12阶群的特征标表

12阶群的特征标表

特征标是指一个群在其自身上的不可约表示的特征函数，它们是复值函数。而特征标表则展示了一个群的所有特征标。

以下是12阶群的特征标表：

设群G是一个12阶群，它有几个不同的特征标，我们可以逐一计算它们的值。

1.平凡特征标：

群的单位元素的特征标为1，即ε(g)=1，对于群中的所有其他元素g有ε(g)=0。

2.一维特征标：

由于群G是12阶的，根据拉格朗日定理，它有一个正规子群H，其阶数为2、3、4或6，这个子群H是G的唯一正规子群。我们可以以这个正规子群与一个余群N的乘积形式表示整个群G，即G=HN。由于H是正规子群，所以任意两个元素h1和h2属于H，则它们的乘积h1h2也属于H。

正规子群H是一个循环群，根据循环群的性质，它有一个生成元a，其中a的幂次为H的阶p（p为2、3、4或6）的最小公倍数。我们可以利用这个生成元a来定义一个一维特征标φ，它的定义如下：φ(h) = λ，其中h = an，a是生成元，n是群G中除单位元之外的元素。

该一维特征标表示的表示空间是复数域上的一维线性空间。

3.单位特征标：

4.不可约特征标：

群的特征标可以表示为多个不可约特征标的直和。不可约特征标是指在特征标矩阵中不能进一步分解的最小单位。每个不可约特征标表示一个不变的子空间。

关于12阶群的特征标表很长，以下是一个简化的示例表：

群元素单位特征标不可约特征标1 不可约特征标2 不可约特征标

3 ...

e 1 1 1 1 ...

g1 1 λ1λ2λ3...

g2 1 λ1λ2λ3...

g3 1 λ1λ2λ3...

... ... ...... ... ...

需要注意的是，由于12阶群有多种构造方式，其特征标矩阵的形式可能会有所不同。上述特征标表只是一个简化示例，实际的特征标表可能更加复杂。