高中数学总复习---函数

函数知识结构图

§函数的定义

一般地，设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为，集合A 到集合B 的一个函数。

例1：下列可作为函数图形的是 （ ）

§函数性质

一、 定义域

1. 概念：x 的取值范围叫做函数的定义域。

2. 求定义域的一般要求

① 使解析式有意义（如分母不等0，真数大于0等） ② 使实际问题有意义（如人数不能为小数等） 3. 抽象函数的定义域的注意要点 ① 定义域永远是x 的取值范围

② 括号里的范围是一致的（对于同一个对应关系） 例：f(x)的定义域为[2,4],求f(2x)的定义域。 二．值域（最值）

1.概念：与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f 叫做函数的

值域。

2.求值域的一般方法

①单调性发：先确定函数的单调性，再由单调性求最值。

②图像法：做出图像，观察其最高、最低点，求出最值。

③还原法：对于较复杂的函数可通过还原转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值。

④基本不能发：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件然后再求。

⑤导数法:先求导，然后求极值、最值。

三、单调性

1.定义法：

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2;当x1f(x2)）,那么就说f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

步骤：①在区间D令x1

2.复合函数的单调性

同增异减：单调性相同的两个函数复合后的函数为增函数，单调性相异的两个函数复合后的函数为减函数。

3.导数法：

在区间D上，若f’(x)>0，f(x)在区间D上为增函数；

在区间D上，若f’(x)<0，f(x)在区间D上为减函数；

步骤：①求导数②判断导数在所给区间上的正负③下结论

四、对称性

1.二次函数对称轴：a

b x 2-

=

2.坐标轴、原点对称：谁不变关于谁对称，都变关于原点对称 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意的实数

x,都有f(1+x)=f(-x),那么f(-2)、f(0)、f(2)

的大小关系。 五、奇偶性

1.首先定义域要关于原点对称

2.奇函数f(-x)=-f(x),图像关于原点对称； 偶函数f(-x)=f(x) 图像关于y 轴对称 例1：判断下列函数的奇偶性。 （1）

x

x x f +-=11lg

)( (2)

⎩

⎨⎧<->+=)0(,)

0(,)(22x x x x x x x f

(3)

)

21(,2)(2

<<-+=x x x f 例2:已知函数f(x)是定义R 上的偶函数，当x ≥0时，1)(2

++=x x x f ，求

f(x)

的解析式。

例3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，总有f(x+2)=-f(x)成立，则f(19)=____________. (答案： 0) 六、周期性

1.若f(x+T)=f(x),则f(x)的周期为T ；

2.若f(x+T)=-f(x),或)

(1)(x f x f =

,或)

(1)(x f x f -

=则f(x)的周期为2T ；

例：已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=—f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系。 七、反函数

1.同底的指数与对数函数互为反函数

例如：a x

y=与=y log a x互为反函数

2.反函数与原函数的图像关于直线直线y=x对称

3.若原函数经过点（a，b），反函数必过（a，b）。

例：函数)1

a

=a

a

y x且的图象经过点（1,7），其反函数的图像经过点（4,0），b

+

(,≠

>

则b a=__________。（答案：64）

§图像

一、平移法则：

1.左加右减（必须直接在x上发生变化），上加下减。

2.绝对值

①如果绝对值在x上，那么它是偶函数，先画x≥0的部分，然后关于y轴对称。

③如果绝对值在解析式上，先画原函数，把在x轴下方的关于x轴向上翻折。例：