二元一次方程组及代入法
代入消元法解二元一次方程组步骤
代入消元法解二元一次方程组步骤代入消元法是解决二元一次方程组的一种常用方法。
通过该方法，我们可以通过将一个方程的一些变量表示为另一个方程中的变量的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组化简为只含有一个变量的方程。
以下是详细的步骤：步骤1：观察方程组首先，我们需要观察方程组的形式，并且确定我们希望通过代入消元法消去哪个变量。
方程组一般写作如下形式：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂步骤2：选择合适的方程从方程组中选择其中一个方程（通常选择其中一个系数较小的方程）作为代入方程，将该方程中的一个变量表示为另一个方程中的变量的函数。
选择的变量通常是未知数的系数较小的那个。
在本例中，我们选择第一个方程作为代入方程。
步骤3：将一个变量表示为另一个变量的函数将代入方程中的变量表示为另一个方程中的变量的函数。
通常，这涉及到将代入方程中的一个变量表示为常数减去该变量与其他变量的乘积。
我们将代入方程中的y表示为c₁减去x与b₁的乘积，表示为y=c₁-(a₁/b₁)x。
步骤4：将代入方程代入到第二个方程将代入方程中的变量的表达式代入到第二个方程中的相应变量。
利用步骤3中得到的y的表达式，将y替换为c₁-(a₁/b₁)x。
这样我们就得到了一个只含有一个变量x的方程。
a₂x+b₂(c₁-(a₁/b₁)x)=c₂步骤5：化简方程将方程中的项进行展开和合并，化简为只含有一个变量的方程。
首先，我们将b₂与c₁相乘并将b₂(a₁/b₁)x替换为(a₁b₂/b₁)x，得到a₂x+b₂c₁-(a₁b₂/b₁)x=c₂然后，我们将a₂x和-(a₁b₂/b₁)x合并，得到(a₂-a₁b₂/b₁)x+b₂c₁=c₂以及[(a₁b₂-a₂b₁)/b₁]x=c₂-b₂c₁步骤6：求解单变量方程将方程中只含有一个变量x的那一边除以系数[(a₁b₂-a₂b₁)/b₁]，并将另一边除以[(a₁b₂-a₂b₁)/b₁]，得到x=(c₂-b₂c₁)/[(a₁b₂-a₂b₁)/b₁]步骤7：求解另一个变量将我们求得的x的值代入到步骤3中得出的y的表达式中，即y=c₁-(a₁/b₁)x，并计算出y的值。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
二元一次方程组的解法(一)代入法
二元一次方程组的解法（一）——代入法一、知识互动1、消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
2、代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）把变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。
4、热身：把方程872=-y x （1）写成用含x 的代数式表示y 的形式； 7872-=x y （2）写成用含y 的代数式表示x 的形式。
427+=y x二、例题讲解例1 用代入法解二元一次方程组（1）⎩⎨⎧=+=+1341632y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-142732y x y x 解：⎩⎨⎧==25y x ⎩⎨⎧-==610y x例2 用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x 解：⎩⎨⎧==15y x例3 甲、乙两人同求方程7=-by ax 的整数解，甲求出的一组解为⎩⎨⎧==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求出一组解为⎩⎨⎧==21y x ，求a 、b 的值。
解：将解代入得⎩⎨⎧=-=-12743b a b a ，解得⎩⎨⎧==25b a三、课堂检测 1、用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=421y x x y 代入正确的是（ C ） A 、42=--x x B 、422=--x xC 、422=+-x xD 、42=+-x x2、用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+)2(,52)1(,243y x y x 下列变形中，化简较容易的是（ D ）A 、由（1），得342yx -= B 、由（1），得432xy -=C 、由（2），得25+=y x D 、由（2），得52-=x y2、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x my x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ D）A 、1B 、3C 、5D 、24、用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧+==+173x y y x （2）⎩⎨⎧=-=+3252y x y x （3）⎩⎨⎧=+=+743725y x y x解：⎩⎨⎧==21y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==11y x5、用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--yx y x 211)3(2032)3( 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1011548y x6、如果573+n m b a 与m n b a 4218--是同类项，求n m -的值。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。
dx + ey = f。
要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
方法一，代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。
我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。
x y = 1。
我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。
2 + 2y + 3y = 8。
5y = 6。
y = 6/5。
将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。
x = 11/5。
因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。
方法二，消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。
以方程组。
2x + 3y = 8。
x y = 1。
为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。
然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。
方法三，克莱姆法则。
克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。
对于方程组。
ax + by = e。
cx + dy = f。
如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。
y = (af ec) / (ad bc)。
方法四，图解法。
图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。
通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。
总结。
解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。
《代入法解二元一次方程组》教学设计(推荐五篇)[修改版]
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第一篇：《代入法解二元一次方程组》教学设计消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）学情分析: 因为学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。
讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
三维目标知识与技能1、会用代入法解二元一次方程组2、初步体会二元一次方程组的基本思想---“消元”过程与方法: 通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养学生观察能力，体会化归思想。
情感态度与价值观:通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神。
教学重点：用加减消元法解二元一次方程组。
教学难点：理解加减消元思想和选择适当的消元方法解二元一次方程组。
教学过程(一）创设情境，激趣导入在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y场)，x y22可以列方程组2x y40 表示本章引言中问题的数量关系。
如果只设一个未知数(设胜x场)，这个问题也可以用一元一次方程________________________[1]来解。
分析：[1]2x＋(22－x)=40。
观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。
这正是下面要讨论的内容。
（二）新课教学可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。
解这个方程，得x＝18。
把x＝18代入y=22－x，得y＝4。
从而得到这个方程组的解。
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解
二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【要点梳理】 要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，如果消去其中一个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数另一个未知数. . . 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. .2.消元的基本思路：未知数由多变少未知数由多变少. .3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程把二元一次方程组转化为一元一次方程. .要点二、代入消元法 通过“代入”“代入”消去一个未知数，消去一个未知数，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，将方程组转化为一元一次方程，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元这种解法叫做代入消元法，简称代入法．法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x yx y =+ìí+=î . 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可..【答案与解析】解：5341x y x y =+ìí+=î①②将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =ìí=-î【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组方程组..举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x 3x＋＋2y 2y＝＝5的解，则x ＝________，，y ＝____.【答案】3，﹣，﹣2.2.2.2. 2. 用代入法解二元一次方程组：用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=ìí+-=î①② 【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可来表示，再代入①中即可..【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2 所以原方程组的解为23x y =ìí=î．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】 【变式1】与方程组2020x y x y +-=ìí+=î有完全相同的解的是（有完全相同的解的是（ ）） A A．．x+y x+y－－2=0B B．．x+2y=0C C．．(x+y (x+y－－2)(x+2y)=0D D．．22(2)0x y x y +-++=【答案】D 【变式2】若∣x－】若∣x－2y 2y 2y＋1∣＋＋1∣＋＋1∣＋(x (x (x＋＋y －5)2＝0，则，则 x= ， y= .【答案】3,23,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 3. 方程组方程组43235x y k x y -=ìí+=î的解x y 与的值相等，则k 的值是的值是 . .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=ìí+=î①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m y=m，，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=ìí-++=î的解x 与y 相等，求k.k. 【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 4. 若方程组若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0ìíî的解为14x y =ìí=î，试求a b 、的值的值.. 【答案与解析】解：将14x y =ìí=î代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0ìí´î，即a+4b=11a+8b=19ìíî，解得a=3b =2ìíî.【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值。
整体代入法解二元一次方程组
整体代入法解二元一次方程组说到解决二元一次方程组，整体代入法可是个绝招。
想象一下，这就像在解谜，拼图的感觉，找到每个碎片的确切位置。
你可能会想，听起来有点复杂，其实嘛，没那么难，放轻松，我们来一步步捋清楚。
先说说二元一次方程组，顾名思义，有两个未知数和两个方程。
这就像两位主角在舞台上跳舞，必须协调好动作，才能跳得漂亮。
举个例子，假设我们有方程 ( x + y = 10 ) 和 ( 2x y = 3 )。
这就像一场双人舞，要有默契，才能找到正确的配合。
整体代入法呢，就是把一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式替代，这样一来，整个舞台就变得简单多了。
先从第一个方程开始，咱们可以轻松地把 ( y ) 表达出来，( y = 10 x )。
嘿，这个步骤就像把一个歌手的高音换成低音，听起来不一样，但依然美妙。
把这个表达式带入第二个方程。
就像你把一张纸上的小画圈圈，变成另一幅画的线索，结果变成 ( 2x (10 x) = 3 )。
一会儿你就能发现，事情变得越来越清晰了。
好了，这时把方程整理一下，得出 ( 2x + x 10 = 3 )。
看到了吗？这就像在整理一堆乱七八糟的东西，把有用的留下，没用的扔掉。
把方程再化简一下，得出 ( 3x 10 = 3 )。
嘿，搞定了！再加上10，得出 ( 3x = 13 )，这时候，我们就要算算 ( x ) 的值了，嘿嘿，除以3就得 ( x = frac{13{3 )，这就像在一次购物中，发现了个好折扣，心里美滋滋。
这时候，咱们又回到最初的 ( y ) 的方程，带入这个 ( x ) 的值。
真是不可思议，神奇的事情就要发生了！( y = 10 frac{13{3 )，这一算出来，恰好是 ( y = frac{17{3 )。
太神奇了，这俩数就像一对冤家，刚开始互相看不顺眼，最后却发现彼此是最佳拍档。
别以为就到此为止哦，这里还有个关键的地方，检查一下，确保这俩数真的能同时满足原来的方程。
代入法解二元一次方程组教案
代入法解二元一次方程组教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二元一次方程组计算题及过程答案代入消元法
二元一次方程组计算题及过程答案代入消元法在数学中，我们常常会遇到二元一次方程组，它们可以表示为如下形式：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的常数，而x和y则是我们需要求解的变量。
解二元一次方程组的方法有很多种，其中代入消元法是一种比较常用且易于理解的方法。
下面我们就来看一个具体的例子，来解释如何使用代入消元法来解决二元一次方程组。
计算题：给定以下的二元一次方程组：1.2x + 3y = 102.4x - y = 5请根据代入消元法，计算出x和y的值。
解题过程：第一步：用第一个方程求解出一个未知数的表达式。
从第一个方程中解出x的表达式：2x + 3y = 102x = 10 - 3yx = (10 - 3y) / 2第二步：将x的表达式代入第二个方程中。
将x的表达式代入第二个方程中得到：4((10 - 3y) / 2) - y = 58 - 6y - y = 5-7y = -3y = 3/7第三步：将得到的y的值代入x的表达式中。
将y的值代入x的表达式中得到：x = (10 - 3*(3/7)) / 2x = (10 - 9/7) / 2x = 65/14答案：根据代入消元法的计算，我们得到x=65/14，y=3/7。
通过以上计算过程，我们成功使用代入消元法解决了给定的二元一次方程组，得到了未知数x和y的值。
这种方法虽然繁琐，但是确实是一种有效且可靠的解题方法。
希望这个例子能帮助你更好地理解代入消元法的应用。
总结：二元一次方程组的解题方法有很多种，代入消元法是其中一种常用且易于理解的方法。
在解题过程中，我们首先通过一个已知方程解出其中一个未知数的表达式，然后将其代入另一个方程中得到另一个未知数的值，最后将得到的值代回原表达式中求解出另一个未知数的值。
这种方法虽然繁琐，但是在解决一些复杂的问题时非常实用。
二元一次方程的解法代入消元法
二元一次方程的解法代入消元法
x
这是一篇关于二元一次方程的解法代入消元法的文章。
本文介绍了什么是二元一次方程以及它的解法，特别是介绍了代入消元法这一方法，并介绍了其解题步骤。
什么是二元一次方程？
二元一次方程是指一个形如aX+bY=c的方程，其中X和Y是未知量，a、b、c是实常数（a和b不能同时为0）。
它可以用来描述两个变量之间的关系，如一个等式所表示的二元关系，它的解就是两个变量的值。
代入消元法是什么？
代入消元法是一种将二元一次方程组转化为更简单的形式来求
解方程组的方法。
它通过将两个未知数中的一个值代入另一个方程来求出另一个未知数，把两个方程消去，使未知数减少。
代入消元法的步骤
1. 确定方程组的系数和常数项，将它们化为一般式：ax+by=c
2. 确定要消去的未知数，通常选择其一，将其代入另一方程中
3. 计算出被代入方程的解，然后代入到另一方程中
4. 解出系数和常数项的值，从而求得方程组的解
结论
代入消元法是一种求解二元一次方程的有效方法，它可以通过将一个未知量代入另一方程，把两个方程消去，从而减少未知量的数量，
从而求得方程的解。
代入法解二元一次方程组
代入法解二元一次方程组在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数的两个方程组成的。
解决这种方程组的一种方法是使用代入法。
代入法是通过解一个方程，然后将它的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
什么是二元一次方程组？二元一次方程组是由两个未知数的两个方程组成的方程组。
通常形式为：ax + by = cdx + ey = f这里的a、b、c、d、e和f都是已知的实数系数，x和y是未知数。
代入法的步骤代入法的基本思想是通过解一个方程，然后将它的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
以下是使用代入法解二元一次方程组的步骤：1.从任意一个方程开始，解出其中一个未知数，通常选择其中一个方程比较简单的解。
2.将解出的未知数代入到另一个方程中，得到一个只包含另一个未知数的方程。
3.解这个只包含一个未知数的方程，得到另一个未知数的值。
4.将第3步中求得的未知数的值代入到第1步中解出的未知数的方程中，验证解是否正确。
示例假设我们有如下的二元一次方程组：2x + 3y = 74x - y = 1我们将使用代入法解这个方程组。
首先，我们从第二个方程开始解出y。
将第二个方程改写为：y = 4x - 1将这个解式代入第一个方程中：2x + 3(4x - 1) = 7展开并整理得到：2x + 12x - 3 = 714x = 10x = 10 / 14x = 5 / 7现在我们已经得到了x的值，将其代入第二个方程中可以解出y：y = 4 * (5/7) - 1y = 20/7 - 7/7y = 13/7因此，方程组的解为 x = 5/7，y = 13/7。
验证解为了验证解是否正确，我们将解代入到原方程组中：2 * (5/7) +3 * (13/7) = 710/7 + 39/7 = 749/7 = 7结果为真，所以我们的解是正确的。
代入法是解二元一次方程组的一种常用方法。
通过将一个方程的解代入到另一个方程中，我们可以逐步求得未知数的值。
解二元一次方程组的方法和步骤
解二元一次方程组的方法和步骤在数学中，二元一次方程组是一种常见的方程形式，它由两个未知数和两个方程组成。
解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法和步骤。
一、代入法代入法是解二元一次方程组的一种基本方法。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解该方程。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x - y = 1我们可以将方程2中的y表示为方程1中的未知数x的函数。
通过观察可以发现，方程2中的y可以表示为y = 4x - 1。
将这个表达式代入方程1中，得到2x +3(4x - 1) = 7。
化简后得到14x - 3 = 7，进一步化简为14x = 10，最终解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入y = 4x - 1，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，该二元一次方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
其基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或相差一个整数倍，从而将两个方程相减或相加，消去该未知数，进而求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1：3x + 2y = 8方程2：2x - 4y = -2我们可以通过适当的变换，使得方程组中y的系数相等或相差一个整数倍。
观察方程1和方程2，可以发现将方程2乘以2得到2(2x - 4y) = 2(-2)，即4x - 8y = -4。
现在我们可以将这个新的方程与方程1相减，得到(3x + 2y) - (4x - 8y) = 8 - (-4)，化简后得到-x + 10y = 12。
进一步化简为x = 10y - 12。
将这个表达式代入方程1中，得到3(10y - 12) + 2y = 8。
代入法解二元一次方程组
04
代入法解二元一次方 程组的例子
简单例题的解法及过程
总结词
简单例题通常具有直观的数值和简单的方程，通过代入法可以轻松求解。
详细描述
以二元一次方程组 `{2x + 3y = 8; 4x - y = 2}` 为例，先观察方程1，可以发现y 的系数是3，如果令y=0，则可得到x的值，以此为基础代入方程2，即可求得y 的值。
代入法解二元一次方 程组的教学设计建议
如何帮助学生掌握代入法
01 02
明确代入法的原理
首先需要让学生明白代入法的原理，即通过将一个方程中的某个未知数 用另一个未知数表示，从而将二元一次方程转化为一元一次方程，降低 问题难度。
演示代入法的过程
在教学过程中，教师可以先通过具体的例子演示代入法的具体过程，并 解释每一步的目的和思路。
代入法与矩阵解法的比较
总结词
代入法与矩阵解法均能求解二元一次方程组，但矩阵解法更为精确和高效。
详细描述
代入法虽然可以求解二元一次方程组，但是其精度和计算效率相对较低。相比之下，矩阵解法通过建立系数矩阵 和常数矩阵，并运用线性代数知识求解方程组，具有更高的精度和效率。同时，矩阵解法还可以处理多个未知数 的方程组，适用范围更广。
在金融领域，代入法可以用于计算投资收益、贷款利息等，帮助投 资者做出明智的决策。
统计学中的数据代入
在统计学中，代入法可以将已知数据代入模型或公式中，得出未知 变量的估计值。
医学领域中的数据处理
在医学领域，代入法可以用于处理大量的医疗数据，例如将已知的 生理指标代入疾病诊断模型中，辅助医生做出准确的诊断。
化学方程式的配平
在化学中，代入法可以用于配平化学方程式，确保反应前后的原 子数量相等。
25初中数学七年级下册 二元一次方程组解法(一)--代入法(提高) 知识讲解
4.已知
2x ax
5y by
6 4
① ②
和方程组
3x bx
5y ay
16 8
③ ④ 的解相同，求 (2a b)2011 的
值．
【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是 2x+5y＝-6 和 3x-5y＝16 的解．由于这两个
方程的系数都已知，故可联立在一起，求出 x、y 的值．再将 x、y 的值代入 ax-by＝-4，bx+ay
4/5
【答案】 解：把
代入 cx﹣3y=﹣2，得 c+3=﹣2，
解得：c=﹣5，
把
与
分别代入 ax+by=2，得
，
解得：
，
则 a+b+c=2 + ﹣5=3﹣5=﹣2．
5/5
＝-8 中建立关于 a、b 的方程组即可求出 a、b 的值．
【答案与解析】
2x 5y 6 ①
解：依题意联立方程组 3x 5y 16
③
①+③得 5x＝10，解得 x＝2．
把
x＝2
代入①得：2×2+5y＝-6，解得
y
，
又联立方程组
ax bx
by ay
4 8
，则有
2a 2b 4 2a 2b 8
2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元 法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未 知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为 1(或-1)的方程．则选择系数为 1(或-1)的方程进行变形 比较简便； (3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是 1 或-1，选系数的绝对值较小的方程变形 比较简便．
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】二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：1初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 2(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x 的系数较小，所以先把方程①中x用y 表示出来，代入②，这样会使计算比较简便． 【答案与解析】 解：由①得 732yx -=③初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 3将③代入② 733382y y -⨯-=，解得13y =． 将13y =代入③，得x ＝3 所以原方程组的解为313x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 举一反三：【变式】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.2.（2016春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，4初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 5则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算． 举一反三：【：二元一次方程组的解法369939 例7（1）】【变式1】解方程组2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解： 232235297x y x y y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：25297y ++=，得 y=4， 将y=4代入①：2x －12=2 得 x=7，初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 6∴原方程组的解是74x y =⎧⎨=⎩.【：二元一次方程组的解法369939 例7（2）】 （2）45:4:3x y x y -=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k ，y=3k 代入①：4k －4·3k =5 4k －12k =5 －8k =558k =-∴542x k ==-，1538y k ==-，∴原方程组的解为52158x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用3.（2015春•临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．7初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 84.已知2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b +的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y ＝-6和3x-5y ＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x 、y 的值．再将x 、y 的值代入ax-by ＝-4，bx+ay ＝-8中建立关于a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值． 【答案与解析】 解：依题意联立方程组2563516①x y x y +=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x ＝10，解得x ＝2．把x ＝2代入①得：2×2+5y ＝-6，解得y ＝-2，所以22x y =⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax by bx ay -=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a b a b +=-⎧⎨-+=-⎩，初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( ) A ．a ，b 都是0 B ．a ，b 之一是0 C ．a ，b 互为相反数 D ．a ，b 互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A ．单项式与单项式的和是单项式 B ．单项式与单项式的和是多项式 C ．多项式与多项式的和是多项式 D ．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B ．没有最小的正有理数 C ．没有最大的负整数 D ．没有最大的非负数4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么 ( ) A ．a ，b 同号 B ．a ，b 异号 C ．a ＞0 D ．b ＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 9解得13a b =⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三：【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．10初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；。
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二元一次方程组及代入法一、本讲教学内容及要求了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。
会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。
灵活运用代入法解二元一次方程组。
了解代入法解二元一次方程组的思想方法。
二、本讲的重点、难点和关键：1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。
2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。
3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。
灵活地运用“代入法”和“加减法”。
三、本讲重要数学思想：1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。
2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。
四、主要数学能力：1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。
五、化归思想：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。
它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。
”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。
本章中“化归”思想的突出运用有：1．化陌生为熟悉。
“化二元为一元”，化“三元为二元”。
即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。
这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。
应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。
2．化复杂为简单。
解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。
3．化实际问题为数学问题。
利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。
通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。
将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。
把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。
六、例题分析第一阶梯[例1]1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的5倍的差是1，试列出二元一次方程，并求出此两位数。
提示：（1）设甲、乙二数分别为x、y，可列出什么方程？能到出几个方程？（2）x、y应为什么范围的什么样的数？参考答案：解：设甲、乙二数分别为x、y，由题意有3x-5y=1，说明：二元一次方程有无数个解（或没有不定解），但就具体问题而言，可以讨论它的一些特殊解的情况，此题属于求整数解的问题。
[例2]若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=-1有公共解，求m的值？提示：什么是公共解？即同时满足这三个二元一次方程参考答案：说明：注意理解和运用公共解的概念的实质，解有关的问题。
第二阶梯[例1]已知方程2x n-1-4y4m+n+1=0是二元一次方程，则m=___________, n=___________.解：据二元一次方程定义，未知数x,y的次数都是1。
即：n-1=1, 4m+n=1评析：利用方程（组）及其解的定义，求待定的字母的值，是数学中常见的方法，应扣紧定义，灵活应对。
[例2]在x+3y=3中，若用x表示y，则y=_________,用y表示x,则x=_______.解：评析：用含x（或y）的代数式表示y(或x)是代入消元法的基础，在化简、整理的过程中切忌产生符号错误。
第三阶梯[例1]求符号给定条件的二元一次方程的解。
方程7x+2y=25的正整数解。
解：欲求方程的正整数解，25-7x必须是正偶数，则x是正奇数。
当x=1时，y=9当x=3时，y=2.评析：未知数有附加条件的二元一次方程，它的解往往由无数个变为有限个，解这类题目一般要根据有关数的性质，采取最佳解题策略。
[例2]李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？提示：这个问题涉及到的未知量有：李平和张力分别骑车的时间，速度以及他们各自在公园游玩的时间，根据路程=速度×时间的关系，在相同的路程内速度的大小又可以用时间长短反映出来，因此，上述未知量可以减少两个，题目中又给出了他们二人游玩和骑车所花的时间数量关系，这样只剩下两个未知量了，即李平骑车时间和张力骑车时间。
参考答案：解：设从学校到公园李平用x小时，张力用y小时，则李平游玩时间为4y小时，张力游玩时间为5x小时，根据题意，可以得到x + 4y = y + 5x整理后得3y = 4x显然上面式子，从学校到公园，张力用的时间比李平长，他的速度必定慢，李平速度快！说明：像上述中 3y = 4x这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以写成一般式ax + by = c（其中a , b , c是常数，且a , b≠0）把这个方程变形，用含x的代数式表，同样也可以用含y的代数式表示，如上述方程。
七、检测题1、已知x,y,z都是未知数，a,b是已知数，下列是二元一次方程的个数为（）①y=3x2-1 ②2x-4y=3z ③2y=y+a ④xy-x=3 ⑤ax-3y=b2A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列各式是二元一次方程的是（）A、2x2-y=1B、x2+y=x2+xC、x2=2x2-1D、x-=13、下列关于二元一次方程2x-y=3的解，说法正确的是（）A、2x-y=3的解是x=1, y=-1B、2x-y=3的解是x=2, y=7C、x=1, y=-1是2x-y=3的一个解D、x=2, y=7是方程2x-y=3的一个解4、若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程，那么m的值应是( )A、m≠0B、m=0C、m是正有理数D、m是负有理数5、方程x+2y=7在自然数范围内的解( )A．有无数个 B．有一个 C．有两个 D．有三个6、两列各对数值中是方程的解是（）A． B． C． D．7、二元一次方程的解有_____个。
8、____________________才是二元一次方程的解。
9、若x=2,y=-1是方程3x-my=10的一个解，则m=__________________。
10、已知二元一次方程2x-y=1，若x=2时，则y=_____；若x=_____，则y=-1.11、方程组的解一定是方程_____和_____的解12、根据下列语句，列出二元一次方程：（1）甲数的一半与乙数的和为11（2）甲数和乙数的2倍的差为1713、任何一个二元一次的方程都有_____解。
14、若是二元一次方程mx-2y=1、4的一个解，则m= _____15、写出二元一次方程5x-3y=1的一个正整数解 __________16、根据下列语句，列出二元一次方程（1）甲数的2倍与乙数的3倍的差为21（2）甲数的相反数与乙数的差的一半等于5答案：1、A2、B3、C4、A5、D6、B7、无数8、能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值共解9、410、3；011、3x-7y=8、5x+3y=112、(1) x+y=11 (2)x-2y=1713、无数14、15、16、八、易错分析：1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。
2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。
求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，这样，就会得到满足需要的数对。
3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。
4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。
5．运用代入法解方程组应注意的事项：（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。
（2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。
（3）要判断求得的结果是否正确。
6．对二元一次方程组的解的理解：（1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。
（2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：①因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。
②而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程。
例1、已知方程3x m+3-2y1-2n=15是一个二元一次方程，求m和n的值。
分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1。
解：由题意得：m+3=1,1-2n=1∴ m=-2,n=0例2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？（1）（2）（3）（4）（5）分析：由二元一次方程组的定义可知：①方程组中的每个方程必须都是一次方程；②方程组中的未知数共有两个；③方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有3个未知数；（2）中的xy=2是二元二次方程；（5）中的+y=6不是整式方程。
解：（3），（4）是二元一次方程组。
例3、方程组的解为（）（A）（B）（C）（D）以上答案均不对分析：未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解。
解：把x=-2,y=2代入方程①，左边=3×（-2）+4×2=2=右边，再代入方程②，左边=2×（-2）-2=-6，右边=5∵左边≠右边。
∴（A）满足方程①但不满足方程②，故不是原方程组的解。
同理可得，（B）满足方程①又满足方程②，所以是原方程组的解；而（C）满足方程②但不满足方程①，故不是方程组的解。
∴答案选择B。
例4．已知是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值。
分析：由是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x, y的值适合方程3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取时方程成立。
这样就可以将x=-2，y= 代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值。
解：∵ x=-2, y= 是方程3x-ay-2a=3的一个解，∴ 3(-2)-a( )-2a=3∴ -6- -2a=3, ∴ - a=9, ∴ a=-例5、解方程组分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中②式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入①中消去y。