固体物理讲义第一章

固体物理讲义第一章

前言：

固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学课程的主要内容

晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系

●晶体结构（基于X射线衍射）

●晶体结合与晶体缺陷

●晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质）

●固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性）

第一章晶体结构

内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述

主要包括:

●晶体的周期结构

●十四种布拉菲格子和七大晶系

●典型的晶体结构

●晶面和米勒指数

●晶体的对称性

固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。

1.1晶体的周期结构

晶体结构的特征：

周期性

组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）

对称性

晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。

晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。

晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。

（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。

虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。后来这种理论被X衍射所证实。）

布拉菲空间点阵和基元

●为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布

拉菲点阵。

布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果

●格点：空间点阵中周期排列的几何点

●基元：一个格点所代表的物理实体

●空间点阵：格点在空间中的周期排列

在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。这样的原子团称为基元。在数学上这些基元可以抽象为几何点。这些点的集合称为点阵（晶格）。基元可以是一个粒子，也可以是由若干个粒子所组成的粒子集团。

基元内所含的粒子数＝晶体中原子的种类数*。

二维空间点阵的实例

重复排列的具体单元，称为基元。 对于一个基元，需要知道其中原子的种类、数量、相对取向及位置。基元依不同的晶体而异。 基元的几何代表点称为格点，格点是基元的数学抽象。 基矢和晶格矢量

在布拉菲点阵中，以某一格点为坐标原点，选取与晶格维数同样多的一组矢量，构成坐标系，使得晶格中任意一个格点的径向量（称为晶格矢量）可以表述为一组矢量的整数线性组合,这一组矢量称为基矢。

晶格矢量：

晶格的平移对称性：平移任一个晶格矢量后晶体原子排列同原来的排列情况一样 L 取整数，L 的全体集合表示空间点阵，a 是三个不共面的矢量，称为点阵的基矢。

基矢量举例：

基矢的大小：所选方向最短的周期。

基矢量的选取不是唯一的！

空间格子和原胞

3

32211a l a l a l R l

++=[]

321a a a ⨯=Ω•

通过点阵中的结点，作许多平行的直线族将结点连接起来，形成格子状图形，这样点阵就成为网格，称为空间格子。之所以要引入空间格子的概念，是为了把空间点阵划分成许许多多的平行六面体，整个空间点阵就是这些小的平行六面体堆砌而成的。这样的平行六面体称为原胞。

原胞（ Primitive Cell ）

➢ 空间点阵也称为空间格子（晶格） ➢ 在空间格子中，以某一格点为顶点，以基矢为边长构成的平行六面体称为原胞。

➢ 原胞描述了晶体结构的周期性，是晶格中体积最小的重复单元：格点只能位于平行六面体的的顶点上，因而每个原胞只包含一个格点。

➢ 原胞的几何特征由原胞的边长以及它们之间的夹角α,β和γ规定

在抽象原胞时，主要关心的是a 1,a 2,a 3数值间的相对大小，而不是绝对数值。因而有些晶体之间（如硅和锗）尽管原子间距不同（即基矢的大小不同），但原子规则排列形式相同（即三个基矢大小的相对关系以及它们之间的夹角α、β、γ 相同），我们就说它们具有相同的空间点阵。

原胞选取的不唯一性

原胞选取不唯一，但对于给定的空间点阵，无论怎样选取，原胞的体积相同 晶体结构＝基元＋布拉菲点阵

基元反映构成晶体的原子的种类、数目和相对取向及位置，基元依不同的晶体而异 布拉菲点阵反映了原子排列的周期性，是基元几何表示点的集合，每个格点是等价的 描述布拉菲点阵的三种方法 ：基矢、晶格矢量、原胞

晶体结构包含两个方面的内容：一是重复排列的具体单元，称为基元。二是基元重复排列的形式，这是问题的几何和数学方面，抽象为空间点阵，或称为晶格（crystal lattice ），由布拉菲格子的形式来概括。基元以相对的形式，重复排列在点阵的格点上。

布拉菲点阵是一个无限延伸的理想点阵，它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及T 不等于0时原子瞬间位置相对于平衡位置的偏离。但它抓住了晶体结构中最重要之点：晶体中原子排列的周期性。 晶胞（unit cell ）

为了反映晶格的宏观对称性，同时又计及周期性，选取重复单元时，不要求其体积最小：即格点除了位于平行六面体顶点，还可以位于平行六面体的体心和面心上，这样选取的重复单元称晶胞（也叫单胞、惯用单胞）

晶胞是同时计及周期性和对称性的尽可能小的重复单元，也是一个平行六面体。晶胞基矢通常用

表示，其大小是该方向最短的平移周期。晶胞基矢的大小称为晶格常数。 各种类型的布拉菲格子如何选取晶胞有统一的规定

原胞是考虑点阵周期性最小的重复单元。它很好的描述了晶格的周期性，但有时不能反映出晶体的对称性。

定义晶胞的另一个原因是：原胞的基矢选取是任意的，而晶胞基矢的选取相对晶轴有一定的取向。 通常说某种晶体的空间点阵指的是晶胞。晶胞在有些情况下就是原胞，有时则不同。

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