磁通密度和磁通量成正比

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電機機械原理簡介
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1.1 電機機械、變壓器與日常生活
電機機械 (electrical machine) 是把機械能轉成電能， 或把電能轉成機械能的裝置。當這種裝置用來把機械能轉 換成電能時，稱為發電機；用來把電能轉換成機械能時， 稱為電動機。電動機和發電機，都是經由磁場的作用來完 成能量的轉換。
ℱ ＝Ni
（1-27）
上式中， ℱ 是磁動勢的符號，其單位為安-匝（ampereturns）。
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磁路中的磁動勢也有極性（如圖 1-5 所示）。磁動勢 的正端是磁通流出的一端；而磁動勢的負端是磁通流入的 那一端。由線圈所圍繞的鐵心的極性可由修改過的右手定 則得到︰如果右手四指順著線圈電流流動的方向，則拇指 就指向磁動勢正端的方向（見圖 1-5）。
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如何計算圖 1-3 中鐵心的磁阻呢？根據式（1-26）鐵 心的總磁通為︰
BA μNiA
lc
（1-26）
Ni μlcA
ℱ μA
lc
（1-31）
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比較式（1-31）和式（1-28），可得鐵心的磁阻為
ℛ

lc μA
（1-32）
數個串聯磁阻的等效磁阻就等於各個磁阻的總和︰
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Hlc＝Ni
（1-19）
上式中，H 是磁場強度向量 H 的大小，因此在鐵心中由供 應的電流所產生的磁場強度大小為
Ni H
lc
（1-20）
對一種材料而言，其磁場強度 H 和磁通密度 （magnetic flux density）B 之間的關係為
B＝ μ H
（1-21）
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上式中 H＝磁場強度（magnetic field intensity） μ＝材料的導磁係數（magnetic permeability） B＝產生的總磁通密度
這幾個角速度之間的關係如下所示︰
nm =60 fm
（1-3a）
fm

ωm 2ω
（1-3b）
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角加速度 α
角加速度（angular acceleration）是角速度對時間的變 化率，角加速度對應於直線運動中的加速度，如同在一度 空間的直線加速度被下式所定義
a dv dt
角加速度亦被下式所定義
（1-4）
力在這導線上（這就是電動機的基本原理）。 4. 一段導線在磁場中運動，則此導線會感應出一電壓
（這就是發電機的基本原理）。
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磁場的產生
安培定律（Ampere’s laws）說明了電流如何產生磁 場︰
Η d l Inet
（1ຫໍສະໝຸດ Baidu18）
上式中，H 表示由電流 Inet 所產生的磁場強度（magnetic field intensity），dl 為沿積分路徑的長度之微分。在 SI 單
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類似上式的另一公式用來描述作用在物體上的轉矩和
此物體角加速度之間的關係，此一關係稱為牛頓旋轉定律
（Newton’s law of rotation），其公式如下
τ＝Jα
（1-8）
其中 τ 表示作用在物體上的淨力矩，α 表示所產生的角加 速度，J 表示物體的轉動慣量。
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功W
直線運動中，功（work）的定義為經過一段距離的力 之作用，如下式所示︰
v dr dt
（1-1）
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角速度 ω之定義為角位移θ 對時間的變化率
ω dθ dt
（1-2）
如果角位置的單位是弳度，則角速度的單位是弳度/秒。
在處理一般的電機機械時，通常不用弳度/秒為單位而
使用每秒轉數或每分鐘轉數來描述軸速度。
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下面所列是本書用來表示角速度的符號︰
m 以弳度/秒為單位的角速度 fm 以轉數/秒為單位的角速度 nm 以轉數/分為單位的角速度 下標 m 表示上述的符號是代表機械的量，以用來區別電氣 的量。
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磁路
如圖 1-4a 為一簡單的電路，電壓源 V 推動電流 I 流經 電阻 R，歐姆定律（Ohm’s law）可以表示出它們之間的關 係︰
V＝IR
在電路中，電壓或電動勢（electromotive force）推動電流； 同樣的，在磁路中其相對應的量稱為磁動勢 （magnetomotive force）（mmf）。磁路中的磁動勢等於 供應給鐵心的有效電流︰
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上式中，dA 是此面積上的一微小單位。如果磁通密度向 量垂直於面積 A，而且磁通密度在整個面積上均為常數， 則上式可以簡化為
BA
（1-25b）
因此圖 1-3 中由電流 i 所產生的總磁通為
BA NiA
lc
（1-26）
其中 A 表示鐵心的截面積。
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圖 1-4 (a)簡單的電路。 (b)類似變壓器鐵心的磁路。
dω
dt
（1-5）
如果角速度以弳度/秒為單位，則角加速度以弳度/秒平方 為單位。
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圖 1-1 (a) 施於圓柱上的力通過軸心， τ ＝0。 (b) 施於圓柱上的力不通過軸 心，此處的轉矩 τ 為逆時針方向。
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轉矩是什麼？大致上我們可以稱它是作用在物體上的 扭力。轉矩或扭力的大小是根據（1）作用力的大小，（2） 旋轉軸至作用力延伸線的距離所決定。
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圖 1-5 決定磁路中磁動勢源的極性。
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在磁路中，磁動勢產生了磁通。磁動勢和磁通之間
的關係為
ℱ= ℛ
（1-28）
上式中
ℱ ＝磁路中的磁動勢
＝磁路中的磁通量
ℛ ＝磁路中的磁阻（reluctance）
磁路中的磁阻對應於電路中的電阻，磁阻的單位為安-匝/ 韋伯（ampere-turns per weber）。
物體的轉矩定義為作用力與作用力延伸線至旋轉軸之 最短距離的乘積，如果以 r 表示從轉軸指向施力點的向 量， F 表示作用力，則轉矩可以描述如下
τ＝(作用力)(垂直距離) ＝(F)(r sinθ) ＝rF sinθ
（1-6）
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其中 θ 表示向量 r 及 F 之間的夾角。如果轉矩引起順時 針方向的旋轉，我們稱之為順時針力矩，反之則稱為逆時 針力矩（圖 1-2）。
位系統中，I 的單位為安培(amperes)，H 的單位為安-匝/米
(ampere-turns/meter）。
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圖 1-3 簡單的鐵心。
圖 1-3 為一腳繞著 N 匝線圈的鐵心，如果鐵心是由鐵或其 他類似的金屬（統稱為鐵磁材料）所製成，則由電流所產 生的磁場會被限制在鐵心內，安培定律中的積分路徑就等 於鐵心的平均長度 lc。因線圈有 N 匝，當其流有電流 i 時， 穿越積分路徑的電流 Inet 為 Ni，因此安培定律變成
(a)整個磁通路徑的磁阻（包括鐵心和氣隙）。 (b)欲在氣隙中產生 0.5 Wb/m2 的磁通密度須多少電流。
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圖 1-8 (a)例題 1-2 的鐵心。 (b)相對於 (a)的磁路。
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解︰相對於此鐵心的磁路如圖 1-8b 所示。 (a)鐵心的磁阻為
ℛc
lc
Ac

lc
r 0 Ac

0.4m
dt dt
dt
P τ
（1-15）
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1.4 磁 場
磁場是電動機、發電機、變壓器作能量轉換的主要機 制，下面有四個基本定理，用來描述磁場在這些裝置中如 何被使用︰ 1. 一段通過電流的導線會在其周圍產生磁場。 2. 如果通過一線圈的磁場隨時間而變化，則會在這線圈
上感應出電壓（這就是變壓器的基本原理）。 3. 一段帶有電流的導線放置在磁場中，會感應出一作用
通常功率的單位為焦耳/秒(瓦特）。
根據功率的定義，同時假設作用力大小為常數且其方 向和運動方向在同一線上，則功率可以表示如下︰
P dW d (Fr) F dr Fv
dt dt
dt
（1-14）
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同理，假設轉矩為常數，則旋轉運動中的功率可以表示如
下︰
P dW d (τ ) τ d τ
（1-22）
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其他各種材料的導磁係數和 μ0 的比值我們稱為相對導磁係 數（relative permeability）︰
μr
μ
μ0
（1-23）
在如圖 1-3 所示的鐵心中，其磁通密度的大小為
B μH μNi lc
而對一已知的面積，其上的總磁通為
（1-24）
A Β d Α
（1-25a）
W F dr
（1-9）
在 SI 單位系統中，功的單位為焦耳。
旋轉運動中，功的定義為經過一角度的力矩之作用，
如下式所示︰
W dθ
（1-11）
如果轉矩為常數，則
W θ
（1-12）
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功率 P
功率（power）就是做功的比率，或單位時間內所增
加的功，如下式所示︰
P dW dt
（1-13）
(4000)(4 107 )(0.0012m2 )
66,300A turns/Wb
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氣隙的有效面積為 1.05 × 12 cm2 = 12.6 cm2 ，所以氣
隙的磁阻為
ℛa

lc
0 Aa

(4
0.0005m 107 )(0.00126m2
)
316,000A turns/Wb 因此磁通路徑的總磁阻為
ℛeq = ℛc+ ℛa = 66,300 A‧turns/Wb＋316,000 A‧turns /Wb = 382,300 A‧turns /Wb
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雖然氣隙的長度較鐵心小 800 倍，但氣隙提供了大部 分的磁阻。
(b)根據式（1-28）
ℱ=ℛ
（1-28）
同時因為 = BA 和 ℱ ＝Ni，因此上式變成
變壓器是另一種相關的裝置，它把某一準位的交流電 能轉換成另一準位的交流電能。
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上述三種電機裝置在日常生活中到處可見。在家中， 電動機驅動電冰箱、冰凍機、吸塵器、攪拌器、冰氣機、 電風扇及其他許多類似的器具；在工廠中，電動機幾乎供 應所有工作機械的運動能量。
為什麼電動機和發電機會如此普遍？答案非常簡單︰ 電能是一種乾淨而且有效率的能源，它容易作長途傳送且 容易控制。在電能的傳送過程中，我們使用變壓器來減少 在產生及使用電能的兩地之間，因傳送而產生的能量損失。
ℛeq = ℛ1+ ℛ2+ℛ3+ …
（1-33）
數個並聯磁阻的等效磁阻亦根據下式計算︰
1 1 1 1 ℛeq ℛ 1 ℛ2 ℛ3
（1-34）
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例題 1-2 圖 1-8a 為一鐵磁性鐵心，其平均路徑長度為 40 cm，在鐵心的結構中有一 0.05 cm 的氣隙，鐵心的截面積 為 12 cm2 ，相對導磁係數為 4000，鐵心上的線圈有 400 匝。假設氣隙的有效截面積較鐵心的截面積增加 5%，根 據上面所給的資料，試計算︰
磁場強度的單位為安-匝/米，導磁係數的單位為亨利/米 (henrys per meter ） ， 磁 通 密 度 的 單 位 為 韋 伯 / 米 平 方 (webers per square meter），稱為特士拉（teslas，T）。
真空中的導磁係數以 μ0表示，其值為 μ0 4π10 7 H/m
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符號 本書中向量、電的相量與複數值用粗體字表示（例如
F），而純量用斜體字表示（如 R）。此外，特殊字型用 來表示如磁動勢（ℱ）之磁場量。
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1.3 旋轉運動、牛頓定理與功率關係
通常，要完全描述一個在空間中旋轉的物體需要三次 元的向量，但正常的電機均在一個固定的軸上旋轉，因此 僅需一個角的次元來描述。在本節中的觀念裡，沿固定軸 的旋轉均簡化成純量。 角位置 θ
物體的角位置（angular position）θ 係從某一任意參考 點所量得的角度，通常以弳度（radians）或度（degrees） 為單位，角位置對應於直線運動中的距離（distance）。
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角速度 ω
角速度（angular velocity）係角位置對時間的變化率。 角速度對應於直線運動中的速度（velocity），如同一維空 間中的線性速度被定義為沿直線（r）對時間之位移變化 率
Ni＝BA ℛ
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因此 i ℛAB N (0.5T)(0.00126m2 )(382,300A‧ turns/Wb) 400turns 0.602A
必須注意的是，題目的要求是氣隙的磁通，因此計算 時使用氣隙的有效截面積。
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鐵磁性材料的磁化特性
導磁係數由下面的公式所定義︰
轉矩的單位在 SI 單位 系統為牛頓-米；在英制單 位系統則為磅-呎。
圖 1-2 物體所受轉矩公式的推導。
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牛頓旋轉定律
在直線運動中，牛頓定理描述作用在物體上的力和此 物體加速度的關係，如下式所示︰
F＝ma
（1-7）
上式中
F＝作用在物體上的淨力
m＝物體質量
a＝所產生的加速度
在 SI 單位系統中，力的單位為牛頓，質量的單位為公斤， 加速度的單位為米/秒平方。