博弈论题目大全(FD-QY)

博弈论题目大全

（部分题目有完整解答）

题目1

三堆火柴分别有2999 根、3000 根、3001根。甲、乙两人轮流从中取火柴。规则是：每人每次只能从其中的一堆取（按从第一堆到第二堆，第三堆的顺序），最少要取一根，最多可以一次取走一堆，可以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根就获胜。如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略。甲后取呢？

题目2

假设你去参加一个问答比赛，前面的问题你已经回答正确。目前获得5000元奖金，回答完最后一道题你的奖金可以翻倍，若回答错误，奖金减半。（测试前已经告诉你出题方式）最后一道题是给你一个19字英语单词（英语单词会提示给你），随机打乱顺序出现在屏幕上给你14秒时间秒。假定你每秒在上一秒记住字母的基础上记住一个字母（不一定按所给字母顺序记忆，可以打款记忆），请问，你会怎样抉择？若单词是hyperparathyroidism，最大的排序正确的几率是？

题目3

我们都熟知的FD大学的抢课系统，在抢课结束的最后一天，你想要选择的三门课都有余额。一门是QY老师的博弈论与中国智慧，余额为1个人（得A的概率为30%）；一门是LXL教授的应用伦理学（得A的概率问20%），余额是5个人；一门是你一直想上但不是特别火爆的兴趣类课程，余额是10个人，如果你放弃抢前两门课，一定能选上，但没有第一时间选就不能选上（老师给分严格，只有每节课都去，并且认真学习才有可能获得好成绩）。请根据自己的实际情况说明会选择哪门课，联系课上所学到的博弈论思想说明理由。

1.你在9个信封里各装了100元，第10个信封里则没有装东西。你把这些信封混在一起，小张随便挑了一个信封打开来看。小李提议让他出一笔钱买下小张所挑选的信封，但他在提出这项建议时，并不知道小张的信封里有没有钱。小张可以接受小李的出价，也可以拒绝并把信封留下来。小李应该出多少钱买小张的信封？请说明理由。

2.父母经常遇到一个难题，就是怎样惩罚做坏事的孩子。孩子们总有一种奇怪的念头，不相信父母真能说到做到，真的就实施惩罚，因为他们认为惩罚对父母的伤害可能就跟对自己的伤害一样大。父母对待这一矛盾的经常做法是强调惩罚完全是为孩子着想。父母说了要惩罚做坏事的孩子之后，怎样才能更好的使这一威胁变得可信呢？

一

你在机场碰到一个颜值爆表的男（女）神，ta对同样在候机百无聊赖的你说，我们来玩一个硬币游戏吧。规则是我们各自选择出正面或反面，如果我们都出正面,我给你300块钱，如果我们都出反面，我给你100块钱；但是如果我俩出的不一样（你正我反或我正你反），你给我200块钱。（我们有1/4几率同出正面，1/4几率同出反面，剩下1/2

我们出不同面，我们的期望是一样的：1/4*300+1/4*100=1/2*200）你看我们一起打发一会儿时间好不好呀？Q1：你是否同意和男（女）神玩游戏

Q2：如果同意，你将以什么策略进行游戏

Q3：如果你是男（女）神你将以什么策略进行游戏

（考虑效用最大化以及你不能追ta）

解：Q1&Q2

←你的payoff矩阵(H for heads, T for tails)

设你的混合策略为(x, 1-x)T，payoff为v

v=3x-2(1-x) v=-2x+(1-x)

求得x=3/8, v=-1/8

最优混合策略为(3/8,5/8)T，即3/8概率出head，5/8概率出tail，但此时payoff*仍为负值。

所以无论以什么策略进行游戏你的payoff都为负，你不该与男（女）神玩耍！

如果硬要玩的话就用上面这个策略

Q3：同理

设ta的混合策略为(y, 1-y)T，payoff为z

z=-3y+2(1-y) z=2y-(1-y)

y=3/8 z=1/8

ta的最优混合策略为(3/8,5/8)，即以3/8概率随机出head，5/8概率出tail。

二

James McGill最近被诊断为患有一种特殊类型的脑瘤，这种类型的脑瘤在50%的病例中表现为良性，另外50%表现为恶性。James现在的生命将取决于该瘤是否为良性以及决定是否切除。下表说明根据这种类型瘤的最新资料对

如果脑瘤是良性的，探查手术结果为良性的可能性（即探查准确率）为75%（即25%可能性探查结果为恶性，与实际相反）。如果脑瘤是恶性的，探查手术结果为恶性的可能性为65%。但探查手术本身也是有危险的，由于麻醉的复杂性等因素，像James这样的病人有5%的可能性会失去生命。

如果没有进行探查手术，James必须决定是否切除该脑瘤；如果进行了探查手术，James则须根据探查手术结果决定是否切除脑瘤。

Q1：为使James生命能够被维持的时间最大化，他应选择什么策略

Q2：James的孩子们期待在第二年或第三年有他们自己的孩子，如果James想要使他活着见到他的孙子们的可能性最大化，他应选择什么策略。

三

设G ={S1, S2; A}为一个矩阵对策，其中

S1={α1, α2}，S2 ={β1, β2 , β3}，

求两局中人的最优混合策略

解：

设局中人I的混合策略为(x, 1-x)T，局中人II的混合策略为(y1,y2,y3)T

x∈[0,1]。

横坐标表示局中人I混合策略的x，纵坐标表示局中人I的payoff(设为v)。

对任意i=1,2,…,m和j=1,2,…,n，

E(i, y* )≤E(x* , y *)≤E(x* , j)

v≤E(x* , j)

v=3x+5(1-x) v=11x+2(1-x)

解得x=3/11 v=49/11

局中人I最优混合策略(x* , 1-x* )T=(3/11, 8/11)T，payoff最大值VG=49/11

又49/11=2y1+3y2+11y3

49/11=7y1+5y2+2y3

1=y1+y2+y3

得到局中人II最优混合策略(y1* , y2* ,y3* )T= (0, 9/11, 2/11)T

一、

一名海盗船长决定用100枚金币犒赏自己的五名海盗，于是他制定了如下规则：（1）抽签决定海盗的号码（1,2,3,4,5）。

（2）从1号开始，依次抓取任意数量的金币。

（3）不可抓取和之前任意海盗数量等同的金币。

（4）不可抓取相应的金币使之后的海盗必然发生（3）。