全同粒子体系习题解
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第六章 全同粒子体系习题解
1．求在自旋态)(2
1
z S χ中，x S ˆ和y
S ˆ的不确定关系：?)()(22=y x S S ∆∆ 解：在z
S ˆ表象中)(2
1
z S χ、x S ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(2
1z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=002ˆ
i i S y ∴ 在)(2
1
z S χ态中
00101102)
0 1(2
12
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+
χ
χx x S S 4
0101
10201
10
2)0 1(ˆ2
22
2
121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx x
S S
4
)(2
2
2
2
=
-=∆x x
x S S S
001002)0 1(ˆ2
121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+
i
i S S y y χχ 4
0100200
2)0 1(ˆ2
222
121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+
i
i i
i S S
y
y
χχ 4
)(2
2
22
=
-=∆y y
y S S S
16
)()(4
2
2
=
∆∆y x S S
讨论：由x S ˆ、y
S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]z
S i ˆ = 要求4
)()(2
2
2
2z
y x S S S ≥
∆∆ 16
)()(4
2
2
=
∆∆y x S S ①
在)(2
1
z S χ态中，2
=
z S
∴ 16
)()(4
2
2
≥
y x S S ∆∆
可见①式符合上式的要求。 2．求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01
102ˆi
i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x
S ˆ的久期方程为
02
2=--λ
λ
2
0)2(22
±=⇒=-λλ
∴ x
S ˆ的本征值为2
±。 设对应于本征值
2
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=112
/1b a χ 由本征方程 2/12
/12
ˆχχ =x S ，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111120110
2b a b a 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12
/12
/1=+
χχ
，得 1),(11*1
*1
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a a a a
即 122
1
=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值
2
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
11212/1χ 设对应于本征值2
-
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--2
22/12/12ˆb a S x χχ 222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⇒ 由归一化条件，得 1),(2
2
*2*2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--a a a a 即 122
2
=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2
-
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-11212/1χ
同理可求得y
S ˆ的本征值为2
±。其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
i 1212
1χ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影 γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz
y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z
S ˆ的平均值是多少？
解：在z S ˆ 表象，n S ˆ的矩阵元为 γβαcos 1001
2cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= i i S n
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+-=
γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为
0cos 2
)
cos (cos 2
)cos (cos 2
cos 2=--+--λ
γβαβαλ
γ i i
即0)cos (cos 4
cos 4
2
2
2
2
2
2
=+-
-
βαγλ
04
2
2
=-
λ )1cos cos cos (2
22=++γβα利用
⇒ 2
±=λ
所以n
S ˆ的本征值为2
±。
设对应于2
=n
S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=b a S n )(2
1
χ，则