高中数学全国卷函数专题复习
高考数学全国一卷知识点归纳总结
高考数学全国一卷知识点归纳总结高考数学是每位考生都要面对的一门重要科目。
全国一卷作为最常见的高考数学试卷之一，涵盖了大量的知识点。
为了帮助同学们更好地复习备考，下面将对全国一卷中的数学知识点进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的概念及符号表示，函数的定义域、值域，奇偶性、周期性等性质。
2. 一次函数与二次函数直线斜率与截距的计算，一次函数的图像特征，二次函数的图像与性质。
3. 指数与对数函数指数函数的概念、性质与运算，对数函数的概念、性质与运算。
4. 三角函数常见三角函数的定义、性质及图像特征。
5. 幂函数与反比例函数幂函数的概念、图像特征，反比例函数的概念与性质。
6. 二次方程与一元二次不等式二次方程的解法、判别式，一元二次不等式的解法与图像。
7. 二次函数的性质与图像应用二次函数的最值、单调性，二次函数与实际问题的应用。
二、平面解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系的概念与性质，坐标的计算与表示。
2. 直线与圆的方程直线的斜率、截距和两点式方程，圆的标准方程与一般方程。
3. 直线与圆的相交关系直线与圆的位置关系，切线与法线的概念与性质。
4. 向量的概念与运算向量的表示、模长、方向角、线性运算及数量积。
5. 向量的应用向量的平移、共线、垂直、四边形性质等应用。
三、立体几何1. 空间几何体的计算立体几何体的表面积和体积计算，如长方体、正方体、棱锥、棱台、球等。
2. 空间位置关系点、线、面之间的位置关系，如垂直、平行、共面等。
3. 空间向量与几何应用空间向量的概念与运算，点到点、点到直线的距离计算。
四、概率与统计1. 随机事件与概率随机事件的定义、基本性质，概率的定义、性质及计算公式。
2. 排列与组合排列与组合的概念、计算方法与应用。
3. 统计图与统计量直方图、折线图、饼图的绘制与分析，平均数、频率等统计量的计算。
以上总结了高考数学全国一卷中的主要知识点。
同学们在备考过程中可以按照这些知识点有目的地进行复习和训练。
高考数学： 函数专题2
第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1 答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x－e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一 识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-2sin cos ++x xx x的图象大致是（ ）A. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二 图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（ ）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)0a >()y x x a =-答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2） 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三 零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1， 所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5） （提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令 函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即的图象如图，结合图象可得的根方程有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高） 定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)函数的概念及其表示(精练：基础+重难点)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2023年高考数学客观题专题六 函数与导数
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
高中数学_经典函数试题及答案
高中数学_经典函数试题及答案【第一份试题】1. 已知函数 y = f(x) 满足 f(2) = 1，f'(x) = 2x - 3。
求函数 f(x) 的解析式。
解答：根据题意，已知了 f'(x) = 2x - 3，因此函数 f(x) 的原函数为 F(x) = x^2 - 3x + C，其中 C 为常数。
根据 f(2) = 1，可得到 F(2) = 1，代入原函数求得 C = 0。
所以函数 f(x) 的解析式为 f(x) = x^2 - 3x。
2. 若函数 f(x) = 2x^3 + 4x + c 是奇函数，求常数 c 的值。
解答：根据题意，函数 f(x) 是奇函数，即满足 f(-x) = -f(x)。
代入函数 f(x) = 2x^3 + 4x + c，得到 -2x^3 - 4x - c = 2x^3 + 4x + c，整理得到 4x^3 + 8x + 2c = 0。
对比系数可得 -c = 2c，解得 c = 0。
所以常数 c 的值为 0。
3. 已知函数 f(x) = (x - 1) / (x + 1)，求函数 f(x) 的反函数。
解答：要求函数 f(x) 的反函数，可以将 y（即 f(x)）与 x 对调位置，并解出 x 关于 y 的表达式。
首先，将函数 f(x) 表示为 y = (x - 1) / (x + 1)。
交换 x 和 y，得到 x = (y - 1) / (y + 1)。
解以上方程，可以得到 y = (x + 1) / (x - 1)。
所以函数f(x) 的反函数为 f^(-1)(x) = (x + 1) / (x - 1)。
【第二份试题】1. 已知函数y = f(x) = 3sin(2x + π/4)，求 f(x) 的周期和最大值、最小值。
解答：对于函数 y = 3s in(2x + π/4)，参数 2 决定了正弦函数的周期。
周期T = 2π / 2 = π。
最大值和最小值可以通过观察正弦函数的图像得出。
2024年高考数学一轮复习专题14导数与函数的单调性含解析
专题14导数与函数的单调性最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数探讨函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、微小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).基础学问融会贯穿1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，假如f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；假如f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①假如在x0旁边的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②假如在x0旁边的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是微小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根旁边的左右两侧导数值的符号．假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【学问拓展】1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．重点难点突破【题型一】不含参数的函数的单调性【典型例题】已知函数，则f（x）的增区间为（）A．（0，1）B．（0，e）C．（1，+∞）D．（e，+∞）【解答】解：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f′（x）＞0，解之得0＜x＜e，故选：B．【再练一题】用导数求单调区间f（x）．【解答】解：∵f（x）1，∴f′（x）0，∴﹣1＜x＜1，∴函数的单调增区间是（﹣1，1），单调减区间是（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）．思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．【题型二】含参数的函数的单调性【典型例题】求下列函数的单调区间，并求[1，e]上的最值．（1）f（x）＝lnx﹣ax；（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3；（3）f（x）＝e x﹣ax﹣1，求单调区间．【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，当a＞0时，f′（x）a，令f′（x）＝0，解得x，当f′（x）＞0，即0＜x时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x时，函数单调递减，∴函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x时，函数有极大值，即极大值为f（）＝﹣1﹣lna①当1时，即a≥1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，f（x）max＝f（1）＝﹣a，②当e时，即0＜a时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，③1e时，即a＜1时，函数f（x）在[1，）上单调递增，在（，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（）＝﹣1﹣lna，f（1）＝﹣a，f（e）＝1﹣ae，当a＜1，f（1）＞f（e），故f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，当a时，f（1）≤f（e），故f（x）min＝f（1）＝﹣a；（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3＝ax2﹣6lnx，∴f′（x）＝2ax，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）max＝f（1）＝a，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x，当f′（x）＜0，即0＜x时，函数单调递减，当f′（x）＞0，即x时，函数单调递减，∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当x时时，函数有微小值，即微小值为f（）3ln，①当1时，即a≥3时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）min＝f（1）＝a，②当e时，即0＜a时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝a，f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，③1e时，即a＜3时，函数f（x）在[1，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（）3ln，f（1）＝a，f（e）＝ae2﹣6，当a＜3，f（1）＞f（e），故f（x）max＝f（1）＝a，当a a＜3，f（1）＜f（e），故f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6；（3）f（x）＝e x﹣ax﹣1，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，f（x）min＝f（1）＝e﹣a﹣1，当a＞0时，f′（x）＝e x﹣a，令f′（x）＝0，解得x＝lna，当f′（x）＜0，即0＜x＜lna时，函数单调递减，当f′（x）＞0，即x＞lna时，函数单调递增，∴函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当x＝lna时，函数有微小值，即微小值为f（lna）＝a﹣1﹣alna①当lna≤1时，即0＜a≤e时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，f（x）min＝f（1）＝e﹣a﹣1，②当lna≥e时，即a≥e e，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝e﹣a﹣1，f（x）min＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，③1＜lna＜e时，即e＜a＜e e时，函数f（x）在[1，lna）上单调递减，在（lna，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣1﹣alna，f（1）＝e﹣a﹣1，f（e）＝e e﹣ae﹣1，当a＜e e，f（1）＞f（e），故f（x）max＝f（1）＝e﹣a﹣1，当e＜a，f（1）＜f（e），故f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1．【再练一题】已知函数f（x）＝x alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，探讨f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝x lnx，当f（x）有两个极值点为x1，x2，且x1∈（0，e）时，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），f′（x）＝1，令f′（x）＝0，得x2﹣ax+1＝0，①当0＜a≤2时，△＝a2﹣4≤0，此时f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△＝a2﹣4＞0，x2﹣ax+1＝0的两根为：x1，x2，且x1，x2＞0．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），递减区间为（，）．（2）由（1）知，f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，则，所以x2，a＝（x1），∴g（x1）﹣g（x2）＝x1lnx1﹣（ln）＝x1alnx1＝x1（x1）lnx1．设h（x）＝（x）﹣（x）lnx，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min＝h（x）min，∵h′（x）＝（1）﹣[（1）lnx+（x）]，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴h（x）min＝h（e），∴（g（x1）﹣g（x2））min．思维升华 (1)探讨含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类探讨．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内探讨，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【题型三】函数单调性的应用问题命题点1 比较大小或解不等式【典型例题】若a∈R，且a＞1，函数，则不等式f（x2﹣2x）＜1的解集是（）A．（0，2）B．（0，1）∪（1，2）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．【解答】解：由0，解得﹣1＜x＜1．可得函数f（x）的定义域为：（﹣1，1）．y2在（﹣1，1）上单调递增．y1在（﹣1，1）上单调递增，a＞1，∴y在（﹣1，1）上单调递增．∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增．又f（0）＝1．∴不等式f（x2﹣2x）＜1即不等式f（x2﹣2x）＜f（0），∴﹣1＜x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，且x≠1．∴不等式f（x2﹣2x）＜1的解集为（0，1）∪（1，2）．故选：B．【再练一题】已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，若a＝f（1），，c＝﹣ef（﹣e），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c【解答】解：令函数g（x）＝xf（x），由当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，可知g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数．又f（x）在R上是奇函数，所以函数g（x）也为偶函数，又知a＝f（1）＝g（1），，c＝﹣ef（﹣e）＝g（﹣e）＝g（e），且，所以，即c＞a＞b，故选：D．命题点2 依据函数单调性求参数【典型例题】若函数f（x）＝x3﹣ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝3x2﹣ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x），x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x＝2时，g（x）取得最大值g（2），则k，故选：C．【再练一题】已知函数f（x）＝（x﹣3）e x+a（2lnx﹣x+1）在（1，+∞）上有两个极值点，且f（x）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（e，2e2）C．（2e2，+∞）D．（e，2e2）∪（2e2，+∞）【解答】解：f′（x）＝（x﹣2）e x+a（1）＝（x﹣2）（e x），x∈（1，+∞）．∵f′（2）＝0，可得2是函数f（x）的一个极值点．∵f（x）在（1，+∞）上有两个极值点，且f（x）在（1，2）上单调递增，∴函数f（x）的另一个极值点x0＞2，满意：0，可得：a＝x02e2，故选：C．思维升华依据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增函数的充要条件是对随意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应留意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．基础学问训练1．【河北省保定市2024-2025学年度第一学期期末调研考试高二】若函数在区间上为单调增函数，则k的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．在区间上恒成立，而在区间上单调递减，．故选：C．2．已知函数上单调递减，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数上单调递减，所以上恒成立，令，设，则上恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选A．3．函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，由，得，得，即函数的单调递减区间为．故选D．4．【内蒙古集宁一中(西校区)2024-2025学年高二下学期第一次月考】假如函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由原函数图像可知单调性是先增，再减，再增，再减，可得导函数图像应当是先正，再负，再正，再负，只有选项A满意，故选A5．【广东省2024年汕头市一般高考第一次模拟考试】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可得，若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即恒成立，令，则，故的最大值为1，此时，即，所以的最大值为，所以，故选D.6．【湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2024-2025学年高二下学期优生联考】已知是函数的导函数，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数满意已知条件，又由不等式，可变形为，构造新函数，则，由已知条件可得，即，即函数为单调递减函数，令，又由不等式，可变形为，即，由函数的单调性可得，所以不等式的解集为，故选B.7．【陕西省咸阳市2024-2025学年高二上学期期末考试】已知是可导函数，且对于恒成立，则A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，令，则．在R上单调递减，即，．故选：D．8．【湖南省湘西州2024-2025学年高二（上)期末】已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又上是减函数，上恒有，即上恒成立，因为，所以，所以：．实数a的取值范围是．故选：A．9．【福建省三明市2024-2025学年高二上学期期末质量检测】已知函数，若在区间上存在，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由，可得，由，即:在有两个解，且，令g(x)= =,可得：，由①可得,由②可得，可得，同理由③可得，可得，由④可得a，综上所述可得：，故选A.10．【福建省福州市八县（市)协作校2024-2025学年高二上学期期末联考】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造函数g（x），∴g′（x），∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）是偶函数，∴c g（﹣3）＝g（3），∵a g（e），b g（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．11．【陕西省西安市2024-2025学年高二下学期期末考试】已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，，即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D。
函数导数专题分析课件-2025届高三数学一轮复习
深度和广度。思维量加大，灵活，与其他知识的交汇，比如在不等式，数列，解析几何中的应
用，这就要求我们在复习中注重基础知识的理解和思维能力的培养。
（二）深入考查直观想象素养。 （三）扎实考查数学运算素养。
二、创设自然真实情境 助力应用能力考查 2023高考试题评价
（一）创设现实生活情境（二）设置科学研究情境（三）设计劳动生产情境
三、落实“四翼”考查要求 助力“双减”政策落地
（一）突出基础性要求。 （二）彰显综合性要求。
如新课标Ⅱ卷第22题和全国甲卷理科第21题，将导数和三角函数巧妙地结合起来， 通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过对导数、函数不 等式等知识，深入考查分类讨论的思想、转化与化归的数学思想。
高考导数知识点梳理
2022全国乙卷理21（2）、2022全国乙卷文20 （2）、2021全国新高考Ⅱ22（2）、2020全国Ⅲ 理20（2）、2020全国Ⅲ文21（2）、2020全国Ⅰ 文20（2）、2019全国Ⅰ文20（1）、2019全国Ⅰ 理20（2）、2019全国Ⅱ文21（2）、2018全国 Ⅱ21（2）、2018全国Ⅱ理21（2）、2021全国甲 理 21（2）、2021全国甲文21（2）共13次
2021新高考Ⅱ22（1）、2021甲卷文20（1）、 2021全国乙卷文21（1）、2019全国Ⅰ文20 （1）、2019全国Ⅲ理（20）、2020全国Ⅲ文20 （1）、2018全国Ⅰ理21（1）、2020全国Ⅱ文 21（2）共8次
2022全国乙卷文20（1）、2019全国Ⅱ文 21（1）、2018全国Ⅲ理21（2）、2018 全国Ⅰ文21（1）、2019全国Ⅲ文20 （2）、2019全国理20（2）共6次
单调性、不等式、构造函数 构造函数或利用不等式比较大小
高中数学函数经典复习题含答案
高中数学函数经典复习题含答案1、求函数的定义域1）y=(x-1)/(x^2-2x-15)先求分母为0的解：x^2-2x-15=0x-5)(x+3)=0得到：x=5或x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,5)∪(5,+∞)2）y=1-((x+1)/(x+3))-3先求分母为0的解：x+3=0得到：x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞)2、设函数1/(x-1)+(2x-1)+4-x^2的定义域为[1,∞)，则函数f(x^2)的定义域为[1,∞)；函数f(x-2)的定义域为[3,∞)。
3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-1,2]，函数f(2x-1)的值域为[-2,3]。
4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
因为F(x)的定义域存在，所以f(x+m)和f(x-m)的定义域必须都存在，即：1≤x+m≤11≤x-m≤1将两个不等式联立，得到：1≤x≤1m≤x≤m所以m的取值范围为[-1,1]。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：1）y=x+2/x-3 (x∈R)先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,3)∪(3,+∞)当x→±∞时，y→±∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)2）y=x+2/x-3 (x∈[1,2])先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为[1,3)∪(3,2]∪(2,+∞)当x→1+时，y→-∞，当x→2-时，y→+∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)3）y=22/(3x-13x-1)先求分母为0的解：3x-13x-1=0得到：x=4但是x=4不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,4)∪(4,+∞)当x→±∞时，y→0，所以值域为(0,+∞)4）y=(5x^2+9x+4)/(2x-6) (x≥5)当x→+∞时，y→+∞，当x→5+时，y→+∞，所以值域为[5,+∞)5）y=(x-3)/(x+1)+x+1先求分母为0的解：x+1=0得到：x=-1但是x=-1不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)化简得到y=x-2，所以值域为(-∞,-2]∪[-2,+∞)6）y=(x-3+x+1)/(2x-1x+2)先求分母为0的解：2x-1=0或x+2=0得到：x=1/2或x=-2但是x=1/2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,1/2)∪(1/2,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=1/2，所以值域为{1/2}7）y=x^2-x/(x+2)先求分母为0的解：x+2=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=x-2-5/(x+2)，所以值域为(-∞,-13/4]∪[1/4,+∞)8）y=(2-x^2-x)/(3x+6)先求分母为0的解：3x+6=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=-1/3，所以值域为{-1/3}三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1)=x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。
高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案
04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。
高中函数考试题及答案
高中函数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2在R上单调递增，则x的取值范围是：A. x > 2B. x < 2C. x ≥ 2D. x ≤ 23. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，当x = -1时，f(x)的值为：A. 4B. 2C. 1D. 04. 函数y = log_2(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)5. 函数y = √(x - 1)的值域是：A. (0, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, +∞)6. 若函数f(x) = 3x - 2与g(x) = 2x + 1的图象有交点，则交点的个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. 4πD. 18. 函数f(x) = 1 / (x^2 + 1)的图像关于：A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 都不是9. 若函数f(x) = x^2 + bx + c的顶点坐标为(-1, -2)，则b的值为：A. 0B. -1C. 2D. -210. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：1-5 CADBA 6-10 BCCDB二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = 3x + 5的斜率是______。
12. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是______。
13. 函数y = sin(x)的对称轴方程是______。
14. 函数y = 2^x的反函数是______。
高中试卷-专题4.5 函数应用(含答案)
专题4.5 函数应用1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点．(3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2。
函数零点的判定定理条件结论函数y ＝f (x )在[a ，b ]上(1)图象是连续不断的曲线(2)f (a )f (b )< 0y ＝f (x )在(a ，b )内有零点3．四种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a ＞1)y ＝log a x (a ＞1)y ＝x n (n ＞0)y ＝kx ＋b (k ＞0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n 值而不同直线上升4．三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y ＝a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x >x n .(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y ＝log a x (a ＞1)和幂函数y ＝x n (n ＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n ＜a x .1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A2．已知函数()20,,021x x x f x x ³ì-í-î＝＜，若函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．01b <<B ．0b <C ．20b -<<D ．10b -<<【答案】D【解析】如图，作出f (x )图像，函数()()g x f x b =-有两个零点，等价于y ＝f (x )与y ＝b 图像有两个交点，则10b -<<．故选：D ．3．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】：因为lg y x =与3y x =-在定义域上单调递增，所以()lg 3f x x x =+-在定义域()0,¥+上单调递增，又()1lg11320f =+-=-<，()2lg 2231lg 20f =+-=-+<，()3lg 333lg 30f =+-=>，即()()230f f ×<，所以()f x 的零点位于()2,3内；故选：C4．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：ln 20.69»）（ ）A ．0.9天B ．1.8天C ．1.2天D ．3.6天【答案】D【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()e t I t \=，当0=t 时，(0)1I =，则0.38e 4t =，两边取对数得0.382ln 2t =，解得2ln 23.60.38t =»．故选：D 5．已知1x ，2x 分别是方程e 20x x +-=，ln 20x x +-=的根，则12x x +=（ ）A ．1B ．2C D 1【答案】B【解析】由题意可得1x 是函数e x y =的图象与直线2y x =-+交点A 的横坐标，2x 是函数ln y x =图象与直线2y x =-+交点B 的横坐标，因为e x y =的图象与ln y x =图象关于直线y x =对称，而直线2y x =-+也关于直线y x=对称，所以线段AB 的中点就是直线2y x =-+与y x =的交点，由2y xy x =ìí=-+î，得11x y =ìí=î，即线段AB 的中点为(1,1)，所以1212x x +=，得122x x +=，故选：B 6．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间()0,16，()0,4，()0,2内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,1内有零点B ．函数()f x 在区间()0,1或()1,2内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16上无零点D ．函数()f x 在区间()1,16内无零点【答案】C【解析】由题意，函数()f x 唯一的一个零点在()0,2内，则函数在[)2,+¥上无零点，但零点与1的大小未知，排除A ，B ，D 选项，故选：C7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ££时，设y kx =，将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =，当10x >时，设a y x=，将点(10,8)代入a y x=得：10880a =´=，则此时80y x =，综上，()4010580(10)x x y x x 죣ïï=íï>ïî，当010x ££时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x =，则当4y ³时，520x ££，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟），故选：C ．8．已知函数()21,22,21x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则方程()1f f x éù=ëû的实数根的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】令()f x t =，则()1=f t ，①当2t …时，||211t -=，||22t \=，||1t \=，即1t =±，②当2t >时，211t =-，3t \=，画出函数()f x 的图象，如图所示，若1t =-，即()1f x=-，无解；若1t =，直线1y t ==与()y f x =的图象有3个交点，即()1f f x éù=ëû有3个不同实根；若3t =，直线3y t ==与()y f x =的图象有2个交点，即()1f f x éù=ëû有2个不同实根；综上所述，方程[()]1f f x =的实数根的个数为5个，故选：B ．9．若关于x 的方程()44240x xa ++×+=在[]1,2-上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．25,82éù--êúëûB ．25,2¥æù--çèûC ．[]25,8--D ．[)8,-+¥【答案】A【解析】当[]1,2x Î-时，令12,42x t éù=Îêúëû，则()2240t a t +++=，可得()42a t t -+=+，设()4g t t t =+，其中1,42t éùÎêúëû，任取1t 、21,42t éùÎêúëû，则()()()()()()1212121212121212124444t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t ---æöæö-=+-+=--=ç÷ç÷èøèø.当12122t t £<£时，12144t t <<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以，函数()4g t t t =+在1,22éùêúëû上为减函数；当1224t t £<£时，12416t t <<，则()()120g t g t -<，即()()12g t g t <，所以，函数()4g t t t=+在[]2,4上为增函数.所以，()()min 24g t g ==，11722g æö=ç÷èøQ ，()45g =，则()max 11722g t g æö==ç÷èø，故函数()4g t t t =+在1,42éùêúëû上的值域为174,2éùêúëû，所以，()17442a £-+£，解得2582a -££-.故选：A.10．已知函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的，则“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数2y x =在[]1,1-上满足()()110f f ->，但其有零点0x =，故必要性不成立；所以“()()0f a f b <”是“函数()y f x =在区间[],a b 内有零点”的充分不必要条件故选：A11．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ）A ．－5B ．－2C ．2D ．3【答案】A【解析】因为0x =不是方程的解, 所以方程可变形为1||x a x+=, 可考虑函数||y x a =+与1y x=的图象共有三个公共点,如图，当0a ³时，仅1个公共点，不符合；当0a <时，结合图象，由方程1(0)x a x x-+=<有一解，可得2a =-，所以2a <-符合要求.故选：A12．已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ì-<ï=í-+³ïî，若方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ×××的取值范围是（ ）A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）【答案】D【解析】由方程()()f x m m =ÎR 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <£．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<，由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--，所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+³的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x £<，423x <£，且344x x +=，所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+Î，则1234[3,4)x x x x Î．故选：D.二、多选题13．下列说法正确的是（ ）A ．已知方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是12a <<.D ．若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则一定有()()0f a f b ×<【答案】AC【解析】对于A ，令()e 8x f x x =+-，显然()f x 为增函数，因为(1)e 18e 70f =+-=-<，22(2)e 28e 60f =+-=->，所以()f x 在(1,2)内有唯一零点，所以方程e 8x x =-在(1,2)内有唯一解，因为方程e 8x x =-的解在()(),1k k k Z +Î内，所以1k =，故A 正确；对于B ，令2()230f x x x =--=，得1x =-或3x =，所以函数()223f x x x =--的零点是1-和3，故B 不正确；对于C ，令22()24f x x ax a =-+-，依题意可得(1)0(0)0(2)0f f f ->ìï<íï<î，即2221240404410a a a a a ì++->ï-<íï-+-<î，解得12a <<，故C 正确；对于D ，因为(1)()(2)f x x x =--在(0,3)上有两个零点，但是(0)(3)2240f f =´=>，故D 不正确；故选：AC14．已知函数()y f x =的图象在区间[]0,1上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．若()()010f f ×<，则()y f x =在()0,1内至少有一个零点B ．若()()010f f ×>，则()y f x =在()0,1内没有零点C ．若()y f x =在()0,1内没有零点，则必有()()010f f ׳D ．若()y f x =在()0,1内有唯一零点，()()010f f ×<，则()f x 在()0,1上是单调函数【答案】AC【解析】因为()f x 在[0，1]上连续，A ．(0)f f ×（1）0<，由零点存在定理可知，()y f x =在(0,1)内至少有一个零点，故正确；B ．当21()4f x x x =-+时，满足(0)f f ×（1）0>，但在(0,1)内有一个零点12，故错误；C ．()y f x =在(0,1)内没有零点，则必有(0)f f ×（1）0…等价于(0)f f ×（1）0<，则()y f x =在(0,1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；D ．()y f x =在(0,1)内有唯一零点，(0)f f ×（1）0<，但()f x 在(0,1)上不一定是单调函数，比如211()44f x x æö=--ç÷èø，故错误．故选：AC ．15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x ，对应的五分记录数据记为y ，现有两个函数模型：①52lg =+y x ；②15lg=-y x．（参考数据：0.110 1.25»）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（ ）A ．选择函数模型①B ．选择函数模型②C ．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9D ．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8【答案】BD【解析】当0.1x =时，代入52lg =+y x 得：523y =-=，代入15lg=-y x得：514y =-=.故选择函数模型②.A 错误；B 正确.对于C ：当5y =时，由15lg=-y x解得：1x =，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C 错误；对于D ：当 4.9y =时，由15lg =-y x解得：0.8x =，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D 正确.故选：BD16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x 台()*N x Î的收入函数()2300020R x x x=-（单位：元），其成本的数()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为()P x ，则以下说法正确的是（ ）A ．()P x 取得最大值时每月产量为63台B ．边际利润函数的表达式为()()*248040NMP x x x =-ÎC ．利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值D ．边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】对于A 选项，()()()22025004000P x R x C x x x =-=-+-，二次函数()P x 的图象开口向下，对称轴为直线250062.540x ==，因为N x *Î，所以，()P x 取得最大值时每月产量为63台或62台，A 错；对于B 选项，()()()()()()2212012500140002025004000MP x P x P x x x x x éù=+-=-+++---+-ëû()248040N x x *=-Î，B 对；对于C 选项，()()()max 626374120P x P P ===，因为函数()248040MP x x =-为减函数，则()()max 12440MP x MP ==，C 对；对于D 选项，因为函数()248040MP x x =-为减函数，说明边际利润函数()MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D 对.故选：BCD.17．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =-，()(2)f x f x -=--，当(1,1]x Î-时，2()1f x x =-+，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)1f =B ．当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-C ．(3)y f x =+为奇函数 D ．方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当10x -<<时，()01f x <<，当01x ££时，()01f x ≤≤，函数()y f x =的定义域为R ，有()(2)f x f x =-，又()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =---，因此有(2)(2)x x f f =----，即(4)()f x f x +=-，于是有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，从而得函数()f x 的周期8T =，对于A ，()()()()()2022252866201f f f f f =´+==-=-=-，A 不正确；对于B ，当45x ££时，041x £-£，有0(4)1f x £-£，则()(4)[1,0]f x f x =--Î-，当56x ££时，423x -£-£-，0(2)41x £-+£，有0[(2)4]1f x £-+£，()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+Î-，当[]4,6x Î时，()f x 的取值范围为[]1,0-，B正确；对于C ，(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+，函数(3)y f x =+为奇函数，C 正确；对于D ，在同一坐标平面内作出函数()y f x =、lg(1)y x =+的部分图象，如图：方程()lg(1)f x x =+的实根，即是函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象交点的横坐标，观察图象知，函数()y f x =与lg(1)y x =+的图象有5个交点，因此方程()lg(1)f x x =+仅有5个不同实数解，D 正确.故选：BCD三、填空题18．若方程11()()1042x xa +-+=有正数解，则实数a 的取值范围是_______.【答案】30a -<<【解析】设1(2xt =，由0x >，得01t <<，因为方程11()()1042x xa +-+=有正数解，所以方程210t t a +-+=在()0,1上有实根．因为2(1)1a t =-++，当01t <<时，112t <+<，所以21(1)4t <+<，所以24(1)1t -<-+<-，所以23(1)10t -<-++<，所以30a -<<.故答案为：30a -<<.19．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52»）【答案】51【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+，解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +\-==+-2ln(1)7.9a \+=，得27.9(1)e a +=152a \+=»，51a \»则燃料质量是箭体质量的51倍故答案为：51.20．已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì<ïí<ïî，即2030a <ìí+<î，解得a ÎÆ；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ì>ïí>ïî，即2030a >ìí+>î，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．21．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =，对于结论（1）当0x <时，()()2log f x x =-；（2）方程()0f f x =éùëû根的个数可以为4,5,7；（3）若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，则实数a 的范围是1,2æö+¥ç÷èø；（4）若()02f =，关于x 的方程()()220f x f x --=éùëû有5个不同的实根.说法正确的序号是___．【答案】（1）（2）（4）【解析】令0x <，则0x ->，2()log ()f x x \-=-，又函数为偶函数，2()()log ()f x f x x \=-=-，故（1）正确；令()t f x =，则()0f t =，()f x 为R 上的偶函数，①若(0)0f =,可得0=t 或1或1-，由()1f x =可得2x =或2-;()1f x =-时,可得12x =±,当()0f x =时，0,1,1x =-，[()]0f f x \=的根的个数共7个；②若(0)0f ≠,且(0)1f =或(0)1f =-,则1t =或1-,所以由①知函数[()]0f f x =的根的个数可为5个;③若(0)0f ≠，且(0)1f ≠且(0)1f ≠-,比如(0)2f =,则1t =或1-, 所以由①知函数()0f f x =éùëû的根的个数为4个，故（2）正确;若函数212y f ax x æö=-+ç÷èø在区间[]1,2上恒为正，即221log (02ax x -+>在[]1,2恒成立，可得2102ax x -->在[]1,2恒成立，即2112a x x>+恒成立，2211111(1)222x x x +=+-Q ，又1112x££，1x \=时，2112x x+取得最大值32，则32a >，故（3）错误；由()()220f x f x --=éùëû解得()2f x =或()1f x =-，当()2f x =时，4x =±，0，当()1f x =-时，12x =±，综上方程有5个根，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）四、解答题22．已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ³，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =×-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围.【答案】(1)(),0¥-(2)()1,+¥U 【解析】(1)解：()f x Q 是偶函数，()()f x f x \-=，即33log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对任意R x Î恒成立，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x ---+\=+-+===-+，1k \=-．即()3()log 91xf x x =+-，因为函数()y f x x a =-+有零点，即方程3log (91)2x x a +-=-有实数根．令3()log (91)2x g x x =+-，则函数()y g x =与直线y a =-有交点，333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+-Q 33911log log (1)99x xx +==+，又1119x +>，31()log (109x g x \=+>，0a \->，所以0a <，即a 的取值范围是(),0¥-．(2)：因为()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx xx f x x -+=æç=+-ö÷èø=+-=+，又函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，则关于x 的方程()33log (32)log 33x x xm m -×-=+只有一个解，所以3233x x x m m -×-=+，令3(0)x t t =>，得2(1)210m t mt ---=，①当10m -=，即1m =时，此方程的解为12t =-，不满足题意，②当10m ->，即1m >时，此时()2244(1)410m m m m D =+-=+->，又12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当10m -<，即1m <时，由方程2(1)210m t mt ---=只有一正根，则需244(1)(1)0202(1)m m mm ì--´-=ï-í->ï-î，解得m =综合①②③得，实数m 的取值范围为：()1,+¥U ．23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入()R x 满足()()20.4 4.20.80510.2(5)x x x R x x ì-+-££=í>î，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？【答案】(1)20.4 3.2 2.8,(05)()8.2,(5)x x x f x x x ì-+-££=í->î(2)当工厂生产400万台产品时，盈利最多，240元/台【解析】(1)依题意，()2G x x =+，设利润函数为()f x ，则()()()()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x f x R x G x x x ì-+-££=-=í->î，，要使工厂有盈利，即解不等式()0f x >，当05x ££时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->．即2870x x -+<．1715x x \<<\<£，．当5x >时，解不等式8.20x ->，得8.2x <．58.2x \<<．综上，要使工厂盈利，x 应满足18.2x <<，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)05x ££时，()20.4(4) 3.6f x x =--+，故当4x =时，()f x 有最大值3.6．而当5x >时，()8.25 3.2f x <-=所以，当工厂生产400万台产品时，盈利最多．又4x =时，()42404R =(元/台)，故此时每台产品售价为240(元/台)．24．已知函数()()4log 412xx f x =+-与()44log 23x g x a a æö=×-ç÷èø.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)偶函数(2){}13a a a >=-或【解析】(1)∵()()4log 412xx f x =+-的定义域为R ，()()()()444log 41log 41log 40x x x f x f x x x ---=+-+-=-=∴()()f x f x =-，∴()f x 为偶函数.(2函数()()()F x f x g x =-只有一个零点即4414log 2log 223x xx a a æöæö+=×-ç÷ç÷èøèø即方程1422023x xx a a +=×->有且只有一个实根.令20x t =>，则方程()241103a t at ---=有且只有一个正根.①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，若方程有两相等正根，则()()()2443130a a D =--´-´-=，且()40231aa >´-，解得3a =-；满足题意20x t =>③若方程有一个正根和一个负根，则101a -<-，即1a >时，满足题意20x t =>.∴实数a 的取值范围为{}13a a a >=-或.25．已知函数()22x xf x =--．(1)判断函数f (x )(2)解不等式：()f x <；(3)若关于x 的方程14()223x xf x m m -=×--只有一个实根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析；(2)1(,2-¥；(3){－3} U （1，+∞）.【解析】(1)f (x )在R 上单调递增；任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则()()112212 (22)(22)x x x x f x f x =------1212122(122x x x x =+×(-)∵12x x <∴12022x x <<，∴()()120f x f x <-．即()()12f x f x <．∴函数f (x )在R 上单调递增．(2)∵1()2f =∵()f x <，∴1()(2f x f <，又∵函数f (x )在R 上单调递增，∴12x <，∴不等式的解集为1(,2-¥．(3)由14()223x xf x m m -=×--可得，4(1)2203x x m m ×=----，即24122103x x m m ×-×=（-）-，此方程有且只有一个实数解．令2x t =，则t >0，问题转化为：方程24(1)103m t mt -=--有且只有一个正数根．①当m =1时，34t =-，不合题意，②当m ≠1时，（i ）若△=0，则m =－3或34，若m =－3，则12t =，符合题意；若34m =，则t = －2，不合题意，（ii ）若△>0，则m <－3或34m >，由题意，方程有一个正根和一个负根，即101m -<-，解得m >1． 综上，实数m 的取值范围是{－3} U （1，+∞）．26．设()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x y ､都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-.(1)求()119f f æöç÷èø,的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数k ，使不等式()()22f kx f x +-<有解，求正数k 的取值范围. 【答案】(1)()10f =，129f æö=ç÷èø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，证明见解析；(3)1,9¥æö+ç÷èø.【解析】(1)根据题意，令1y =，有()()()1f x f x f =+对任意x 都成立，所以()10f =.因为()()1131,3333f f f f æöæö=-´=+ç÷ç÷èøèø可得113f æö=ç÷èø，1111229333f f f æöæöæö=´==ç÷ç÷ç÷èøèøèø；(2)()f x 在R +上是单调递减的函数，理由如下：对任意的()1212,0,,0x x x x ¥Î+<<，有：211x x >，()()()()()22121111110x x f x f x f x f x f x f x f x x æöæö-=-×=-->ç÷ç÷èøèø，所以()f x 在R +上是单调递减的函数.(3)()()()212229f kx f x f kx kx f æö+-=-<=ç÷èø，由于()f x 在R +上是单调递减，只需要210,20,29kx x kx kx >->->有解，即291810kx kx -+<，又因为k 是正数，只需要2Δ324360k k =->，即19k >或0k <（舍）当19k >时，因为二次函数()29181g x kx kx =-+的对称轴是1x =，一定有()01g =，()1190g k =-<，所以在()0,1内()()22f kx f x +-<必定有解.综上可知，k 的取值范围是1,9¥æö+ç÷èø.。
(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案
函数专题练习1。
函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2。
已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11[,)73（D ）1[,1)73。
在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x=（B )()||f x x = (C ）()2x f x =(D ）2()f x x =4。
已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。
11(,)33- D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C 。
,y x x R =∈R7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A 。
4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 （B )()()f x f x -是奇函数（C ) ()()f x f x --是偶函数 （D ） ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()x f x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()x f x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>)10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， （A ）0 (B )1 （C ）2 （D )311、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是(A ）0 （B ）12 (C ) 32（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（一） 填空题（4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
高考函数专项大题(带答案)
函数高考专项1、已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．2、设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2＋a 3x (a i ∈R ，i ＝0，1，2，3 )，当x ＝－22时，f (x )取得极大值23，并且函数y ＝f ' (x )的图象关于y 轴对称。
（1）求f (x )的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x )－f (cos x ) | ≤ 223(x ∈R )．3、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。
4、已知函数()21log 0,2a f x x a a ⎛⎫=>≠⎪⎝⎭， （1）若()()()()2221220081220088,f x x x f x f x f x =+++ 求的值.（2）当()()()1,010,x x f x ∈-=+>时，g 求a 的取值范围.(3)若()()1,g x f x =+当动点(),p x y 在()y g x =的图象上运动时，点,32x y M ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式.5、已知函数.21)1()())((=-+∈=x f x f R x x f y 满足 （Ⅰ）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （Ⅱ）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足，求列数}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足1433221,41+++++==n n n n n b b b b b b b b S b a ，则实数k 为何值时，不等式n n b kS <2恒成立.6、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.7、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x f 的表达式；(2)在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值 范围；(3)设0m n ⋅<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.8、已知二次函数221(),:8直线f x ax bx c l y t t =++=-+,其中(02≤≤，t t 为常数）； 2: 2.l x =若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S(t )的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ， 使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m 的值； 若不存在，说明理由．9、若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。
高中数学高考总复习函数概念习题及详解
高中数学高考总复习函数概念习题及详解一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(－∞，2]log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a ＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A.解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A.高考总复习含详解答案6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g (f (x ))的表格，其三个数依次为( )A.3,1,2 C ．1,2,3D ．3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知，f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝1，g (1)＝1，g (2)＝3，g (3)＝2， ∴g (f (1))＝g (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2，g (f (3))＝g (1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3}D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1； g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13B. 2C.22D ．2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－94， 当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x ) (x ≤0)f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b函数f (x )＝log 12(3x高考总复习含详解答案－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是()A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1； 当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f高考总复习含详解答案2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎡⎦⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.[答案] 2011[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0， 如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根． 综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)高考总复习含详解答案[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2 (0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米， 即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20， 当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0， 所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)； 当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)． 则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)高考总复习含详解答案＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758(万元) 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)． ∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。
高中函数试题及答案解析
高中函数试题及答案解析试题一：函数的奇偶性1. 判断函数f(x) = x^2 - 2x + 3的奇偶性，并说明理由。
2. 若f(x)为奇函数，且f(1) = 5，求f(-1)的值。
试题二：函数的单调性3. 判断函数g(x) = -3x^2 + 6x - 2在区间(-∞, 1]上的单调性。
4. 若函数h(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1在区间[-1, 1]上单调递减，求h'(x)的值。
试题三：复合函数的单调性5. 若f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x - 3，求复合函数f(g(x))，并判断其单调性。
6. 若复合函数f(g(x))在区间[-2, 1]上单调递增，求g'(x)的值。
试题四：函数的值域7. 求函数y = 3x + 2在x∈[-1, 4]上的值域。
8. 若函数y = 1/x在x∈(0, 1]上的值域为[2, +∞)，求y的最小值。
试题五：函数的极值9. 求函数k(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处的极值。
10. 若函数m(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 8x + 1在x = 2处取得极小值，求m'(x)和m''(x)的值。
答案解析：1. 函数f(x) = x^2 - 2x + 3为偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 3 = x^2 + 2x + 3 = f(x)。
2. 由于f(x)为奇函数，所以f(-1) = -f(1) = -5。
3. 函数g(x) = -3x^2 + 6x - 2在区间(-∞, 1]上单调递增，因为g'(x) = -6x + 6，当x < 1时，g'(x) > 0。
4. 函数h(x)的导数h'(x) = 6x^2 - 12x + 3，由于h(x)在区间[-1, 1]上单调递减，所以h'(x) < 0，即6x^2 - 12x + 3 < 0。
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函数专题复习（1）
一、函数的奇偶性和单调性
1、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A.)()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
2、设函数21()ln(1||)1f x x x
=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
U C ．11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
3、若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 4、设函数f(x)= ()sin x x x 2
2+1++1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=____
二、指数函数、对数函数和幂函数
1、设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则（ ）
（A ）a ＞c ＞b （B ） b ＞c ＞a （C ）c ＞b ＞a （D ）c ＞a ＞b
2、已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）
（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝
3、当0<x ≤12
时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 ( ) （A ）(0
，2) （B ）
(2
，1) （C ）(1
) （D ）
，2) 4、若存在正数x 使2x （x-a ）＜1成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）（-∞，+∞） （B ）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）
三、分段函数
1、已知函数12
22,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ） （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14
-
2、设函数()
1
1
3
,
1,
,1,
x
e x
f x
x x
-
⎧<
⎪
=⎨
⎪≥
⎩
则使得()2
f x≤成立的x的取值范围是________.
3、已知函数
22,0,
()
ln(1),0
x x x
f x
x x
⎧-+≤
=⎨
+>
⎩
，若|()|
f x ax
≥，则a的取值范围是（）（A）(,0]
-∞（B）(,1]
-∞ (C) [2,1]
- (D) [2,0]
-
四、函数图像的对称性
设函数()
y f x
=的图像与2x a
y+
=的图像关于直线y x
=-对称，且(2)(4)1
f f
-+-=，则a=( )
（A）1
-（B）1（C）2（D）4
五、函数的图像
1、如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP x
∠= ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数()
f x ,则()
f x的图像大致为（）
2、函数()(1cos)sin
f x x x
=-在[,]
ππ
-的图像大致为（）
六、函数和导数
1、已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-
2、已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是（ ）
（A ）∃0x R ∈, f(0x )=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C ）若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减
（D ）若0x 是f （x ）的极值点，则 'f (0x )=0
3、已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．
4、曲线y=x(3lnx+1)在点)1,1(处的切线方程为________
5、设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln
f x a a a ≥+. 6、已知()()ln 1f x x a x =+-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.
7、设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a -=+
-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0求b;若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围。
8、已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y
f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．
（1）求a ； （2）证明：当1k
<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．
9、己知函数2()x f x x e -=.
(I)求f(x)的极小值和极大值； (II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围.
10．已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+。
（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。