2011年江苏专转本高等数学真题答案

2011年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

1、C

2、B

3、A

4、B

5、D

6、D

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7、－１ 8、2ln 22+ 9、32 10、dx 41 11、2

π 12、[)11，- 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

13、原式=4lim 22))((2lim )(lim 002

20=-=+-=--→--→-→x e e x e e e e x e e x

x x x x x x x x x x 14、)

12)(1(21212++=++==t e t t e t dt

dx dt dy

dx dy y y 15、原式=⎰⎰⎰+-=+=+x xd x dx x x x dx x

x x x x sin cos 2)cos sin 2(cos sin 22 =C x x x ++-sin cos

16、令t x =+1，则原式=⎰⎰=-=+-2122

1235)22(211 dt t t tdt t t 17、设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax .

因为该平面经过x 轴，所以0==D A ；又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，

即03=+C B .综上，所求平面方程为03=-Bz By ，即03=-z y .

18、'-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅'+-⋅'⋅+⋅=∂∂12210)(1f x y f f x y f x f x z "-"-'=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅"+⋅"⋅+'⋅⋅-⋅'+⋅'=∂∂∂12112212111212)11(11)11(f x y f x y f f x f y f x f x f y x z 19、原式=⎰⎰=

2024

3232sin dr r d θθππ 20、由已知可得x x x x e x e x e x e x f )13()1(2)1()(+=++++=，特征方程：

0232=++r r ，齐次方程的通解为x x e C e C Y 221--+=.令特解为x e B Ax y )(+=*， 代入原方程得：43656+=++x B A Ax ，有待定系数法得：

⎩⎨⎧=+=46536B A A ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧==4121B A ，所以通解为x x x e x e C e C Y )4121(221+++=--. 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21、令012)1ln()(,2)1ln()(22

2

2>+++='-+=x x x x f x x x f 则，所以)(x f 单调递增. 又025ln 2)2(,02)0(>-=<-=f f ，所以由零点定理可知命题得证.

22、设20112011)(,20112010)(20102011-='-+=x x f x x x f 则，令0)(='x f 得驻点

1=x ，又020102011)1(20102011)(2009>⋅=''⋅=''f x x f ，所以，因此由判定极值的第二充分条件可知0)1(=f 为极小值，并由单峰原理可知0)1(=f 也为函数)(x f 的最小值，即0)(≥x f ，也即原不等式成立.

五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

23、2

222lim 1lim arctan 1lim 22022020-=-=---=------→→→a e a x ax x e x x ax x e ax x ax x ax x 2

2lim 21lim 2sin 1lim 000a ae x e x e ax x ax x ax x ==-=--++→→→ （1）依题意有2

222a a =-，解得21=-=a a 或，又1)0(=f ，所以2=a . （2）左右极限必须相等，且不能等于函数值，所以1-=a .

（3）依题意有2

222a a ≠-，解得21≠-≠a a 且. 24、（1）将原方程化为一阶线性微分方程得)1()(2)(+-=-'a x f x

x f ，所以 x a Cx C x a x C dx e a e x f dx x dx x )1()1()1()(2222++=++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰+-⎰=⎰--- 代入x a ax x f a C f )1()(1

)1(2++-=-==，即，得 由此作出平面图形D ，并求出其面积[]3

263)1(1

02=+=++-=⎰a dx x a ax S

解得1=a ，则此时函数的表达式为x x x f 2)(2+-=

（2）ππ158)2(21

02=

+-=⎰dx x x V x （3）ππ

π6

5)11(112102=---⋅⋅=⎰dy y V y