11-2用样本估计总体
用样本估计总体
用样本估计总体一、用样本的频率分布估计总体分布（1）频数、频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数。
每组数除以全体数据的个数的商叫做该组的频率。
频率反映数据在每组中所占比例的大小。
（2）样本的频率分布根据随机所抽样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫做样本的频率分布。
为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。
（3）用样本频率分布估计总体的分布从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中直接看出样本所含的信息。
如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况。
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，而对于总体分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计。
（4）频率分布直方图的特点从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
（5）频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，如图所示。
为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际意义。
（6）总体密度曲线①如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。
设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。
y f x()②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的百分比。
a b内的百分比就是图中带斜线部分的面积。
对本例来说，总体密度曲线呈产品尺寸落在(,)中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
第二节 用样本估计总体-高考状元之路
第二节 用样本估计总体预习设计 基础备考知识梳理1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用 估计总体的分布，另一种是用 估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用 表示．各小长方 形的面积总和2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着 的增加，作图时 增加， 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点： 一是从统计图上没有 的损失，所有的 都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图可以在比赛时 方便记录与表示．4．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种(2)标准差：=s(3)方差：=2sn x (是样本数据，砚是样本容量，x 是样本平均数）． 5．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 ，由此可以估计中位数的值．（2抨均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的典题热身1．已知一个样本中的数据为..0,15.0,13.0,15.0,12.0,14.0,13.0,16.0,15.0,17.0则该样本的众数、中位数分别是( )15.0,14.0.A 14.0,15.0.B 15.0,15.0.C 145.0,15.0.D答案：D2．已知一个样本中的数据为,5,4,3,2,1那么该样本的标准差为（ ）1.A2.B3.C 2.D答案：B3．（2011．潍坊模拟）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如下图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别,乙甲、X X 则下列结论正确的是 ( );.乙甲X X A < 乙比甲成绩稳定;.乙甲X X B >甲比乙成绩稳定乙甲X X C >.乙比甲成绩稳定;.乙甲X X D <甲比乙成绩稳定答案：A4．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为 答案：205．为了了解某地区高三学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图所示．则样本数据落在[62.5，64.5）内的频率是 ．这100名学生的体重的众数是答案：14.0 5.65课堂设计 方法备考题型一 频率分布直方图的绘制与应用【倒1】为了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得数据(精确到0.1 m)进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如下图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0．10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．(1)请将频率分布直方图补充完整，（3）若成绩在8.0 m 以上(含8.0 m)的为合格，试求这次铅球黼试的成绩的合格率．题型二 茎叶图的应用【例2】在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：,15,25,14,27,36,19,20,24,26,15,18,27,23,17,3,28,101.17,27,24,11,22在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字的个数如下：,22,13,27,41,36,12,35,27,33,41,32,19,28,24,33,39,27.22,32,46,18,23(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价，技法巧点(1)用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用，在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致，通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．(2)几种表示频率分布的方法的优点与不足：①频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便． ②频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
9.2用样本估计总体-人教A版高中数学必修第二册(2019版)教案
9.2 用样本估计总体-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解抽样调查中的概念和方法；2.掌握使用样本估计总体的方法；3.学会判断样本是否具有代表性及如何提高样本的代表性。
二、教学重难点1.如何使用样本估计总体；2.如何判断样本是否具有代表性及提高样本的代表性。
三、教学内容及学时安排学时教学内容学生学习任务1 学时抽样方法概述1. 认真听讲，掌握抽样方法概念；2. 熟练掌握教材中样本的概念；3. 完成教材中的练习。
1 学时样本估计总体的方法1. 学习样本估计总体的方法；2. 熟悉样本容量估计总体的相关公式；3. 完成教材中的例题和练习。
1 学时样本代表性问题1. 学习判断样本是否具有代表性的方法；2. 了解提高样本代表性的方法；3. 完成教材中的例题和练习。
1 学时综合练习 1. 完成课堂练习；2. 独立完成教材中的综合训练题。
四、教学方法1.讲授法：通过讲述理论知识来向学生传授知识；2.案例分析法：使用实例进行学习和分析，以帮助学生深入理解抽样调查和样本估计总体的方法；3.课堂互动式教学法：引导学生积极参与课堂讨论，加深理解、提高思维能力。
五、教学资源1.人教A版高中数学必修第二册（2019版）教材；2.教学课件；3.计算器。
六、教学评估1.平时作业：每节课后会布置相应的作业，以此来对学生的掌握情况进行评估；2.课堂讨论：使用课堂讨论的方式观察学生对授课内容的理解情况；3.综合测验：每个教学单元结束后会进行综合测验来对学生的综合掌握情况进行评估。
高中数学必修二 (教案)用样本估计总体
用样本估计总体【第一课时】【教学目标】1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.【教学重难点】1．频率分布表、频率分布直方图.2．用样本估计总体.3．总体百分位数的估计.【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？2．频率分布直方图有哪些特征？3．如何求n个数据的第p百分位数？二、基础知识1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义2．百分位数（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．三、合作探究1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．【解】以4频率累计频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系： ①若极差组距为整数，则极差组距＝组数；②若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．角度二：频率分布直方图的应用为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ （3）样本中不达标的学生人数是多少？ （4）第三组的频数是多少？【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08．又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12． 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．（4）第三小组的频率为172＋4＋17＋15＋9＋3＝0.34．又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝51．频率分布直方图的应用中的计算问题 （1）小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；（2）各小长方形的面积之和等于1；（3）频数样本量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本量，样本量×频率＝频数．2．条形统计图为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）求抽取的学生数；（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比． 【解】（1）从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人； 喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人； 喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人； 喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为106 300，由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有106300×3 000＝1 060(人)．（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为45300×100%＝15%.（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．3．折线统计图小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．4．扇形统计图下图是A ，B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图： （1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？（2）已知A 学校收到的剪纸作品比B 学校的多20件，收到的书法作品比B 学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．（2）设A 学校收到艺术作品的总数为x 件，B 学校收到艺术作品的总数为y 件，则⎩⎨⎧10%x －5%y ＝20，50%y －40%x ＝100，解得⎩⎨⎧x ＝500，y ＝600，即A 学校收到艺术作品的总数为500件，B 学校收到艺术作品的总数为600件．（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．5．百分位数的计算试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．因此，甲组数的25%分位数为x5＋x62＝2＋32＝2.5；甲组数的75%分位数为x15＋x162＝9＋102＝9.5．乙组数的25%分位数为x5＋x62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x15＋x162＝10＋142＝12．求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．【课堂检测】1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是()解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为()A．0.1B．0.2C．0.3 D．0.4解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．【第二课时】 【教学目标】1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.【教学重难点】会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．【教学过程】一、基础知识1．众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．（3）平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数．思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．2．方差、标准差标准差、方差的概念及计算公式（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].（2）标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x .二、合作探究1.众数、中位数、平均数的计算（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,90（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为() A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8答案（1）C（2）C解析（1）平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85．（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．2．标准差、方差的计算及应用甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出两组数据的方差；（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？解（1）x甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．（2）由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2．（3）x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又s 2甲＞s 2乙说明甲战士射击情况波动比乙大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．【教师小结】（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．三、课堂总结1．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.【课堂检测】1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( )A ．19B ．20C ．21.5D ．23答案 B解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B ．2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )A ．中位数可以准确地反映出总体的情况B ．平均数可以准确地反映出总体的情况C ．众数可以准确地反映出总体的情况D ．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况答案 D3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关答案 B解析 由茎叶图知，a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84， a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，故选B ． 5．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．。
用样本估计整体的基本步骤
用样本估计整体的基本步骤
用样本估计整体的基本步骤通常包括以下几个部分：
1.确定研究目标和总体：首先确定你想要估计的总体，即你
希望得到关于整体特征的估计值。
2.定义样本和抽样方法：确定你将要使用的样本大小和抽样
方法。
样本应该以代表性的方式从总体中选择，以确保估计的结果具有统计学上的可靠性。
3.收集数据：采用所选择的抽样方法从总体中抽取样本，并
收集样本数据。
确保采样过程是随机的，以避免样本选择上的偏差。
4.数据整理和分析：对收集到的样本数据进行整理和分析。
这包括描述性统计分析、计算样本统计量等。
5.估计总体参数：根据样本数据，计算出所需的总体参数的
估计值。
例如，估计总体均值、总体比例等。
这通常涉及到对样本统计量的计算和推断。
6.确定估计的精度和置信水平：评估估计结果的精度和可靠
性。
这可以通过计算估计值的置信区间来完成，确定估计结果所在的范围。
7.结果解释和推断：将估计结果解释给目标受众。
解释估计
结果的含义、置信水平以及可能的限制。
8.结论和报告：根据估计结果，得出结论并撰写报告。
将报
告中包含所采用的方法、数据分析流程、估计结果和相关
的解释。
在用样本估计整体时，确保使用恰当的统计方法和技术，并遵循相关的统计学原则和假设。
此外，维护数据的质量和准确性也是十分重要的，以确保估计结果的可靠性和有效性。
第02讲 用样本估计总体 (精讲)(教师版)
，nx +）标准差与方差据1x ，nx +，标22()(n x x x x +-++-2(n x x ++-知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标3，b ，3，b ，【答案】45 45.85379⨯=975%∴+=25m故选：B.例题4．（PM2.5的浓度（单位：知这组数据的极差为A．73 B．75 C．77 D．79,,n x 的平均数个分数分别为18,,,x x ，6，8,,x 的平均数为228361001081210++++-=x ，28624++=x 8610++++x ，即12864+++=x x x 2624888-⨯=故答案为：14.．（2022·全国55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数2,3,,)n ，则下列结论正确的是（2,3,,)n ，则它们的众数也满足该关系，12(21)(21)(21)nn y x x x nn++-+-++-=1nx n++- 121b =-，故B 正确；由方差的性质可得2c =C 正确；23,x x ，…，，假设其第80百分位数为1d ， 是整数时，x 21,2x x --30,,x 的平均数为10,,x 这10个数的平均数为8，方差为30,,x ___________. 【详解】由题意得12306x x x +++=2309x ++=⨯1081080x ++=⨯=，222121058690x x x =⨯+=++，所以剩余的20个数的平均数为18080520-=， 30221350690660x +=-=+，所以剩余的20个数的方差为66020258-=，故答案为：82022·全国·高一单元测试）敢于冒险奋进精神的载体，A．这组数据的极差为50 B．这组数据的众数为76(0.005+0.75800.3-+故选：CD例题2．（学生人数比例、[(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；分数小于60的频率为()10.020.040.02100.2-++⨯=，所以[)60,70x ∈，即()0.2600.010.25x +-⨯=，解得65x =，则本次考试的及格分数线为65分．例题3．（2022·全国·高一单元测试）中秋佳节来临之际，小李准备销售一种农特产，这段时间内，每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元.经调查，市场需求量的频率分布直方图如图所示.小李购进了160箱该特产，以x （单位：箱，100200x ≤≤）表示市场需求量，y （单位：元）表示经销该特产的利润.(1)根据频率分布直方图估计市场需求量的众数和平均数；(2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图求利润不少于4800元的频率.【答案】(1)150，153(2)804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩(3)0.9（1）由频率分布直方图，得市场需求量的众数的估计值是150，需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，需求量为[180，200]的频率为0.0075×20=0.15，则市场需求量的平均数约为110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）因为每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元，所以当100160≤<x 时，5030(160)804800y x x x =-⨯-=-，当160200x ≤≤时，160508000y =⨯=，所以804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩. （3）当100160≤<x 时，由8048004800x -≥，得120160x ≤<；当160200x ≤≤时，80004800y =>，所以当120200x ≤≤时，利润不少于4800元，所以由（1）知利润不少于4800元的频率为10.10.9-=.同类题型归类练A．此次测试众数的估计值为85(1)求频率分布直方图中a的值；(1)求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(1)求出表中m，p的值；(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；(1m ii x x =-∑同理可得21s m ∴=+1⎡、、A ．20B ．40C ．64D ．80根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.3．（多选）（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；。
用样本估计总体教学设计
博兴二中2014级高三一轮复习文科数学学案姓名： 班级： 使用时间：课题： §53用样本估计总体 修订人：复习目标1.能说出分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标准差．3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．.再现性题组1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375， 则该组样本的频数为 ( C ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．162．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 ( C ) A ．75辆 B ．120辆 C ．180辆 D ．270辆3.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是 ( C ) A ．125 B ．5 5 C ．45 D ．3 5则样本在(20,50]上的频率为___35____．5．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5.乙所得环数如下： 5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是__乙______．知识梳理一、作频率分布直方图的步骤二、频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图： 2．总体密度曲线： 三、样本的数字特征：众数、 中位数、平均数、方差6. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为__36______．样本数据的众数约为____9____．样本数据的平均数是__8.12______．解：由直方图得样本数据在[10,12)内的频率为0.18.则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故应为9.平均数为3×0.02×2＋5×0.05×2＋7×0.15×2＋9×0.19×2＋0.09×11×2＝8.12.7.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿9＿＿＿.8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组9 9 1 1 ⎪⎪ 0 1⎪⎪X 8 9(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1nx 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数 是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×[(8－3542＋(8－354)2＋(9－3542＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.博兴二中2014级高三一轮复习文科数学学案姓名：班级：使用时间：课题：§53用样本估计总体___修订人：复习目标1.能说出分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标准差．3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．.再现性题组1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为()A．4B．8 C．12 D．162．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有()A．75辆B．120辆C．180辆D．270辆3.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是() A．125B．5 5 C．45 D．3 5则样本在(20,50]上的频率为____________．5．甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5.乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是___________．知识梳理一、作频率分布直方图的步骤二、频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图：2．总体密度曲线：三、样本的数字特征：众数:中位数:平均数:方差:6. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为_______．样本数据的众数约为_______． 样本数据的平均数是_____________．7.右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组9 9 1 1 ⎪⎪ 0 1⎪⎪X 8 90(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1nx 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)博兴二中2014级高三文科数学作业纸班级：姓名：训练内容：§53用样本估计总体审题仔细全面，计算简洁准确，解法多中择优，过程严谨完善，字迹清晰条理，作图工整规范。
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 用样本估计总体
平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，
这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实
地反映这个公司员工的工资水平.
题型四 综合问题
【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每 瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量 （单位：百毫升）如下: 12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2
1
（2）频率分布直方图如图：
（3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率 为 13=00.65. 200
（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率 为 =700.35. 200
学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可 以看出，要比较准确地反映出总体70 分布的情况，必须准确地作出
［140,15 0)
人数
4
8
x
5
3
生产能 力分组 人数
表2：
［110， 120）
6
［120，130） ［130,14 0)
y
36
［140,15 0)
18
(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪 个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该
组距所对应的矩形的面积.
解
（1）M=0.102
=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2n,N =m1,
25.2-用样本估计总体ppt课件(第2课时)(2019年11月整理)
解:用简单随机抽样方法 选定了表25.2.1中这30天， 查中国环境保护网 （ ） 得 知 北 京 在 这 30 天 的 空 气 污染指数及质量级别如表 25.2.1所示.
这30个空气污染指数的平均数为107，据 此估计该城市2002年的平均空气污染指 数为107，空气质量状况属于轻微污染.
科学而可靠的. 对于估计总体特性 这类问题，数学上的一般做法是 给出具有一定可靠程度的一个估 计值的范围，将来同学们会学习 到有关的数学知识.
做一做 1.有的同学认为，要了解我们学校
500名学生中患有龋齿的比例，可 以采取简单的随机抽样，但是， 调查250名学生反而不及调查100 名学生好，因为人太多了以后， 样本中患龋齿学生的比例反而说 不准.你同意吗？为什么？如果你 不同意，你想怎样说服持有这种 看法的同学？
问题 上述估计与一年的情况符 合吗？
让 我 们 将 北 京 这 30 天 不 同 空 气质量级别所占天数及比例与 其 2002 年 全 年 的 相 应 数 据 作 一 比较
下面两幅图是随机选取的30天的 情况和2002年全年365天的总体 情况.
经比较可以发现，虽然从样 本获得的数据与总体的不完 全一致，但这样的误差还是 可以接受的，是一个较好的 估计.
说明பைடு நூலகம்
1、若用简单随机抽样方法再选取30 天，则可能会得出该城市2002年平 均空气污染指数的另一个估计值. 所 以，基于不同的样本，可能会对总 体给出不同的估计值. 但是，正如我 们前面已经看到的，随着样本容量 （样本中包含的个体的个数）的增 加，由样本得出的平均数往往会更 接近总体的平均数。
2.数学家已经证明随机抽样方法是
用样本估计 总体（二）
初三数学组
知识点回顾： 1、抽样调查可靠吗？
用样本的频率分布估计总体分布
例１：某市政府了节约生活用水，计划在本市试
行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标 准a , 用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分 按议价收费。
①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标 准a定为多少比较合理呢？
②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做哪些 工作？
频率分布表如下：
分组 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45）
[45，50） [50，55） [55，60]
合计
频数
3 8 9 11 10 5
4 50
频率 0.06 0.16 0.18
0.22
0.20 0.10
0.08
1.00
0.012 0.032 0.036 0.044 0.040 0.020 0.016
月均用水量/t
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
思考 ：如果当地政府希望使
85% 以上的居民每月的用水量不 超出标准，根据频率分布表和频 率分布直方图，你能对制定月用 水量标准提出建议吗？
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
分组
频数累计
频数
频率
６.55～6.75
6.75～6.95
6.95～7.15
7.15～7.35
7.35～7.55 合计
频率：每组数据的个数除以全体数据个数的商叫做 该组的频率。
根据随机抽取样本的大小，分别计算某一事件出现 的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫 做样本的频率分布。
说明：样本频率分布与总体频率分布有什么关系？
2025高考数学一轮复习课件 随机抽样、用样本估计总体
夯实双基
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)不放回简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取样本．
答案 √
(2)分层随机抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层随机抽样 为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．
答案 ×
(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论． 答案 ×
总体集中趋势与离散程度的估计
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大(或从大到小)排列，若有奇数个数，则最中
间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．
(3)平均数：
－x
x1＋x2＋…＋xn
＝________n_______________，反映了一组数据的平均水
霸”A．√抽样表明，该校有一半学生为“阅读
B．该校只有 50 名学生不喜欢阅读 C．该校只有 50 名学生喜欢阅读 D．抽样表明，该校有 50 名学生为“阅读霸”
解析 根据频率分布直方图可列下表：
阅读时
[0，
间(分钟)
10)
[10， 20)
[20， 30)
[30， 40)
[40， 50)
[50， 60]
A√．3
1 C.4
B．4 1
D.3
【解析】 由题意知 x1＋x2＋…＋xm＝m－x ， y1＋y2＋…＋yn＝n－y ， －z ＝（x1＋x2＋…＋xm）m＋＋（n y1＋y2＋…＋yn） ＝m－xm＋ ＋nn－y ＝mm＋－xn＋mn＋－y n＝14－x ＋43－y ，所以m＋m n＝14，m＋n n＝34，可得
3m＝n，所以mn ＝13.
状元笔记
(1)简单随机抽样、分层随机抽样中，总体中每个个体入样的可能性是 相同的．
用样本估计总体教案(绝对经典)
§11.2 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体会这样考 1.考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算．主要以选择题、填空题为主；2.考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)．1．统计数据(1)众数、中位数、平均数、极差、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．（可以没有或者多个）． 中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．(2)方差、标准差 方差()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=标准差S ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 2．统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图、频率分布直方图等．（1）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便． （2）在频率分布直方图中：①纵轴表示频率组距，②每小长方形的面积表示该组数据的频率或比例， ③各小长方形的面积之和等于1.3．用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)众数：最高那组的组中值．(2)平均数：每个小长方形的面积与每个组中值的乘积之和． (3)中位数：等分面积那条线的横坐标. [难点正本 疑点清源] 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图． 频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．1．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x ；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70)，2；则x ＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为________． 答案 4 0.72．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是____．答案 6003．如上图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)答案 6.84．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从上图中可以看出被处罚的汽车大约有的辆数为________． 答案 40题型一 频率分布直方图的绘制与应用例1 （1）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)据此估计本次考试中的平均分和中位数（保留整数）．思维启迪：利用各小长方形的面积和等于1求分数在[70,80)内的频率，再补齐频率分布直方图． 解 (1)设分数在[70,80)内的频率为x ，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，可得x ＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分为x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．中位数为73 探究提高 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．（2）从某小学随机抽取l00名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布图(如上图)．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[l40，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[120，130)的学生中选取的人数应为 ．答案：15题型二 茎叶图的应用例2 (1)甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，则下列结论正确的是( )A 、x x <甲乙；乙比甲成绩稳定B 、x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C 、x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D 、x x >甲乙；甲比乙成绩稳定答案及解析：D(2)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如上图，其中甲班学生成绩的中位数数是81，乙班学生成绩的平均分为81，则成绩更稳定的班级为______．答案及解析：乙。
新高考新教材数学人教B版一轮课件：第十章 第二节 用样本估计总体 课件(71张)
4．分层抽样的均值与方差
必备知识 关键能力 限时规范训练 8
我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…，xm，平均
数为 x ，方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，平均数为 y ，方差为 t2.则
x ＝__m1__i＝m_1x_i___，s2＝____m1__i＝m_1_(_x_i－___x_)2____，
3．(链接人B必修第二册P64例1)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排 列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为 ________，第86百分位数为________.
解析：∵75%×20＝15，∴第 75 百分位数为14＋2 15＝14.5.∵86%×20＝17.2.∴第 86 百分位数为第 18 个数据 17.
必备知识 关键能力 限时规范训练 7
知识点三 极差、方差与标准差 1．极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的_差__.不难看出，极 差反应了一组数的变化范围，描述了这组数的__离__散__程度．
冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计
冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》是统计学的一个基本概念。
这一节的内容主要包括：理解总体、个体、样本的概念，掌握用样本估计总体的方法，以及如何求出样本数据的平均数、方差等。
教材通过具体的例子，使学生能够更好地理解这些概念和方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过统计学的初步知识，对平均数、方差等概念有一定的了解。
但是，他们对用样本估计总体的方法可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子，让学生更好地理解这些概念和方法。
三. 教学目标1.理解总体、个体、样本的概念。
2.学会用样本估计总体的方法。
3.掌握求样本数据的平均数、方差等方法。
四. 教学重难点1.重点：理解总体、个体、样本的概念，掌握用样本估计总体的方法。
2.难点：如何求出样本数据的平均数、方差等。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过具体的例子，让学生更好地理解概念和方法；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.计算器、白板、黑板。
3.相关的案例材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个具体的问题引入本节内容：“如何估计一个班级的平均身高？”让学生思考并回答，引导学生认识到用样本估计总体的重要性。
呈现（10分钟）教师呈现教材中的案例，让学生阅读并回答相关问题。
问题包括：“什么是总体？什么是样本？如何用样本估计总体？”等。
通过这些问题，让学生理解总体、个体、样本的概念。
操练（15分钟）教师引导学生进行小组合作，每个小组选取一组数据，求出这组数据的平均数、方差等。
通过这个活动，让学生掌握求样本数据的平均数、方差等方法。
巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固所学内容。
这些练习题包括：判断题、选择题、填空题等。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：“在实际生活中，我们如何用样本估计总体？”让学生举例说明，并进行讨论。
2015年高考数学(文)一轮课件：11-2用样本估计总体
●三个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征： (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方 图的面积相等，由此可以估计中位数值． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形 底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．
1．在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别 是( )
解析：由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5 14 ＝14，故其频率为 ＝0.7. 20
答案：D
3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘 米)数据绘制成频率分布直方图．由图中数据可知身高在[120,130] 内的学生人数为( )
A．20 C．30
B．25 D．35
A. x 甲< x 乙，m甲>m乙 C. x 甲> x 乙，m甲>m乙
B. x 甲< x 乙，m甲<m乙 D. x 甲> x 乙，m甲<m乙
思维启迪：仔细观察茎叶图．中位数为一列数中最中间的那 个，当数有偶数个时，中位数为中间两个数的平均数．
解析：甲数据集中于前半段，而乙数据集中于后半段，所以 18＋22 27＋31 x 甲< x 乙；m甲＝ 2 ＝20，m乙＝ 2 ＝29，所以m甲<m乙，所 以选B.
答案：(1)频率为0.3，频率分布直方图略；(2)71分．
点评：频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布， 从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频 率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中 值乘以各组的频率的方法．
通关训练1 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图 如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间 [10,12)内的频数为( )
2018届高考数学一轮复习课标版理科配套课件：第11章-第2节用样本估计总体88张 精品
10
0.20
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合计
M
N
(1)求出表中字母 m、n、M、N 所对应的数值；
(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在 149.5～165.5 cm 范围内有
多少人？
[解] (1)由题意 M＝0.816＝50，落在区间 165.5～169.5 内数据频数 m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，
知识
梳理诊断
1．频率分布直方图和茎叶图 (1)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． ②决定组距和组数． ③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图．
(2)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形 上端的 中点 ，就得到频率分布折线图．
(3)总体密度曲线：随着样本容量 的增加，作图时所分 的 组数 增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接 近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲 线．
某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收 费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨)，一位居民的 月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价 收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位 居 民 每 人 的 月 均 用 水 量 ( 单 位 ： 吨 ) ， 将 数 据 按 [0,0.5) ， [0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直 方图．
据的平均数)
感有时也会成为缺点
平均数
平均数与每一个样本数据有
如果有 n 个数据 x1， 关，可以反映出更多的关于
【优化方案】2012高考数学总复习 第11章§11.2用样本估计总体精品课件 理 北师大版
2．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5，则该 ． ， 样本的标准差为( ) 样本的标准差为 B. 2 A． 1 ． C. 3 D． 2 ．
答案： 答案：B
3． (2011年济源调研 某雷达测速区规定 ： ． 年济源调研)某雷达测速区规定 年济源调研 某雷达测速区规定： 凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超 的汽车视为“ 凡车速大于或等于 的汽车视为 并将受到处罚， 速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个 检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结 辆汽车的车速进行检测所得结 检测点对 果的频率分布直方图， 果的频率分布直方图，则从图中可以看出被 处罚的汽车大约有( 处罚的汽车大约有 )
例1 (2010年高考湖北卷 为了了解一个小水库 年高考湖北卷)为了了解一个小水库 年高考湖北卷
中养殖的鱼的有关情况， 中养殖的鱼的有关情况 ， 从这个水库中多个不 同位置捕捞出100条鱼 ， 称得每条鱼的质量 单 条鱼， 同位置捕捞出 条鱼 称得每条鱼的质量(单 位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直 ，并将所得数据分组， 方图(如图所示 如图所示)． 方图 如图所示 ．
3．用样本估计总体 ． (1)我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用 我们对总体作出的估计一般分成两种． 我们对总体作出的估计一般分成两种 样本的频率分布估计_______________． 样本的频率分布估计 总体的分布 ． 另一种是用 样本的数字特征估计____________________． 样本的数字特征估计 总体的数字特征 ．
1 n 平均数：样本数据的算术平均数． 平均数：样本数据的算术平均数．即 x ＝ ____
(x1＋x2＋…＋xn) _____________________在频率分布直方图中，中 在频率分布直方图中， 在频率分布直方图中 位数左边和右边的直方图的面积应该________． 位数左边和右边的直方图的面积应该 相等 ． (2)样本方差、标准差 样本方差、 样本方差 标准差 s＝ ＝
用样本的数字特征估计总体的数字特征
（B）4
（C）2
（D）1
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株 的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2=11 ，S乙2=3.4，由此可以估计（ B ） （A）甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 （B）乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 （C）甲、乙种水稻分蘖整齐程度相同 （D）甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比 较
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是 一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下， 我们可以按上述方法估计众数、中位数和平 均数，并由此估计总体特征.
频率 组距
0.5 0.44 0.3 0.28
众数： 最高矩形的中点 中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横 坐标之和.
x乙
=
1（13+14+12+12+14）=13 5
s2甲
=
1 5
[(10
13)2
+(13
13)2
+(12
13)2
+(14
13)2
+(16
13)2
]=4
s2乙
=
1 5
[(13
13)2
+(14
13)2
+(12
13)2
+(12
13)
2
+(14
13)2
]=0.8
(2)由 s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，
算一算：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此 估计总体的平均数是什么？
高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例2用样本估计总体课件新人教A版2
;b.决定组距与
组数;c. 将数据分组
;d.列频率分布表;e.画频率分布直方
图.
-3知识梳理
双基自测
(3)总体密度曲线
①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中
点,就得到频率分布折线图.
②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,
底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方
24
图如图所示,则在抽测的60株树木中,有
株树木的底部
周长小于100 cm.
解析 由题意知,在抽测的60株树木中,底部周长小于100 cm的株
数为(0.015+0.025)×10×60=24.
-11考点1
考点2
考点3
考点 1
组距减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,
统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体
在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息.
(4)茎叶图:茎叶图中茎是指 中间 的一列数,叶是从茎的 旁边
生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,
它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表
月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽
11
1
= ,
取比例为
25+15+10+5
5
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×
1
5 =5(户).
-14考点1
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(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居 民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替． 当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
【解析】 (1)如题图所示，用水量在[0.5，3)的频率的和为 (0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
(1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数．
角度二 样本的数字特征与茎叶图交汇 【例4】 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个 最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的 茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示．
则7个剩余分数的方差为( )
角度三 样本的数字特征与优化决策问题 【例5】 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机 选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃) 制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标
准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标
准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③
B．①④
按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( ) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横
坐标是众数．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
1．(2019·山东高考)
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组
各5名工人某日的产量数据(单位：件)．
若这两组数据的中位数相等，且平均值
A地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并 通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不 要求计算出具体值，给出结论即可)；
A．2，5 C．5，8
B．5，5 D．8，8
【思维升华】 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频 率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从 茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是 茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作 图较烦琐．
跟踪训练2 (2019·全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的 满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用 户对产品的满意度评分如下：
也相等，则x和y的值分别为( )
A．3，5
B．5，5
C．3，7
D．5，7
2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教 师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．93 C．137
B．123 D．167
【解析】 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数， ∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米， w至少定为3. (2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为 (0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋ (0.05×3.5＋0.05×4＋0.05×4.5)×10＝7.8(元)． 即该市居民该月的人均水费估计为7.8元．
【解析】 两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值 高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评 分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 角度一 样本的数字特征与直方图交汇 【例3】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)， 以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240 ，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如 图．
【答案】 C
4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据 的方差是________．
题型一 频率分布直方图的绘制与应用 【例1】 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量 中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米 的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居 民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分 布直方图：
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水 量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小 于0.5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损 零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依 据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
11-2用样本估计总体
2020/9/15
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
3．样本的数字特征
数字 特征
定义
众数 在一组数据中，出现次数_最__多__的数据叫做这组数据的众数
中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置的一个数 据(或最中间两个数据的_平__均__数___)叫做这组数据的中位数
C．②③
D．②④
∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确． 方法二 甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间， 且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和 32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确． 【答案】 B
【思维升华】 平均数与方差都是重要的数字特征，是 对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的 实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差 和标准差描述其波动大小．
跟踪训练3 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三 年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以 下柱状图：
【思维升华】 (1)明确频率分布直方图的意义，即图中 的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有 小矩形的面积和为1.
(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从 中提炼有用的信息和数据．
跟踪训练1 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制 定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽 样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)． 将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制 成了如图所示的频率分布直方图．
题型二 茎叶图的应用 【例2】 (1)如图是某大学自主招生面试环节中，七位评 委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和 一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
A．85，84 C．86，84
B．84，85 D．84，86
(2)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英 语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数 为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 _相__等___
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据
的集中趋势．( ) (2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表
示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( ) (3)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶
(1)求直方图中a的值； (2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低 于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
【解析】 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5) 内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2， 2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21， 0.25，0.06，0.04，0.02.
(3)设中位数为x吨． 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝ 0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜ 0.5，所以2≤x＜2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48， 解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.