集合运算-交集并集
集合的交集与并集
集合的交集与并集集合是数学中一个重要的概念，用于描述具有共同特征的对象的集合。
在集合论中，我们经常会用到两个基本的运算，即交集和并集。
交集是指由两个或多个集合中具有相同元素的元素组成的新的集合，而并集则是由两个或多个集合中所有的元素组成的新的集合。
本文将着重介绍集合的交集与并集，并探讨它们在数学中的应用。
1. 交集的定义与性质交集是指由两个或多个集合中共同元素组成的新的集合。
假设A和B是两个集合，则它们的交集表示为A∩B。
交集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x同时属于集合A和集合B，则x属于A∩B。
交集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。
即交换交集的操作次序不会改变结果。
（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即交集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。
（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。
即交集与并集满足分配律。
2. 并集的定义与性质并集是指由两个或多个集合中所有元素组成的新的集合。
假设A和B是两个集合，则它们的并集表示为A∪B。
并集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x属于集合A或属于集合B，则x属于A∪B。
并集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。
即交换并集的操作次序不会改变结果。
（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。
即并集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。
（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
即并集与交集满足分配律。
3. 交集与并集的应用交集和并集在数学中有广泛的应用，特别是在集合论、逻辑学、概率论等领域。
在集合论中，交集和并集是集合运算的基础。
通过交集和并集的组合运算，可以构建更复杂的集合关系，如补集、差集等。
在逻辑学中，交集和并集可以用来表示命题之间的联系。
集合的交集、并集与补集
集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。
这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。
一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。
记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。
如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。
交集的定义可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。
交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。
假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。
因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。
二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。
记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。
如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。
并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。
并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
交集 并集
交集并集1、并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 。
2、交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩袭诸痕B={x|x∈A,且x∈B}3、补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}。
扩展资料一、交集运算（1）若两个集合A和B的交集为空，则说他们没有公共元素，写作：A∩B = ∅。
例如集合{1,2} 和{3,4} 不相交，写作{1,2} ∩{3,4} = ∅。
（2）任何集合与空集的交集都是空集，即A∩∅=∅。
（3）更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A、B、C和D的交集为A∩B∩C∩D=A∩[B∩(C ∩D)]。
交集运算满足结合律，即A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C。
（4）最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
激恩若M是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A，x 属于 A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A∩B∩C 是集合{A,B,C} 的交集（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
二、并集的性质A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则A∈B，反之也成立；若A∪B=B，则A∈B，反之也成立。
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B；若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B。
够久三、补集运算（1）∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB），即“交之补”等于“补之并”；（2）∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB），即“并之补”等于“补之交”。
集合的基本运算-并集与交集
可用Venn图表示：
例6 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},
求A∩B，A∪B
解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学}.
何值时，A∩B≠ 与A∩C= 同时成立.
由已知，得B {2，3}，C {2， 4}. A B , 2和3是方程x2 ax a2 19 0的解; 又 A C , 2和 4都不是方程x2 ax a2 19 0的解; 3是方程x2 ax a2 19 0的解.
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，
称为集合A与B的并集(union set)，记作A∪B(读作“A并B”)，即
A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 可用Venn图表示：
例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}
答： A∩B ={x|x是等腰直角三角形}， A∪B ={x|x是等腰三角形或是直角三角形}
练习2 A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}， 求A∩B， A∪B.
答： A∩B ={-1}， A∪B ={-1，1，5}
练习3 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}， B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，求a取
A∪B={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑 或参加跳高比赛的同学}
例7 设平面内直线l1上的点的集合为L1, 直线l2上点 的集合为L2, 试用集合的运算表示l1,l2的位置关系.
高中数学-集合的基本运算(并集与交集)
A∪B
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
用Venn图表示如下：
AB
A∩B
性质
={x 1＜ x＜2}
。 。。 。
-1 0 1 2 3
练习
1. 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
练习
2. 已知集合A={x －2≤x≤4}, B={x x＞a}
①若A∩B≠φ,求实数a的取值范围; ②若A∩B≠A,求实数a的取值范围．
则A∩B＝ {等腰直角三角形}
例题
例2 设A={x x是A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例题 例3 设A={x -1＜ x ＜ 2},B={x 1＜ x＜3},
求A∪B , A∩B． 解： A∪B={x -1＜ x ＜ 2}∪{x 1＜ x＜3}
={x -1＜ x＜3} A ∩ B={x -1＜ x ＜ 2} ∩{x 1＜ x＜3}
集合的 基本运算
并集与交集
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
用Venn图表示如下：
三个集合运算公式大全
三个集合运算公式大全
1、交集：A∩B= {x | x∈A 且x∈B}
2、并集：A∪B= {x | x∈A 或x∈B}
3、补集：A’= {x | x不属于A}
4、相反集：Aˉ = {x | x∈A 且x∈B’}
5、差集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
6、排序集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
7、对称差集：A⊕B = (A-B)∪(B-A)
8、真子集：A是B的真子集当且仅当 A⊆B
9、超集：A是B的超集当且仅当 A⊇B
10、空集：空集表示一个空的集合，符号用∅表示
11、向量空间：向量空间就是集合中的元素都是向量，要满足加法及数乘的结合律
12、非排序集：非排序集是指集合中的元素不需要按照某种特定的序列进行排序
13、复合空间：复合空间就是由两个或多个空间的组合而成的新的空间
14、等价类：等价类是指将在一个集合中相同的元素放到一个类里面的操作
15、带有条件的集合：带有条件的集合就是指要求集合中的元素必须满足某种特定的条件才能进行操作
16、连接集：连接集是指通过将两个或多个集合的元素进行连接而成的新的集合
17、图：图是集合中的一种特殊的操作，其概念是指将集合中的元素结构化，形成一个表示集合关系的网状图
18、全集：全集就是指一个集合中包含了其他所有可能的元素。
集合的五种基本运算
集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
下面将对这五种运算进行详细介绍。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。
并集操作将去除重复元素，只保留一个。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。
交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。
差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。
符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。
补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。
5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。
笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。
例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。
1.3集合的基本运算(交集并集)课件(人教版)
13
1.3 集合的基本运算
交集
知识点二 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 称为A与B的交集.
记作：A∩B 读作：A交B 其含义用符号表示为：
A B {x | x A,且x B}.
14
1.3 集合的基本运算
交集Venn图
知识点二 交集Venn图
A B {x | x A,且x B}.
；
∴B={-4，0}得a=1
∴a=1或a≤-1
21
1.3 集合的基本运算
随堂练习
5、设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数 m的取值范围是__m_≤_3__． ①当B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2， 满足A∩B=B． ②当B≠∅时，需 2m−1≥m+1 m+1≥−2 2m−1≤5 解得2≤m≤3， 综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3． 故答案为：m≤3．
8
1.3 集合的基本运算
新课导入
请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的 关系吗?
(1) A {1,3,5}, B {2, 4, 6}, C {1, 2,3, 4,5, 6};
(2) A {x | x是理数}, B {x | x是无理数}, C {x | x是实数}
解答：集合A、B和C存在的关系 集合C是由所有属于A或B的元素组成
11
1.3 集合的基本运算
典型例题
例1 (1)设A={0，4，5，6，8)，B={3，5，7，8，9)，求A∪B. 解：A∪B={0，3，4，5，6，7，8，9}
(2)设集合 A {x | 1 x 2}, 集合B { x |1 x 3}, 求A B. 解：A∪B={x|-1<x<3}
交集并集混合运算
交集并集混合运算交集并集是集合运算中常用的两种操作，它们在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
本文将介绍交集并集混合运算的定义、性质及应用。
一、交集的定义与性质1. 定义：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素所构成的集合。
2. 性质：（1）交换律：A∩B = B∩A（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)交集的性质保证了交集操作的无歧义性和可靠性，使得我们能够灵活地进行多个集合的交集运算。
二、并集的定义与性质1. 定义：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A 或B（或同时属于A和B）的元素所构成的集合。
2. 性质：（1）交换律：A∪B = B∪A（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)并集的性质使得我们能够方便地处理多个集合的并集运算，同时也能够避免出现重复元素。
交集和并集常常在实际问题中被广泛应用。
以下是一些例子：1. 数据分析：在数据分析中，我们常常需要对不同数据集进行交集和并集操作，以获得我们感兴趣的数据子集。
例如，我们可以对两个客户数据集进行交集操作，得到同时出现在两个数据集中的客户信息，从而进行进一步的分析和研究。
2. 布尔搜索：在计算机科学中，布尔搜索是一种常用的搜索算法。
在布尔搜索中，我们可以使用交集和并集操作来处理多个布尔表达式，以获得满足特定条件的结果。
例如，我们可以使用交集操作来查找同时满足两个条件的数据项，使用并集操作来查找满足任一条件的数据项。
3. 集合运算：交集和并集是集合运算中常用的操作。
通过对不同集合进行交集和并集运算，我们可以得到新的集合，从而实现集合的操作和管理。
例如，在数据库管理中，我们可以使用交集操作来查找同时满足多个条件的数据记录，使用并集操作来合并不同数据集。
总结：通过对交集并集混合运算的介绍，我们了解了交集和并集的定义、性质及应用。
集合的运算交集并集补集 ppt课件
【新知识】
集合的运算交集并集补集
做图表示实例中的并集
A三好 B优干
王莉 李红 张雪 王明 周涛
集合的运算交集并集补集
【知识巩固】
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
集合的运算交集并集补集
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
集合的运算交集并集补集
集合的运算交集并集补集
做图表示【实例】中的交集
A舞蹈
B合唱
王莉 李红 周梅 张雪 王明 周涛 李璐
集合的运算交集并集补集
【想一想】 集合A与集合B的交集能否为空集？ 能否为集合A或者集合B?
A
B
B AA B
集合的运算交集并集补集
、 【知识巩固】
集合的运算交集并集补集
集合的运算交集并集补集
A
【练习】1.3.2
集合的运算交集并集补集
1.3.3 补集
【实例】某学习小组学生的集合为U={王明，曹勇，王 亮，李冰，张军，赵云，冯佳，赵秀芹，钱忠良，何晓 慧}，其中在学校技能大赛获得过金奖的学生集合为 A={王明，曹勇，王亮，李冰，张军} 没有获得金奖的学生是： 赵云，冯佳，赵秀芹，钱忠良，何晓慧。
B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
集合的运算交集并集补集
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
集合的运算交集并集补集
【练习】1.3.1
集合的运算得三好学生表彰的集合为A={王莉，李红，张 雪}，获得优秀学生干部表彰的学生的集合为B={王明，周涛，张雪}。 老师请所有获得表彰的同学上台领奖 我们可以看到，上台的同学有：王莉、李红、张雪、王明、周涛。
集合的交集与并集运算
集合的交集与并集运算集合是数学中的一种基本概念，用于表示一组具有共同特征的对象的结合体。
在集合的运算中，交集与并集是两个重要的操作。
本文将围绕集合的交集与并集运算展开讨论。
1. 交集运算交集运算是指将多个集合中共同拥有的元素提取出来形成一个新的集合。
记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。
例如，设有集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
这意味着集合A与集合B中，只有元素3和元素4同时存在于两个集合中。
交集运算的特点：（1）交换律：A∩B = B∩A。
即，两个集合的交集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即，多个集合的交集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
即，集合的交集与并集的运算可以相互分配。
2. 并集运算并集运算是指将多个集合中的所有元素合并到一个新的集合中。
记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。
例如，设有集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
这意味着集合A与集合B中的所有元素组成了一个新的集合。
并集运算的特点：（1）交换律：A∪B = B∪A。
即，两个集合的并集不受集合的顺序影响。
（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
即，多个集合的并集按任意顺序进行运算，结果不变。
（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
即，集合的并集与交集的运算可以相互分配。
需要注意的是，交集与并集运算的结果仍然是一个集合，并且不重复计算元素。
例如，在集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}的交集运算中，元素2和元素3只会计算一次。
综上所述，交集与并集运算是集合运算中的两个重要操作。
它们在解决实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们准确描述集合中的共同元素或合并多个集合的元素。
在数学推理和逻辑推演中，交集与并集的概念也是不可或缺的。
集合论中的交集与并集运算
集合论中的交集与并集运算集合论是数学中的一个重要分支，研究的是集合及其运算。
集合是由一些确定的元素所组成的整体，元素是集合的构成单位。
在集合论中，交集和并集是两个基本的运算。
一、交集运算交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
用符号"∩"表示。
例如，设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A与B的交集为A∩B={3,4}。
交集运算的定义如下：设A和B是两个集合，它们的交集记作A∩B，表示“同时属于A和B的元素所组成的集合”。
交集运算的性质如下：1. 交换律：A∩B =B∩A。
2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
3. 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
二、并集运算并集是指两个或多个集合中所有的元素构成的集合。
用符号"∪"表示。
例如，设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A与B的并集为A∪B={1,2,3,4,5,6}。
并集运算的定义如下：设A和B是两个集合，它们的并集记作A∪B，表示“属于A或属于B的元素所组成的集合”。
并集运算的性质如下：1. 交换律：A∪B = B∪A。
2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
3. 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
除了交集和并集运算外，集合论中还有补集、差集、幂集等运算。
补集是指一个集合相对于全集中的元素所组成的集合，用符号"'"表示。
差集是指一个集合相对于另一个集合中的元素所组成的集合，用符号"－"表示。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
总结起来，集合论中的交集和并集运算是两个基本的集合运算。
交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合，而并集是指两个或多个集合中所有的元素所组成的集合。
这两个运算在集合论中具有重要的应用价值，为数学的发展做出了重要贡献。
数学-集合的并集与交集运算
集合的并集与交集运算高中数学 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn 图或数轴表达集合的关系及运算．导语在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数的问题，大家看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？两次进的货一样的有几种？我们说，数学的本身是解决实际问题，我们知道，实数有加、减、乘、除运算，那么集合是否也有类似的运算呢？一、并集的运算问题1 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A 表示第一次进货的品种，用集合B 表示第二次进货的品种，观察，你能用集合C 表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A ，B 与集合C 的关系．提示 A ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B ＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔、火腿肠}，容易发现集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B (读作“A 并B ”)符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }图形语言性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ⊆A ∪B .注意点：(1)A ∪B 仍是一个集合．(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x ∈A 且x ∉B ；②x ∈A 且x ∈B ；③x ∉A 且x ∈B .(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．例1 (1)设A ＝{1,2,4,8}，B ＝{1,4,9}，求A ∪B .解 A ∪B ＝{1,2,4,8}∪{1,4,9}＝{1,2,4,8,9}．(2)设集合A ＝{x |0≤x <4}，集合B ＝{x |1≤x <5}，求A ∪B .解 A ∪B ＝{x |0≤x <4}∪{x |1≤x <5}＝{x |0≤x <5}．反思感悟 并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1 设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}答案 C解析 A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2<x <4}＝{x |1≤x <4}．二、交集的运算问题2 对于问题1中的集合A 与集合B ，你能用集合D 表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A ，B 与集合D 的关系．提示 由A ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B ＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D ＝{圆珠笔，方便面}，可见，集合D 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的．知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B (读作“A 交B ”)符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图形语言性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩B ⊆A ∪B ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B 注意点：(1)A ∩B 仍是一个集合；(2)文字语言中“所有”的含义：A ∩B 中任一元素都是A 与B 的公共元素，A 与B 的公共元素都属于A ∩B ；(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A ∩B ＝∅.例2 (1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于( )A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}答案 (1)A (2)D解析 (1)在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.反思感悟 交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．(3)注意点：若A⊆B，则A∩B＝A；若A＝B，则A∩B＝B＝A＝A∪B；A∩A＝A；A∩∅＝∅.跟踪训练2 (1)已知A＝{x|1<x<6}，B＝{x|4<x<8}，则A∩B＝________.答案 {x|4<x<6}解析 借助数轴得A∩B＝{x|4<x<6}．(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}C．{(2,1)} D．(2,1)答案 C解析 A∩B＝Error!＝{(2,1)}．三、根据并集与交集运算求参例3 已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是( )A．3≤a<4 B．－1<a<4C．a≤－1 D．a<－1答案 C解析 利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.延伸探究 1．例题中A ∪B ＝R ，变成A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 当a ≥4时，集合B 为空集，满足题意；当a <4时，若要满足A ∪B ＝A ，必有a ≥3.综上实数a 的取值范围是a ≥3.2．例题中集合B 变为B ＝{x |a <x ≤4－a }且A ∪B ＝R ，变成A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解 当a ≥2时，集合B 为空集，满足题意；当a <2时，则有a ≥－1且4－a <3，故有1<a <2，综上实数a 的取值范围是a >1.反思感悟 利用集合间的关系求参数的一般步骤为(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系．(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围．(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．跟踪训练3 设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________．答案 {t |t ≤2}解析 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤时，M ∩N ＝N 成立；13当N ≠∅时，由图得Error!解得<t ≤2.13综上可知，所求实数t 的取值范围为{t |t ≤2}．1．知识清单(1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)根据集合间的运算求参．2．方法归纳：观察法，图示法，数形结合，分类讨论．3．常见误区：在根据运算求参时，容易遗忘空集这一重要的情况．1．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则( )A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N答案 B解析 因为N M，所以M∪N＝M.2．若集合A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－4<x≤2}，则A∩B等于( )A．{x|0<x<4} B．{x|－4<x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－4<x<4}答案 C解析 ∵A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－4<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤2}．3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析 由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．4．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足( )A．A C B．C A C．A⊆C D．C⊆A答案 C解析 A∩B＝A⇔A⊆B，B∪C＝C⇔B⊆C，所以A⊆C.课时对点练1．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于( )A．{0} B．{0,3} C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案 D解析 易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}答案 A解析 在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．3．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于( )A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}答案 B解析 (A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．4．已知集合M＝{－1,1}，则满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析 依题意，得满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N有{2}，{－1,2}，{1,2}，{－1,1,2}，共4个．5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2答案 C解析 在数轴上表示出集合A，B即可知选C.6．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．N⊆M∩N D．M∪N⊆N答案 ABD7．已知集合A＝Error!，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B＝________.答案 {0,1,2}解析 因为A＝Error!，B＝{x∈Z|x≤2}，所以A∩B＝Error!，所以A∩B＝{0,1,2}．8.已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．答案 2解析 M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M ∩N ＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．9．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}．(1)求a ，b 的值及A ，B ；(2)求(A ∪B )∩C .解 (1)∵A ∩B ＝{2}，∴4＋2a ＋12＝0,4＋6＋2b ＝0，即a ＝－8，b ＝－5，∴A ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}＝{2,6}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A ∪B ＝{－5,2,6}，C ＝{2，－3}，∴(A ∪B )∩C ＝{2}．10．已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |1≤x ≤7}，C ＝{x |x ≥a －1}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)若C ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |1≤x ≤7}，所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤7}，A ∪B ＝{x |x ≥1}．(2)因为C ∪A ＝A ，A ＝{x |x ≥3}，C ＝{x |x ≥a －1}，所以C ⊆A ，所以a －1≥3，即a ≥4.所以实数a 的取值范围是{a |a ≥4}．11．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.B.{1，12}{－1，12}C. D.{1，0，12}{1，－12}答案 C 解析 当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝，要使A ∩B ＝B ，则＝1或1m 1m ＝2，即m ＝1或m ＝.1m 1212．(多选)已知集合A ＝{4，a }，B ＝{1，a 2}，a ∈R ，则A ∪B 可能是( )A ．{－1,1,4}B ．{1,0,4}C ．{1,2,4}D ．{－2,1,4}答案 BCD13．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( )A．12 B．6 C．－14 D．－12答案 C解析 因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2,5}，所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14.14．设集合M＝{x|－4<x<3}，N＝{x|t＋2<x<2t－1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．答案 {t|t≤3}解析 由M∩N＝N，得N⊆M.故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，t≤3时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得Error!无解．综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}．15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；(2)这三天售出的商品最少有________种．答案 (1)16 (2)29解析 设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．(2)这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝(43－y )种．由于Error!所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29.16．设集合A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求实数x ，y 的值及A ∪B .解 由A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}且A ∩B ＝C ，得7∈A ,7∈B 且－1∈B ，所以在集合A 中x 2－x ＋1＝7，解得x ＝－2或x ＝3.当x ＝－2时，在集合B 中，x ＋4＝2，又2∈A ，故2∈(A ∩B )＝C ，但2∉C ，故x ＝－2不符合题意，舍去．当x ＝3时，在集合B 中，x ＋4＝7，所以2y ＝－1，解得y ＝－，符合题意，12所以A ＝{2，－1,7}，B ＝{－1，－4,7}，所以A ∪B ＝{2，－1,7，－4}．。
集合运算中的交集与并集
交集的应用
数据库查询
查询共有数据
逻辑判断
判断是否共有元 素
交集运算
求解交集结果
并集的性质
集合合并
包含所有元素
概率统计统计所有可能情 况来自数据整合整合多个数据集
集合运算总结
交集
求解共有元素 集合交集运算 数据筛选
并集
整合所有元素 并集运算规则 数据汇总
差集
去除重复元素 集合差集运算 数据清洗
交集表示
$A \cap B$
并集表示
$A \cup B$
交集与并集的应用
数据库查询
常用交集与并集 操作
数学运算
常用集合运算解 决问题
交集与并集的性质
交换律
$A \cap B B \cap A$
结合律
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
● 02
第2章 交集的性质
交集的空集
01 空集定义
任何集合与空集的交集都是空集
02 示例
$A \cap \emptyset \emptyset$
03
交集的恒等元素
恒等元素性质
任何集合与自己的交集等 于自己
数学公式
$A \cap A = A$
交集的补集
补集关系
两个集合的交集 与其中一个集合
集合运算中的交集与并集
汇报人：大文豪
2024年X月
第1章 简介 第2章 交集的性质 第3章 交集运算的实际应用 第4章 并集的性质 第5章 并集运算的实际应用 第6章 总结
集合间的基本运算—交集、并集的性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
课堂探究四：分类讨论
1.设a常数 R, A {x | (x -1)(x - a) 0}, B {x | x a 1} 若A B R, 求实数a的取值范围.
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
课堂探究三：等价转化 1.已知A {x | 3 x 7}, B {x | 2a 1 x 2a 1} (1)若A B A,求实数a的取值范围; (2)若A B A,求实数a的取值范围.
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B
的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．
Venn图表示：
AB
A∪B
A
B
A∪B
A
B
A∪B
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
2.交集概念
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．
注意：集合A可以是空集
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
集合间的基本运算—交集、并集的性 质【新 教材】 人教A版 高中数 学必修 第一册 课件
2.已知A {x | x2 3x 2 0}, B {x | x2 ax a 1 0} 若A B A, 求实数a的值.
集合运算—union（并集）、intersect（交集）和except（差集）
集合运算—union（并集）、intersect（交集）和except（差集）⼀、集合运算的基本格式是：集合查询1<集合运算>集合查询2[order by ...]⼆、集合运算符是对两个集合操作的，两个集合必须具有相同的列数，列具有相同的数据类型（⾄少能隐式转换的），最终输出的集合的列名由第⼀个集合的列名来确定。
（可以⽤来连接多个结果）；集合运算对⾏进⾏⽐较时，认为两个NULL值相等。
三、union和union all(并集)集合运算union(并集)集合运算可以将多个查询结果集合并成⼀个结果集。
union(隐含distinct，去除重复)、union all。
--UNION合并两个查询结果集，并且将其中完全重复的数据⾏合并为⼀条select tName,tSex from teacherunionselect sName,sSex from student--UNION ALL合并两个查询结果集，返回所有数据，不会去掉重复的数据select tName,tSex from teacherunion allselect sName,sSex from studentUnion因为要进⾏重复值扫描，所以效率低，因此如果不是确定要合并重复⾏，那么就⽤UNION ALL四、intersect(交集)集合运算：删除两个集合中的重复⾏，返回只有在两个集合中都出现的⾏--先将其中完全重复的数据⾏删除，再对两个查询结果集取其交集select tName,tSex from teacherintersectselect sName,sSex from studentANSI SQL ⽀持带有all选项的intersect集合运算，但SQL Server 2008现在还不⽀持all选项。
要想查询交集中的所有数据的办法：with intersect_all as(select row_number() over(partition by tName,tSex order by (select0)) as rowNum,tName,tSex from teacherintersectselect row_number() over(partition by sName,sSex order by (select0)) as rowNum,sName,sSex from student)select tName,tSex from intersect_all--备注：在排序函数的over⼦句中使⽤order by (select <常量>)⽤这种⽅法可以告诉SQL Server不必在意⾏的顺序五、except(差集)集合运算：先将其中完全重复的数据⾏删除，再返回只在第⼀个集合中出现，在第⼆个集合中不出现的所有⾏。
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
并集与交集
4.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )A．1B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.答案：C类型一并集概念及简单应用例1 (1)设集合A＝{1,2,3}, B＝{2,3,4}, 则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}(3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)由题意A∪B＝{1,2,3,4}．(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．【答案】(1)A (2)A (3)A(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B.(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.(3)先明确集合A，B都是点集，再判断A∪B中的元素的特征．方法归纳此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．,跟踪训练1 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x ＝0，x∈R}，则M∪N＝( )A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝( )A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：(1)先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示．则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案：(1)D (2)A,先解方程，求出集合M ，N .求M∪N时要注意两点：(1)把集合M，N的元素放在一起；(2)使M，N的公共元素在并集中只出现一次．M＝{x|－2≤x图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有。
高中数学《集合的基本运算——交集 并集》课件
第一章 集合与函数概念
1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
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1．并集的概念
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2．做一做 (1)(教材改编 P11T1)已知集合 M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}， 则 M∪N 等于( ) A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2} D．{0,1} (2)(教材改编 P11T2)已知集合 A＝{x|x2－2x＝0}，B＝ {0,1,2}，则 A∩B 等于( ) A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}
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(3)设集合 P＝{1,2,3,4,5}，集合 Q＝{x∈R|2≤x≤5}， 那么下列结论正确的是( )
A．P∩Q＝P B．P∩Q Q C．P∩Q P D．P∩Q＝Q
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解 (1)可以借助数轴求，A∪B 如图．
集合的运算律
集合的运算律什么是集合的运算？集合的运算指的是在集合的数学操作，也可以称之为集合的运算法则。
集合的运算包括集合的并集、交集、补集、运算符号及其顺序。
集合运算可以分为简单集合运算和复杂集合运算。
1.简单集合运算简单集合运算既可以用符号表示，也可以用文字表示，一般用符号表示：（1）并集(∪):示两个或者多个集合的全部元素的集合，用符号“∪”表示，如：A∪B=｛a,b,c,d｝。
（2）交集（∩）：表示两个或多个集合的共有元素的集合，用符号“∩”表示，如：A∩B=｛a,b｝。
（3）补集（’）：表示属于一个集合，而不属于另一个集合的元素的集合，用符号“’”表示，如：A’=｛c,d｝。
2.复杂集合运算复杂集合运算既可以用符号表示，也可以用文字表示，一般用符号表示：（1）差集（－）：表示属于第一个集合，而不属于第二个集合的元素的集合，用符号“－”表示，如：A－B=｛c,d｝。
（2）对称差（△）：表示两个集合中元素在其他集合中不存在的元素的集合，用符号“△”表示，如：A△B=｛a,d｝。
（3）包含关系（）：表示第一个集合中包含第二个集合中的所有元素，用符号“”表示，如：AB。
（4）真子集（）：表示第一个集合中包含第二个集合中一部分元素，用符号“”表示，如：AB。
（5）不包含关系（）：表示第一个集合不包含第二个集合中的任何元素，用符号“”表示，如：AB。
3.运算符号的顺序在进行集合的运算时，先进行的操作符是最重要的，它的优先级高于其他操作符。
一般来说，优先级从高到低排列依次是：（1）“－”>∩”>∪” >△” >” >” >”。
最后，需要强调的是，集合的运算法则在数学中有着广泛的应用，充分发挥着它简洁、易于学习和使用的优点，可以为我们提供更多的帮助，从而使我们更好的应用它来解决一些问题。
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特别关注 1．并集概念中的 ． 难点) “或”．(难点 难点 2．集合的交、并 ．集合的交、 运算． 重点 重点) 运算．(重点 3．数轴或 ．数轴或Venn图 图 在解题中的运用. 在解题中的运用
栏目导引
集合与函数的概念
1．集合A是集合 的子集的含义是：集合 中的 ．集合 是集合 的子集的含义是：集合A中的 是集合B的子集的含义是 __________元素都是集合 的元素． 元素都是集合B的元素 任何一个 元素都是集合 的元素． 2．若A⊆B，同时 ⊆A，则A与B的关系是 A＝B 的关系是______. ． ⊆ ，同时B⊆ ， 与 的关系是 ＝ 3．空集是任何非空集合的 真子集 ． ．空集是任何非空集合的________．
第一章
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已知集合的交集、并集求参数 已知集合的交集、
＜－1 已知 A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－ 或 x ＝ ≤ ≤ ＋ ， ＝ ＜－ 的取值范围． ＞5}，若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围． ， ∩ ＝
第一章
集合与函数的概念
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由题目可获取以下主要信息： 由题目可获取以下主要信息： 集合B非空 非空； ①集合 非空； 集合A不确定 不确定， ②集合 不确定，且A∩B＝∅. ＝ 解答本题可分A＝ 解答本题可分 ＝∅和A≠∅两种情况，结合数轴求解． ∅两种情况，结合数轴求解．
第一章
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4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B ．已知集合 ＝ ， ＝ ， ， ∪ ＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. ， 及
解析： 解析： 由 A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1} ∪ ＝ ， ＝ ， 得 x2－1＝3 或 x2－1＝5. ＝ ＝ 若 x2－1＝3 则 x＝±2； ＝ ＝ ； 若 x2－1＝5，则 x＝± 6； ＝ ， ＝ ； 综上， ＝ 综上，x＝±2 或± 6. 当 x＝±2 时，B＝{1,2,3}，此时 A∩B＝{1,3}； ＝ ＝ ， ∩ ＝ ； 当 x＝± 6时，B＝{1,2,5}，此时 A∩B＝{1,5}. ＝ 时 ＝ ， ∩ ＝
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集合与函数的概念
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(2)已知集合 M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5 已知集合 ＝ － ≤ ， ＝ － ) 或 x>5}，则 M∪N＝( ， ∪ ＝ A．{x|x<－5 或 x>－3} B．{x|－5<x<5} ． － － ． － C．{x|－ C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－ D．{x|x<－3 或 x>5}
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3．设集合A＝{2，－ ，x2－x＋1}，B＝{2y，－ ， ．设集合 ＝ ，－ ，－1， ，－4， ＋ ， ＝ ，－ x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数 ，y的值 ＋ ， ＝－ ， ＝ ，求实数x， 的值 及A∪B. ∪ 解析： 由已知A＝ ，－ ，－1， 解析： 由已知 ＝{2，－ ，x2－x＋1}，B＝{2y， ＋ ， ＝ ， －4，x＋4}， ， ＋ ， C＝{－1,7}且A∩B＝C得： ＝－ 且 ＝ 得 7∈A,7∈B且－1∈B， ∈ ∈ 且 ∈ ， ∴在集合A中x2－x＋1＝7， 在集合 中 ＋ ＝ ， 解得： ＝－ ＝－2或 解得：x＝－ 或3. ＝－2时 在集合B中 当x＝－ 时，在集合 中，x＋4＝2， ＝－ ＋ ＝ ，
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[规范作答 依题设得 A＝{1,2}． 规范作答] 规范作答 ＝ ． 因为 A∩B＝B，所以 B⊆A.4 分 ∩ ＝ ， ⊆ (1)当 B＝∅时，方程 x2－x＋2m＝0 无实数解， 当 ＝ ＋ ＝ 无实数解， 1 因此其判别式 ∆＝1－8m<0，即 m> ；6 分 ＝ － ， 8 (2)当 B＝{1}或 B＝{2}时 方程 x2－x＋2m＝0 有相 (2)当 B＝{1}或 B＝{2}时， x＋2m＝ 同的实数解 x＝1 或 x＝2， ＝ ＝ ， 1 因此其判别式 ∆＝1－8m＝0，解得 m＝8， ＝ － ＝ ， ＝ 1 2 矛盾， 代入方程 x －x＋2m＝0 解得 x＝2，矛盾， ＋ ＝ ＝ 1 显然 m＝ 不符合要求；8 分 ＝ 不符合要求； 8
Hale Waihona Puke 1 综上所述， 的取值范围是{a|－ 综上所述，a 的取值范围是 － ≤a≤2 或 a＞3}． ≤ ＞ ． 2
第一章 集合与函数的概念
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[题后感悟 出现交集为空集的情形，应首先考 题后感悟] 出现交集为空集的情形， 题后感悟 虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次， 虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不 等式有关的集合的交、并运算中， 等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直 观清晰，应重点考虑． 观清晰，应重点考虑．
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1.①若本例(1)中问题改为求 ∪B； ①若本例 中问题改为求 中问题改为求A∪ ； 本例(2)中 问题改为求M∩N. ②本例 中，问题改为求 解析： 由例1中的数轴表示知 中的数轴表示知A∪ ＝ 解析： ①由例 中的数轴表示知 ∪B＝{x|x≥1}． ． 故选B. 故选 由例1中的数轴表示知 中的数轴表示知M∩N＝{x|－3＜x＜5}，故 ②由例 中的数轴表示知 ＝ － ＜ ＜ ， 选C. 答案： 答案： ①B ②C
A∪B＝ ∪ ＝ {x|x∈A或 ∈ 或 __________ _______ x∈B} ∈
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集合与函数的概念
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对于两个给定 集合A、 ， 集合 、B，由 属于集合A且 属于集合A且 交 ____________ 属于集合B的 属于集合 的 集 ____________ ____元素组成 所有 元素组成 的集合
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集合与函数的概念
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1．并集、交集的概念及表示法 ．并集、 名称 自然语言描述 符号语 符号语 言表示 Venn图表示 图表示
对于两个给定 对于两个给定 集合A、 ， 集合 、B， 并 所有属于A 所有属于 由__________ 集 ________的元 或属于B 或属于 的元 素组成的集合
(2)由题意画出图形．可知 M∪N＝{x|x<－5 或 x> 由题意画出图形． 由题意画出图形 ∪ ＝ － －3}．故选 A. ．
答案： 答案： (1)A
(2)A
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[题后感悟 此类题目首先应看清集合中元素的范 题后感悟] 题后感悟 简化集合，若是用列举法表示的数集， 围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据 交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合 交集、并集的定义直接观察或用 图表示出集合 运算的结果；若是用描述法表示的数集， 运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数 轴分析写出结果， 轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时 应用“空心圈 表示． 空心圈”表示 ，应用 空心圈 表示．
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由题目可获取以下主要信息： 由题目可获取以下主要信息：①题中两个集 合均为数集； ②分别求交集和并集.,解答本 合均为数集；,②分别求交集和并集 解答本 题可借助数轴直观求解. 题可借助数轴直观求解.
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[解题过程 (1)∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}， 解题过程] 解题过程 ∵ ＝ ≤ ≤ ， ＝ ＞ ， ∴A∩B＝{x|2＜x≤3}，故选 A. ∩ ＝ ＜ ≤ ，
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集合的交集、 集合的交集、并集运算
(1)若集合 A＝ {x|1≤x≤3}， B＝ {x|x＞ 2}， 则 若集合 ＝ ≤ ≤ ， ＝ ＞ ， A∩B 等于 ) ∩ 等于( A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1} ． ＜ ≤ ． ≥ C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2} ． ≤ ＜ ． ＞
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解析： 画出数轴，如下图所示， 解析： 画出数轴，如下图所示，则A∪B如阴影部 ∪ 如阴影部 分所示，故选A. 分所示，故选
答案： 答案：
A
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集合与函数的概念
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2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数 ，则 ．设集合 ＝ 的倍数}， ， ＝ 是 的倍数 M∩N＝( ) ＝ A．{2,4} B．{1,2,4} ． ． C．{2,4,8} D．{1,2,4,8} ． ． 答案： 答案： C
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又 2∈A 故 2∈A∩B＝C， ∈ ∈ ∩ ＝ ， ＝－2 但 2∉C，故 x＝－ 不合题意，舍去． ∉ ， ＝－ 不合题意，舍去． 当 x＝3 时，在集合 B 中，x＋4＝7， ＝ ＋ ＝ ， 1 ＝－1， 故有 2y＝－ ，解得 y＝－ ，经检验满足 A∩B＝C. ＝－ ＝－ ∩ ＝ 2 1 综上知， 综上知，所求 x＝3，y＝－ . ＝ ， ＝－ 2 此时， ＝ ，－ ，－1,7}，B＝{－1，－ ，－4,7}， 此时，A＝{2，－ ， ＝ － ，－ ， ，－4,7}． 故 A∪B＝{－1,2，－ ∪ ＝ － ，－ ．
A∩B＝ ∩ ＝ {x|x∈A且 ∈ 且 _________ x∈B} ∈ _______
第一章
集合与函数的概念
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2.并集与交集的运算性质 并集与交集的运算性质 并集的运算性质 A∪B___B∪A ∪ ＝ ∪ A∪A＝__ ∪ ＝A A∪∅＝__ ∪ A A⊆B⇔A∪B＝__ ⊆ ⇔ ∪ ＝B 交集的运算性质 A∩B___B∩A ∩ ＝ ∩ A∩A＝__ ∩ ＝A A∩∅＝__ ∩ ∅ A⊆B⇔A∩B＝__ ⊆ ⇔ ∩ ＝A
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