高等数学(下)A附标准答案
海南大学高等数学A2下往年试题及答案
《高等数学》（A2）下参考答案一、选择题：(每题3分，共15分)1、下列定积分为零的是（ B ）.A ⎰-+4424cos ππdx x x xB ⎰-4423sin ππxdx x C 112x xe e dx --+⎰ D ()121sin x x x dx -+⎰ 2、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A x x e c e c y 221--+=B x x e c e c y 221+=-C x x e c e c y 221-+=D x x e c e c y 221+= 3、二元函数)12ln(2+-=x y z 的定义域为（ B ） A {}012|),(2≥+-x y y x B {}012|),(2>+-x y y x C {}012|),(2≤+-x y y x D {}012|),(2<+-x y y x 4、交换积分次序，则⎰⎰-+-2111),(x x dy y x f dx =（ D ）． A ．⎰⎰-+-21101),(x x dx y x f dy B. ⎰⎰--+01112),(x x dx y x f dy C. ⎰⎰--10112),(y y dx y x f dy D. ⎰⎰---10112),(y y dx y x f dy5、幂级数∑∞=+012n n n x 在收敛域内的和函数为（ D ）Ax -21 B x x -2 C x -22 D xx -22二、填空题（每题3分共15分）1、反常积分dx xex ⎰+∞-02=212、幂级数 +-+-+--nx x x x nn 122)1(32的收敛半径为 1 3、函数xy y x z 333-+=的极小值是 -14、函数y xz e z sin +=的全微分是dy xe ydx x e z dz z z -+-=cos5、化二次积分为极坐标下的二次积分dx y x f dy I y ⎰⎰-+=110222)(= θπdrd r rf ⎰⎰201)(三 、计算题（每小题7分共56分）1、求定积分101xdx x +⎰解：原式=10111dx x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰ 3分 =[]10ln(1)x x -+ =2ln 1- 7分2、极限（1） xyxy y x 11lim0-+→→ (2) xx dt e x xt x sin lim202⎰-→-（1）解：21111lim )11(lim 11lim00000=++=++=-+→→→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x y x .....3分 （2）解：313lim 31lim limsin lim 220203200222==-=-=-→-→-→-→⎰⎰x x x e x dte x xx dtex x x x xt x xt x ....4分3、曲面32=+-xy e z z 在)0,2,1(处的切平面方程及法线方程.解：令32),,(-+-=xy e z z y x F z 1分,2y F x = x F y 2= z z e F -=14)0,2,1(=xF 2)0,2,1(=yF 0)0,2,1(=zF法向量：)0,2,4(=n 3分 故切平面方程为：0)0(0)2(2)1(4=-+-+-z y x即042=-+y x 7分法线方程为：02241-=-=-z y x4、函数xy z = 在适合附加条件1=+y x 下的极大值解：拉格朗日函数 )1(),(-++=y x xy y x L λ 2分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0100y x L x L y L y x λλλ解得21==y x 5分 因此点（21,21）是函数xy z = 在适合附加条件1=+y x 下唯一可能极值点即极大值点，极大值为417分 .5、求微分方程x xy dxdy42=+的通解解： 22(4)xdx xdxy e xe dx C -⎰⎰=+⎰ 3分22[4]x x e xe dx C -=+⎰()222x x e e c -=+ 6分22x ce -=+ 7 分6、计算二重积分dxdy xy D⎰⎰，其中D 由直线1=+x y 和1-=-x y 以及y 轴围成．解：X 型 ⎩⎨⎧-≤≤-≤≤x y x x 11100011110===⎰⎰⎰⎰⎰--dx ydy xdx dxdy xy xx D7 分7、变换积分次序dx xxdy y⎰⎰660cos ππ，并求积分的值 解：Y 型 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤660ππx y y X 型 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤xy x 060πdy dx xxdx x x dy x y⎰⎰⎰⎰=06066cos cos πππ3分[]21sin cos 660===⎰ππx xdx 7分 8、判别级数∑∞=---1113)1(n n n n 的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
06-07(下)高等数学A标准答案.
一、填空题（每小题 ３ 分）：
１
．
1 2
y x
+
1 y
dx
+
1 2
x y
−
x y2
dy
， ２． 0
，
３ ． 2 ， 3
∫ ∫ ∫ ∫ 4．
1
dy
2y
f (x ,y )dx +
3
dy
3− y f (x ,y )dx ， 5． 2π a2n+1 ， ６． e−x2 ，
0
0
1
0
７ ３ 分）： １． Ｄ ， ２． Ｄ ， ３． Ｃ ， ４． Ｄ 三、(10 分)1. × ; 2. ×; 3. √; 4. √ 5. ×
f (x)
dy
0
0
f 2 (x) − y2
∫ = 2π
1
f (x)
1+ f ′2( x)dx
0
九、（４分）证明：记 un = an − an−1 , un+1 = an +1 − an = 2+ an − 2 + an−1
=
an − an−1
= un
2 + an + 2 +an −1 an+1 + an
( ) un+1 = 1 < 1
un an +1 +an 2 2
a1 > 0, an > 2, n = 2,L
∞
∞
∑ ∑ 所以级数 un 绝对收敛， un 收敛
n=2
n=2
n
海南大学高等数学A(下)(同济第六版)试题A及答案.doc
海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》(下)试题(A 卷)姓名： _____________________ 学 号： ____________________ 学院： _____________________ 专业班级： _________________成绩登记表(由阅卷教师用红色笔填写)阅卷教师：200 9年 月 口考试说明：本课程为闭卷考试，可携带计算器一、填空题：(每题3分，共15分)在以下各小题中画有 上答案。
1、 设向量 6^ = (1,2,-1), 0 = (1,1,2),则向量积QX0= _________________2、 曲线牙= /,y = ”，z = F 在点(1丄1)处的切线方程为 ______________ ；3、设L 为圆周X 2+r 2 = ____________________ 则积分+ ds= :Ld 2Z4、 设z = log v x ,则 =;5、 将函数f(x) =丄展开成(x + 1)的幕级数为 _____________________ :X二、选择题(每题3分，共15分选择正确答案的编号，填在各题前的括 号内)xdx-aydy()1、已知F +是某函数的全微分,则Q 二x(A) 1 ; (B)-l ; (C)-2 ; (D)2 o()2、设曲面工是下半球面z 二-&2 一兀2_y2的下侧，则曲面积分处填JJ (%2 + 才 + z? yixdy = z(A) 一托f ; (B) 4^r 4 ;(C) 7rr 4 ;(D) 一2兀r\()3、设.f (兀)为续函数，F(t) = ^dy\l f(x\lx^\F\2) =(A) 2/(2) ; (B)/(2);(C) 0 ;(D)・/⑵.g 1（）4、幕级数工（土）"疋的收敛半径是（） n=0 2（B ）21 （D ）3f 0 f X'l-A 2（）5、交换积分次序/（九）讥®二/(x,y)dx(3)J ：d )［：、/(x, y)dx得分阅卷教师三1、设 Z = ^?+/,求 dZ 。
高等数学A(下)习题册答案
高等数学A （下）习题册第六章参考答案习题6.11.3333(32)45-=+---+=-r n a b c a b +c a c .2.23(0,1,0)2(1,2,3)3(2,0,1)(4,3,3)+--+-=-a b c =.3.点(,,)a b c 到x 轴、y 轴、z4.||cos ,2cos 6u u π=<>==r r r 5. 设起点坐标为(,,)x y z ，则向量r =(2,3,0)(2,1,4)x y z ----=，解得(,,)(4,2,4)x y z =--.习题6.21.（1）(3)(2)6()61106(1,1,4)131i j k-⨯=-⨯=--=--a b a b . （2）cos ,||||⋅<>===a b a b a b 2.（1）12；（2）10k =-. 3.Prj cos ,1||⋅<>==b a ba =|a |ab b . 4.()()344(0,1,1)233ijk⨯=-=---a +b b +c .习题6.3 1.1313x y z ++=-；该平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为3、1、3-. 2.3540x y z +++=. 3.11110121x y z+=-，即3220x y z -+++=. 4.210220240x y z x y z x y z ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩，解得交点坐标，319(,,)(,,)444x y z =-.5.2d ==.习题6.41.43040x y x z +-=⎧⎨--=⎩ 2.111(4,1,3)213i j ks ==---，所以对称式方程为：12413x y z -+==--、参数方程为：4132x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩. 3.325431x y z +--==. 4.111(1,1,2)110i j ks =-=----，所以12112x y z -+==. 5.如图，从直线上找个点1P ，连接向量10PP ，它与方向向量r 的夹角为θ，则所求的距离101010||||sin ||||sin ||||PP r PP r d PP r r θθ⨯===，本题结果为63. 习题6.51.垂直平分面：26270x y z -+-=.2.222(6)(2)(3)49x y z -+++-=.3.（1）2221233x y z ++=（2）2221232x y z -+=（3）2224x y z ++=（4）223x z y +=.习题6.61.（1）xOy 面上一点(1,3)-；空间中一条直线. （2）yOz 面上一点(0,2)；空间中一条直线.2. （1）222100x y y z ⎧+--=⎨=⎩，2223100x z z y ⎧+-+=⎨=⎩，100y z x -+=⎧⎨=⎩（线段）；（2）222390x y z ⎧+=⎨=⎩，22390z x y ⎧-=⎨=⎩，22290y z x ⎧+=⎨=⎩.3.先求题中两曲面交线在xOy 面上的投影曲线，投影曲线所围成的区域即为所求，2210x y z ⎧+≤⎨=⎩.高等数学A （下）习题册第七章参考答案习题7.11. 1、1、0、1.2.（1）在抛物线220y x +=处间断；（2）在直线y x =-处间断.3.（1）000lim lim 111xy t x t y xy te e →→→==--；（2）00012x t y →→+→==； （3）()xyy x y x 220sin 1lim +→→()2212sin 20sin 00lim 1sin 1x y xy x y x y x y e →→=+==.4.取路径(1)y kx k =≠，001lim 1x y x y kx y k →→++=--，结果与k 有关，故极限不存在. 习题7.21. （1）3/2cos(/)z y y x x x ∂=∂，z y ∂=∂， （2）/1y z u y x x z -∂=∂，/1ln y z u x x y z ∂=∂，/2ln y z u yx x z z∂=-∂.2. '''11(1,2,0)1,(1,2,0),(1,2,0).22x y z f f f ===3. 22222222212126,126,6z z z x xy y xy x x x y x y∂∂∂=-+=-=∂∂∂∂.4. 证明 因为1111()()2211,x y x y z z e e x x x y-+-+∂∂==∂∂,所以222z z x y z x y ∂∂+=∂∂. 习题7.31.（1）sin sin cos y y dz e dx x ye dy =+；（2）)du xdx ydy zdz =++2.222222x y df dx dy x y x y =+++，()422,155df dx dy =+. 3.证明： （1）因为22000)0(0,0)x x y y x y f →→→→+===，所以(,)f x y 在(0,0)点处连续； （2）根据偏导数的定义，极限00(,0)(0,0)00limlim 0x x f x f xx ∆→∆→∆--==∆∆，所以对x 的偏导数存在，且'(0,0)0x f =；同理，'(0,0)0y f =. （3）因为2200)000limlimx y x y z dzρρρρ→+→+∆+∆--∆-∆∆-=00limlimz dzρρρ→+→∆-==，而这个极限不存在，所以(,)f x y 在(0,0)点处不可微.习题7.41.()()()()sin cos ,sin cos xy xy xy xy z zye x y e x y xe x y e x y x y∂∂=+++=+++∂∂. 2.()()222333223cos sin cos sin ,cos sin 2cos sin 2sin cos z z r r r θθθθθθθθθθθ∂∂=-=+--∂∂ 3.（1）12122,2xy xy u ux f ye f y f xe f x x ∂∂''''=⋅+⋅=-⋅+⋅∂∂；（2）11222211,,u u x u y f f f f x y y z z y z∂∂-∂''''=⋅=⋅+⋅=-⋅∂∂∂. 4.dy x y dx x y+=-.5.zz x y ∂∂==∂∂. 6.证明：令23x y z u +-=，则2sin u u =，此方程有解0u ，即023x y z u +-=，故12,33z z x y ∂∂==∂∂，1z zx y∂∂+=∂∂. 7.每个方程都对x 求导，222460dy dz x y dx dx dy dz x y z dx dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得626226dy x xz dx y yz dz x dx z+⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.习题7.5 1.()1,2zl∂=∂. 2.（1）()1,1z l∂=∂（2）()0,1,023u l ∂=∂. 3.()1,1,1(6,3,0)gradf =.习题7.61.(1) 1B =;(2) 2,6m n ==;(3) 2,2A B =-=-.2.(1)切线方程11101x y z --==-，法平面方程1z x -=. 3.()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 4.切平面方程24x y +=,法线方程21120x y z--==. 习题7.71.（1）()1,12f -=-为极小值；（2）11,122f e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为极小值.2.区域内部：(0,0)为驻点，(0,0)0f =；区域边界上，相当于求条件极值，构造拉格朗日函数22(,,)(1)L x y xy x y λλ=++-，解得x y ==，1(2f f ==，1(2f f ==-， 所以最大值为12，最小值为12-.3.构造拉格朗日函数22(,,)(22)L x y x y x y λλ=+++-，解得42,55x y ==，424,555f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为极小值.4.构造拉格朗日函数(,,,)()L x y z xyz x y z a λλ=+++-，解得3ax y z ===，即三个正数均为3a时，乘积最大. 5.构造拉格朗日函数222222(,,,)(1)(1)(1)(2)(3)(4)(32)L x y z x y z x y z x z λλ=-+-+-+-+-+-+-， 解得点2163,2,1326⎛⎫⎪⎝⎭. 6.构造拉格朗日函数222(,,,)(12)L x y z xyz x y z λλ=+++-，解得，2x y z ===.高等数学A （下）习题册第八章参考答案习题8.1 1、（1）8π（2）8（3）2（4）1 2、（1）23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰ （2）2()Dx y d σ+≤⎰⎰3()Dx y d σ+⎰⎰3、（1）02I ≤≤ （2）1827I ππ≤≤4、（1）因为积分区域关于x 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于y 为奇函数(或理解为积分区域关于y 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于x 为奇函数)，所以原二重积分(sin )0Dx y dxdy -=⎰⎰.（2）因为积分区域关于y 轴对称，而函数22arcsin (,)1x y f x y x y =++关于x 为奇函数，所以原二重积分22arcsin 01Dx y dxdy x y=++⎰⎰.习题8.2 1、（1）22122001(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰（2）23 02(,)xxdx f x y dy -⎰⎰ （3）2602(,)yy dy f x y dx -⎰⎰2、（1）2cos 22(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰（2）22321cos d d πθρθρ⎰⎰（3）sec tan 240d d πθθθρρ⋅⎰⎰3、图如下所示.（1） （2） （3） （4）（1）解：原式2237111424000226()3355x xx x Dx ydxdy xdx ydy x y dx x x dx ==⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）解：原式0111012121111101()()x x x y x y x y x x x x De d e dx e dy e dx e dy e dx e e dx eσ+-+++------=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1e e=-.（3）解：原式221112000sin sin sin sin [][()]yy Dy yyyy ydxdy dy dx x dy y y dy yy y y==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11111(sin sin )sin sin cos (cos sin )1sin1y y y dy ydy y ydy y y y y =-=-=-+-=-⎰⎰⎰.（4）解：原式122222222(2)(2)DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222cos ,sin (2)(2)D D x y d d d d ρθρθρρρθρρρθ==-+-⎰⎰⎰⎰令22233302(2)(2)d d d d ππθρρρθρρρ=-+-⎰⎰⎰⎰442322252[]2[]442ρρπρπρπ=⋅-+⋅-=. 4、（1）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|0cos ,}22D R ππρθρθθ=≤≤-≤≤，故原式22222DDR x y dxdy R d d ρρρθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰3cos cos 2222222221[()]3R R d R d R d ππθθππθρρρρθ--=-⋅=--⎰⎰⎰33320 24(1sin )()333R R d πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,0}4D πρθρθ=≤≤≤≤，则arctan yx θ=.故原式240 1arctan D Dydxdy d d d d x πθρρθθθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222113()(21)24264ππ=⋅⋅-=. （3）解：如左图所示.在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,02}D ρθρθπ=≤≤≤≤， 故原式222220 1ln()ln()2ln DDx y dxdy d d d d πρρρθθρρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222 1112ln 2[ln ln ]d d πρρπρρρρ=⋅=⋅-⎰⎰22132[4ln 2]2[4ln 2]8ln 2322ρππππ=⋅-=⋅-=-. 5、提示：积分区域{(,)|0,0}{(,)|,0}D x y x y y a x y x y a x a =≤≤≤≤=≤≤≤≤，交换积分次序得()()()0()()()()ayaaam a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰.习题8.31、（1）解：如左图所示.利用直角坐标计算.因为222{(,,)|01,01,01}x y z z x y y x x Ω=≤≤--≤≤-≤≤， 所以原式22211100x x y I xyzdxdydz xdx ydy zdz ---Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222224111120011[(1)]2224x x x y y y xdx y dy x x dx ----=⋅=--⎰⎰⎰122011(1)848x x dx =-=⎰. （2）解：如下图所示【解法一】由22z x y =+与1z =消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以22{(,,)|1,(,)}xy x y z x y z x y D Ω=+≤≤∈. 故原式221221[1()]2xyxyx yD D I zdxdydz dxdy zdz dxdy x y +Ω===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2123002211111()12222xy xy D D dxdy dxdy d d x y ππθρρ=-=⋅⋅-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 244πππ=-=.【解法二】用过点(0,0,)z 、平行于xoy 面的平面截Ω得平面圆域z D ，其半径为22x y z +=，面积为2z π.所以{(,,)|(,),01}z x y z x y D z Ω=∈≤≤.故原式4111200044zD z I zdxdydz zdz dxdy z z dz πππΩ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2、（1）解：如下图所示.由2243()z x y =-+与22z x y =+消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：2243,01,02z ρρρθπ≤≤-≤≤≤≤.故原式2221430I zdxdydz z d d dz d d zdz πρρρρθθρρ-ΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22243113500132[43]212z d d ρρπρρπρρρρπ-=⋅⋅=⋅--=⎰⎰. （2）解：如下图所示.由222425()z x y =+与5z =消去z 得：224x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：55,02,022z ρρθπ≤≤≤≤≤≤. 故原式22522235002()I x y dxdydz d d dz d d dz πρρρρθθρρΩΩ=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2223450551(5)2[]8242d d πθρρρπρρπ=-=-=⎰⎰.3、解：如下图所示.【解法一】利用直角坐标计算.由22222222x y z Rx y z Rz⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得2R z =，于是用平面2R z =把Ω分成1Ω和2Ω两部分，其中2221{(,,)|2,0}2Rx y z x y Rz z z Ω=+≤-≤≤； 22222{(,,)|,}2Rx y z x y R z z R Ω=+≤-≤≤. 于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222022R RR x y Rz zx y R zz dzdxdy z dzdxdy +≤-+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR Rz z z dz R z z dz ππ=-⋅+-⋅⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=. 【解法二】利用球面坐标计算.作圆锥面1arccos 23πϕ==，将Ω分成1'Ω和2'Ω两部分：1{(,,)|0,0,02}3R πρϕθρϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤； 2{(,,)|02cos ,,02}32R ππρϕθρϕϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤.于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz Ω''ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222cos 24242303cos sin cos sin RR d d d d d d ππππϕπθϕϕϕρρθϕϕϕρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰555715960160480R R R πππ=+=. 习题8.4 1、（1）解：由2222262z x yz x y⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去z 得：222x y +=. 故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|2}D x y x y =+≤.所以222222[62(2)]3[2()]DDV x y x y dxdy x y dxdy =---+=-+⎰⎰⎰⎰22230cos ,sin 3(2)3(2)Dx y d d d d πρθρθρρρθθρρρ==-=-⎰⎰⎰⎰令4226[]64ρπρπ=⋅-=.（2）解：由22140z x y z ⎧=--⎨=⎩消去z 得：221114x y +=.故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}114x y D x y =+≤.所以22(14)DV x y dxdy =--⎰⎰24121230 001cos ,sin 2111(1)()2[]222244Dx y d d d d πρθρθρρπρρρθθρρρπ==-=-=⋅⋅-=⎰⎰⎰⎰令.2、（1）解：如左图所示.上半球面的方程为222z a x y =--.有222zx xa x y∂-=∂--，222z y ya x y∂-=∂--，所以222221()()z z ax y a x y∂∂++=∂∂--. 故由曲面的对称性可知所求的曲面面积为2222241()()4DDz z aA dxdy dxdyx y a x y ∂∂=++=∂∂--⎰⎰⎰⎰22cos ,sin 14Dx y a d d a ρθρθρρθρ==-⎰⎰令cos 2224a a d d a πθρθρρ=-⎰⎰22204(1sin )2(2)ad a πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 由2222z x yz x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z 解得222x y x +=，即22(1)1x y -+=.所以所求曲面在xoy 面上的投影区域为22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤.又因为被割曲面的方程为22z x y =+，且2222221()()12z z x y x y x y ∂∂+++=+=∂∂+，所以所求曲面的面积为2cos 22200212242cos 42222DA dxdy d d d ππθππθρρθθπ-====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.3、解：设矩形另一边的长度为l 并建立如左图所示的坐标系，则质心的纵坐标为 22322222()32R R x R RlRDyd R l R dx ydyR x l dxy AAAAσ-------====⎰⎰⎰⎰⎰， 由题设可知0y =即可算得 23l R = .4、解：在球面坐标系中，Ω可表示为：02cos ,0,022R πρϕϕθπ≤≤≤≤≤≤.球体内任意一点(,,)x y z 处的密度大小为2222x y z μρ=++=.由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，因此0x y ==. 则22cos 22555223232sin 2cos sin 515R M dv d d d R d R πππϕμθϕρρϕρπϕϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； 所以 22cos 226722012645cos sin cos sin 64R zdvz d d d R d R MMMπππϕμπθϕρρϕρϕρϕϕϕΩ==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故球体的质心为5(0,0,)4R . 5、解：22222222222224b a x aa a a by aa a x aDb b I x dxdy x dx dy x a x dx x a x dx a a ρρρρ-----===⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32324222000sin 4sin cos cos 4[sin sin ]x a t b a t t a tdt a b tdt tdt a πππρρ=⋅=-⎰⎰⎰令 3313114[]224224a b a b ππρπρ=⋅-⋅⋅=.6、解：如左图所示.（1）由Ω的对称性可知： 2234222000844()4()33aax y aaaa a V dx dy dz dx x y dy ax dx +==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故0x y ==.224224001441(2)2a ax y aa z zdv dx dy zdz dx x x y y dy MV V ρ+Ω===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4325202217()3515a ax a x a dx a V =++=⎰.（3）2222220()4()aax y z I x y dv dx dy x y dz ρρ+Ω=⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰422461124(2)45a adx x x y y dy a ρρ=++=⎰⎰.高等数学A （下）习题册第九章参考答案习题9.11.⑴2π； ⑵258π； ⑶32a π； ⑷2 注意（4）的做法，此圆的参数方程为，1cos ,sin x y θθ-==，:0θπ→，所以0(cos 1)sin 2Lxy ds d πθθθ=+=⎰⎰.如果有同学用1sin ,cos x y θθ-==，θ的范围就不再是0π→. 2．（1）由于连接(1,0)及(0,1)的直线段方程为1x y +=（如图）， 所以()12LLy ds ds x +==⎰⎰.（2）分三段来做（如图）， 在x 轴上， 2211ay x a L x eds e dx e +==-⎰⎰；在圆弧上，222404y a a L x eds ae dx ae ππ+==⎰⎰；在y x =上，223222021a y xa L x e ds edx e +==-⎰⎰；所以22y Lx eds +⎰224a e a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（3）直接按照对弧长的曲线积分公式求即可，答案为23(1)2e --. 3．如图，此圆的参数方程为，cos ,sin x y θθ==，:02πθ→，所以201sin cos 2L xyds d πθθθ==⎰⎰.4．根据对弧长的曲线积分的物理意义，即求曲线积分Lyds ⎰.此圆的参数方程为，cos ,sin x a y a θθ==，:0θπ→，Lyds ⎰20sin 2a ad a πθθ==⎰.习题9.21.（1）把参数方程21,1x t y t =+=+代入得，1202(2)2(1)(1)23LI ydx x dy t t tdt =+-=++-=⎰⎰.（2）把参数方程3∑代入得，33232222220[sin cos ]3k x dx zdy ydz k a a d a ππθθθθπΓ+-=--=-⎰⎰.2.从(1,1,1)(2,3,4)A B 到的直线段的参数方程为1,21,31x t y t z t =+=+=+，:01t →代入得，1[(1)2(21)3(31)]13xdx ydy zdz t t t dt Γ++=+++++=⎰⎰.3.（1）把2,,:01x y y y y ==→代入得，132017()(2)30Lydx y x dy y y y y dy x +-=⋅+-=⎰⎰.（2）把,,:01x y y y y ==→代入得，1201()3Lydx y x dy y dy x +-==⎰⎰.（3）分两段积分，1L ：,0,:01x x y x ==→代入得，1()0L ydx y x dy x +-=⎰；2L ：1,,:01x y y y ==→代入得，2101()(1)2L ydx y x dy y dy x +-=-=-⎰⎰； 所以，1()2L ydx y x dy x +-=-⎰.4.曲线的参数方程为2,,:11x x y x x ==-→，曲线的方向向量为(1,2)x ，从而2212cos ,cos 1414x xxαβ==++，所以2L x ydx xdy -⎰22(2)14Ly x ds x-=+⎰.5.根据对坐标的曲线积分的物理意义，所求的功为2L x dy -=⎰815-.习题9.3 1.（1）10；（2）2m n ==；（3）1,1a b =-=.2.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 3.（1）如图，1[(1cos )(sin )](1)5x x LDe dx y y dy e ydxdy e y π---=-=--⎰⎰⎰.（2）因为Q x∂=∂P y ∂∂，由格林公式，所以202yy L x e dx e dy x +=⎰. 4.（1）如图，2222()(),x y x y P Q x y x y +--==++，Q x∂=∂222222()P x y xyy x y ∂--=∂+，又由于积分范围不包括原点，由格林公式，所以22()()0C x y dx x y dyx y +--=+⎰；（2）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，曲线的参数方程为： cos ,sin x a y a θθ==，:02θπ→，代入得，22()()2C x y dx x y dyx y π+--=-+⎰.（3）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，在C 包围的内部区域增加一条圆形曲线1C ：222x y a +=，方向为顺时针，所以11222222()()()()()()022CC C C x y dx x y dyx y dx x y dy x y dx x y dyx y x y x y ππ++--+--+--=-+++=-=-⎰⎰⎰5.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 习题9.41．（1）10a ；（2）221()()x x y z ∂∂++∂∂；（3）42a π；（4）11110π；（5）122π+． 2.（1）22111122xyD dS dxdy zx yπ∑=+=+⎰⎰⎰⎰（积分区域如图）（2）根据对称性（也可以化成二重积分之后，根据对称性）， 可知：0xdS ∑=⎰⎰，0ydS ∑=⎰⎰；所以，原式2222220222xya h D a zdS a x y dxdy d a d a x yπθρρ-∑==--⋅==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()a a h π-.3.根据对称性，0,0x y ==，32221zdSa az a dSππ∑∑===⎰⎰⎰⎰（分子的求法同上题），所以曲面的重心坐标为(0,0,)2a.习题9.5 1．（1）0；（2）第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰化成第一类曲面积分是(cos cos cos )P Q R dS αβγ∑++⎰⎰，其中,,αβγ为有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向角.2.积分曲面如图所示，阴影部分为右侧，记为1∑，关于Ozx 面对称的为左侧，由于该曲面在Oxy 面上的投影为曲线，故(1)0z dxdy ∑+=⎰⎰，因此，()I y dzdx ∑=-⎰⎰，由对称性可知12()2()24zxD I y dzdx y dzdx x dzdx ∑∑=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰，zx D 如图所示. 所以，222222222222224242(2)444848zxxD I x dzdx dx x dz x x dxx dx x dx π----=--=--=---=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧，所以，单位法向量为1(1,1,1)3-，从而I =[][][](,,)2(,,)(,,)f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰[][][]1(,,)2(,,)(1)(,,)3f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-++⎰⎰111()233x y z dS dS ∑∑=-+==⎰⎰⎰⎰. 4.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为曲面221z x y =--在第一卦限的部分取上侧，所以，单位法向量为221(2,2,1)144x y x y ++，从而222222221(2)144144144xy I xy zdS x yx yx y∑=++++++++⎰⎰22222211221442144144xyD dS x y dxdy x yx yπ∑==++=++++⎰⎰⎰⎰.习题9.61.（1）直接利用高斯公式，3xdydz ydzdx zdxdy dv Ω∑++==⎰⎰⎰⎰⎰81π.（2）如图，增加一个“盖子”1:2z ∑=，取上侧，则2(2)-2zx dydz zdxdy ∑+=⎰⎰1122(2)2(2)2z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑+∑∑+--+-⎰⎰⎰⎰前一个积分使用高斯公式，结果为0；而12(2)20416xyD z x dydz zdxdy dxdy π∑+-=-=-⎰⎰⎰⎰，从而，原积分16π=.2.（1）由于曲线L 上2z =，故20L yz dz =⎰，所以233LLydx xzdy yz dz ydx xzdy -+=-⎰⎰，利用斯托克斯公式，得233(3)5xyLLD ydx xzdy yz dz ydx xzdy z dxdy dxdy ∑-+=-=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰20π-.（2）可求出交线L 的方程是222,3z x y =+=，故()0Lx y z dz ++=⎰，所以222()()Lx ydx x y dy x y z dz +++++⎰222()Lx ydx x y dy =++⎰，利用斯托克斯公式，得，22222()(2)(2)xyLD x ydx x y dy x x dxdy x xdxdy ∑++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，利用对称性，20xyD xdxdy =⎰⎰，22xy xyD D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰，所以2222220011()22xyxy D D x dxdy x y dxdy d d πθρρρπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 原积分π=-.高等数学A （下）习题册第十章参考答案习题10.1 1、（1）收敛 ； (提示：∵1111()(2)22n u n n n n ==-++，又∵111lim lim()1324(2)n n n S n n →∞→∞=+++⋅⋅+11111113113lim (1)lim ()2324222124n n nn n n →∞→∞=-+-++-=--=+++，∴原级数收敛.) （2）发散 . (提示：∵1n n ∞∞===∑，又∵lim n n n S →∞→∞=++(1n ++=∞，∴原级数发散.)2、（1）发散 ；(提示：级数为1111133n n nn ∞∞===∑∑，发散.)（2）收敛 .(提示：级数为112435nnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，收敛.)3、0x >或2x <-.(提示：1111(1)lim lim 11(1)n n n n nnu x u x x ρ++→∞→∞+===++，当1ρ<即111x <+时，解得0x >或2x <-，此时级数11(1)nn x ∞=+∑收敛，则原级数绝对收敛.)习题10.21、（1）收敛；(提示：∵3cos 433n n n nu +=<，而级数1141433n nn n ∞∞===∑∑收敛，∴原级数收敛.) （2）发散.(提示：∵1n n n→∞==，而级数11n n∞=∑发散，∴原级数发散.)2、（1）发散；(提示：∵111333(1)lim lim lim 113n n n n n n n nn u n n e u n e e n e ρ+++→∞→∞→∞+⋅===⋅=>+⋅，∴原级数发散.) （2）发散.(提示：∵11(1)!12lim lim lim !22n n n n n nnn u n n u ρ++→∞→∞→∞++====∞，∴原级数发散.)3、（1）收敛 ；(提示：1112(1)112222n n n n n n n ∞∞∞===+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，∵由于1112n ρ==<，∴级数112n n ∞=∑收敛；又∵2112n ρ==-<，∴级数112nn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.故原级数收敛.)（2）发散 .(提示：∵ln 2lim 3n n n n nρ→∞===，又因为由洛必达法则得1ln ln lim lim 1lim 333n n n n n nnn →∞→∞→∞==031==，∴ln 22lim2113n n nρ→∞===>，故原级数发散.) 4、（1）绝对收敛 ； (提示：12211(1)111n n n n n -∞∞==-=++∑∑，因为22111n n <+，而级数211n n∞=∑收敛，所以级数121(1)1n n n -∞=-+∑收敛，故原级数绝对收敛.)（2）条件收敛 .(提示：显然1111(1)(1)n n n n n u ∞∞--==-=-∑∑为交错级数，其中n u =11nn u u -==<即1n n u u -<；②lim n n u →∞=0n n →∞==，故该交错级数收敛.又因为11(1)n n ∞-=-=∑1n ∞=∑，有lim lim (1n nn S n →∞→∞⎡⎤=++++⎣⎦1)n →∞==∞ ，则级数11(1)n n ∞-=-∑发散，故原级数条件收敛.)5、（1）提示：222n n n n a b a b +≤；（2）提示：22112n n n a a n a n n +=⋅≤.6、证明：只需证明正项级数1!nn a n ∞=∑（0a >）收敛，根据比值审敛法有11!lim lim[]lim 01(1)!1n n n n n n nu a n au n n a ρ++→∞→∞→∞==⋅==<++，因此正项级数1!n n a n ∞=∑（0a >）收敛，再由级数收敛的必要条件得lim 0n n u →∞=，即lim 0!nn a n →∞=，得证.习题10.3 1、（1）1R =，收敛域为[]1,1- . (提示：因为12211limlim1(1)n n n na n n a ρ+→∞→∞===+，所以收敛半径11R ρ==.当1x =时，原级数为211n n∞=∑，该级数收敛.当1x =-时，原级数为21(1)n n n ∞=-∑，该级数也收敛.因而该级数的收敛域为 [1,1]-.)（2）2R =，收敛域为()0,4 .(提示：令2(2)t x =-，则1,44n n nn n t u a n n ==⋅⋅，因为11111(1)4lim lim 144n n n n nn a n a n ρ++→∞→∞+⋅===⋅，所以收敛半径1114R ρ==，故原级数的收敛半径为12R R ==.则有 22x -<，即04x <<.当0x =时，原级数为11n n ∞=∑，该级数发散；当4x =时，原级数为11n n∞=∑，该级数也发散.因而原级数的收敛域为 (0,4).)2、1111211114()(),(2,2)222(2)12nn n n n n n n n nnx x S x x x x x x x x x x ∞∞∞----==='⎛⎫'=====∈- ⎪-⎝⎭-∑∑∑ 11111114(1)()()22222542n n n n n n n n S ∞∞-==-=-=-=-∑∑. 3、100111112(2)()(1)22(2)222212nn n n n n x x x x x ∞∞+==--==⋅=-=--+-+∑∑，((0,4))x ∈.习题10.4 1、解： 如左图所示，由狄利克雷充分条件可知，()f x 的 傅里叶级数在间断点(21)x k π=+(0,1,2,)k =±±处收 敛于()()2222f f πππππ-++--+==.在连续点(21),(0,1,2,)x k k π≠+=±±处()f x 的傅里叶级数收敛于()f x ，其中傅里叶系数为：00111()22a f x dx xdx xdx ππππππππ--==+=⎰⎰⎰， 001111()cos cos 2cos cos n a f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰2011sin ((1)1)(1,2)n xd nx n n n πππ==--=⎰ 001113()sin sin 2sin sin n b f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰10333cos cos (1)(1,2)n xd nx n n n n nπππππ+=-=-⋅=-=⎰所以()f x 的傅里叶级数为121(1)13()cos (1)sin 4n n n f x nx nx n n ππ∞+=⎛⎫--=++- ⎪⎝⎭∑ ((21),0,1,2,)x k k π≠+=±±2、31,23、解：（1）展开成正弦级数.对()f x 作奇延拓，得 ,(0,]2()0,0,(,0)2xx F x x x x ππππ-⎧∈⎪⎪==⎨⎪+⎪-∈-⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.易见0x =是一个间断点，在0x =处级数收敛于()2202ππ+-=. 函数()f x 在(0,]π处连续，傅里叶级数收敛于()f x ，且傅里叶系数为：0(0,1,2)n a n ==；0001211()sin sin sin sin (1,2)2n x b f x nxdx nxdx nxdx x nxdx n nπππππππππ--==⋅=-==⎰⎰⎰⎰故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的正弦级数为： 11sin (0)2n x nx x nππ∞=-=<≤∑.（2）展开成余弦级数.对()f x 作偶延拓，得 ,[0,]2(),(,0)2xx F x x x ππππ-⎧∈⎪⎪=⎨+⎪∈-⎪⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.则()F x 在(,)-∞+∞内处处连续，且()(),[0,]F x f x x π≡∈. 则傅里叶系数为：0(1,2)n b n ==；0012()22x a f x dx dx πππππππ--===⎰⎰；000121()cos cos cos cos 2n x a f x nxdx nxdx nxdx x nxdx πππππππππ--===-⎰⎰⎰⎰21(1(1))(1,2)n n n π=--=； 故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的余弦级数为： 211(1)cos (0)24nn xnx x n ππππ∞=---=+≤≤∑.。
肇庆学院2023-2023学年第1学期《高等数学下)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
肇庆学院2023-2023学年第1学期《高等数学下》期末考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共40题，每题2.5分，共100分）1.在极坐标系下，点P的极坐标为(r, θ)，则P的直角坐标为（）。
A. (r, θ) B. (rcosθ, rsinθ) C. (rcosθ, θ) D.(rsinθ, θ)2.函数 y = ln(x^2 + 1) 的凸区间为（）。
A. (-∞,-1) B.(-1, ∞) C. (0,∞) D. (-∞,0)3.曲线 y = x^3 在点(1,1)处的切线方程为（）。
A. y =3x B. y = 3x - 2 C. y = 2x + 1 D. y = x4.函数 y = x + e^x 的最小值为（）。
A. -∞ B. 0 C. 1 D.无最小值5.设 y = sin(2x)，则y’ = （）。
A. 2cos(2x) B. 2cos(x)C. 2sin(2x)D. 2sin(x)6.函数 y = sin(x) 在 [-π/2,π/2] 上的最小值为（）。
A.-1 B. -π/2 C. 0 D. π/2……二、填空题（共10题，每题5分，共50分）1.设 A = {1, 2, 3, 4}，B = {2, 3, 4, 5}，则A ∪ B 的结果为 _______。
2.设f(x) = ∫(0, 2) x^2 dx，则 f(1) = _______。
3.设函数 f(x) 为偶函数，则其对称轴为 _______。
4.设函数 y = f(x) 在 x = a 处不可导，则 f(x) 在 x = a 处_______。
5.设函数 y = ln(x) + C 是函数 y = 1/x 的特解，则常数C = _______。
6.设 y = A * e^(-kx) 是函数 y = f(x) 的通解，则常数 A = _______。
7.设∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，则 f(x) = _______。
高等数学二本(A)参考答案
一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。
高等数学(A)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学Ⅰ(下)陕西理工学院考试试卷(A卷)参考答案与评分标准
S(1) 2
1 (1 1)2
4 .……………2 分
2
20. 验证：在整个 xoy 面内，xy2dx x2 ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.
解 P xy2 ,Q x2 y ，且 P 2xy Q 在整个 xoy 面内恒成立.故在整个 xoy 面内，
y
+xyf22
=-f11 +(x-y)f12 +f 2+xyf 22
……………3 分
13.计算 xyd ，其中 D 是由两条抛物线 y x ， y x2 所围成的闭区域. D
1
x
1
y
解 xyd = dx xydy= dy xydx ……………5 分
x
xy2dx x2 ydy 是某个函数的全微分.
……………4 分
取积分路径为折线 OAB （如图），故所求函数为
u(x, y) (x,y) xy2dx x2 ydy (0,0)
xy2dx x2 ydy xy2dx x2 ydy
OA
AB
0 y x2 ydy x2 y ydy x2 y2 .
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由于函数值增加最快的方向为梯度方向，所以 f (x, y, z) xy2 z 在点 P0 (1, 1, 2) 处沿方向 (2,-4,1) 函数值增加最快. ……………4 分
沿梯度方向的方向导数等于梯度的模，即沿这个方向的方向导数为
|f (1,-1,2)|= 21 . ……………3 分
0
x2
0
y2
D
= 1 1(x2 -x5 )dx= 1
20
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高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学A（下）练习题及答案
高等数学A(下)练习题一、填空题1.设k j i a43+-=，k j i b λ++=62，且a b ⊥ ，则λ= 4 ；2.设平行四边形两邻边为222a i j k =++，24b i j k =++ ，则该平行四边形的面积为3.的平面方程为03245轴且垂直于平面过=+-+z y x x 2+40y z = ；4.xoy 平面上的抛物线22y x =绕x 轴旋转生成的旋转抛物面方程为 222y +z x =；5.设y z u x =，则(1,2,3)uy∂=∂ 0 ；6.设222(,,)ln()f x y z x y z =++，则(1,2,2)gradf -= 244(,,)999- ；7.椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的法线方程为 111462x y z ---== ； 8.交换积分次序：10(,)xdx f x y dy =⎰210(,)yyd y f x y d x⎰⎰ ； 9.判别级数1n ∞=的敛散性，结论：该级数是 发散 ；10.级数01(1)(2)n n n ∞=++∑的和为 1 ；11.幂级数1nn ∞=的收敛域是 [)1,1- ；12.微分方程23(1)0dy y x dx++=的通解为 34(1)34y x C +=-+ 。
二、计算题1.()y x f z ,=由方程22222x y z z ++=确定，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
解：方程为：22222x y z z ++=方程两边对x 求导，得到 242x x x z z z +⋅= 整理得到： ()422x z z x -⋅=-所以： ()1224242x x z x z z --==--- 再两边对y 求导，得到 ()()221424xy y z x z z -=---方程22222x y z z ++=两边对y 求导，得到 242y y y z z z +⋅= 所以 242x y z z -=-，从而 ()()232842164242xy y z x z xy z z ---=-=---2.设22(,)z f x y x y =+，且f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂，xy z ∂∂∂2。
西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学(下)》期中考试试卷(A卷)及标准答案
西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学（下）》期中考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1.在极坐标系中，曲线 $r=2\\cos \\theta$ 的极坐标方程为（）A.$r = 2\\sin \\theta$B.$r = 2\\cos^2 \\theta$C.$r = 2\\cos \\theta$D.$r = 2\\sin^2 \\theta$ 答案：C2.由函数 $f(x) = \\frac{2x+3}{x-1}$ 在点x=1处的极限存在，则 $\\lim_{x \\to 1} f(x)$ 的值为（）A.5B.1C.2D. 3 答案：B（省略选项及答案）二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.设第x项为x x=3+(−1)x的等差数列的前x项和为x x，则x x= ___ 。
答案：$S_n = \\begin{cases} 2n+1, & n \\text{为奇数} \\\\ 2n+3, & n \\text{为偶数}\\end{cases}$2.设向量 $\\vec{a} = 2\\vec{i} - \\vec{j} + 3\\vec{k}$，$\\vec{b} = \\vec{i} + 2\\vec{j} - 2\\vec{k}$，则 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} =$ ___ 。
答案：$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = -5$（省略答案）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求下列不定积分：$\\int \\frac{\\sin^3x}{\\cos^2x} \\, dx$。
解：首先，利用恒等式 $\\sin^2x + \\cos^2x =1$，将被积函数中的 $\\sin^3x$ 变形为 $\\sin^2x \\cdot \\sin x = (1-\\cos^2x)\\sin x$。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高等数学下期末试卷A
《 高等数学》第二 学期期末试卷（A ）3×6=18分）1、 690y y y '''-+=的特征方程是2、sin(23),z x y dz =+=则3、(,), ( (,)0 )Df x y dxdy f x y >⎰⎰的几何意义4、计算()121233⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5、已知向量()()12122,231,αα==-则1223αα-=6、线性方程组Ax b =有解的充要条件是2×6=12分） 1、二重积分{}⎰⎰≤+==Dy x y x D d y x f I 1|),(,),(22其中σ，则可将I 化为累次积分（ ） A 、⎰⎰--dy y x f dx x ),(21011 B 、⎰⎰----dy y x f dx x y ),(221111C 、⎰⎰--dy y x f dx ),(1111D 、⎰⎰rdr r r f d )sin ,cos (1020θθθπ2、方阵 A 可逆的充分必要条件是（ ）A 0≠AB 0≠AC 0*≠A D 0>A3、下列命题成立的是（ ）A 、若AB AC =，则B C = B 、若0AB =，则00A B ==或 C 、若0A ≠，则0A ≠D 、若0A ≠，则0A ≠4、设A 为34⨯矩阵，且()2R A =，则下列结论中，不正确的是（ ）A 、A 的所有3阶子式都为零B 、A 的所有2阶子式都不为零C 、A 的列向量线性相关D 、A 的行向量线性相关5、向量()()()()1234100,010,000,110αααα====的极大线性无关组为（ ）A 、123,,ααα B 、124,,ααα C 、12,αα D 、34,αα6、若非齐次线性方程组Ax b =中方程个数少于未知数个数，那么（ ）A 、Ax b =必有无穷多解B 、0Ax =必有非零解C 、0Ax =仅有零解D 、0Ax =一定无解三、求下列微分方程的通解：(6分) 1、dxdy =yx e -，四、解答下列各题：(2×5=10分)1、已知向量→a ={1,2,3},→b ={1,0,1},求→a ∙→b ，→a ×→b2、已知平面π与平面2340x y z -+=平行，且过点(1,2,-1).求平面π的方程。
高等数学(下)试卷A答案
高等数学（下）试卷答案（A ）一、填空(每小题3分,共15分) 1. 设()y x z +=ln ，则=∂∂+∂∂y z y x z x 21 . 2. 已知()⎰⎰⎰⎰=++≤++RR z y x dr r dv z y xf 0222)(2222ϕ，则=)(r ϕ)(422r f rπ .3. 已知⎰+Lxdy a xdx y sin cos 在整个xOy 面内与路径无关,则=a 1 .4. 设()x f 是以π2为周期的函数,它在区间],(ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x f 0,10,0 ,则()x f 的傅里叶系数中=3b π32. 5. 微分方程()0233='-''y y x 的阶数是 2 . 二、选择(每小题3分,共15分)1．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(,0)0,0(,),(22)( )( x,y x,y y x xyy x f 在点（0,0）处(C ).(A) 连续，偏导存在； (B) 连续，偏导不存在； (C) 不连续，偏导存在； (D) 不连续，偏导不存在. 2. 函数()222ln z y x u ++=在点M(1,2,-2)处正确的是（ B ）.()().;9292以上三项都不对 (D) div (C) ;2d 2d d d (B) ;92grad -=-+==M Mu z y x u u A 3. 设1D 是以原点为中心1为边长的正方形,2D 是1D 的内切圆,3D 是1D 的外接圆,记.;;322212321⎰⎰⎰⎰⎰⎰---===D x D x D x dxdy e I dxdy e I dxdy e I 则321,,I I I 的大小顺序为(B ).()321I I I ≤≤A ()312I I I ≤≤B()123I I I ≤≤C ()213I I I ≤≤D4. 级数∑∞=1n nu在满足条件( B )时,一定是收敛.()0lim =∞→n n u A ; ()∑∞=1n n u B 收敛; ()∑∞=1n n u C 1收敛; ()∑+∞=1n u D 2n 收敛. 5. 方程x y y cos =+''的一个特解的形式为=*y ( D ).();cos x Ax A ();sin cos x B x Ax B +();sin cos x Bx x A C + ().sin cos x Bx x Ax D +三、计算下列各题(每小题6分,共12分)1． 设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2.解)()()(12y x y xy f x y xy f xx z +'+'+-=∂∂ϕ 2分 )()()()(1)(12y x y y x xy f y xy f x xy f x y x z +''++'+''+'+'-=∂∂∂ϕϕ 5分 )()()(y x y x y xy f y +'++''+''=ϕϕ 6分2. 在曲面xy z =上求一点，使这点的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这条法线 的方程.解 设所求点为),,(000z y x ，则过曲面xy z =上点),,(000z y x 的法线的方向向量为{}1,,00-x y .由已知113100-==x y ，得3,1,3000=-=-=z y x . 3分 过曲面上点),,(000z y x 的法线方程为133113-=+=+z y x 6分 四、(6分)求由旋转抛物面226y x z --=，平面x y x z y ====及1,0,0所围成的立体对z轴的转动惯量（设体密度ρ=1）.解 设Ω是由旋转抛物面226y x z --=，平面x y x z y ====及1,0,0所围成的区域.()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y xI z 22()⎰⎰⎰--+=2260221y x xdz y xdy dx3分()()457615288615322221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=⎰⎰⎰ 0 0dx x x dy y x y xdxx 6分 五、计算下列积分(每小题6分,共24分) 1. ⎰⎰11xy dy e x dx 22.解 ⎰⎰⎰⎰=yy xy dx e x dy dy e x dx 1 011 022223分⎰⎰==110 223226131dy e y dy e y y y 4分2y t ====[]616161=-=⎰1 01t tt e te dt te 6分 2.()()之间的一段弧与点上介于点是抛物线其中2,10,04 L ,2LB O x y yds =⎰. 解 ⎰⎰+=1114 0dx xx yds L3分()12234)1(3412231-=+=+=⎰1x dx x 6分 3. ⎰++-L 22yx xdyydx 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向. 解 令2222,y x x Q y x y P +=+-=.则当022≠+y x 时，有xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂2222 1分 记L 所围成的区域为D .当D ∉)0,0(时，022=++-⎰L y x xdyydx 2分当D ∈)0,0(时，记,:2221r y x L =+其中1L 包含在L 内，并取其顺时针方向.⎰⎰⎰++--++-=++-+11L L L L 222222y x xdyydx y x xdyydx y x xdyydx 4分πθθθπ2sin cos 0022222=+-=⎰ 2d r r r 6分4.(),3222⎰⎰∑++++z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑是球面2222a z y x =++的外侧. 解()⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++33222azdxdyydzdx xdydz zy xzdxdyydzdx xdydz 3分 π4313==⎰⎰⎰Ωdxdydz a 6分六、(7分) 讨论级数∑∞=11n nna是绝对收敛、条件收敛还是发散?解 当1>a 时，由于111)1(1lim1<=+++∞→a na n a n n n ，所以级数∑∞=11n n na 绝对收敛. 3分 当1=a 时，级数∑∞=11n n发散. 4分 当1-=a 时，级数∑∞=-1)1(n nn条件收敛. 5分当10<<a 时，由于111)1(1lim1>=+++∞→a na n a n n n ，所以01lim ≠+∞→n a n n 级数∑∞=11n n n a 发散. 7分七、(7分) 将函数()x +2ln 展开成x 的幂级数,并求其收敛区间. 解 ()[]nn n x x x x ∑+∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅=+='+02)1(2121121212ln 3分∑∑⎰+∞=+++∞=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+0110)1(2)1(2)1(212ln )2ln(n n n n nn xn x n dx x x 0 5分 ∑+∞=+++-+=+011)1(2)1(2ln )2ln(n n n nx n x 6分收敛区间为：]2,2(-. 7分 八、(6分)求微分方程()dy y x xydx 222+=的通解.解 212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=x y x y dx dy ,令x y u =，则原方程化为231u u u dx du x +-= 3分 ()xdx u u du u =-+321，⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xdxdu u u u 2121 5分 C x u u ln ln 1ln ln 2+=--，通解为：Cx y x xy =-22 6分九、(8分)求微分方程x xe y y 4=-''的通解.解 特征方程及特征根分别是：1,1,01212=-==-r r r 2分对应齐次方程的通解是：x x e C e C Y 21+=- 4分 设方程的特解为：x e b ax x y )(*+= 6分 将)(*b ax x y +=代入原方程得：1,1-==b a 7分 所以原方程的通解为：x x x e x x e C e C y )1(21-++=- 8分。
高等数学下试题及参考答案华南农业大学
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解。
2.设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯=。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂。
5．交换积分次序2220(,)y ydy f x y dx ⎰⎰。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于（）A ．1-B ．1C ．12D ．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是（） A ．()i k ±-B ．()2j k ±-C ．()2j k ±+D．()2i j k ±-+ 3．设ln z xy=（），则11x y dz===（）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有（）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是（） A ．1n n u ∞=∑B ．1(1)nn n u ∞=-∑C．1n ∞=．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分a r c t a n Dyd x σ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级 学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
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湖北工业大学理学院2012-2013学年二学期
课程考试试卷答案(A 卷)
课程名称：高等数学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级
专业：xxx
题目部分，（卷面共有20题，96分，各大题标有题量和总分）
一、选择（5小题，共15分）
1、设向量,-=+
A 、 -=
B 、 +=
C 、 a b ⋅=0
D 、 a b ⨯=0
答案：C
2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的：
A 、必要而非充分条件；
B 、充分而非必要条件；
C 、充分必要条件；
D 、既非充分又非必要条件。
答案：A
3、设Ω为半球体x 2+y 2+z 2≤R 2,z ≥0.f (t )是(－∞,+∞)上严格单调增加的奇函数，则
A 、
()0f x z dv Ω+>⎰⎰⎰ B 、()0f x z dv Ω
+<⎰⎰⎰ C 、()0f x z dv Ω+=⎰⎰⎰D 、 ()2()f x z dv f x dv ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
答案：A 4、设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面下侧，则(
)I zdxdy ==∑⎰⎰
A 、200;d πθ-⎰⎰
B 、200;R d πθ⎰⎰
C 、200d πθ-⎰⎰
D 、200d πθ⎰⎰ 答案：B
5、级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α(常数0>α)
A 、发散；
B 、条件收敛；
C 、绝对收敛；
D 、敛散性与α有关。
答案：C
二、填空（5小题，共15分）
6、椭球面x y z 22249361++=的三个半轴长分别为____，_____，_____。
答案：2，3，6
7、函数z x
x y =+ln 22的间断点为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答案：y 轴上的所有点。
8、函数z x y =+22在闭域D x y :+≤1上的最小值是_______。
答案：z z min (,)==000
9、根据二重积分的几何意义221D x y dxdy --⎰⎰=___________.其中D ：x 2+y 2≤1. 答案：π
10、设3lim 1
=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是。
答案：3
三、计算（7小题，共42分）
11、一平面与平面π1632120:x y z +++=平行，且到原点的距离为1，求此平面的方程。
答案：设所求平面方程为6320x y z D +++=，
则原点到此平面的距离为
d D
D
=++=36947。
由条件d =1，解得D =±7，
故所求平面为：63270x y z ++±=
12、求极限lim x y x
xye xy →→-+00
416。
答案：解：lim x y x
xye xy →→-+0
0416
=++-→→lim ()
x y x xye xy xy
00416
=－8
13、设f x y e t t x x y (,)d =-+⎰2
，求)1,1(-xx f 。
答案：f e e x x y x =--+-()22
22
2)(2)(x y x xx xe e y x f -+-++-=
12)1,1(-=-e f xx
14、计算二重积分D
x y dxdy +⎰⎰，其中D ：|x |+|y |≤1. 答案：原式1
1120001144()4()223-=+=-=⎰⎰⎰x dx x y dy x dx
15、计算曲线积分⎰+L s y x d )(33，其中L 是圆周122=+y x 。
答案：解：⎰⎰⎰+=+L L L s y s x s y x d d d )(3333
⎰L s x d 3中，被积函数3x 是关于x 的奇函数，积分曲线L 关于y 轴对称， 故0d 3=⎰L s x 同理0d 3=⎰L s y 故0d )(33=+⎰L s y x
16、计算曲线积分sin cos L ydx xdy -⎰Ñ，其中L 是以O (0，0)，A (π，π)，B (0，
π
)为顶点的三角形正向周界。
答案：解：2d cos d sin π0=-=⎰⎰OA x x x x
00d sin π0π=-⋅=⎰⎰AB x
πd )cos 0(0
π=-=⎰⎰BO y O 故π2d cos d sin +=-⎰L
y x x y 17、试求幂级数n n x n n 30!13∑∞
=+在()∞+∞-,内的和函数。
答案：由于幂级数的收敛域是()∞+∞-,，故对于任意()∞+∞-∈,x ，有 ()n n x n n x s 30!13∑∞
=+= '⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∞=+013!n n n x ()'⋅=3x
e x
()3313x e x += 18、在曲面x y z xy yz zx 222222340++++++=上求一点，使曲面在该点处的切平面
平行于平面20x y z -+=，并写出切平面方程。
答案：曲面在点(,,)x y z 处的切平面法向量
{}x y z y x z z y x =++++++2342423,,
平行于平面法向量{}n 1211=-,,
2324214231
x y z y x z z y x ++=++-=++ 代入曲面方程，解得x y z =±=±=626,,μ
点(,,)626-和(,,)--626
切平面方程
26260()()()x y z ---++=
和26260()()()x y z +-++-=
或24x y z -+=和24x y z -+=-
19、试求曲面z =xy 被柱面x 2+y 2=a 2 (a >0)所截下部分的面积。
答案：xy D S =
⎰⎰
2003222[(1)1]3a
d a πθπ=
=+-⎰
20、设∑∞=1
n n a
绝对收敛，试证明∑∞=12n n a 收敛，并说明其逆不成立。
答案：由∑∞=1n n a 收敛，知0lim =∞→n n a 故 当n 充分大有n n n a a a ≤≤22 于是∑∞=12n n a
收敛， 例n a n 1=，∑∑∞=∞==12121n n n n a 收敛，但 ∑∑∞==∞
=111n n n n a 发散，这就说明其逆不成立。