二元一次方程组及代入法

二元一次方程组及代入法

一、本讲教学内容及要求

了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。

会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。

灵活运用代入法解二元一次方程组。

了解代入法解二元一次方程组的思想方法。

二、本讲的重点、难点和关键：

1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。

2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。

3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。灵活地运用“代入法”和“加减法”。

三、本讲重要数学思想：

1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。

2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。

四、主要数学能力：

1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。

2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。

五、化归思想：

“解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。

本章中“化归”思想的突出运用有：

1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。

2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。

3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。

六、例题分析

第一阶梯

[例1]

1、已知甲数和乙数分别是一个两位数的十位数字和个位数字，且有甲数的3倍与乙数的

5倍的差是1，试列出二元一次方程，并求出此两位数。

提示：

（1）设甲、乙二数分别为x、y，可列出什么方程？能到出几个方程？

（2）x、y应为什么范围的什么样的数？

参考答案：

解：设甲、乙二数分别为x、y，由题意有3x-5y=1，

说明：

二元一次方程有无数个解（或没有不定解），但就具体问题而言，可以讨论它的一些特殊解的情况，此题属于求整数解的问题。

[例2]若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=-1有公共解，求m的值？

提示：

什么是公共解？即同时满足这三个二元一次方程

参考答案：

说明：注意理解和运用公共解的概念的实质，解有关的问题。

第二阶梯

[例1]已知方程2x n-1-4y4m+n+1=0是二元一次方程，则m=___________, n=___________.

解：

据二元一次方程定义，未知数x,y的次数都是1。

即：n-1=1, 4m+n=1

评析：

利用方程（组）及其解的定义，求待定的字母的值，是数学中常见的方法，应扣紧定义，灵活应对。

[例2]

在x+3y=3中，若用x表示y，则y=_________,用y表示x,则x=_______.

解：

评析：

用含x（或y）的代数式表示y(或x)是代入消元法的基础，在化简、整理的过程中切忌产生符号错误。

第三阶梯

[例1]

求符号给定条件的二元一次方程的解。

方程7x+2y=25的正整数解。

解：

欲求方程的正整数解，25-7x必须是正偶数，则x是正奇数。

当x=1时，y=9

当x=3时，y=2.

评析：

未知数有附加条件的二元一次方程，它的解往往由无数个变为有限个，解这类题目一般要根据有关数的性质，采取最佳解题策略。

[例2]李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？

提示：

这个问题涉及到的未知量有：李平和张力分别骑车的时间，速度以及他们各自在公园游玩的

时间，根据路程=速度×时间的关系，在相同的路程内速度的大小又可以用时间长短反映出来，因此，上述未知量可以减少两个，题目中又给出了他们二人游玩和骑车所花的时间数量关系，这样只剩下两个未知量了，即李平骑车时间和张力骑车时间。

参考答案：

解：设从学校到公园李平用x小时，张力用y小时，则李平游玩时间为4y小时，张力游玩

时间为5x小时，根据题意，可以得到x + 4y = y + 5x整理后得3y = 4x

显然上面式子，从学校到公园，张力用的时间比李平长，他的速度必定慢，李平速度快！

说明：像上述中 3y = 4x这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以写成一般式ax + by = c（其中a , b , c是常数，且a , b≠0）把这个方程变形，用含x的代数式表，同样也可以用含y的代

数式表示，如上述方程。

七、检测题

1、已知x,y,z都是未知数，a,b是已知数，下列是二元一次方程的个数为（）

①y=3x2-1 ②2x-4y=3z ③2y=y+a ④xy-x=3 ⑤ax-3y=b2

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

2、下列各式是二元一次方程的是（）

A、2x2-y=1

B、x2+y=x2+x

C、x2=2x2-1

D、x-=1