高等数学(下)A附标准答案

湖北工业大学理学院2012-2013学年二学期

课程考试试卷答案(A 卷)

课程名称：高等数学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级

专业：xxx

题目部分，（卷面共有20题，96分，各大题标有题量和总分）

一、选择（5小题，共15分）

1、设向量,-=+

A 、 -=

B 、 +=

C 、 a b ⋅=0

D 、 a b ⨯=0

答案：C

2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的：

A 、必要而非充分条件；

B 、充分而非必要条件；

C 、充分必要条件；

D 、既非充分又非必要条件。

答案：A

3、设Ω为半球体x 2+y 2+z 2≤R 2,z ≥0.f (t )是(－∞,+∞)上严格单调增加的奇函数，则

A 、

()0f x z dv Ω+>⎰⎰⎰ B 、()0f x z dv Ω

+<⎰⎰⎰ C 、()0f x z dv Ω+=⎰⎰⎰D 、 ()2()f x z dv f x dv ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

答案：A 4、设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面下侧，则(

)I zdxdy ==∑⎰⎰

A 、200;d πθ-⎰⎰

B 、200;R d πθ⎰⎰

C 、200d πθ-⎰⎰

D 、200d πθ⎰⎰ 答案：B

5、级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α(常数0>α)

A 、发散；

B 、条件收敛；

C 、绝对收敛；

D 、敛散性与α有关。

答案：C

二、填空（5小题，共15分）

6、椭球面x y z 22249361++=的三个半轴长分别为____，_____，_____。 答案：2，3，6

7、函数z x

x y =+ln 22的间断点为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

答案：y 轴上的所有点。

8、函数z x y =+22在闭域D x y :+≤1上的最小值是_______。

答案：z z min (,)==000

9、根据二重积分的几何意义221D x y dxdy --⎰⎰=___________.其中D ：x 2+y 2≤1. 答案：π

10、设3lim 1

=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是。 答案：3

三、计算（7小题，共42分）

11、一平面与平面π1632120:x y z +++=平行，且到原点的距离为1，求此平面的方程。 答案：设所求平面方程为6320x y z D +++=，

则原点到此平面的距离为

d D

D

=++=36947。

由条件d =1，解得D =±7，

故所求平面为：63270x y z ++±=

12、求极限lim x y x

xye xy →→-+00

416。

答案：解：lim x y x

xye xy →→-+0

0416

=++-→→lim ()

x y x xye xy xy

00416

=－8

13、设f x y e t t x x y (,)d =-+⎰2

，求)1,1(-xx f 。

答案：f e e x x y x =--+-()22

22

2)(2)(x y x xx xe e y x f -+-++-=

12)1,1(-=-e f xx

14、计算二重积分D

x y dxdy +⎰⎰，其中D ：|x |+|y |≤1. 答案：原式1

1120001144()4()223-=+=-=⎰⎰⎰x dx x y dy x dx

15、计算曲线积分⎰+L s y x d )(33，其中L 是圆周122=+y x 。 答案：解：⎰⎰⎰+=+L L L s y s x s y x d d d )(3333

⎰L s x d 3中，被积函数3x 是关于x 的奇函数，积分曲线L 关于y 轴对称， 故0d 3=⎰L s x 同理0d 3=⎰L s y 故0d )(33=+⎰L s y x

16、计算曲线积分sin cos L ydx xdy -⎰Ñ，其中L 是以O (0，0)，A (π，π)，B (0，

π

)为顶点的三角形正向周界。 答案：解：2d cos d sin π0=-=⎰⎰OA x x x x

00d sin π0π=-⋅=⎰⎰AB x

πd )cos 0(0

π=-=⎰⎰BO y O 故π2d cos d sin +=-⎰L

y x x y 17、试求幂级数n n x n n 30!13∑∞

=+在()∞+∞-,内的和函数。 答案：由于幂级数的收敛域是()∞+∞-,，故对于任意()∞+∞-∈,x ，有 ()n n x n n x s 30!13∑∞

=+= '⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑∞=+013!n n n x ()'⋅=3x

e x

()3313x e x += 18、在曲面x y z xy yz zx 222222340++++++=上求一点，使曲面在该点处的切平面

平行于平面20x y z -+=，并写出切平面方程。

答案：曲面在点(,,)x y z 处的切平面法向量

{}x y z y x z z y x =++++++2342423,,

平行于平面法向量{}n 1211=-,,

2324214231

x y z y x z z y x ++=++-=++ 代入曲面方程，解得x y z =±=±=626,,μ

点(,,)626-和(,,)--626

切平面方程

26260()()()x y z ---++=

和26260()()()x y z +-++-=

或24x y z -+=和24x y z -+=-

19、试求曲面z =xy 被柱面x 2+y 2=a 2 (a >0)所截下部分的面积。

答案：xy D S =

⎰⎰