系统动力学第四章
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15
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟
DELAY3(input, delay time) DELAY31(input, delay time, initial value)
16
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 物质延迟的阶次 阶次是延迟环节内部包含的状态变量数。 阶次是延迟环节内部包含的状态变量数。 一阶延迟表现出简单的指数增长特性； 一阶延迟表现出简单的指数增长特性；三阶延迟开始表现出 S形增长特性，而三阶以后延迟也是 形增长特性，只是程度 形增长特性， 形增长特性， 形增长特性 而三阶以后延迟也是S形增长特性 上有所差异。 上有所差异。 实际使用中，具体用一阶延迟函数还是用三阶延迟函数， 实际使用中，具体用一阶延迟函数还是用三阶延迟函数，根 据实际情况分析！ 据实际情况分析！
7
4.2 变量和方程
3、辅助方程 aux(t)=f [lv(t), rate(t), aux*(t), exo(t), const]
库库库INV 产库P 平平平平库S
库库库库 库INVcor
处期库库TINV
库库库库 时时time
处期库库期期时时 INVcov
图4.3 库存模型 TINV=S*INVCov
2
4.1 概述
1、Vensim PLE 软件的特点
版本： 版本：Vensim PLE 5.9e。 。 （1）利用图示化编程建立模型 在Vensim中，只要在模型建立窗口画出流图，再通过 Equa t i o ns 输 入 方 程和 参 数 ， 就 可 以 直接 进 行 模 拟 了 。 直接 （2）运行于Windows下，数据共享性强，提供丰富的输出 运行于Windows下 数据共享性强， Windows 信息和灵活的输出方式 Vensim的输出信息是非常丰富且兼容性较强，一般的模拟 的输出信息是非常丰富且兼容性较强， 的输出信息是非常丰富且兼容性较强 结果，除了即时显示外，还提供保存文件和copy到剪切板。 到剪切板。 结果，除了即时显示外，还提供保存文件和 到剪切板
9
4.2 变量和方程
5、表函数 建立表函数的一般步骤： 建立表函数的一般步骤： （1）确定表函数中自变量和因变量； ）确定表函数中自变量和因变量； （2）明确变量的取值变化范围； ）明确变量的取值变化范围； （3）考虑曲线的形状和斜率，正斜率表示正反馈，负斜率表示 ）考虑曲线的形状和斜率，正斜率表示正反馈， 负反馈； 负反馈； （4）选取合适的端点、驻点、拐点； ）选取合适的端点、驻点、拐点； （5）作出图形。 ）作出图形。
DELAY1 (INF,TSS)
疾病蔓延模型中的DELAY1 DELAY1环节 图4.5 疾病蔓延模型中的DELAY1环节
11
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 “处潜伏期者” 状态变量的方程有： 处潜伏期者” 状态变量的方程有：
INC (t ) = INC (t0 ) +
∫
t
t0
[ INF (t ) − SYMP(t )]dt
13
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟
未未未 SUSC 处处处处 未 INC1 RT1 处处处处 未INC2 处处处处 未INC3 未病未 SICK1
感感茶 INF
RT2
疾未疾疾疾疾茶 SYMP
TSS/3处处处
DELAY3 (INF,TSS)
图4.6 三阶延迟疾病蔓延模型基本结构
A, MAX ( A, B) = B, B, MIN ( A, B) = A, A≥ B A< B A≥ B A< B
（2）MIN(A,B) ）
（3）条件函数 ELSE THEN ）条件函数IF IF ELSE THEN (cond, ontrue, onfalse)
ontrue IF ELSE THEN = onfalse cond为真 cond为假
∫
t
t0
[inflowS (t ) − outflowS (t )]dt
离散化方程： 离散化方程： LEVEL.K=LEVEL.J+DT*(INFLOW.JK-OUTFLOW.JK)
6
4.2 变量和方程
2、速率方程 rateS(t)=g [lvS(t), aux(t), exo(t), const(t)]
INC(t0)= INF(t0)*TSS SYMP(t)=INC(t)/TSS 中只用一个函数DELAY就可以表示，即 就可以表示， 在Vensim中只用一个函数 中只用一个函数 就可以表示 SYMP(t)=DELAY1[INF(t), TSS] 延迟函数的优缺点： 延迟函数的优缺点： 优点：方便、简洁； 优点：方便、简洁； 缺点：隐含了部分状态变量，且不能输出它的结果。 缺点：隐含了部分状态变量，且不能输出它的结果。
4
4.1 概述
使用Vensim Vensim软件处理问题的一般过程 2、使用Vensim软件处理问题的一般过程
Vensim软件处理问题过程 图4.1 Vensim软件处理问题过程
5
4.2 变量和方程
1、积累变量方程 连续方程形式： 连续方程形式：
lvS (t ) = S (t0 ) +
∫
t
t0
rateS (t )dt = S (t0 ) +
DELAY3 (INF, TSS)
∫ ∫
t
t0
[ RT 1(t ) − RT 2(t )]dt
INC2(t0)= INC3(t0) RT1(t)=INC1(t)/DL
INC1(t ) = INC1(t0 ) +
t
INC1(t0)= INC3(t0)
t0
[ INF (t ) − RT 1(t )]dt
18
4.4 函数
1、数学函数
ABS ( X ) = | X | EXP( X ) = e x
INTEG(X） ）
LN ( X ) = ln x, x > 0 MODULO ( X , Y ) = X − n × Y , 其中 n × Y ≤ X ≤ (n + 1)Y
，n为非零 为非零
整数； 整数；
21
4.4 函数
3、测试函数 （1） 阶跃函数： STEP（height, step time） ） 阶跃函数： （ ） （2）斜坡函数：RAMP (slope, start time, end time) ）斜坡函数： （3）脉冲函数 ） 单脉冲函数PULSE(start, width); 单脉冲函数 周期脉冲函数 PULSE TRAIN(start, width, tbetween, end) （4）正弦函数：SIN(X) ）正弦函数： （5）正态分布函数 ） RANDOM NORMAL (min, max, mean, stdev, seed)
22
4.5 输出问题
（1）时间序列的数据输出 ） 提供随时间变化的数据列表； 提供随时间变化的数据列表； （2）时间序列的图形输出 ） 提供随时间变化的图形输出； 提供随时间变化的图形输出； （3）变量之间的关系图 ） 速率变量与其对应的积累变量图形； 速率变量与其对应的积累变量图形； （4）静态分析结果 ） 如原因树分析、结果树分析、反馈回路分析等。 如原因树分析、结果树分析、反馈回路分析等。
12
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 根据延迟环节内部包含的状态变量数， 根据延迟环节内部包含的状态变量数，可分为一阶延迟函数 状态变量数 和三阶延迟函数。 和三阶延迟函数。 （1）一阶延迟函数
DELAY1(input, delay time) DELAY11(input, delay time, initial value)
Vensim建模基础 第四章 Vensim建模基础
南京农业大学管理工程系
Nanjing Agricultural University
Department of Management Engineering 1
本章主要内容
4.1 概述 4.2 变量和方程 4.3 延迟函数和平滑函数 4.4 函数 4.5 输出问题 4.6 准确度与运行时间单位的选择 4.7 Rabbit Limits Model
23
4.6 准确度与运行时间单位的选择
时间步长(time step)选择 时间步长(time step)选择
茶茶茶茶茶茶茶 CHNG 茶茶茶茶 TEA
室茶ROOMT
介介介介介介 CONST
图4.7 茶水温度冷却系统基本结构
t TEA(t ) = TEA(t0 ) + t 0 [CHNG (t )]dt CHNG (t ) = ( ROOMT − TEA(t )) × CONST TEA(t ) = 90 ROOMT = 20 CONST = 0.2 0
Hale Waihona Puke Baidu
10
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数
未未未 SUSC 感感茶INF 未病未 SICK 治治茶CURE 康康未 RECOV
图4.4 疾病蔓延模型的基本结构
未未未 SUSC 感感茶 INF 处处处处 未 INC 疾未疾疾疾疾茶 SYMP 未病未 SICK 治治茶CURE 康康未 RECOV
处处处TSS
17
4.3 延迟函数和平滑函数
2、平滑函数 信息平滑函数（信息延迟函数） 信息平滑函数（信息延迟函数） 由于平滑导致信息延迟，所以信息平滑函数又称信息延迟函数。 由于平滑导致信息延迟，所以信息平滑函数又称信息延迟函数。 (1)一阶信息延迟函数 一阶信息延迟函数 SMOOTH1(input, delay time, initial value) SMOOTH(input, delay time) (2)三阶信息延迟函数 三阶信息延迟函数 SMOOTH31(input, delay time, initial value) SMOOTH3(input, delay time)
8
4.2 变量和方程
4、常量方程 给常量赋值，如人口系统中： 给常量赋值，如人口系统中：births=0.020。 。 5、表函数 有些变量之间不能用函数关系式表示， 有些变量之间不能用函数关系式表示，则用图形方式表示出 变量之间的关系， 称表函数(lookup function)； 变量之间的关系，在vensim称表函数 称表函数 ； Lookup name ([(Xmin, Ymin)-( Xmax, Ymax)], ( X1, Y1), …, ( Xn, Yn))。 。
3
4.1 概述
1、Vensim PLE 软件的特点
（3）模型的多种分析方法 Vensim提供对于模型的结构分析和数据集分析，其中结构 提供对于模型的结构分析和数据集分析， 提供对于模型的结构分析和数据集分析 分析包括原因树分析、结果树分析和反馈列表； 分析包括原因树分析、结果树分析和反馈列表；数据集分 析包括数据表、原因图分析、结果图分析、对比图分析等。 析包括数据表、原因图分析、结果图分析、对比图分析等。 （4）真实性检验 对于所研究的系统模型中一些重要变量， 对于所研究的系统模型中一些重要变量，依据常识和一些 基本原则，可以预先提出对其正确性的基本要求， 基本原则，可以预先提出对其正确性的基本要求，这些假 设是真实性约束， 提供相应的检验。 设是真实性约束，Vensim 提供相应的检验。
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4.4 函数
1、数学函数
SIN ( X ) = sin X
SQRT ( X ) = X , x ≥ 0 A / B B ≠ 0 XIDZ ( A, B, X ) = B=0 X A / B B ≠ 0 ZIDZ ( A, B) = B=0 0
20
4.4 函数
2、逻辑函数 （1）MAX(A,B) ）
14
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟 SYMP(t)=INC3(t)/DL
INC 3(t ) = INC 3(t0 ) +
∫
t
INC3(t0)=IV*DL RT2(t)=INC2(t)/DL
INC 2(t ) = INC 2(t0 ) +
t0
[ RT 2(t ) − SYMP(t )]dt
出出出茶births 人人介Pop 死死茶deaths
出出茶介介BR
平平平平AL
图4.2 人口自然增长模型
Pop (t ) = Pop (t0 ) +
∫
t
t0
[births (t ) − deaths (t )]dt
Births(t)=Pop(t)*BR，Deaths(t)= Pop(t)/AL ，
4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟
DELAY3(input, delay time) DELAY31(input, delay time, initial value)
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 物质延迟的阶次 阶次是延迟环节内部包含的状态变量数。 阶次是延迟环节内部包含的状态变量数。 一阶延迟表现出简单的指数增长特性； 一阶延迟表现出简单的指数增长特性；三阶延迟开始表现出 S形增长特性，而三阶以后延迟也是 形增长特性，只是程度 形增长特性， 形增长特性， 形增长特性 而三阶以后延迟也是S形增长特性 上有所差异。 上有所差异。 实际使用中，具体用一阶延迟函数还是用三阶延迟函数， 实际使用中，具体用一阶延迟函数还是用三阶延迟函数，根 据实际情况分析！ 据实际情况分析！
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4.2 变量和方程
3、辅助方程 aux(t)=f [lv(t), rate(t), aux*(t), exo(t), const]
库库库INV 产库P 平平平平库S
库库库库 库INVcor
处期库库TINV
库库库库 时时time
处期库库期期时时 INVcov
图4.3 库存模型 TINV=S*INVCov
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4.1 概述
1、Vensim PLE 软件的特点
版本： 版本：Vensim PLE 5.9e。 。 （1）利用图示化编程建立模型 在Vensim中，只要在模型建立窗口画出流图，再通过 Equa t i o ns 输 入 方 程和 参 数 ， 就 可 以 直接 进 行 模 拟 了 。 直接 （2）运行于Windows下，数据共享性强，提供丰富的输出 运行于Windows下 数据共享性强， Windows 信息和灵活的输出方式 Vensim的输出信息是非常丰富且兼容性较强，一般的模拟 的输出信息是非常丰富且兼容性较强， 的输出信息是非常丰富且兼容性较强 结果，除了即时显示外，还提供保存文件和copy到剪切板。 到剪切板。 结果，除了即时显示外，还提供保存文件和 到剪切板
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4.2 变量和方程
5、表函数 建立表函数的一般步骤： 建立表函数的一般步骤： （1）确定表函数中自变量和因变量； ）确定表函数中自变量和因变量； （2）明确变量的取值变化范围； ）明确变量的取值变化范围； （3）考虑曲线的形状和斜率，正斜率表示正反馈，负斜率表示 ）考虑曲线的形状和斜率，正斜率表示正反馈， 负反馈； 负反馈； （4）选取合适的端点、驻点、拐点； ）选取合适的端点、驻点、拐点； （5）作出图形。 ）作出图形。
DELAY1 (INF,TSS)
疾病蔓延模型中的DELAY1 DELAY1环节 图4.5 疾病蔓延模型中的DELAY1环节
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 “处潜伏期者” 状态变量的方程有： 处潜伏期者” 状态变量的方程有：
INC (t ) = INC (t0 ) +
∫
t
t0
[ INF (t ) − SYMP(t )]dt
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟
未未未 SUSC 处处处处 未 INC1 RT1 处处处处 未INC2 处处处处 未INC3 未病未 SICK1
感感茶 INF
RT2
疾未疾疾疾疾茶 SYMP
TSS/3处处处
DELAY3 (INF,TSS)
图4.6 三阶延迟疾病蔓延模型基本结构
A, MAX ( A, B) = B, B, MIN ( A, B) = A, A≥ B A< B A≥ B A< B
（2）MIN(A,B) ）
（3）条件函数 ELSE THEN ）条件函数IF IF ELSE THEN (cond, ontrue, onfalse)
ontrue IF ELSE THEN = onfalse cond为真 cond为假
∫
t
t0
[inflowS (t ) − outflowS (t )]dt
离散化方程： 离散化方程： LEVEL.K=LEVEL.J+DT*(INFLOW.JK-OUTFLOW.JK)
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4.2 变量和方程
2、速率方程 rateS(t)=g [lvS(t), aux(t), exo(t), const(t)]
INC(t0)= INF(t0)*TSS SYMP(t)=INC(t)/TSS 中只用一个函数DELAY就可以表示，即 就可以表示， 在Vensim中只用一个函数 中只用一个函数 就可以表示 SYMP(t)=DELAY1[INF(t), TSS] 延迟函数的优缺点： 延迟函数的优缺点： 优点：方便、简洁； 优点：方便、简洁； 缺点：隐含了部分状态变量，且不能输出它的结果。 缺点：隐含了部分状态变量，且不能输出它的结果。
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4.1 概述
使用Vensim Vensim软件处理问题的一般过程 2、使用Vensim软件处理问题的一般过程
Vensim软件处理问题过程 图4.1 Vensim软件处理问题过程
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4.2 变量和方程
1、积累变量方程 连续方程形式： 连续方程形式：
lvS (t ) = S (t0 ) +
∫
t
t0
rateS (t )dt = S (t0 ) +
DELAY3 (INF, TSS)
∫ ∫
t
t0
[ RT 1(t ) − RT 2(t )]dt
INC2(t0)= INC3(t0) RT1(t)=INC1(t)/DL
INC1(t ) = INC1(t0 ) +
t
INC1(t0)= INC3(t0)
t0
[ INF (t ) − RT 1(t )]dt
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4.4 函数
1、数学函数
ABS ( X ) = | X | EXP( X ) = e x
INTEG(X） ）
LN ( X ) = ln x, x > 0 MODULO ( X , Y ) = X − n × Y , 其中 n × Y ≤ X ≤ (n + 1)Y
，n为非零 为非零
整数； 整数；
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4.4 函数
3、测试函数 （1） 阶跃函数： STEP（height, step time） ） 阶跃函数： （ ） （2）斜坡函数：RAMP (slope, start time, end time) ）斜坡函数： （3）脉冲函数 ） 单脉冲函数PULSE(start, width); 单脉冲函数 周期脉冲函数 PULSE TRAIN(start, width, tbetween, end) （4）正弦函数：SIN(X) ）正弦函数： （5）正态分布函数 ） RANDOM NORMAL (min, max, mean, stdev, seed)
22
4.5 输出问题
（1）时间序列的数据输出 ） 提供随时间变化的数据列表； 提供随时间变化的数据列表； （2）时间序列的图形输出 ） 提供随时间变化的图形输出； 提供随时间变化的图形输出； （3）变量之间的关系图 ） 速率变量与其对应的积累变量图形； 速率变量与其对应的积累变量图形； （4）静态分析结果 ） 如原因树分析、结果树分析、反馈回路分析等。 如原因树分析、结果树分析、反馈回路分析等。
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 根据延迟环节内部包含的状态变量数， 根据延迟环节内部包含的状态变量数，可分为一阶延迟函数 状态变量数 和三阶延迟函数。 和三阶延迟函数。 （1）一阶延迟函数
DELAY1(input, delay time) DELAY11(input, delay time, initial value)
Vensim建模基础 第四章 Vensim建模基础
南京农业大学管理工程系
Nanjing Agricultural University
Department of Management Engineering 1
本章主要内容
4.1 概述 4.2 变量和方程 4.3 延迟函数和平滑函数 4.4 函数 4.5 输出问题 4.6 准确度与运行时间单位的选择 4.7 Rabbit Limits Model
23
4.6 准确度与运行时间单位的选择
时间步长(time step)选择 时间步长(time step)选择
茶茶茶茶茶茶茶 CHNG 茶茶茶茶 TEA
室茶ROOMT
介介介介介介 CONST
图4.7 茶水温度冷却系统基本结构
t TEA(t ) = TEA(t0 ) + t 0 [CHNG (t )]dt CHNG (t ) = ( ROOMT − TEA(t )) × CONST TEA(t ) = 90 ROOMT = 20 CONST = 0.2 0
Hale Waihona Puke Baidu
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数
未未未 SUSC 感感茶INF 未病未 SICK 治治茶CURE 康康未 RECOV
图4.4 疾病蔓延模型的基本结构
未未未 SUSC 感感茶 INF 处处处处 未 INC 疾未疾疾疾疾茶 SYMP 未病未 SICK 治治茶CURE 康康未 RECOV
处处处TSS
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4.3 延迟函数和平滑函数
2、平滑函数 信息平滑函数（信息延迟函数） 信息平滑函数（信息延迟函数） 由于平滑导致信息延迟，所以信息平滑函数又称信息延迟函数。 由于平滑导致信息延迟，所以信息平滑函数又称信息延迟函数。 (1)一阶信息延迟函数 一阶信息延迟函数 SMOOTH1(input, delay time, initial value) SMOOTH(input, delay time) (2)三阶信息延迟函数 三阶信息延迟函数 SMOOTH31(input, delay time, initial value) SMOOTH3(input, delay time)
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4.2 变量和方程
4、常量方程 给常量赋值，如人口系统中： 给常量赋值，如人口系统中：births=0.020。 。 5、表函数 有些变量之间不能用函数关系式表示， 有些变量之间不能用函数关系式表示，则用图形方式表示出 变量之间的关系， 称表函数(lookup function)； 变量之间的关系，在vensim称表函数 称表函数 ； Lookup name ([(Xmin, Ymin)-( Xmax, Ymax)], ( X1, Y1), …, ( Xn, Yn))。 。
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4.1 概述
1、Vensim PLE 软件的特点
（3）模型的多种分析方法 Vensim提供对于模型的结构分析和数据集分析，其中结构 提供对于模型的结构分析和数据集分析， 提供对于模型的结构分析和数据集分析 分析包括原因树分析、结果树分析和反馈列表； 分析包括原因树分析、结果树分析和反馈列表；数据集分 析包括数据表、原因图分析、结果图分析、对比图分析等。 析包括数据表、原因图分析、结果图分析、对比图分析等。 （4）真实性检验 对于所研究的系统模型中一些重要变量， 对于所研究的系统模型中一些重要变量，依据常识和一些 基本原则，可以预先提出对其正确性的基本要求， 基本原则，可以预先提出对其正确性的基本要求，这些假 设是真实性约束， 提供相应的检验。 设是真实性约束，Vensim 提供相应的检验。
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4.4 函数
1、数学函数
SIN ( X ) = sin X
SQRT ( X ) = X , x ≥ 0 A / B B ≠ 0 XIDZ ( A, B, X ) = B=0 X A / B B ≠ 0 ZIDZ ( A, B) = B=0 0
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4.4 函数
2、逻辑函数 （1）MAX(A,B) ）
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4.3 延迟函数和平滑函数
1、延迟函数 （2）三阶延迟 SYMP(t)=INC3(t)/DL
INC 3(t ) = INC 3(t0 ) +
∫
t
INC3(t0)=IV*DL RT2(t)=INC2(t)/DL
INC 2(t ) = INC 2(t0 ) +
t0
[ RT 2(t ) − SYMP(t )]dt
出出出茶births 人人介Pop 死死茶deaths
出出茶介介BR
平平平平AL
图4.2 人口自然增长模型
Pop (t ) = Pop (t0 ) +
∫
t
t0
[births (t ) − deaths (t )]dt
Births(t)=Pop(t)*BR，Deaths(t)= Pop(t)/AL ，