博弈论题目大全(FD-QY)

博弈论题目大全（部分题目有完整解答）题目1三堆火柴分别有2999 根、3000 根、3001根。

甲、乙两人轮流从中取火柴。

规则是：每人每次只能从其中的一堆取（按从第一堆到第二堆，第三堆的顺序），最少要取一根，最多可以一次取走一堆，可以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根就获胜。

如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略。

甲后取呢？题目2假设你去参加一个问答比赛，前面的问题你已经回答正确。

目前获得5000元奖金，回答完最后一道题你的奖金可以翻倍，若回答错误，奖金减半。

（测试前已经告诉你出题方式）最后一道题是给你一个19字英语单词（英语单词会提示给你），随机打乱顺序出现在屏幕上给你14秒时间秒。

假定你每秒在上一秒记住字母的基础上记住一个字母（不一定按所给字母顺序记忆，可以打款记忆），请问，你会怎样抉择？若单词是hyperparathyroidism，最大的排序正确的几率是？题目3我们都熟知的FD大学的抢课系统，在抢课结束的最后一天，你想要选择的三门课都有余额。

一门是QY老师的博弈论与中国智慧，余额为1个人（得A的概率为30%）；一门是LXL教授的应用伦理学（得A的概率问20%），余额是5个人；一门是你一直想上但不是特别火爆的兴趣类课程，余额是10个人，如果你放弃抢前两门课，一定能选上，但没有第一时间选就不能选上（老师给分严格，只有每节课都去，并且认真学习才有可能获得好成绩）。

请根据自己的实际情况说明会选择哪门课，联系课上所学到的博弈论思想说明理由。

1.你在9个信封里各装了100元，第10个信封里则没有装东西。

你把这些信封混在一起，小张随便挑了一个信封打开来看。

小李提议让他出一笔钱买下小张所挑选的信封，但他在提出这项建议时，并不知道小张的信封里有没有钱。

小张可以接受小李的出价，也可以拒绝并把信封留下来。

小李应该出多少钱买小张的信封？请说明理由。

2.父母经常遇到一个难题，就是怎样惩罚做坏事的孩子。

孩子们总有一种奇怪的念头，不相信父母真能说到做到，真的就实施惩罚，因为他们认为惩罚对父母的伤害可能就跟对自己的伤害一样大。

父母对待这一矛盾的经常做法是强调惩罚完全是为孩子着想。

父母说了要惩罚做坏事的孩子之后，怎样才能更好的使这一威胁变得可信呢？一你在机场碰到一个颜值爆表的男（女）神，ta对同样在候机百无聊赖的你说，我们来玩一个硬币游戏吧。

规则是我们各自选择出正面或反面，如果我们都出正面,我给你300块钱，如果我们都出反面，我给你100块钱；但是如果我俩出的不一样（你正我反或我正你反），你给我200块钱。

（我们有1/4几率同出正面，1/4几率同出反面，剩下1/2我们出不同面，我们的期望是一样的：1/4*300+1/4*100=1/2*200）你看我们一起打发一会儿时间好不好呀？Q1：你是否同意和男（女）神玩游戏Q2：如果同意，你将以什么策略进行游戏Q3：如果你是男（女）神你将以什么策略进行游戏（考虑效用最大化以及你不能追ta）解：Q1&Q2←你的payoff矩阵(H for heads, T for tails)设你的混合策略为(x, 1-x)T，payoff为vv=3x-2(1-x) v=-2x+(1-x)求得x=3/8, v=-1/8最优混合策略为(3/8,5/8)T，即3/8概率出head，5/8概率出tail，但此时payoff*仍为负值。

所以无论以什么策略进行游戏你的payoff都为负，你不该与男（女）神玩耍！如果硬要玩的话就用上面这个策略Q3：同理设ta的混合策略为(y, 1-y)T，payoff为zz=-3y+2(1-y) z=2y-(1-y)y=3/8 z=1/8ta的最优混合策略为(3/8,5/8)，即以3/8概率随机出head，5/8概率出tail。

二James McGill最近被诊断为患有一种特殊类型的脑瘤，这种类型的脑瘤在50%的病例中表现为良性，另外50%表现为恶性。

James现在的生命将取决于该瘤是否为良性以及决定是否切除。

下表说明根据这种类型瘤的最新资料对如果脑瘤是良性的，探查手术结果为良性的可能性（即探查准确率）为75%（即25%可能性探查结果为恶性，与实际相反）。

如果脑瘤是恶性的，探查手术结果为恶性的可能性为65%。

但探查手术本身也是有危险的，由于麻醉的复杂性等因素，像James这样的病人有5%的可能性会失去生命。

如果没有进行探查手术，James必须决定是否切除该脑瘤；如果进行了探查手术，James则须根据探查手术结果决定是否切除脑瘤。

Q1：为使James生命能够被维持的时间最大化，他应选择什么策略Q2：James的孩子们期待在第二年或第三年有他们自己的孩子，如果James想要使他活着见到他的孙子们的可能性最大化，他应选择什么策略。

三设G ={S1, S2; A}为一个矩阵对策，其中S1={α1, α2}，S2 ={β1, β2 , β3}，求两局中人的最优混合策略解：设局中人I的混合策略为(x, 1-x)T，局中人II的混合策略为(y1,y2,y3)Tx∈[0,1]。

横坐标表示局中人I混合策略的x，纵坐标表示局中人I的payoff(设为v)。

对任意i=1,2,…,m和j=1,2,…,n，E(i, y* )≤E(x* , y *)≤E(x* , j)v≤E(x* , j)v=3x+5(1-x) v=11x+2(1-x)解得x=3/11 v=49/11局中人I最优混合策略(x* , 1-x* )T=(3/11, 8/11)T，payoff最大值VG=49/11又49/11=2y1+3y2+11y349/11=7y1+5y2+2y31=y1+y2+y3得到局中人II最优混合策略(y1* , y2* ,y3* )T= (0, 9/11, 2/11)T一、一名海盗船长决定用100枚金币犒赏自己的五名海盗，于是他制定了如下规则：（1）抽签决定海盗的号码（1,2,3,4,5）。

（2）从1号开始，依次抓取任意数量的金币。

（3）不可抓取和之前任意海盗数量等同的金币。

（4）不可抓取相应的金币使之后的海盗必然发生（3）。

（5）船长将没收抓取金币最多者和最少者的金币。

每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。

问：他们会如何抓取金币？无法获得金币的是哪两位海盗？答：1号21，2号20，3号19，4号和5号无论如何都无法获得金币。

二、X个海盗抢到了100枚金币，每一颗都一样的大小和价值连城。

他们决定这么分：（1）抽签决定自己的号码（1,2,3,4, (X)（2）首先，由1号提出分配方案，然后大家X人进行表决，当大于等于50%的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。

（3）如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家X-1人进行表决，当大于等于50%的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。

（4）依次类推......每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。

问：（1）X=5时，1号海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化且免于死亡?（2）X=202时，1号海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化且免于死亡?（3）X=204时，1号海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化且免于死亡?答：（1）98 0 1 0 1。

（2）3号到201号每人各1。

（3）第（2）问中没有获得金币的那102个海盗中抽取100个，每人各1。

三、假设某海盗船有1000个海盗和一个船长，有一天物资不够了，船长要裁员。

船长先让所有海盗随机站成一路纵队，拿了1001张号码牌，编号为1,2,3,4,……,1000,1001。

接下来船长将号码牌全部打乱并贴在所有海盗的背上，一人贴一张，最后留下的一张船长自己藏着。

这时，每一个海盗都能看到队伍里排在自己前面的所有海盗的号码牌，但是看不到自己的号码牌，也看不到身后海盗的号码牌。

接着，由队伍末的海盗开始向前，每个人依次报一个1-1001之间的数字，并且不能重复报。

等1000名海盗全部都报完数字后，老板将那些报出数字和贴在自己后脑勺上数字不同的海盗扔入大海喂鲨鱼。

船长认为自己的计划很完美，应该能够裁掉很多人。

但是，出于某种原因，船长的计划泄露了出去——1000名海盗在裁员前一天知道了消息与船长的详细裁员方法，于是聚集起来开会讨论策略：如何最大限度地减少被裁掉的人数？问：（1）保证997人不被裁掉的策略是？（2）是否存在保证999人不被裁掉的策略？存在则提出，不存在则证明。

答：（1）1.末排的海盗看了前面所有的号码，剩余一个自己的号码和一个船长的号码分不清，这里记作A和B。

2.末排的海盗喊出的号码C = （A+B）mod 1001。

要注意到由于号码是1-1001而非0-1000，所以号码1001在任何计算中要视作0，但是在报数时要报1001。

3.前方报数海盗分为两类，记为X类和Y类,每个海盗都可以看到前方的号码,在末排的海盗报完数C后，每个海盗确认前方所有海盗中是否含有C，如果有，则他属于X类，如果没有，则他属于Y类。

4.对于所有X类海盗，在他报数时，排除掉所有报过的数(除了C)和他能看到的前方的数,必定还剩3个数，这3个数是A,B和N，其中N是自己的号码，虽然他不知道A,B是多少，他只要将三个数分别相加看看哪两个数之和模1001能得到C的，那两个数就是A,B，剩余那个就是自己的号码，并将它报出即可。

（三个数里绝不可能出现两组相加模1001为C的情况）5.Y类海盗中有一个特殊的人，称为牺牲者，他的号码是C，由于C已经被报过了，所以他必然被裁掉。

牺牲者是第一个Y类海盗。

6.刚开始时，所有的Y类海盗都不知道自己是否是就是牺牲者(即第一个Y类海盗)，所以，事先约定牺牲者报出的号为第一排的海盗背上的号码，记为P。

每个Y类海盗都要注意，因为P是可见的，如果之前没有人报过P，那么自己就是牺牲者，需要报P。

7.当牺牲者报出P之后，剩余的Y类海盗都知道自己不是牺牲者了，此时，排除掉之前报过的号码和前方能看到的号码，又会只剩3个，分别是A,B和N，同样可以确定自己的号码，并报出。

8.第一个海盗由于号码被牺牲者报出，同样也牺牲了，因此一共3个人被裁：末位，牺牲者，首位，共997存活。

特殊情况：A和B当中有一个是1001，那么末位海盗报出的C将会和A或B中的一个数相等，并且这样，所有的人都将是Y类海盗，但不存在所谓的牺牲者，因此，当一个海盗判断自己是Y类成员时，先要判断是否出现这个特殊情况，如果排除掉已经报出的所有数（除了C）和前方的所有数之后剩余的3个数中有1001的话，则证明进入这个特殊情况，即使没有海盗报首位的P，自己也并非牺牲者,这时这3个数必然是1001,C和另一个数，自己只要报另一个数即可。