勾股定理典型例题归类总结

9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。

10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.

(1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。

（2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？

（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）

题型二：利用勾股定理测量长度

例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

跟踪练习：

1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.

2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）

A 、12米

B 、13米

C 、14米

D 、15米

3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A 、8米

B 、10米

C 、12米

D 、14米

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习：

1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证：∠AEF=90°

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例1. 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

跟踪练习：

1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长.

2.如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF 的长.

3.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1，BD=3，求CD的长.

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

跟踪练习：

1.如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由.（1）求证：∠ABD=90°;（2）求的值

2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）

A、9，12，15

B、7,24,25

C、

D、，，

3.在△ABC 中，下列说法①∠B=∠C-∠A ；②；③∠A:∠B:∠C=3：4：5；④a:b:c=5:4:3；⑤：：=1:2:3，其中能判断△ABC 为直角三角形的条件有（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

4.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？

（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，，

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个 5.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足，则此时三角形一定是（ ）

A 、等腰三角形

B 、直角三角形

C 、等腰直角三角形

D 、锐角三角形

6.在△ABC 中，若a=12-n ，b=2n ，c=12

+n ，则△ABC 是（ ）

A 、锐角三角形

B 、钝角三角形

C 、等腰三角形

D 、直角三角形

7.如图，正方形网格中的△ABC 是（ ）

A 、直角三角形

B 、锐角三角形

C 、钝角三角形

D 、锐角三角形或钝角三角形

8.已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法中，错误的是（ ）

A 、如果∠C-∠B=∠A,那么∠C=90°

B 、如果∠C=90°，那么

C 、如果（a+b ）（a-b ）=，那么∠A=90°

D 、如果∠A=30°，那么AC=2BC

9.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a+b=3，ab=1，，求的值，试判断△ABC 的形状，

并说明理由

10.观察下列各式：，，，……，根据其中规律，写出下一个式子为_____________ 11.已知，m ＞n ，m 、n 为正整数，以，2mn ，为边的三角形是___三角形.

12.一个直角三角形的三边分别为n+1，n-1，8，其中n+1是最大边，当n 为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：

例题6. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.

跟踪练习

1.如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究