代入法解二元一次方程组知识点整理

初中数学知识点研究

单元名称：七（下）第十章一次方程组

章节名称：第二节二元一次方程组的解法

课时名称：第一课时

知识点：代入法解二元一次方程组

一.知识点目标：

1. 理解消元的思想；

2. 会用代入法解二元一次方程组.

二、知识点分析：

知识点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

知识点二、代入消元法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

知识点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【总结升华】【温馨提示】}代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．

三.知识点训练

(一)基础训练

1．用代入法解方程组：

237 338

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

①

②

2.m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并

求它的所有正整数解.

（二）能力训练

1.“整体代入”解方程组：

10 4()5

x y

x y y

--=

⎧

⎨

--=⎩

2.解方程组

2320, 235

2y9.

7

x y

x y

--=

⎧

⎪

-+

⎨

+=⎪⎩

（三）拓展训练 1.如果方程组

的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 2.已知256

4x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③

④的解相同，求2011(2)a b +的值．

知识点训练答案

(一)基础训练

1.解：由①得 732

y x -= ③ 将③代入② 733382y y -⨯-=，解得13

y =． 将13

y =代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩

． 2.（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；

（2）m=-3，-2，0，

.

（二）能力训练 1．解：104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②

由①，得1x y -= ③.

将③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-.

把1y =-代入③，得0x =.

所以原方程组的解为01x y =⎧⎨=-⎩

． 【总结】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．

2.解： 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩

①②

将①代入②：25

29 7

y

+

+=，得 y=4，

将y=4代入①：2x－12=2

得 x=7，

∴原方程组的解是

7

4 x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

.

（三）拓展训练

1.B．解：，

由①得y=3-x ③

将③代入②得：6x=12，

解得：x=2，

将x=2代入②得：10﹣y=9，

解得：y=1，

将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，

解得：m=2．

【总结】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

2.解：依题意联立方程组

256 3516

①x y

x y

+=-

⎧

⎨

-=

⎩③

①+③得5x＝10，解得x＝2．

把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以

2

2 x

y

=

⎧

⎨

=-

⎩

，

又联立方程组

4

8

ax by

bx ay

-=-

⎧

⎨

+=-

⎩

，则有

224

228

a b

a b

+=-

⎧

⎨

-+=-

⎩

，

解得

1

3 a

b

=

⎧

⎨

=-

⎩

．

所以(2a+b)2011＝-1．

【总结】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.