA1, ? BAA1 60o, ( 1)求证:AB^ A1C (2)若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B, AB =CB,求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解:由(1)知OC ^ AB,OA1 ^ AB, 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B,交线 为AB,所以OC ^ 平面AA1 B1 B, 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量,则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1), 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
例4:如图4所示:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求异面直线BD与D1 A所成的角、距离; (2)求B1到平面A1BD间的距离。
z
D1 A1 C1
B1
解:如图4所示:以D为原点, DA, DC , DD1分别为x、y、z的 正方向建立空间直角坐标系。 设AB = 1 则D(0,0,0)、A(1,0,0)、
1 ax = 0 即 2 可取n = (0, c, b), î - by + cz = 0 mn b 于是|cosb | = = , 2 2 | m | ×| n | b +c c 由 从而 sin b = 。 2 2 b +c 故 sin a sin b = = c
2 2 2
B1
证明:如图所示:
A
图1-1
( 1)取AB的中点,连接OC,OA1,A1 B。 因为CA = CB, 所以OC ^ AB. 由于AB = AA1,? BAA1 60, 故 AA1 B是等边三角形,所以OA1 ^ AB, 因为OC OA1 = O,所以AB ^ 平面OA1C, 又因为A1C 蘜 平面OA1C,故AB A1C。
由题意可得:B(0, - 2, 0)、D(0, 2, 0)、 O 1 A(0, 2, 2)、P(0, 0, )、M (0, 2,1)、 B 2 x 3 3 2 1 设C ( x, y, 0),因为AQ = 3QC , 所以Q( x, y + , ) 4 4 4 2
y
(2)设m = ( a, b, c)是平面BMC的一个法向量,由CM = ( - x, 2 - y,1) ì - xa + ( 2 - y )b + c = 0 ì m CM = 0 镲 BM = (0, 2 2,1)知 眄 即 镲 2 2b + c = 0 î mBM = 0 î y+ 2 取 b = -1,得m = ( , - 1, 2 2), 又平面BDM 的一个法向量 x y+ 2 | | | mn | 1 x = n = (1, 0, 0), 于是 | cos < m, n >= | = , 2 | m | ×| n | y+ 2 2 ( ) +9 x y+ 2 2 即( ) = 3.又BC ^ CD,所以BC CD = 0,故x 2 + y 2 = 2. x ì 6 6 ì y+ 2 ï x = ? ( x 舍) 2 ì x = 0 ï ï ( ) =3 镲 ? 2 2 解眄 x 得 (舍)或 ? 镲 2 ? 2 2 î y =- 2 x + y = 2. ï y = ï î ï î 2 x 所以 tan ? BDC | |= 3, 又行 BDC是锐角,所以 BDC = 60? . 2- y
利用空间向量求线线角、线面角的规律方法 及公式为: p (1)异面直线所成角( q 0 <q ? ) 2 设a、 b分别是异面直线a、b的方向向量,则 | a b| 。 conq =| con < a、 b >= | |a|× |b| p (2)线面所成角( q 0# q ) 2 设a是直线l的方向向量, n是平面的法向量,则 | an | 。 sin q =| con < a、 n >= | |a|× |n|
作业:
1、直三棱柱ABC - A1B1C1中,? ABC 90 , ? BAC 30, BC = 1,AA1 = 6, M 是CC1的中点,则异面直线AB1与 A1M 所成的角为 、它们间的距离为 。
ì ï
b2 + c2 a 2 + b2 + c2 = sin q .
c b2 + c2
a +b +c 即 sin q = sin a sin b。
利用向量法求空间距离的规律方法及其计算公式:
(1)设n是异面直线a、b的公共法向量,A 挝a, B b, | n· AB | 则异面直线a、b间的距离d = . |n| (2)设n是平面a的法向量,P 衔 a, A a, | n· pA | 则P到平面a的距离d = . |n|
A
D C B
y
x
图4
B(1,1,0)、D1(0,0,1)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)。
-1 (1)因为 BD = (1,1, 0), D1 A = (- 1, 0,1),所以cos< BD, D1 A>= . 2 p 所以异面直线BD、DA所成的角为 。 3 因为BD = (1,1, 0), D1 A = (- 1, 0,1), ì nBD =0 ì x + y = 0 镲 设n = ( x, y, z ),由 眄 得 镲 î nD1 A=0 î - x + z = 0 取x = 1, 于是n = (1, -1,1),又 AB =(0,1, 0), | nAB | 1 3 因为 = = 。 3 |n| 3
证明:取BD中点O,以O为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 o - xyz。
A
z
M P Q C D 图2
3 3 2 (1) PQ = ( x, y + , 0)、 n = (0, 0,1)是平面BCD的一个法向量, 4 4 4 故PQn = 0, 又PQ ? 平面BCD, 所以PQ / / 平面BCD.
向量法求空间的距离和角
高喜萍
2013、12
建立空间直角坐标系,用空间向 量求解空间的角和距离是高考重点 考查的内容,同时也是立体几何中 的重要知识点和难点,但已知空间 角求相关量的题目,体现逆向思维 ,更能考查学生分析问题和解决问 题的能力,对此我们应高度重视。 现就向量法求解空间角和距离 的方法,提出我的见解,仅供大家 参考:
例3:如图3所示:AB是圆O的直径,点C是 圆O上异于A、B的点,直线PC ^ 平面ABC , E、F 分别是PA、PC的中点。 (1)记平面BEF 与平面ABC的 交线为l,试判断直线l与平 面PAC的位置关系, 并加以证明;
A O E F P
C B
图3
(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且Q 1 满足 DQ = CP, 记直线PQ与平面ABC所成的角为 2 q ,异面直线PQ与EF 所成的角为a,二面角E -l -C 所成的角为b ,求证:sinq = sina ?sinb .
例2:如图2所示:在四面体A-BCD 中,AD ^ 平面BCD,BC ^ CD, AD = 2,BD = 2 2,M 是AD的中点, P是BM 的中点,点Q在线段AC上, 且AQ = 3QC。 ( 1)证明:PQ / / 平面BCD : 求ÐBDC的大小。
B
A
M P Q C D 图2
(2)若二面角C - BM - D的大小为60 ,
2 2 2
。
取平面ABC的一个法向量m = (0, 0,1), 可得 | m QP | c = sin q = 。 2 2 2 | m | ×| QP | a +b +c 设平面BEF的一个法向量为n = ( x, y, z ),
ì ï nFE = 0 由眄 镲 î nBF = 0
P
解: (1)直线l / / 平面PAC.证明如下:连接EF 因为E、F 分别是PA、PC的中点,所以EF / / AC. 又EF 颂 平面ABC , 且AC 平面ABC ,
E F
所以EF / / 平面ABC , 而EF Ì 平面BEF , 且平面BEF 平面ABC = l,所以EF / / l。 因为l 颂 平面PAC , EF 所以l / / 平面PAC. 平面PAC ,