集合交集并集的运算

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集合的运算与运算法则

集合的运算与运算法则在数学中，集合是最基本的概念之一。

集合是由一些确定的元素所组成的。

对于一个集合而言，可以对它进行不同的运算。

那么集合的运算有哪些呢？它们又有哪些运算法则呢？本文将为大家详细讲解。

一、集合的基本运算1. 并集运算并集运算指的是将两个或多个集合的元素合并成一个新的集合。

例如：集合A={1,2}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的并集为{1,2,3,4}。

2. 交集运算交集运算是指将两个或多个集合中公共元素取出来组成一个新的集合。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的交集为{2,3}。

3. 差集运算差集运算是指将一个集合中属于另一个集合的元素从该集合中去除。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的差集为{1}。

4. 补集运算补集运算指的是在一个全集中，去掉一个集合后得到的剩余部分。

假设有集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为{4,5}。

五个符号来表示集合的基本运算：并集运算：A ∪ B交集运算：A ∩ B差集运算：A - B补集运算：A’集合相等：A=B二、集合的运算法则1. 并集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∪B=B∪A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∪Φ=A。

2. 交集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∩B=B∩A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∩U=A。

3. 差集运算的法则①差集运算的定义：对于任意的集合A和B来说，A-B={x|x∈A 且 x∉B}。

交集并集

交集并集1、并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 。

2、交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩袭诸痕B={x|x∈A,且x∈B}3、补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}。

扩展资料一、交集运算（1）若两个集合A和B的交集为空，则说他们没有公共元素，写作：A∩B = ∅。

例如集合{1,2} 和{3,4} 不相交，写作{1,2} ∩{3,4} = ∅。

（2）任何集合与空集的交集都是空集，即A∩∅=∅。

（3）更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。

例如，集合A、B、C和D的交集为A∩B∩C∩D=A∩[B∩(C ∩D)]。

交集运算满足结合律，即A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C。

（4）最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。

激恩若M是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A，x 属于 A。

这一概念与前述的思想相同，例如，A∩B∩C 是集合{A,B,C} 的交集（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。

二、并集的性质A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则A∈B，反之也成立；若A∪B=B，则A∈B，反之也成立。

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B；若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B。

够久三、补集运算（1）∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB），即“交之补”等于“补之并”；（2）∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB），即“并之补”等于“补之交”。

集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类

集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。

集合的运算律总结

集合的运算律总结集合是数学中的一个基本概念，它可以用来描述一组具有共同特征的对象的整体。

在集合的运算中，存在一些重要的运算律，它们帮助我们更好地理解和处理集合的运算。

下面就对集合的运算律进行总结。

一、交集运算交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的集合。

用符号表示为∩。

集合A和B的交集可以表示为A∩B。

1. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，交集运算满足结合律，即(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

2. 交换律：对于任意两个集合A和B，交集运算满足交换律，即A∩B = B∩A。

3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，交集运算满足分配律，即A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

二、并集运算并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。

用符号表示为∪。

集合A和B的并集可以表示为A∪B。

1. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，并集运算满足结合律，即(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

2. 交换律：对于任意两个集合A和B，并集运算满足交换律，即A∪B = B∪A。

3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，并集运算满足分配律，即A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

三、补集运算补集是指在某个全集中，不属于某个集合中的元素所构成的集合。

用符号表示为A'或者Ā。

1. 同一律：对于集合A，A∪A'等于全集，A∩A'等于空集。

2. 交换律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，那么补集运算满足交换律，即(A')' = A。

3. 德摩根律：对于任意两个集合A和B，补集运算满足德摩根律，即(A∪B)' =A'∩B'，(A∩B)' = A'∪B'。

四、差集运算差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的新集合。

用符号表示为-。

集合A和B的差集可以表示为A-B。

1. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，差集运算满足结合律，即(A-B)-C =A-(B∪C)。

三个集合运算公式大全

三个集合运算公式大全
1、交集：A∩B= {x | x∈A 且x∈B}
2、并集：A∪B= {x | x∈A 或x∈B}
3、补集：A’= {x | x不属于A}
4、相反集：Aˉ = {x | x∈A 且x∈B’}
5、差集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
6、排序集：A-B = {x | x∈A 且x∈B’}
7、对称差集：A⊕B = (A-B)∪(B-A)
8、真子集：A是B的真子集当且仅当 A⊆B
9、超集：A是B的超集当且仅当 A⊇B
10、空集：空集表示一个空的集合，符号用∅表示
11、向量空间：向量空间就是集合中的元素都是向量，要满足加法及数乘的结合律
12、非排序集：非排序集是指集合中的元素不需要按照某种特定的序列进行排序
13、复合空间：复合空间就是由两个或多个空间的组合而成的新的空间
14、等价类：等价类是指将在一个集合中相同的元素放到一个类里面的操作
15、带有条件的集合：带有条件的集合就是指要求集合中的元素必须满足某种特定的条件才能进行操作
16、连接集：连接集是指通过将两个或多个集合的元素进行连接而成的新的集合
17、图：图是集合中的一种特殊的操作，其概念是指将集合中的元素结构化，形成一个表示集合关系的网状图
18、全集：全集就是指一个集合中包含了其他所有可能的元素。

交集并集运算公式

交集并集运算公式在咱们的数学世界里，交集并集运算公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门。

交集，就好比是两个小伙伴都喜欢的玩具，是他们共同拥有的那部分。

而并集呢，则像是把两个小伙伴的所有玩具都放到一起。

咱先来说说交集的运算公式。

假设集合 A 里有元素 1、2、3、4，集合 B 里有元素 3、4、5、6，那么 A 和 B 的交集就是同时属于 A 和B 的元素，也就是 3 和 4 啦。

用公式来表示就是A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}。

再讲讲并集的运算公式。

还是刚才那两个集合，A 和 B 的并集就是把 A 和 B 里的所有元素都合在一起，不过相同的元素可不能重复算哦，所以 A 和 B 的并集就是 1、2、3、4、5、6。

用公式表示就是 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生就一脸迷糊地问我：“老师，这交集并集咋这么绕啊，感觉没啥用。

”我笑着跟他说：“你想想啊，咱班喜欢踢足球的同学是一个集合，喜欢打篮球的同学是另一个集合。

那既喜欢踢足球又喜欢打篮球的同学，这就是交集。

而喜欢踢足球或者喜欢打篮球的同学，这就是并集。

你说这有没有用？”这孩子听了，眨眨眼，好像有点明白了。

在实际生活中，交集并集的运算也经常能用到呢。

比如说去超市买东西，水果区有苹果、香蕉、橙子，蔬菜区有西红柿、黄瓜、白菜。

你想买水果和蔬菜，那你要买的东西就是水果区和蔬菜区的并集。

要是你只想买既属于水果又富含维生素 C 的，那就是水果区里那些富含维生素 C 的水果，这就是交集。

还有啊，学校组织活动，参加绘画比赛的同学是一个集合，参加书法比赛的同学是另一个集合。

那么既参加绘画比赛又参加书法比赛的同学，就是这两个集合的交集。

而参加了绘画比赛或者书法比赛的同学，就是并集。

总之，交集并集运算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多联系实际生活中的例子，就能发现它们可有用啦，能帮咱们解决好多问题呢！。

交集、并集、集合的运算

交集、并集、集合的运算【知识要点】观察下面五个图.请回答各图表示的含义.图⑴给出了两个集合A 、B.图⑵阴影部分是集合A 、B 的公共部分.图⑶阴影部分是由集合A 、B 组成.图⑷集合A 是集合B 的真子集.图⑸集合B 是集合A 的真子集.强调：图⑵阴影部分叫做集合A 与B 的交集.1、交集一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集. 记作A ∩B （读作：“A 交B ”）即A ∩B={ x | x ∈A ，且x ∈ B}图⑶阴影部分叫做集合A 与B 的并集.2、并集一般地，由所有属于A 或属于B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集. 记作A ∪B （读作：“A 并B ”）即A ∪B={ x | x ∈A ，或x ∈ B}例题解析[例1]设A={ x | x >-2}, B={ x | x <3}，求A ∩B.[例2]设A={ x | x 是等腰三角形}, B={ x | x 是直角三角形}，求A ∩B.⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸A B A B A BAB BA[例3]设A={ 4，5，6，8}, B={3，5，7，8}，求A∪B.[例4]设A={ x | x是锐角三角形}, B={ x | x是钝角三角形}，求A∪B..[例5]设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A∪B.【能力提高】一、交集并集性质的应用例1、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}。

(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B。

.二、交集、并集在实际生活中的应用例2、某学校高一(5)班有学生50人，参加航模小组的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组，又参加电脑小组的人数的最大值和最小值。

三、数形结合思想与交集并集的应用例3、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x ≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。

集合的交集与并集

集合的交集与并集在数学中，集合是由一组元素组成的，而集合的交集和并集是集合运算中常用的概念。

本文将详细介绍集合的交集和并集的含义、性质以及在实际问题中的应用。

一、集合的交集在集合论中，给定两个集合A和B，它们的交集指的是同时属于集合A和B的所有元素所构成的集合，用符号表示为A∩B。

换句话说，A∩B中的元素必须同时满足属于A和B。

例如，假设有两个集合A={1, 2, 3}和B={2, 3, 4}，它们的交集为A∩B={2, 3}。

因为集合A和集合B都包含元素2和元素3，所以它们的交集就是这两个共有的元素。

集合的交集有以下几个基本性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∩B=A。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∩A=A。

5. 空集性质：对于任意集合A，A∩∅=∅。

即任何集合与空集的交集为空集。

可以使用交集操作来查找同时满足多个条件的记录；在概率与统计中，交集可以用来计算事件的联合概率等。

二、集合的并集与交集相反，集合的并集指的是由所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合，用符号表示为A∪B。

换句话说，A∪B中的元素只需属于A或B中的一个即可。

继续以集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}为例，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。

因为集合A和集合B中的元素合并在一起，所以它们的并集就是包含了A和B中所有元素的集合。

集合的并集也具有一些重要的性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∪B=B。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∪A=A。

5. 全集性质：对于任意集合A，A∪U=U。

集合的合并与交集的计算

集合的合并与交集的计算一、集合的合并1.集合的定义：集合是由确定的元素构成的整体。

2.集合的表示方法：用大括号 {} 表示，如 A = {a, b, c}。

3.集合的合并（并集）：将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，表示为A ∪ B。

4.集合合并的性质：a.交换律：A ∪ B = B ∪ Ab.结合律：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ Cc.空集性质：A ∪ ∅ = Ad.分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)5.集合合并的计算方法：a.列出所有元素，去除重复元素，用大括号表示。

b.例如：A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。

二、集合的交集1.集合的交集：两个集合共有的元素构成的新集合，表示为A ∩ B。

2.集合交集的性质：a.交换律：A ∩ B = B ∩ Ab.结合律：A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ Cc.空集性质：A ∩ ∅ = ∅d.分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)3.集合交集的计算方法：a.找出两个集合共有的元素，用大括号表示。

b.例如：A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。

三、集合的补集1.集合的补集：在某个 universal set（全域集）中，不属于某个集合的元素构成的集合，表示为A’。

2.集合补集的性质：a.A’ ∪ A = U（全集）b.A’ ∩ A = ∅c.A’ ⊆ B 等价于A ∩ B = ∅3.集合补集的计算方法：a.找出全域集中不属于原集合的元素，用大括号表示。

b.例如：全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3, 4}，则A’ = {1, 5}。

四、集合的运算规律1.德摩根定律：a.(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’b.(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’2.集合运算的传递性：如果A ⊆ B 且B ⊆ C，那么A ⊆ C。

集合的交集与并集运算

集合的交集与并集运算集合是数学中的一种基本概念，用于表示一组具有共同特征的对象的结合体。

在集合的运算中，交集与并集是两个重要的操作。

本文将围绕集合的交集与并集运算展开讨论。

1. 交集运算交集运算是指将多个集合中共同拥有的元素提取出来形成一个新的集合。

记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。

例如，设有集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。

这意味着集合A与集合B中，只有元素3和元素4同时存在于两个集合中。

交集运算的特点：（1）交换律：A∩B = B∩A。

即，两个集合的交集不受集合的顺序影响。

（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

即，多个集合的交集按任意顺序进行运算，结果不变。

（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

即，集合的交集与并集的运算可以相互分配。

2. 并集运算并集运算是指将多个集合中的所有元素合并到一个新的集合中。

记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。

例如，设有集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

这意味着集合A与集合B中的所有元素组成了一个新的集合。

并集运算的特点：（1）交换律：A∪B = B∪A。

即，两个集合的并集不受集合的顺序影响。

（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

即，多个集合的并集按任意顺序进行运算，结果不变。

（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

即，集合的并集与交集的运算可以相互分配。

需要注意的是，交集与并集运算的结果仍然是一个集合，并且不重复计算元素。

例如，在集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}的交集运算中，元素2和元素3只会计算一次。

综上所述，交集与并集运算是集合运算中的两个重要操作。

它们在解决实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们准确描述集合中的共同元素或合并多个集合的元素。

在数学推理和逻辑推演中，交集与并集的概念也是不可或缺的。

并集和交集补集基础知识

并集和交集补集基础知识
并集、交集和补集是集合论中的基本概念，用于描述集合之间的关系和操作。

1. 并集（Union）：两个集合A 和B 的并集表示为A ∪ B，表示为所有属于集合A 或属于集合 B 的元素的集合。

用符号表示为：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。

2. 交集（Intersection）：两个集合A 和B 的交集表示为A ∩ B，表示为所有同时属于集合A 和集合 B 的元素的集合。

用符号表示为：A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}。

3. 补集（Complement）：集合A 的补集表示为Ac，表示为所有属于全集U 但不属于集合
A 的元素的集合。

用符号表示为：Ac = U \ A。

以下是一些基本的集合运算公式：
1. De Morgan's Laws：
- A ∪ B' = (A' ∩ B')'
- A ∩ B' = (A' ∪ B')'
2. Distributive Law：A (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Idempotent Law：A ∪ A = A，A ∩ A = *
***mutative Laws：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A
5. Associative Laws：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
掌握这些基础知识有助于更好地理解和运用集合论在数学、计算机科学等领域的应用。

集合论中的交集与并集运算

集合论中的交集与并集运算集合论是数学中的一个重要分支，研究的是集合及其运算。

集合是由一些确定的元素所组成的整体，元素是集合的构成单位。

在集合论中，交集和并集是两个基本的运算。

一、交集运算交集是指两个或多个集合中共有的元素构成的集合。

用符号"∩"表示。

例如，设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A与B的交集为A∩B={3,4}。

交集运算的定义如下：设A和B是两个集合，它们的交集记作A∩B，表示“同时属于A和B的元素所组成的集合”。

交集运算的性质如下：1. 交换律：A∩B =B∩A。

2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

3. 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。

二、并集运算并集是指两个或多个集合中所有的元素构成的集合。

用符号"∪"表示。

例如，设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A与B的并集为A∪B={1,2,3,4,5,6}。

并集运算的定义如下：设A和B是两个集合，它们的并集记作A∪B，表示“属于A或属于B的元素所组成的集合”。

并集运算的性质如下：1. 交换律：A∪B = B∪A。

2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。

3. 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。

除了交集和并集运算外，集合论中还有补集、差集、幂集等运算。

补集是指一个集合相对于全集中的元素所组成的集合，用符号"'"表示。

差集是指一个集合相对于另一个集合中的元素所组成的集合，用符号"－"表示。

幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。

总结起来，集合论中的交集和并集运算是两个基本的集合运算。

交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合，而并集是指两个或多个集合中所有的元素所组成的集合。

这两个运算在集合论中具有重要的应用价值，为数学的发展做出了重要贡献。

数学-集合的并集与交集运算

集合的并集与交集运算高中数学　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn 图或数轴表达集合的关系及运算．导语在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数的问题，大家看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？两次进的货一样的有几种？我们说，数学的本身是解决实际问题，我们知道，实数有加、减、乘、除运算，那么集合是否也有类似的运算呢？一、并集的运算问题1　某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A 表示第一次进货的品种，用集合B 表示第二次进货的品种，观察，你能用集合C 表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A ，B 与集合C 的关系．提示 A ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B ＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔、火腿肠}，容易发现集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B (读作“A 并B ”)符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }图形语言性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ⊆A ∪B .注意点：(1)A ∪B 仍是一个集合．(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x ∈A 且x ∉B ；②x ∈A 且x ∈B ；③x ∉A 且x ∈B .(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．例1　(1)设A ＝{1,2,4,8}，B ＝{1,4,9}，求A ∪B .解　A ∪B ＝{1,2,4,8}∪{1,4,9}＝{1,2,4,8,9}．(2)设集合A ＝{x |0≤x <4}，集合B ＝{x |1≤x <5}，求A ∪B .解　A ∪B ＝{x |0≤x <4}∪{x |1≤x <5}＝{x |0≤x <5}．反思感悟　并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1　设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}答案　C解析　A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2<x <4}＝{x |1≤x <4}．二、交集的运算问题2　对于问题1中的集合A 与集合B ，你能用集合D 表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A ，B 与集合D 的关系．提示　由A ＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B ＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D ＝{圆珠笔，方便面}，可见，集合D 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的．知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B (读作“A 交B ”)符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图形语言性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩B ⊆A ∪B ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B 注意点：(1)A ∩B 仍是一个集合；(2)文字语言中“所有”的含义：A ∩B 中任一元素都是A 与B 的公共元素，A 与B 的公共元素都属于A ∩B ；(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A ∩B ＝∅.例2　(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于( )A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}(2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )A．{0} B．{1}C．{0,1,2} D．{0,1}答案　(1)A　(2)D解析　(1)在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.反思感悟　交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．(3)注意点：若A⊆B，则A∩B＝A；若A＝B，则A∩B＝B＝A＝A∪B；A∩A＝A；A∩∅＝∅.跟踪训练2　(1)已知A＝{x|1<x<6}，B＝{x|4<x<8}，则A∩B＝________.答案　{x|4<x<6}解析　借助数轴得A∩B＝{x|4<x<6}．(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}C．{(2,1)} D．(2,1)答案　C解析　A∩B＝Error!＝{(2,1)}．三、根据并集与交集运算求参例3　已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是( )A．3≤a<4 B．－1<a<4C．a≤－1 D．a<－1答案　C解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.延伸探究　1．例题中A ∪B ＝R ，变成A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解　当a ≥4时，集合B 为空集，满足题意；当a <4时，若要满足A ∪B ＝A ，必有a ≥3.综上实数a 的取值范围是a ≥3.2．例题中集合B 变为B ＝{x |a <x ≤4－a }且A ∪B ＝R ，变成A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解　当a ≥2时，集合B 为空集，满足题意；当a <2时，则有a ≥－1且4－a <3，故有1<a <2，综上实数a 的取值范围是a >1.反思感悟　利用集合间的关系求参数的一般步骤为(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系．(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围．(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．跟踪训练3　设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________．答案　{t |t ≤2}解析　由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤时，M ∩N ＝N 成立；13当N ≠∅时，由图得Error!解得<t ≤2.13综上可知，所求实数t 的取值范围为{t |t ≤2}．1．知识清单(1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)根据集合间的运算求参．2．方法归纳：观察法，图示法，数形结合，分类讨论．3．常见误区：在根据运算求参时，容易遗忘空集这一重要的情况．1．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则( )A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N答案　B解析　因为N M，所以M∪N＝M.2．若集合A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－4<x≤2}，则A∩B等于( )A．{x|0<x<4} B．{x|－4<x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－4<x<4}答案　C解析　∵A＝{x|0<x<4}，B＝{x|－4<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤2}．3．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　D解析　由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}且A中至少有一个元素为5，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．4．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足( )A．A C B．C A C．A⊆C D．C⊆A答案　C解析　A∩B＝A⇔A⊆B，B∪C＝C⇔B⊆C，所以A⊆C.课时对点练1．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于( )A．{0} B．{0,3} C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案　D解析　易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}答案　A解析　在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．3．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于( )A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}答案　B解析　(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．4．已知集合M＝{－1,1}，则满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案　D解析　依题意，得满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N有{2}，{－1,2}，{1,2}，{－1,1,2}，共4个．5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2答案　C解析　在数轴上表示出集合A，B即可知选C.6．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是( )A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．N⊆M∩N D．M∪N⊆N答案　ABD7．已知集合A＝Error!，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B＝________.答案　{0,1,2}解析　因为A＝Error!，B＝{x∈Z|x≤2}，所以A∩B＝Error!，所以A∩B＝{0,1,2}．8.已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．答案　2解析　M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M ∩N ＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．9．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}．(1)求a ，b 的值及A ，B ；(2)求(A ∪B )∩C .解　(1)∵A ∩B ＝{2}，∴4＋2a ＋12＝0,4＋6＋2b ＝0，即a ＝－8，b ＝－5，∴A ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}＝{2,6}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A ∪B ＝{－5,2,6}，C ＝{2，－3}，∴(A ∪B )∩C ＝{2}．10．已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |1≤x ≤7}，C ＝{x |x ≥a －1}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)若C ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解　(1)因为A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |1≤x ≤7}，所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤7}，A ∪B ＝{x |x ≥1}．(2)因为C ∪A ＝A ，A ＝{x |x ≥3}，C ＝{x |x ≥a －1}，所以C ⊆A ，所以a －1≥3，即a ≥4.所以实数a 的取值范围是{a |a ≥4}．11．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.B.{1，12}{－1，12}C. D.{1，0，12}{1，－12}答案　C 解析　当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝，要使A ∩B ＝B ，则＝1或1m 1m ＝2，即m ＝1或m ＝.1m 1212．(多选)已知集合A ＝{4，a }，B ＝{1，a 2}，a ∈R ，则A ∪B 可能是( )A ．{－1,1,4}B ．{1,0,4}C ．{1,2,4}D ．{－2,1,4}答案　BCD13．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( )A．12 B．6 C．－14 D．－12答案　C解析　因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2,5}，所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14.14．设集合M＝{x|－4<x<3}，N＝{x|t＋2<x<2t－1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．答案　{t|t≤3}解析　由M∩N＝N，得N⊆M.故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，t≤3时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得Error!无解．综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}．15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；(2)这三天售出的商品最少有________种．答案　(1)16　(2)29解析　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．(2)这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝(43－y )种．由于Error!所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29.16．设集合A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求实数x ，y 的值及A ∪B .解　由A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}且A ∩B ＝C ，得7∈A ,7∈B 且－1∈B ，所以在集合A 中x 2－x ＋1＝7，解得x ＝－2或x ＝3.当x ＝－2时，在集合B 中，x ＋4＝2，又2∈A ，故2∈(A ∩B )＝C ，但2∉C ，故x ＝－2不符合题意，舍去．当x ＝3时，在集合B 中，x ＋4＝7，所以2y ＝－1，解得y ＝－，符合题意，12所以A ＝{2，－1,7}，B ＝{－1，－4,7}，所以A ∪B ＝{2，－1,7，－4}．。

集合的运算交集并集补集

这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得
到这两个集合的交集。
A
B
A∩B
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
x
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A
– （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅
– （3） A ∩ B⊆ , A ∩ B ⊆
【练习】1.3.1
1、设A={-1，0，1，2}，B={0，2，4，6}，求A ∩ B
3、设A={x|-2<x≤2},B={x| 0≤x ≤4},求A ∩ B。
1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生表彰的集合为A={王莉，李红，张
例5 设A={0<x≤ 2}, B = {x|1 < x ≤3},求A∪B
分析：在数轴上表示出集合A、B，观察可以得出这两个集合的并集。
B
A
x
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
【新知识】
由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
A
B
、
【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。
解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。

集合的交并差补与代数的加减乘除

集合的交并差补与代数的加减乘除wsyAugust13,2015我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。

集合的基本的运算法则有：•交集：A B;•并集：A B;•补集：A;•差集：A−B.但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0•交集：A∩B=ab;•并集：A∪B=a+b−ab;•补集：A=1−a;•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。

注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律a·a=a2=a.除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。

接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。

下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。

1.对偶律:1•对于A∩B=A∪B,代入上述定义，有1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).•对于A∪B=A∩B,代入上述定义，有1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).2.结合律：•对于(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),代入上述定义，有ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).•对于(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),代入上述定义，有(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。

之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。

这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。

2。

集合运算—union（并集）、intersect（交集）和except（差集）

集合运算—union（并集）、intersect（交集）和except（差集）⼀、集合运算的基本格式是：集合查询1<集合运算>集合查询2[order by ...]⼆、集合运算符是对两个集合操作的，两个集合必须具有相同的列数，列具有相同的数据类型（⾄少能隐式转换的），最终输出的集合的列名由第⼀个集合的列名来确定。

（可以⽤来连接多个结果）；集合运算对⾏进⾏⽐较时，认为两个NULL值相等。

三、union和union all(并集)集合运算union(并集)集合运算可以将多个查询结果集合并成⼀个结果集。

union(隐含distinct，去除重复)、union all。

--UNION合并两个查询结果集，并且将其中完全重复的数据⾏合并为⼀条select tName,tSex from teacherunionselect sName,sSex from student--UNION ALL合并两个查询结果集，返回所有数据，不会去掉重复的数据select tName,tSex from teacherunion allselect sName,sSex from studentUnion因为要进⾏重复值扫描，所以效率低，因此如果不是确定要合并重复⾏，那么就⽤UNION ALL四、intersect(交集)集合运算：删除两个集合中的重复⾏，返回只有在两个集合中都出现的⾏--先将其中完全重复的数据⾏删除，再对两个查询结果集取其交集select tName,tSex from teacherintersectselect sName,sSex from studentANSI SQL ⽀持带有all选项的intersect集合运算，但SQL Server 2008现在还不⽀持all选项。

要想查询交集中的所有数据的办法：with intersect_all as(select row_number() over(partition by tName,tSex order by (select0)) as rowNum,tName,tSex from teacherintersectselect row_number() over(partition by sName,sSex order by (select0)) as rowNum,sName,sSex from student)select tName,tSex from intersect_all--备注：在排序函数的over⼦句中使⽤order by (select <常量>)⽤这种⽅法可以告诉SQL Server不必在意⾏的顺序五、except(差集)集合运算：先将其中完全重复的数据⾏删除，再返回只在第⼀个集合中出现，在第⼆个集合中不出现的所有⾏。

集合的基本运算[并集与交集]

作业布置教材P15A3,3 B组 1
C={3，4，5，6，7，8}
练习一
Ｐ13
1.
3
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B 的并集,
记作读作
A∪ B A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪ B
Ａ
4，5，6， 8
ห้องสมุดไป่ตู้
3，5，7，8
Ｂ
4,6
5,8 3，7
A ∪ B=c
A ∪ B={３，４，５，６，７，８} A ∪Ｃ={４，５，６，８} Ｂ∪Ｃ={３，５，７，８}
观察集合A,B,C元素间的关系:
A={4，5，6，8}，
B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集. 【助学】“且”的含义是“同记作 A∩B 时”，“又”．“所有”的含义是A与B的公共元素一个读作 A交 B 不能少．即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
Ａ
4，5，6， 8
3，5，7，8
Ｂ
4,6
5,8 3，7
A∩B=c
A∩B={５，８} Ｂ∩Ｃ={５，８}
A∩Ｃ={５，８}
A
B
A∩B
例题讲解
例1 设A={x x是等腰三角形}, B={x x是直角三角形},
则A∩B＝ {等腰直角三角形}
观察集合A,B,C元素间的关系:
A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，
例３设A={x x是锐角三角形}, B={x x是钝角三角形}，则A∩B= Φ A∪B= {斜三角形}

集合的运算(交集、并集、补集)

AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = �� – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ��, A ∩ B ⊆ ��
A
B
A∩B=∅
B AA B
、【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。

集合的基本运算知识点

集合的根本运算1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集〔Union 〕记作：A ∪B ，读作：“A 并B 〞，即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}，Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合〔重复元素只看成一个元素〕。

连续的〔用不等式表示的〕实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

2.交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集〔intersection 〕。

记作：A ∩B ，读作：“A 交B 〞，即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}，交集的Venn 图表示：说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

拓展：求以下各图中集合A 与B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集3.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集〔Universe 〕，通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集〔complementary set 〕,简称为集合A 的补集，记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A}补集的Venn 图表示： AUC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制 A B A(B) A B B A B A4.求集合的并、交、补是集合间的根本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且〞与“或〞，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去提醒、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5.并集、交集与补集的常用性质并集的性质：〔1〕A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A〔2〕假设A ∪B=B ，那么A ⊆B ，反之也成立交集的性质：〔1〕A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩A〔2〕假设A ∩B=A ，那么A ⊆B ，反之也成立补集的性质：〔1〕〔C U A 〕∪A=U，〔C U A 〕∩A=∅〔2〕)(A C C u u =A,U C u =)(φ混合运算性质：〔1〕 ()()()u u u C A B C A C B ⋂=⋃〔2〕 ()()()u u u C A B C A C B ⋃=⋂6.假设x ∈〔A ∩B 〕，那么x ∈A 且x ∈B ；假设x ∈〔A ∪B 〕，那么x ∈A ，或x ∈B。

交集并集知识点总结及练习

1.3 交集并集学习目标：1．理解交集、并集的含义．2．能进行交集并集的运算．重点难点：交集、并集的运算．授课内容：一、知识要点1．集合的并、交运算并集：A ∪B ＝{x | x ∈A 或x ∈B}．交集：A ∩B ＝．2．交并集的性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．二、典型例题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B =I ．2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B =I ．3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是． (1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=I I I I ．4．知集合A ={x |-5<x <5}，B ={x |-7<x <a }，C ={x |b <x <2}，且A ∩B =C ，则 a ，b 的值分别为．5．设全集U ={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A ,B )为一个“理想配集”．（若A ＝B ，规定(A ,B )＝(B , A )；若A ≠B ，规定(A ,B )与(B , A )是两个不同的“理想配集”）．那么符合此条件的“理想配集”的个数是．6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

==P 则T P I 的元素有个．7．若(){}(){}2,|,,,|,,A A x y y x x R B x y y x x R B ==∈==∈I 则= ．8．已知集合{}{},11|,52|+≤≤-=≤≤-=k x k x Q x x P 求使∅=Q P I 的实数k 的取值范围．9．已知集合{},413,12,4,1,3,222⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=+=a a a B a A 且{}2=B A I ，求实数a 的值．10．设U ={小于10的正整数}，已知A ∩B ={2}，()()U U C A C B I ={1，9}，(){4,6,8}U C A B =I ，求A ，B ．11．设全集22{},{|560},{|120},U A x x x B x x px ==-+==++=不超过5的正整数 {1,3,4,5}U C A B =U ,求p 及A B U ．12．已知集合A ={x |x <3}，B ={x |x <a }，①若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．②若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．③若R C A 是R C B 的真子集，求实数a 的取值范围．三、课堂练习1．设集合{}{},9,8,6,3,1,7,5,4,2,1,0==B A {},8,7,3=C 则集合()=C B A Y I ． 2．设全集{},,8|+∈≤=N x x x U 若(){}(){}1,8,2,6,U U A C B C A B ==I I()(){}4,7,U U C A C B =I 则=A ，=B ．3．已知P ={y |y=x 2+1，x ∈N }，Q ={y |y=－x 2+1，x ∈N }则P ∩Q = ．4．设集合{}{}{},20|,31|,24|≥≤=<≤-=<≤-=x x x C x x B x x A 或则_______)(=B C A Y I ．5．设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差为{}|,,M P x x M x P -=∈∉且则()M M P --= ．6．已知全集{},4,3,2,1,0,1,2,3,4----=U 集合A ={-3，a 2，a + 1}，B ={a – 3，2a – 1，a 2 +1}，其中R a ∈，若{}3-=B A I ，求)(B A C U Y ．7．A = {x ∣x 2 – 3x +2 = 0，x ∈R }，B = {x ∣x 2 – ax + a – 1 = 0，x ∈R }，C = {x ∣x 2 – mx + 2= 0，x ∈R }，且,A B A A C C ==U U ，求m a ,的值．8．已知集合},1{},21{<=<<=x x B ax x A 且满足B B A =Y ，求实数a 的取值范围．【拓展提高】10．已知φ==++=+R A m x x x A I 且}02{2，求实数m 的取值范围．四、巩固练习1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则集合∁U (A ∪B)＝________．2．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是________．3．已知全集U＝{x|0≤x<10，x∈N}，A∪B＝U，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，则集合B＝________．4．集合M＝{x|－2≤x<1}，N＝{x|x≤a}，若∅(M∩N)，则实数a的取值范围为________．5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是________．6．对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中元素的个数为________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围________．8．已知非空集合A＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，B＝{(x，y)|y＝(5－3a)x－2a}．若A∩B＝∅，则a＝________．9．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝________．10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∩B)等于________．11．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，而A∩(∁U B)等于________．12．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且－5≤x≤5}，则A∪B的元素个数是________．13．已知集合M是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≠0)的解集，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，若M∩A＝∅，且M∪B＝B，试求p、q的值．14．已知全集U＝{不大于5的自然数}，A＝{0,1}，B＝{x|x∈A，且x<1}，C＝{x|x－1 A，且x∈U},求∁U B，∁U C.15．设集合A＝{a2,2a－1,－4}，B＝{a－5,1－a,9}．(1)若{9}＝A∩B，求实数a的值；(2)若9∈(A∩B)，求实数a的值．。