线性空间-基和维数27页PPT
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维数基坐标PPT课件
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，
且
1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§6.3 维数 基 坐标
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证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．
其次， f ( x) a0 a1x an1xn1 P[ x]n f ( x)可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得,
5
1
1
1
x1 4 , x2 4 , x3 4 , x4 4 ．
∴ 在基
1
,
2
,
3
,
下的坐标为
4
(5,1, 1, 1) ． 44 4 4
§6.3 维数 基 坐标
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例1 数域P上的向量空间Pn 的维数等于n,
即dimPn=n. 例2 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无
限维的. 因为对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn-1.
§6.3 维数 基 坐标
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2、基
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
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例3 求Pn的下列子空间的维数和一组基：
(1) W1 {( x1, x2, , xn ) x1 x2 xn 0, xi P}
(2) W2 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
§7.2 线性空间的基与维数
k1, k2 L , kn 为向量 对这个基的坐标。
定义2 在线性空间 V 的任一基中基向量的 个数称为线性空间 V 的维数，记为 dimV
下面讨论求线性空间基与维数的方法： (1)目测法。此法就是初步目测出基与维数， 然后再加以检验。
(2)基变换法。此法就是根据下面的结论： 已知线性空间的一个基为 1,2 L ,n ，则
当 m 0 时，定理显然成立； 当 m k 时，假设定理成立；
当 m k 1 时，1,2 L ,s 是 Vs 的基（则它们一定 线性无关），但还不是 Vn 的基，则在 Vn 中必存 在一个向量 s1 不能由1,2 L ,s 线性表出，这 时就把 s1 添加进去，于是 1,L ,s,s1 必线性无关 （否则，若 1,L ,s,s1 线性相关，由于 1,L ,s,s1 线性无关，则 s 1 可由 1,2 L ,s 线性表出， 矛盾），把它作为 Vn 的子空间 Vs1 的一个基， 于是 Vs1 是 s 1 维的。
xn
x1
x1
x2
P 1
x2
M
M
xn
xn
（7.4）
证因
x1
x1
x1
1 , 2 ,L
,n
x2
M
1, 2,L
,
n
x2
M
1
,
2
,L
,
n
P
x2
M
,
xn
xn
xn
而 1,2,L ,n 线性无关，故有（7.4）式。
说明 此定理的逆定理成立，即若 Vn 中任一元素 的两种坐标满足坐标变换公式（7.4），则两个 基满足基变换公式（7.2）或（7.3）。
第七章 线性空间
定义2 在线性空间 V 的任一基中基向量的 个数称为线性空间 V 的维数，记为 dimV
下面讨论求线性空间基与维数的方法： (1)目测法。此法就是初步目测出基与维数， 然后再加以检验。
(2)基变换法。此法就是根据下面的结论： 已知线性空间的一个基为 1,2 L ,n ，则
当 m 0 时，定理显然成立； 当 m k 时，假设定理成立；
当 m k 1 时，1,2 L ,s 是 Vs 的基（则它们一定 线性无关），但还不是 Vn 的基，则在 Vn 中必存 在一个向量 s1 不能由1,2 L ,s 线性表出，这 时就把 s1 添加进去，于是 1,L ,s,s1 必线性无关 （否则，若 1,L ,s,s1 线性相关，由于 1,L ,s,s1 线性无关，则 s 1 可由 1,2 L ,s 线性表出， 矛盾），把它作为 Vn 的子空间 Vs1 的一个基， 于是 Vs1 是 s 1 维的。
xn
x1
x1
x2
P 1
x2
M
M
xn
xn
（7.4）
证因
x1
x1
x1
1 , 2 ,L
,n
x2
M
1, 2,L
,
n
x2
M
1
,
2
,L
,
n
P
x2
M
,
xn
xn
xn
而 1,2,L ,n 线性无关，故有（7.4）式。
说明 此定理的逆定理成立，即若 Vn 中任一元素 的两种坐标满足坐标变换公式（7.4），则两个 基满足基变换公式（7.2）或（7.3）。
第七章 线性空间
线性空间的基与维数
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线性空间PPT课件
( 1 , … , n ) = ( 1 , … , n ) A 得
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
【研究生课件应用数学基础】2.线性空间
3
在线性代数中，大家已熟悉了具体的线性空间Rn 和 C n。 这里要在一般集合上建立线性结构，即加法 运算和数乘运算，使集合上有了代数结构。 线性空间上首先有了向量组的线性相关性的概 念，接着建立线性空间上基、坐标、维数的概念。 这样，可以象在Rn上那样研究一般的线性空间。
4
一、线性空间的概念
设C是复数集合，K是C的一个非空集合，它含有 0和1，且其中任意两数的和、差、积、商 （除数不为零）仍属于该集合，则称K是一个数 域。 显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域。 分别称为有理数域，实数域和复数域。 今后用F代表数域（实数域R或复数域C）。
一、线性空间的概念
二、线性空间的基、坐标和维数
（一）线性表示与向量组的线性相关性
（二）线性空间的基、坐标、维数
（三）基变换与坐标变换
三、子空间
1
四、维数定理
五、子空间的直和
六、线性空间的线性同构
2
一、线性空间的概念
线性空间的定义 线性空间的例： R,Rn,Rn×n,Rn[x]都是R上的线性空间. C,Cn,Cn×n,Cn[x]都是C上向量空间. C[a,b],Cn[x] 线性空间的简单性质
26
例2.12 设 Eij∈Rm×n(i=1,2, …,m;j=1,2, …,m)为 第ij元素为1其余元素均为0的矩阵，它是Rm×n 的一组基，称之为自然基。实际上，它是线性 m n 无关的。 kij Eij 若有数kij∈R,使 i 1 j 1 则得 kij mn 0, 即kij=0(i=1,2, …,m;j=1,2, …,m) 其次，A=（aij)mnRm×n有
5
定义2.1 设V是一个非空集合,F是一个数域
(实数域R或复数域C),在集合V的元素之间定义了 一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一 个法则，对于V中任意两个元素x与y，在V中都有 唯一的一个元素z与它们对应，称为x与y的和， 记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义 了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数 域中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的 一个元素y与它们对应，称为k与x的数量乘积， 记为y=kx。如果加法与数量乘法满足下述规则， 那么称V为数域F上的线性空间。
线性代数课件向量空间的基和维
线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
线性代数向量空间的基和维
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则方程组的通解为
现在的基础解系是
不同基础解系代表解空间的不同的基，但每一组基础解系包含的解向量的个数是确定的，
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5.3.2.2 非齐次方程组
用向量空间理论解释相容性定理.
本章定理1说明了方程组 Ax=b 即
相容性的重要条件是 bR(A) .
注 线性空间V 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同, 但一个向量在一组基下的坐标是唯一的．
注 求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数方程组有无解的问题.
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解
例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基 并求b1 b2在这个基中的坐标
例 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)
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定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两组基，则必有 s=t.
故方，a2，… ，an线性表出，即
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说明向量组a1， a2 ，… ，an线性无关，故必为R(A)的一组基，
若
说明生成 R(A)的n个向量a1， a2 ，… ，an线性相关，而最大
因向量b对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有惟一解.
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根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为
因为 线性无关，即为 N(A) 的一组基，于是
§3.4线性空间、基、维数和坐标
一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。
R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
线性代数基和维数
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
线性空间的基与维数及线性同构
f
(
n
1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
E
21
0 1
0 0
,
E
22
0 0
0 1
线性空间基与维数
( k a 1 ,k a 2 , ,k a n ) T k ( a 1 ,a 2 , ,a n ) T
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上式表:在 明向量用坐标 ,它表们示的后运算 就归结为坐标,因的而运线算性V空 n的间讨论就 归结R为 n的讨.论
下面更确切地点 说. 明这一 定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U与 V同构.
有
f3(x)3f1(x)2f2(x),
f4(x)4f1(x)f2(x).
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的向量时，就称 V是无限维的．
若 1 , 2 , , n 为 V n 的一 ,则 V n 可 个表 基
V n x 1 1 x 2 2 x n n x 1 , x 2 , , x n R
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2,,n是线性V空 n的间 一个 ,对基 于任一元 V素 n,总有且仅有一组有
V n
x 11 x 22 x n n
Rn
x (x 1 , x 2 , , x n )T
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(2)设
(x1,x2, ,xn)T
则有
(y1,y2, ,yn)T ( x 1 , x 2 , , x n ) T ( y 1 ,y 2 , ,y n ) T
(a11, a12, a21, a22)T .
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例在 3 线 R [x 性 ]n 中 ,取 空一 间组基
11 , 2(xa ),3(xa )2, , n(xa )n 1
则由泰勒公式知 f(x)f(a)f'(a)(xa)f''(a)(xa)2 2!
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上式表:在 明向量用坐标 ,它表们示的后运算 就归结为坐标,因的而运线算性V空 n的间讨论就 归结R为 n的讨.论
下面更确切地点 说. 明这一 定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U与 V同构.
有
f3(x)3f1(x)2f2(x),
f4(x)4f1(x)f2(x).
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的向量时，就称 V是无限维的．
若 1 , 2 , , n 为 V n 的一 ,则 V n 可 个表 基
V n x 1 1 x 2 2 x n n x 1 , x 2 , , x n R
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2,,n是线性V空 n的间 一个 ,对基 于任一元 V素 n,总有且仅有一组有
V n
x 11 x 22 x n n
Rn
x (x 1 , x 2 , , x n )T
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(2)设
(x1,x2, ,xn)T
则有
(y1,y2, ,yn)T ( x 1 , x 2 , , x n ) T ( y 1 ,y 2 , ,y n ) T
(a11, a12, a21, a22)T .
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例在 3 线 R [x 性 ]n 中 ,取 空一 间组基
11 , 2(xa ),3(xa )2, , n(xa )n 1
则由泰勒公式知 f(x)f(a)f'(a)(xa)f''(a)(xa)2 2!
1.1线性空间的定义、基和维数
n
1 (e1 , e2 , , en ) x k ek k 1 n
n
1 (e1 , e2 , , en ) A 。 n 1 则有坐标的唯一性知： n 1 1 1 1 A 坐标变换公式。同样， A n n n
n n , e2 , , e , e2 , , en 的过 (e1 ，矩阵 A 称为从 e1 , e2 , , en 到 e1 n ) (e1 , e2 , , en ) A ， A P
渡矩阵。
1 x V ， x k ek (e1 , e2 , , en ) k 1 n
线性空间的基、维数
V 为数域 P 上的线性空间， 1 , 2 , , n V ， 使得 （1） 1 , 2 , , n 线性无关， （2） V 中的任一向量可被 1 , 2 , , n 线性表示， 则称 1 , 2 , , n 为 V 的一组基，基中所含向量的个数为维数，记作 dimV n 。 等价 , e2 , , en 为 V 的两组基，则 e1 , e2 , , en , e2 , , en 。 设 e1 , e2 , , en 和 e1 e1
存在零元素，负元素，
1 x x ， ( x ) ( ) x ， ( ) x x x ， ( x y) x y . 则称 V 是 P 上的线性空间或是向量空间。 例： P mn ： P 上 m 行 n 列矩阵的全体， P[t ] ：以 t 为文字的系数为 P 中的数的多项式， C[a,b] ： [a,b] 上实值连续函数。 不是线性空间的例子： V ( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0
1 (e1 , e2 , , en ) x k ek k 1 n
n
1 (e1 , e2 , , en ) A 。 n 1 则有坐标的唯一性知： n 1 1 1 1 A 坐标变换公式。同样， A n n n
n n , e2 , , e , e2 , , en 的过 (e1 ，矩阵 A 称为从 e1 , e2 , , en 到 e1 n ) (e1 , e2 , , en ) A ， A P
渡矩阵。
1 x V ， x k ek (e1 , e2 , , en ) k 1 n
线性空间的基、维数
V 为数域 P 上的线性空间， 1 , 2 , , n V ， 使得 （1） 1 , 2 , , n 线性无关， （2） V 中的任一向量可被 1 , 2 , , n 线性表示， 则称 1 , 2 , , n 为 V 的一组基，基中所含向量的个数为维数，记作 dimV n 。 等价 , e2 , , en 为 V 的两组基，则 e1 , e2 , , en , e2 , , en 。 设 e1 , e2 , , en 和 e1 e1
存在零元素，负元素，
1 x x ， ( x ) ( ) x ， ( ) x x x ， ( x y) x y . 则称 V 是 P 上的线性空间或是向量空间。 例： P mn ： P 上 m 行 n 列矩阵的全体， P[t ] ：以 t 为文字的系数为 P 中的数的多项式， C[a,b] ： [a,b] 上实值连续函数。 不是线性空间的例子： V ( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0
大学精品课件：基、维与坐标
定理3 如果元素组1,2,
线性无关，而元素组
s
1,2 ,
s， 线性相关，则元素 可由1 , 2 ,
线性
s
表示，且表示式唯一.
定理4 如果元素组1,2,
线性无关，并且可由元素组
s
1，2， t线性表示，则有s t.
推论：两个等价的线性无关的元素组，一定含有相同 个数的元素.
定义 4 满足：
在线性空间 V中，如果存在 n个元素
基下的坐标 ,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5
s
线性相关与线性无关
定理1 由一个元素构成的元素组线性相关的充分必要
条件是
=0.两个以上元素1，
，
2
线性相关的充分
s
必要条件是其中至少有一个元素可以由其他元素来线性
表示.
定理2 对于V中的一组元素，如果其部分元素线性相关，则 其全体也线性相关；如果这个元素组线性无关，则其任何部 分组也线性无关.
线性相关与线性无关
当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V 是无限维的．
二、元素在给定基下的坐标
定义 5 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基, 对 于任一元素 Vn , 总有且仅有一组有序数
x1, x2 , , xn ,使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个
线性空间的基与维数
即 E 11 , E 12 , E 21 , E 22线性无关.
对于任意二阶实矩阵 a 11 a 12 A V , a 21 a 22
有 A a 11 E 11 a 12 E 12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此 E 11 , E 12 , E 21 , E 22为V的一组基.
x1 1 x2 2 xn n ,
有序数组x1 , x2 , , xn 称为元素在 1 , 2 , , n 这个 基下的坐标 , 并记作
T x1 , x2 ,, xn .
例1 在线性空间P[ x ]4中, p1 1, p 2 x , p 3 x 2 , p 4 x 3 , p 5 x 4 就是它的一个基 .
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构.
例如
Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
与 n 维数组向量空间 R n 同构. 因为 T (1) Vn中的元素与R n中的元素( x1 , x2 ,, xn ) 形成一一对应关系；
(a 1,a 2 ,,a n ) 和 (b1,b 2 ,,b n ) , 则 ( a 1 b1 ) 1 ( a 2 b 2 ) 2 ( a n b n ) n
k k a 1 1 k a 2 2 k a n n
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标； 坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来； （２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来． ３．线性空间的同构．
线性空间基与维数-精选文档
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二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设 , , , 是线性空间 V 的一个基 ,对 1 2 n n
于任一元素 V ,总有且仅有一组有 n 数 x ,x , ,x ,使 1 2 n
x x x ,
1 1 2 2 n n
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空 , 记作 V . n
当一个线性空间 V中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V是无限维的．
若 , , , 为 V 的一个基 , 则 V 可表 1 2 n n n
V x x x x , x , , x R n 1 1 2 2 n n 1 2 n
有序数组 x , x , , x 称为元素 在 , , , 这 1 2 n 1 2 n
T x , x , , x 基下的坐标 , 并记作 1 2 n.
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2 例1 在线性空间 P [ x ] 中 , 1 , x , ,p p p p x 4 1 2 3 4
1 (a0 ,a , a2, a3, a4) a 1 1 2 注意 线性空间 V 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
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例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性 空间．对于 V中的矩阵
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一、线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n1 个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线性空间的基和维数PPT文档26页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心满思想的劳动。——乌申斯基
线性空间的基和维数
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
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§6.3 维数 · 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
6.3 维数 基 坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
（2）1 ,2 ,L,r, V ，若存在 k1,k2,L,kr P
使 k 11 k 22 L k rr
则称向量 可经向量组 1,2,L,r 线性表出；
6.3 维数 基 坐标
若向量组 1,2,L,s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L,r线性表出，则称向量组 1,2,L,s
可经向量组 1,2,L,r线性表出；
6.3 维数 基 坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次， f ( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1 P [ x ] n f ( x ) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注：零空间的维数定义为0.
dimV＝ 0 V＝{0}
6.3 维数 基 坐标
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1,2,L,n，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2,L,n 为线性空间 V 的一组基， V,
1 ( 1 , 1 , 1 ) ,2 ( 1 , 1 , 0 ) ,3 ( 1 , 0 , 0 ) 也是R3的一组基．
一般地，向量空间
P n { ( a 1 ,a 2 , L ,a n ) a i P ,i 1 ,2 ,L ,n } 为n维的，
1 ( 1 , 0 , L , 0 ) , 2 ( 0 , 1 , L , 0 ) , L , n ( 0 , L , 0 , 1 ) 就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
向量组 1,2,L,s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L,r与 1,2,L,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
（3）若向量组 1,2,L,r 线性无关，但向量组
1,2,L,r,线性相关，则 可被向量组
1,2,L,r线性表出，且表法是唯一的．
6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
怎样才能便于运算？
6.3 维数 基 坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1 ,2 , L ,r V ( r 1 ) ,k 1 , k 2 , L , k r P ,和式
k 11 k 22 L k rr
称为向量组 1,2,L,r的一个线性组合．
6.3 维数 基 坐标
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
只有在 k 1 k 2 L k r 0时才成立，
则称 1,2,L,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2,L,r线性相关 1, 2,L, r中有一个向量可经其余向量线性表出．
6.3 维数 基 坐标
（2）若向量组1,2,L,r 线性无关，且可被
若 a 1 1 a 2 2 L a n n , a 1 , a 2 , L , a n P
则数组 a1,a2,L,an，就称为 在基1,2,L,n
下的坐标，记为 (a1,a2,L,an).
6.3 维数 基 坐标
a1
有时也形式地记作
( 1 , 2 ,L
,
n
)
a
2
M
a
n
注意：
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L,r V，若存在不全为零的数
k1,k2,L,kr P，使得
k 1 1 k 22 L k rr 0
则称向量组 1,2,L,r 为线性相关的；
6.3 维数 基 坐标
（4）如果向量组 1,2,L,r不是线性相关的，即
k 1 1 k 22 L k rr 0
向量 的坐标(a1,a2,L,an)是被向量 和基1,2,L,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2,L,n 下的坐标唯一的.
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
6.3 维数 基 坐标
3、线性空间的基与维数的确定
定,2,L,n线性无关； ⅱ） V, 可经 1,2,L,n线性表出 ,
若 1 , 2 ,L , n , n 1 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1 , 2,L, n, n 1是线性相关的．
故，V是n 维的，1,2,L,n就是V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；
则V为n 维线性空间，1,2,L,n为V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
证明：∵ a1,a2,L,an线性无关，
∴V的维数至少为 n．
任取V中 n＋1个向量 1 , 2 ,L , n , n 1 ， 由ⅱ)，向量组 1 , 2 ,L , n , n 1可用向量组
a1,a2,L,an线性表出.
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
6.3 维数 基 坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
（2）1 ,2 ,L,r, V ，若存在 k1,k2,L,kr P
使 k 11 k 22 L k rr
则称向量 可经向量组 1,2,L,r 线性表出；
6.3 维数 基 坐标
若向量组 1,2,L,s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L,r线性表出，则称向量组 1,2,L,s
可经向量组 1,2,L,r线性表出；
6.3 维数 基 坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次， f ( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1 P [ x ] n f ( x ) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是
无限维的.
因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的
向量
1，x，x2，…，xn－1
6.3 维数 基 坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 注：零空间的维数定义为0.
dimV＝ 0 V＝{0}
6.3 维数 基 坐标
（2）基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1,2,L,n，称为 V 的一组基；
（3）坐标
设 1,2,L,n 为线性空间 V 的一组基， V,
1 ( 1 , 1 , 1 ) ,2 ( 1 , 1 , 0 ) ,3 ( 1 , 0 , 0 ) 也是R3的一组基．
一般地，向量空间
P n { ( a 1 ,a 2 , L ,a n ) a i P ,i 1 ,2 ,L ,n } 为n维的，
1 ( 1 , 0 , L , 0 ) , 2 ( 0 , 1 , L , 0 ) , L , n ( 0 , L , 0 , 1 ) 就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
向量组 1,2,L,s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L,r与 1,2,L,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
（3）若向量组 1,2,L,r 线性无关，但向量组
1,2,L,r,线性相关，则 可被向量组
1,2,L,r线性表出，且表法是唯一的．
6.3 维数 基 坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
怎样才能便于运算？
6.3 维数 基 坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1 ,2 , L ,r V ( r 1 ) ,k 1 , k 2 , L , k r P ,和式
k 11 k 22 L k rr
称为向量组 1,2,L,r的一个线性组合．
6.3 维数 基 坐标
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
只有在 k 1 k 2 L k r 0时才成立，
则称 1,2,L,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2,L,r线性相关 1, 2,L, r中有一个向量可经其余向量线性表出．
6.3 维数 基 坐标
（2）若向量组1,2,L,r 线性无关，且可被
若 a 1 1 a 2 2 L a n n , a 1 , a 2 , L , a n P
则数组 a1,a2,L,an，就称为 在基1,2,L,n
下的坐标，记为 (a1,a2,L,an).
6.3 维数 基 坐标
a1
有时也形式地记作
( 1 , 2 ,L
,
n
)
a
2
M
a
n
注意：
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L,r V，若存在不全为零的数
k1,k2,L,kr P，使得
k 1 1 k 22 L k rr 0
则称向量组 1,2,L,r 为线性相关的；
6.3 维数 基 坐标
（4）如果向量组 1,2,L,r不是线性相关的，即
k 1 1 k 22 L k rr 0
向量 的坐标(a1,a2,L,an)是被向量 和基1,2,L,n
唯一确定的．即向量 在基 1,2,L,n 下的坐标唯一的.
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
6.3 维数 基 坐标
3、线性空间的基与维数的确定
定,2,L,n线性无关； ⅱ） V, 可经 1,2,L,n线性表出 ,
若 1 , 2 ,L , n , n 1 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1 , 2,L, n, n 1是线性相关的．
故，V是n 维的，1,2,L,n就是V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；
则V为n 维线性空间，1,2,L,n为V的一组基．
6.3 维数 基 坐标
证明：∵ a1,a2,L,an线性无关，
∴V的维数至少为 n．
任取V中 n＋1个向量 1 , 2 ,L , n , n 1 ， 由ⅱ)，向量组 1 , 2 ,L , n , n 1可用向量组
a1,a2,L,an线性表出.