有界函数的定义(老黄学高数第27讲)

1、证明f(x)=
是R上的有界函数.
证：|f(x)|=|
|≤| |= 对一切x∈R都成立，
∴f(x)是R上的有界函数.
3、设f为定义在D上的函数。
若对任意正数M，都存在x0∈D，使 |f(x0)|>M. 则称f为D上的无界函数。 即f在D上没有上界，或者没有下界，或既没有 上界也没有下界.
2、证明f(x)= 为(0,1)上的无界函数.
又任意给定正数M，设x0=
∈(0,1]，
则有f(x0)= =M+1>M. ∴f(x)在(0,1]上无上界.
2、举出函数f的例子，使f在[0,1]上无界.
解：f(x)=
，x∈(0,1]， 1， x=0
证：任意给定正数M，设x0= 则有|f(x0)|= =M+1>M. ∴f(x)在(0,1)上无界.
∈(0,1)，
怎么确定x0? 要使|f(x0)|=
>M，且x0∈(0,1)，
须有x0< ，且x0∈(0,1)，
可取x0=
，a≥1.
1、证明f(x)= 在(0,1]上有下界无上界.
证：f(x)= ≥1，x∈(0,1]， ∴f(x)在(0,1]上有下界1.
老黄学高数
第27讲 有界函数的定义
1、设f为定义在D上的函数。 若存在数M(为D上的有上（下）界函数， M（L）称为f在D上的一个上（下）界。
2、设f为定义在D上的函数。 若存在正数M，使得对每一个x∈D有 |f(x)|≤M. 则称f为D上的有界函数。 M是f在D上的一个上界； -M则是f在D上的一个下界。