数值计算基础复习指导
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2
（3 分）
a0 a1 a2 1 a0 1 a0 2a1 4a2 3 a1 1 a 3a 9a 7 a 1 1 2 0 2
即 P2 ( x) x x 1
2
（3 分）
（1 分）
法二：Lagrange 插值法
求其代数插值多项式并给出其余项。 4、给出数值积分公式：
h
h
1 f ( x)dx Af (h) Bf ( h) 3
确定 A、B 使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？ 5、用欧拉法解初值问题，要求保留 4 位有效数字。
y ' x y (0 xΒιβλιοθήκη Baidu 1, h 0.5) y (0) 1
2 4 0 x1 5 3 1 1 x 9 2 2 2 0 x3 3
2、用牛顿法求 6 的近似值，取初始值 x0 2 ，进行二次迭代。 3、已知有 y=f(x)的函数表如下 x y 1 1 2 3 3 7
《数值计算基础》课程复习指导
第 1 章 绪论 1、有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的概念； 2、有效数字与绝对误差，有效数字与相对误差的关系； 3、如何判断有效数字，如何估算绝对误差限与相对误差限。 第 2 章 解线性方程组的直接法 1、直接法解线性方程组的思想，如何使用高斯消去法、列选主元消去法、全选主元消 去法； 2、直接三角分解法解线性方程组的思想，矩阵的 LU 分解的条件，如何对矩阵进行 LU 分解。如何使用直接三角分解法、平方根法和追赶法法解线性方程组。 第 3 章 代数插值法与最小二乘法 1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性； 2、如何使用待定系数法、拉格郎日插值法、牛顿插值法构造插值多项式及确定余项； 3、 li ( x), ( x) 的性质及应用； 4、差商的定义、性质及应用； 5、如何使用分段线性插值及确定余项； 5、如何使用待定系数法构造埃尔米特插值多项式及确定余项； 6、如何使用曲线拟合的最小二乘法进行线性拟合。 第 4 章 数值积分与数值微分 1、机械求积与代数精度的概念，如何判定一个求积公式的代数精度； 2、如何通过代数精度法与插值法构造求积公式； 3、牛顿-柯特斯公式的定义及构造的方法，牛顿-柯特斯系数的性质；如何使用梯形公 式、辛卜生公式、柯特斯公式计算定积分及确定余项； 4、复化求积法；如何使用复化梯形公式、复化辛卜生公式、复化柯特斯公式计算定积 分及余项； 5、变步长求积法的思想，如何使用变步长梯形求积法和龙贝格求积法计算定积分； 6、高斯求积公式的定义及构造方法； 7、数值微分的数值方法，如何使用二点公式、三点公式计算微分。 第 5 章 常微分方程数值解 1、常微分方程数值解法的基本思想，欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉 方法公式的构造方法； 2、 如何使用欧拉方法、 后退欧拉方法、 改进欧拉方法、 龙格-库塔方法计算常微分方程； 3、局部截断误差与方法精度的定义，如何判断一个方法是几阶方法。 第 6 章 逐次逼近法 1、向量范数与矩阵范数的基本概念，常用的向量范数与矩阵范数，矩阵谱半径的基本 概念。 2、 如何使用简单迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组， 如何判断迭代法的收敛性。 3、如何使用简单迭代法、牛顿迭代法解非线性方程。如何判断迭代格式的收敛阶。
）时，则存在唯一单位下三角阵
2、若 Ak 为矩阵 A 的 k 阶主子矩阵，则矩阵 A 满足（
L 和上三角阵 R ，使 A LR 。
(A) A 0 (B) 某个 Ak 0 (C) Ak 0 (k 1,n 1) (D) Ak 0 (k 1,, n)
3、通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足( ), 则 P(x)是不超过一次多项式。 (A) 初始值 y0=0 (B) 所有一阶均差为 0 (C) 所有二阶均差为 0 (D) 所有三阶均差为 0 4、 牛顿切线法求解方程 f(x)=0 的近似根， 若初始值 x0 满足( )， 则解的迭代数列一定收敛。 (A) f ( x0 ) f ( x0 ) <0 (C) f ( x ) f ( x ) 0 (B) f ( x ) f ( x ) >0 (D) f ( x ) f ( x ) 0
四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] ，并证明该方法是二阶方法。 2
2、设 l0(x)是以 n+1 个互异点 x0,x1,x2,…,xn 为节点的拉格朗日插值基函数
《数值计算基础》考试样卷（一）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、数值 x 的近似值 x*=0.1215×10 2，若满足 x x (
－
)，则称 x 有 4 位有效数字.
(A)
1 － ×10 3 2
(B)
1 － ×10 4 2
(C)
1 － ×10 5 2
(D)
1 － ×10 6 2
《数值计算基础》考试样卷（一）
参考答案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、
1 1 1021 101 0.00625 28 16
2、 x k 1 x k
xk f ( xk ) 1 f ( x k )
x0 2 1 6 5 (2 ) 2.500 2 2 2 1 5 12 49 x2 ( ) 2.450 2 2 5 20 x1
f ( x) 1 1 6 ( x 6)，xn1 ( xn ) ' 2 xn f ( x) 2
7分
3分
3、 解 法一： 待定系数法 设 P2 ( x) a0 a1 x a2 x ，则
x2 x 1
法三：Newton 插值法
xi 1 2 3
yi 1 3 7
一阶差商
二阶差商
2 4 1
（3 分）
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) 1 2( x 1) ( x 1)( x 2) x x 1
l ( x)
( x x )( x x )...( x xn ) ( x x )( x x )...( x xn )
试利用牛顿插值法证明：
l 0 ( x) 1
( x x0 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) ... ( x0 x1 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) . . x .0 ( xn )
1分
令 f ( x) x 左=
1 3 1 4 x 3 dx 0 ，右= h ( h) 3 h ( h) 3 h 4 左 h 2 2 3 9
h
1分 1分
即公式的代数精度为 2 次 5、解： 使用欧拉法计算公式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y n h( x n y n ) (1 h) y n hx n 1.5 y n 0.5 x n
2
（4 分）
余项为 R2 ( x) 4、 解：
f ( ) ( x 1)( x 2)( x 3) 6
（3 分）
令 f ( x) 1, x 时，该公式精确成立，则
2分
A B 2h A 1 A B 0 B 3
. .
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、sin1 有 2 位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是 2、设 f(x)可导，求方程 x=f(x) 根的牛顿迭代格式是 3、设 f ( x) 2 x 4 ，则 f [1,2]
2
. .
4、在区间 a, b 上的插值型求积公式系数 A0 , A1 , ┅ , An 满足 A0 A1 ┅＋ An ＝ 5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1、用列主元消去法解线性方程组 .
3、 6 4、 b-a 5、 O(h3) 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1、解：
2 4 0 5 3 1 1 9 2 r2 ( ) r1 3 1 1 9 r2 r1 2 4 0 5 3 2 r3 r1 3 2 2 0 3 2 2 0 3 3 1 0 14 3 8 0 3 59 回代得 x3 , x2 2
即
1 h 2 3 h 2
4分
h
h
f ( x)dx
2
1 3 1 hf (h) hf ( h) 2 2 3
1分
令 f ( x) x
左=
h
h
x 2 dx
3
2 3 1 3 1 2 h ，右= h ( h) 2 h ( h) 2 h 3 左 3 2 2 3 3
2、解：
3 1 1 9 r 4r 2 14 2 3 2 7 1 0 3 3 3 2 2 0 0 9 3 7 11 4, x1 2 1
9 1 59 7
8分
2分
f ( x) x 2 6，f ' ( x) 2 x, ( x) x
y1 1.5 y 0 0.5 x0 1.5 1 0.5 0 1.500 y 2 1.5 y1 0.5 x1 1.5 1.5000 0.5 0.5 2.500
四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 1、解： 2分 2分 6分
y ( x n 1 ) y ( x n ) y n 1
P2 ( x) y i li ( x)
i 0
2
(3分) (3分) (1分)
( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2) 1 3 7 (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)
xn 1
xn
h f ( x, y ( x)dx [ f ( x n , y ( x n )) f ( xn 1 , y ( x n 1 ))] 2
5、改进欧拉法的平均形式公式是( )
y p y k hf ( x k , y k ) (A) y c y k hf ( x k , y p ) y k 1 1 ( y p y c ) 2 y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c )
y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c )
（3 分）
a0 a1 a2 1 a0 1 a0 2a1 4a2 3 a1 1 a 3a 9a 7 a 1 1 2 0 2
即 P2 ( x) x x 1
2
（3 分）
（1 分）
法二：Lagrange 插值法
求其代数插值多项式并给出其余项。 4、给出数值积分公式：
h
h
1 f ( x)dx Af (h) Bf ( h) 3
确定 A、B 使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？ 5、用欧拉法解初值问题，要求保留 4 位有效数字。
y ' x y (0 xΒιβλιοθήκη Baidu 1, h 0.5) y (0) 1
2 4 0 x1 5 3 1 1 x 9 2 2 2 0 x3 3
2、用牛顿法求 6 的近似值，取初始值 x0 2 ，进行二次迭代。 3、已知有 y=f(x)的函数表如下 x y 1 1 2 3 3 7
《数值计算基础》课程复习指导
第 1 章 绪论 1、有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的概念； 2、有效数字与绝对误差，有效数字与相对误差的关系； 3、如何判断有效数字，如何估算绝对误差限与相对误差限。 第 2 章 解线性方程组的直接法 1、直接法解线性方程组的思想，如何使用高斯消去法、列选主元消去法、全选主元消 去法； 2、直接三角分解法解线性方程组的思想，矩阵的 LU 分解的条件，如何对矩阵进行 LU 分解。如何使用直接三角分解法、平方根法和追赶法法解线性方程组。 第 3 章 代数插值法与最小二乘法 1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性； 2、如何使用待定系数法、拉格郎日插值法、牛顿插值法构造插值多项式及确定余项； 3、 li ( x), ( x) 的性质及应用； 4、差商的定义、性质及应用； 5、如何使用分段线性插值及确定余项； 5、如何使用待定系数法构造埃尔米特插值多项式及确定余项； 6、如何使用曲线拟合的最小二乘法进行线性拟合。 第 4 章 数值积分与数值微分 1、机械求积与代数精度的概念，如何判定一个求积公式的代数精度； 2、如何通过代数精度法与插值法构造求积公式； 3、牛顿-柯特斯公式的定义及构造的方法，牛顿-柯特斯系数的性质；如何使用梯形公 式、辛卜生公式、柯特斯公式计算定积分及确定余项； 4、复化求积法；如何使用复化梯形公式、复化辛卜生公式、复化柯特斯公式计算定积 分及余项； 5、变步长求积法的思想，如何使用变步长梯形求积法和龙贝格求积法计算定积分； 6、高斯求积公式的定义及构造方法； 7、数值微分的数值方法，如何使用二点公式、三点公式计算微分。 第 5 章 常微分方程数值解 1、常微分方程数值解法的基本思想，欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉 方法公式的构造方法； 2、 如何使用欧拉方法、 后退欧拉方法、 改进欧拉方法、 龙格-库塔方法计算常微分方程； 3、局部截断误差与方法精度的定义，如何判断一个方法是几阶方法。 第 6 章 逐次逼近法 1、向量范数与矩阵范数的基本概念，常用的向量范数与矩阵范数，矩阵谱半径的基本 概念。 2、 如何使用简单迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组， 如何判断迭代法的收敛性。 3、如何使用简单迭代法、牛顿迭代法解非线性方程。如何判断迭代格式的收敛阶。
）时，则存在唯一单位下三角阵
2、若 Ak 为矩阵 A 的 k 阶主子矩阵，则矩阵 A 满足（
L 和上三角阵 R ，使 A LR 。
(A) A 0 (B) 某个 Ak 0 (C) Ak 0 (k 1,n 1) (D) Ak 0 (k 1,, n)
3、通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足( ), 则 P(x)是不超过一次多项式。 (A) 初始值 y0=0 (B) 所有一阶均差为 0 (C) 所有二阶均差为 0 (D) 所有三阶均差为 0 4、 牛顿切线法求解方程 f(x)=0 的近似根， 若初始值 x0 满足( )， 则解的迭代数列一定收敛。 (A) f ( x0 ) f ( x0 ) <0 (C) f ( x ) f ( x ) 0 (B) f ( x ) f ( x ) >0 (D) f ( x ) f ( x ) 0
四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] ，并证明该方法是二阶方法。 2
2、设 l0(x)是以 n+1 个互异点 x0,x1,x2,…,xn 为节点的拉格朗日插值基函数
《数值计算基础》考试样卷（一）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、数值 x 的近似值 x*=0.1215×10 2，若满足 x x (
－
)，则称 x 有 4 位有效数字.
(A)
1 － ×10 3 2
(B)
1 － ×10 4 2
(C)
1 － ×10 5 2
(D)
1 － ×10 6 2
《数值计算基础》考试样卷（一）
参考答案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、
1 1 1021 101 0.00625 28 16
2、 x k 1 x k
xk f ( xk ) 1 f ( x k )
x0 2 1 6 5 (2 ) 2.500 2 2 2 1 5 12 49 x2 ( ) 2.450 2 2 5 20 x1
f ( x) 1 1 6 ( x 6)，xn1 ( xn ) ' 2 xn f ( x) 2
7分
3分
3、 解 法一： 待定系数法 设 P2 ( x) a0 a1 x a2 x ，则
x2 x 1
法三：Newton 插值法
xi 1 2 3
yi 1 3 7
一阶差商
二阶差商
2 4 1
（3 分）
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) 1 2( x 1) ( x 1)( x 2) x x 1
l ( x)
( x x )( x x )...( x xn ) ( x x )( x x )...( x xn )
试利用牛顿插值法证明：
l 0 ( x) 1
( x x0 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) ... ( x0 x1 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) . . x .0 ( xn )
1分
令 f ( x) x 左=
1 3 1 4 x 3 dx 0 ，右= h ( h) 3 h ( h) 3 h 4 左 h 2 2 3 9
h
1分 1分
即公式的代数精度为 2 次 5、解： 使用欧拉法计算公式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) y n h( x n y n ) (1 h) y n hx n 1.5 y n 0.5 x n
2
（4 分）
余项为 R2 ( x) 4、 解：
f ( ) ( x 1)( x 2)( x 3) 6
（3 分）
令 f ( x) 1, x 时，该公式精确成立，则
2分
A B 2h A 1 A B 0 B 3
. .
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、sin1 有 2 位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是 2、设 f(x)可导，求方程 x=f(x) 根的牛顿迭代格式是 3、设 f ( x) 2 x 4 ，则 f [1,2]
2
. .
4、在区间 a, b 上的插值型求积公式系数 A0 , A1 , ┅ , An 满足 A0 A1 ┅＋ An ＝ 5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1、用列主元消去法解线性方程组 .
3、 6 4、 b-a 5、 O(h3) 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1、解：
2 4 0 5 3 1 1 9 2 r2 ( ) r1 3 1 1 9 r2 r1 2 4 0 5 3 2 r3 r1 3 2 2 0 3 2 2 0 3 3 1 0 14 3 8 0 3 59 回代得 x3 , x2 2
即
1 h 2 3 h 2
4分
h
h
f ( x)dx
2
1 3 1 hf (h) hf ( h) 2 2 3
1分
令 f ( x) x
左=
h
h
x 2 dx
3
2 3 1 3 1 2 h ，右= h ( h) 2 h ( h) 2 h 3 左 3 2 2 3 3
2、解：
3 1 1 9 r 4r 2 14 2 3 2 7 1 0 3 3 3 2 2 0 0 9 3 7 11 4, x1 2 1
9 1 59 7
8分
2分
f ( x) x 2 6，f ' ( x) 2 x, ( x) x
y1 1.5 y 0 0.5 x0 1.5 1 0.5 0 1.500 y 2 1.5 y1 0.5 x1 1.5 1.5000 0.5 0.5 2.500
四、综合题（每小题 10 分，共 20 分） 1、解： 2分 2分 6分
y ( x n 1 ) y ( x n ) y n 1
P2 ( x) y i li ( x)
i 0
2
(3分) (3分) (1分)
( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2) 1 3 7 (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)
xn 1
xn
h f ( x, y ( x)dx [ f ( x n , y ( x n )) f ( xn 1 , y ( x n 1 ))] 2
5、改进欧拉法的平均形式公式是( )
y p y k hf ( x k , y k ) (A) y c y k hf ( x k , y p ) y k 1 1 ( y p y c ) 2 y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c )
y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c )