数学中的对称美

数学中的对称美

对称性是数学美的最重要的特征。几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题

的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。

一：代数中的对称美：

常出现在规律运算、数列运算、函数运算中

例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。

计算111111111×111111111的值

解：我们最常见的一组算式：

1×1=111×11=121

11×111=123211111×1111=1234321

从上述计算中得出对称规律可得：

111111111×111111111=12345678987654321

例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100

引导学生利用数学对称美来解。

解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100①

倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1②

① + ② 得2x = 101 × 100

∴ x = 5050

即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050

例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）. 分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（－2，－3 ）.

例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作

出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其

1

在△A′B′C′中对应点的坐标．

分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．

解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）

（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．

（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。

注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．

二、几何中的对称美：

“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称，正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。

例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．

作法：如图．①作点P关于直线OA的对称点E；

②作点P关于直线OB的对称点F；

③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．

证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．

在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．

∵△PHD的周长

=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF

而△PCD的周长

2

=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF

∴△PCD的周长最短．

例如2：作图设计，村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A到B的路程最近，问桥应架在何处？

解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了．

设河岸为L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的长为L1与

L2之间的距离．连接A1B1交L2于A2，交L3于B2，则A2、B2就是加桥的地址，再从A2、B2出发作两座桥．

对称美在数学解题中有重要的应用,在解题过程中注意到对称性,则可以以简驭繁,化难为易,提高解题效率,达到事半功倍的效果.

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