磁场中的双棒问题研究(修定版)

电磁感应现象中的“双棒”问题研究
黄陂一中试题研究中心：姜付锦
“双棒”是电磁感应现象中的一个很重要的模型，因为这个模型所涉及的物理知识有动量、能量、牛顿运动学等高中力学中的主干知识。

笔者试着对这个模型进行了如下的分析与归纳，有不当的地方请各位同仁批评指正。

一、分类
1．按棒的长度可分为两类：等宽与不等宽（即一长一短） 2．按启动方式可分为三类：冲量型、恒定外力型、恒定功率型 3．按棒所处轨道的位置可分为三类：水平类、倾斜类、竖直类
4．按棒稳定后的状态可分为三类：静止类、匀速直线运动类、匀加速直线运动类 二、规律(仅讨论水平导轨，且导棒的材料相同) 1．等长“双棒”
两棒质量均为m ，长度均为L ，电阻均为R ，
两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B
（1）导轨光滑
①冲量型：给棒1一个水平向右的速度0v ，则最终稳定后两棒均匀速直线运动，且速度均为
122
v v v ==，系统的动量守恒，动能损失204k mv E Q ==V ，两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离为0
22
mv s R B L V =。

v t -图象如下： 010203040
5060708090
0.5
1
V1i V2i
t i
②恒定外力型：对棒1施加一个恒定外力F ，则最终稳定后，两棒均作匀加速直线运动，且两棒
的加速度相等2F a m =，两棒的速度之差为一定值1222FR
v v v B L
=-=V ，两棒速度之和与时间成正比12F
v v t m
+=。

v t -图象如下： 2 1
010203040
5060708090
20
40
60
V1i V2i
t i
③恒定功率型：以恒定功率作用在棒1上，则最终两棒的速度趋于无穷大，而两棒的速度差将趋
于零，此时对应的外力为无穷小（零），v t -图象如下
0102030
40506070
10
20
30
V1i V2i
t i
（2）导轨粗糙
①冲量型：给棒1初速度0v ，则两棒的运动类型有如下三种情况：
10当
220
2B L v mg R
μ≤时，则只有棒1运动，最终速度减小为零，棒2始终不动，v t -图象如下： 024681012
50
100
V1i
t i
20当
220
2B L v mg R
μ>时，两棒一起运动，棒2先不动后加速最后减速，棒1一直减速运动，最后均静止。

当
22
12()2B L v v mg R
μ-=时，棒2有最大速度，v t -图象如下：
00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6
1
1
2
3
V1i V2i
t i
②恒定外力型：对棒1施加一恒定外力F ，则两棒的运动类型有以下三类： 10当F mg μ≤时，两棒均不动
20当2mg F mg μμ<≤时，棒1先加速后匀速最大速度为22
()2m F mg R
v B L
μ-=
，棒1始终不动，v t -图象如下：
05101520
1
2
3
V
T
30当2F mg μ>时，两棒均运动，棒1先变加速后匀加速，棒2先不动后变加速最后匀加速，最后两棒
的加速度相等1222F mg a a m μ-==
，两棒的速度之差为一定值22FR
v B L
=V ，v t -图象如下：
024681012
1
1
2
3
V1i V2i
t i
③恒定功率型：以恒定功率p 作用在棒1上，则两棒的运动情况分为以下两类：
10当22222
4m g
p R B L
μ≤时，棒2静止不动，棒1先加速后匀速，棒1的最终速度满足下列关系式：22112B L v p
mg v R
μ=+
，v t -图象如下：
010203040
5060708090
4
6
8
10
V1i
t i
20当222
22
4m g
p R B L
μ≥时，棒1先加速后匀速运动，棒2先不动，后加速运动，最后匀速运动，总终两棒的速度差为一定值。

棒1的速度为12222,22p p mg
v v mg mg B L
μμμ=
=-，v t -图象如下： 0123456
5
5
10
15
V1i V2i
t i
2．不等宽双棒
棒1质量为m ，长度为L ，电阻为R ，棒2的质量为2m ，
长度均为2L ，电阻为2R ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B （1）导轨光滑
①冲量型：给棒1（或棒2）一个水平初速度0v ，分析两棒的运动规律 10短拉长型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，1221
v v =， v t -图象如下：
010203040
5060708090
0.5
1
V1i V2i
t i
2
1
20长拉短型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，
121
2
v v =， v t -图象如下： 010203040
5060708090
0.5
1
V1i V2i
t i
②恒定外力型：对棒1（棒2）施加一恒定外力F ，分析两棒的运动规律
10短拉长型：棒1先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒2先做变加速直线运动，最后做匀加速直线运动，且有121212222,,2F FR
a a a a v v m B L
=+=
-=，v t -图象如下： 010203040
5060708090
20
40
60
80
V1i V2i
t i
20长拉短型：棒2先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒1先做变加速直线运动，
最后做匀加速直线运动，且有 121212222,,22F FR
a a a a v v m B L
=+=
-=，v t -图象如下： ③恒定功率型：棒1（棒2）施加一恒定功率，两棒的速度越来越大，最终两棒的速度关系为：
010203040
5060708090
10
20
30
V2i V1i
t i
10短拉长型：1220v v -→ 20长拉短型：2120v v -→
v t -图象如下：
5000
1.10
4
1.5.10
4
2.10
4
0200
400
V1i V2i
t i
（2）导轨粗糙：
棒1质量均为m ，长度为L ，电阻为R ，棒2的质量为2m ，长度均为2L ，电阻为2R ，摩擦因数均为μ，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B ①冲量型：给棒1（棒2）一初初速0v ，分析两棒的运动规律 10短拉长型
101当
220
223B L v mg R
μ≤时，则棒2始终静止，棒1作变减速运动，最终静止 102
当
220
223B L v mg R
μ>时，则棒1先减速运动，最后静止，棒2先加速后减速，当22
122(2)23B L v v mg R
μ-=时，棒2有最大速度，v t -图象如下： 00.51 1.52 2.53
1
1
2
3
V1i V2i
t i
20长拉短型
201当
220
23B L v mg R μ≤时，则棒1静止不动，棒2先变减速运动，最后静止 202当
220
23B L v mg R
μ>时，棒2先变减速运动，最后静止，棒1先加速，后减速 当22
21(2)3B L v v mg R
μ-=时，棒1有最大速度，v t -图象如下：
00.51 1.52 2.53
1
1
2
V2i V1i
t i
②恒定外力型 10短拉长型
101当F mg μ≤时，两棒均不动
102当2mg F mg μμ<≤时，棒1先加速运动，最后匀速运动，棒2始终静止不动，
v t -图象如下：
01234
1
2
3
V
T
103当2F mg μ>时，两棒最后均匀加速运动，且121222,F mg
a a a a m
μ-=+=， 1v 20长拉短型
201当2F mg μ≤时，两棒均不动
202当24mg F mg μμ<≤时，棒2先加速运动，最后匀速运动，棒1始终静止不动，
v t -图象如下：
01234
1
2
3
V
T
203当4F mg μ>时，两棒最后均匀加速运动，且211242,2F mg
a a a a m
μ-=+=，
2122
()2F mg R
v v B L
μ--=
，v t -图象如下： 05101520
2
4
6
V1i V2i
t i
③恒定功率型 10短拉长：
101当2
22
18()mg R
p B L μ≤时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式：
22113B L v p
mg v R
μ=+。

102当2
22
18()mg R
p B L μ>时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，棒2先不动，后变速运动，最后匀
速运动，且两棒的速度之差为一定值，1222
32mgR
v v B L
μ-=
，v t -图象如下： 024681012
5
5
10
15
V1i V2i
t i
20长拉短型 201当
222
9()4mg R p B L μ≤时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式：
2222423B L v p
mg v R
μ=+。

202
当222
9()4mg R p B L μ>时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，棒1先不动，后变速运动，最后匀
速运动，且两棒的速度之差为一定值，2122
32mgR
v v B L
μ-=
，v t -图象如下： 024681012
5
5
10
15
20
V2i V1i
t i
三、总结：最终两棒中的电流不变
211.L L ⎧⎧⎪⎪
⎨⎪=⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
12
12等宽双棒:v =v 光滑v 不等宽双棒:v 冲量型一棒减速运动,另一棒不动粗糙一棒先加速,后减速运动,另一棒一直减速到零 1221122112211221,,,,v v L L v L v L v v L L v L v L -⎧⎪⎨=-⎪⎩⎧⎪⎨⎪-⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-⎩12121212等宽双棒:a =a 为一定值
光滑a 不等宽双棒:为一定值a 两棒都不动等宽双棒:一棒先不动后加速最后匀速运动,另一棒不动2.外力型两棒先变加速最后都匀加速运动,a =a 为一定值粗糙两棒都不动不等宽双棒:一棒先加速后匀速运动,另一棒不动a 两棒先变加速后都匀加速运动,为一定值a ⎧⎪⎪⎪⎪
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎩
:03.:⎧→⎧⎪⎨
→⎩⎪⎪
⎧⎧⎪
⎨⎪⎨
⎪⎩⎪
⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩
121122121122等宽两棒速度趋近于无穷大,v v 光滑不等宽:两棒速度趋近于无穷大,L v -L v 一棒静止不动,另一棒先变加速后匀速运动功率型等宽:一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,v -v 为定值粗糙一棒静止不动,另一棒匀速运动不等宽一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,L v -L v 为定值。