平行四边形中的动态问题

专题训练(六) 平行四边形中的动态问题

——教材P68习题第13题的变式与应用

【例】 (人教版八年级下册教材第68页第13题)

如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm .点P 从点A 出发，以1 cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ ＝CD ，分别需经过多少时间？为什么？

【解答】①设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，

∵AP ＝t ，CQ ＝3t ，DP ＝24－t ，

∴DP ＝CQ.∴24－t ＝3t.

∴t ＝6，即经过6s 时，四边形PQCD 是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ ＝CD.

②设经过t s 时，PQ ＝CD ，即四边形PQCD 是等腰梯形，

∵AP ＝t ，BQ ＝26－3t ，

∴t ＝26－3t ＋2，t ＝7.

综上所述当t ＝6 s 或7 s 时，PQ ＝CD.

【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．

1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝16，点E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．求当运动时间t 为多少秒时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．

解：由题意可知，AP ＝t ，CQ ＝2t ，CE ＝12

BC ＝8.∵AD ∥BC ，∴当PD ＝EQ 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．

当2t ＜8，即t ＜4时，点Q 在C 、E 之间，如图甲．此时，PD ＝AD －AP ＝6－t ，EQ ＝CE －CQ ＝8

－2t ，

由6－t ＝8－2t 得t ＝2.

当8<2t<16，且t<6，即4

＝CQ －CE ＝2t －8，由6－t ＝2t －8得t ＝143

. ∴当运动时间为2s 或143

s 时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．

图甲 图乙

2．如图，A ，B ，C ，D 为矩形ABCD 的四个顶点，AB ＝25 cm ，AD ＝8 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm /s 的速度向点B 移动，运动到点B 为止，点Q 以2 cm /s 的速度向点D 移动．

(1)P ，Q 两点从出发开始到第几秒时，PQ ∥AD?

(2)试问：P ，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ 的面积为84平方厘米．

解：(1)设P ，Q 两点从出发开始到第x 秒时，PQ ∥AD ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，即AP∥DQ.

∵PQ ∥AD ，

∴四边形APQD 是平行四边形．

∴AP ＝DQ.

∴3x ＝25－2x.解得x ＝5.

答：P ，Q 两点从出发开始到第5秒时，PQ ∥AD. (2)设P ，Q 两点从出发开始到第a 秒时，四边形PBCQ 的面积为84平方厘米，

∵BP ＝25－3a ，CQ ＝2a ，

∴根据梯形面积公式得：

12

(25－3a ＋2a)·8＝84.解得a ＝4.

答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．

3．如图，平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．

(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？

(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．

解：(1)当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．

理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，

∵AC＝6，

∴CP＝AQ＝1.

∴PQ＝BD＝8.

∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，

∴AO＝CO＝3.

∴BO＝DO＝4.

∴OQ＝OP＝4.

∴四边形BPDQ为平形四边形．

∵PQ＝BD＝8，

∴四边形BPDQ为矩形．

(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，

∵BC⊥AC，

∴∠BCA＝90°.

∴BC2＋CQ2＝BQ2.

∴BQ＝56＝214.

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A 出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；

(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？

(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

备用图

解：(2)如图1，由题意得：AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t.

要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此，当t＝6秒时，四边形PQBA是矩形．

(3)不存在，理由：

如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ，

只需满足DP＝CQ即12－t＝2t，

∴t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，

但DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．

5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；

(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

解：(1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，

∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线．

∴ME∥PC，EN∥PD.