12阶群的特征标表
特征标121
正交性定理
设D(i)(R)和D( j)(R)是群G的两个ni，nj维的不等价不可 约表示（R代表群G中的任一元）,则有
AP 可约 (gi )
L(gi ) S P AP (gi )
p 1
Hale Waihona Puke q正则表示含不等价不可约酉表示的次数，等于该表示的 维数。
群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为 D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)=
i
a A ( g )
p
p
p, v
v
v
i
av S p ( Av | )
p
p
推论：
1、勃恩赛德（Burside)定理 有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和， 等于群的阶。即
2 2 S12 S2 ... S q n
2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示 化为
i
2,...,q) A ( p 1,是有限群
p
G 的所有不等价不可 g ,..., g ,...g
生成的群函数
1
i
n
A
p
在群
1 p ( ) 函数集｛ A ｝是 的完备基。 是群函数空 ( ) A v g i g s v R G i 间的正交归一基。群G的任意复函数可展为：
p
p
(g )
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群有很多不同的特征标表。
在这个回答中，我将提供一个基于置换群和矩阵群的特征标表。
在给出特征标表之前，让我们先介绍一些必要的定义和结果。
定义1：置换群置换群是由有限个元素构成的群，其中每个元素是一个置换，即一种排列集合中元素的方式。
定义2：矩阵群矩阵群是由具有特定属性的矩阵组成的群，其中这些属性保证了群的封闭性、结合律、单位元和逆元等。
定义3：特征标现在让我们给出一个基于置换群和矩阵群的12阶群的特征标表。
特征标表：```群元素，置换表示，特征标-------------------------------------e，(1)(2)(3)...(12)，1a，(12)，1b，(13)，1c，(14)，1d，(15)，1f，(16)，1g，(17)，1h，(18)，1i，(19)，1j，(110)，1k，(111)，1l，(112)，1m，(12)(34)(56)(78)(910)(1112)，-1n，(12)(36)(48)(510)(712)(911)，a+b+c+d+f+g+h+i+j+k+l o，(12)(38)(44)(57)(69)(1011)，a+b^2+c^2+d^2+f^2+g^2+h^2+i^2+j^2+k^2+l^2p，(12)(310)(46)(512)(79)(811)，a+b^3+c^3+d^3+f^3+g^3+h^3+i^3+j^3+k^3+l^3q，(12)(312)(42)(511)(68)(710)，a+b^4+c^4+d^4+f^4+g^4+h^4+i^4+j^4+k^4+l^4r，(12)(311)(410)(59)(67)(812)，a+b^5+c^5+d^5+f^5+g^5+h^5+i^5+j^5+k^5+l^5s，(12)(39)(412)(58)(66)(711)，a+b^6+c^6+d^6+f^6+g^6+h^6+i^6+j^6+k^6+l^6t，(12)(37)(411)(56)(810)(912)，a+b^7+c^7+d^7+f^7+g^7+h^7+i^7+j^7+k^7+l^7u，(12)(35)(49)(610)(712)(86)，a+b^8+c^8+d^8+f^8+g^8+h^8+i^8+j^8+k^8+l^8v，(12)(33)(512)(611)(76)(89)，a+b^9+c^9+d^9+f^9+g^9+h^9+i^9+j^9+k^9+l^9w，(12)(311)(42)(67)(84)(95)，a+b^10+c^10+d^10+f^10+g^10+h^10+i^10+j^10+k^10+l^10x，(12)(36)(44)(510)(75)(97)，a+b^11+c^11+d^11+f^11+g^11+h^11+i^11+j^11+k^11+l^11y，(12)(34)(56)(78)(912)(1011)，a+b^12+c^12+d^12+f^12+g^12+h^12+i^12+j^12+k^12+l^12```在这个特征标表中，群元素列给出了群的所有元素，置换表示列给出了每个元素对应的置换表示，特征标列给出了每个元素对应的特征标。
特征标表(PPT文档)
RHale Waihona Puke h 12 1 12 2 (1)2 3 6
四.不可约表示的性质
3、对于每一类操作，其特征标的平方乘该类之阶，然后遍 及所有的不可约表示（l），就等于对称操作的总数h：
h g[R (l)]2
l
h 12 2 12 2 12 2 6
四.不可约表示的性质
4、除了全不对称的不可约表示A1外，对于其余每一个不可 约表示，每一类操作的特征标与此类之阶相乘，然后遍及所 有的类求和，其值为零。
对于E不可约表示
h 21 (1) 2 03 0
四.不可约表示的性质
5、任何两个不可约表示（i, j）的相应特征标之积，再乘此类 之阶，其加和为零：
§ 2-2 特征标表
复习：原子轨道
§ 2-2 特征标表 Character Tables
四.不可约表示的性质
1、每个点群中不可约表示的数目与群中对称操作的类的数 目相等。 2、对于每一个不可约表示，每一类操作（R）的特征标（χ） 的平方乘该类之阶（g），然后遍及所有的类求和，就等于此 群之阶（即对称操作的总数h）
也即任意两 个不可约表 示是正交的
12阶循环群的运算表
12阶循环群的运算表
摘要：
1.循环群的定义与性质
2.12 阶循环群的概念
3.12 阶循环群的运算表
4.12 阶循环群的运算规则
5.总结
正文：
一、循环群的定义与性质
循环群是数学中的一个基本概念，它是由一个元素生成的群。
设G 为一个群，a 是G 中的一个元素，如果对G 中的任意元素x，都有a^n*x=x，则称G 为循环群，并称a 为循环群的生成元，n 为循环群的阶。
循环群具有以下性质：
1.循环群的阶为生成元的最小正幂次；
2.循环群中的元素都可以表示为生成元的某个正整数次幂；
3.循环群中的子群只有它本身和单位子群。
二、12 阶循环群的概念
12 阶循环群是指由一个元素生成，且元素个数为12 的循环群。
设G 为一个12 阶循环群，a 为生成元，则G 中的元素可以表示为：{a, a^2,
a^3,..., a^11, a^12}。
三、12 阶循环群的运算表
在12 阶循环群中，元素之间的运算遵循以下规则：
1.a^i * a^j = a^(i+j)，其中i, j 为0 到11 之间的整数；
2.a^i * a^k = a^(i+k)，其中i 为0 到11 之间的整数，k 为0 到11 之间的整数；
3.a^j * a^k = a^(j+k)，其中j, k 为0 到11 之间的整数。
特征标表
对任意 a, b ∈V ，有
并且
∑ a = α ju j j
∑ b = βkuk k
∑ ∑ ⎛
a⋅b = ⎜ ⎝
j
α
j
u
j
⎞ ⎟ ⎠
⋅
⎛ ⎜⎝
k
β k uk
⎞ ⎟⎠
∑ = α j βku j ⋅ uk jk
∑ ∑ =
jk
α jβk
⎛ ⎜⎝
A
ν
A jk
uA
⎞ ⎟⎠
∑ ∑ =
⎛ ⎜
α
j βkν
A jk
⎞ ⎟uA
6
4）第一正交关系（行正交关系）
∑ 1
|G|
ν
nν Χ(α ) (Kν )Χ(β ) (Kν ) = δαβ
(α , β = 1, 2,", q)
α =1 时 Χ(1) (Kν ) = 1 (Kν ∈ KG )
故
（第一行）
∑ nν Χ(β ) (Kν ) = 0
ν
5）第二正交关系（列正交关系）
(β = 2,3,", q)
14
由 12 + s22 + s32 + s42 + s52 = 8
解得 s2 = s3 = s4 = 1
s5 = 2
故 C4v 的类特征标表示及第一行第一列就求出来了
剩下 16 个未知数，由第一，第二正交关系可以建立 16 个方程，只有 8 个 是线性的，
1）τ (2) ，τ (3) ，τ (4) 都是一维的， 特征标就是矩阵元
11
1）τ (2) 是 1 维的， χ (2) (g) 就是矩阵元, 故
所以
(χ (2) (c2′))2 = χ (2) (c2′ ⋅ c2′) = χ (2) (e) ，
12阶群的特征标表
称 子 群 日 与 共 轭 ． 此可 知 群 Ｇ之一 切 子 群 能 分类 ， 属 由 使 于 同类 中的 子 群互 为共 轭 ， 属 于异 类 中 的 子群 互 不 共 轭 ， 这 样 的每 个 类 叫共 轭 子 群类 （ 称 共轭 类 ） 简 ．
定义 ６ ［（ 的 子 集 的正 规 化 子 与 中 心化 子） 设 Ｇ是 ２群 ：
２１ ０ １年 ２月
Ｆ ｂ２ ｅ ．０１ １
１ ２阶群 的特 征标 表
李德 乐
（ 建水 利 电力职 业 技 术 学 院 ， 福 福建 永安 ３ ６ ０） ６０ ０
摘要 ： 通过群的同构分类的观点 ， 了 １ 分析 ２阶群的生成关 系， 再利 用特征标的基本性质一一构造每个群的特征标表 。
由此可知群g之一切子群能分类使属于同类中的子群互为共轭属于异类中的子群互不共轭这样的每个类叫共轭子群类简称共轭类
第 ２ 卷第 １ １ 期
ｖ１ ｏ ．２１ Ｎｏ １ ．
四川职业技术学院学报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＳｃ ｕ ｎ Ｖｏ ａｉｎ ｌａ ｄ Ｔ ｃ ｎｃｌ ｏ ｒａ ｉｈ ａ ｃｔ ａ ｎ ｅ ｈ ｉａ Ｃｏｌｇ ｏ ｏ ｌｅｅ
为 日 在 Ｇ 中的 中 心化 子 ． 定义 ７ 特 征 标 ） （ Ｖ ∈Ｒ（）， Ｇ 定 义 Ｆ 函 （ 设 Ｐ，） Ｆ 在 上 Ｇ 值
关键 词 ：２阶群 ； 成 关 系 ； 标 １ 生 特征
中图分类号 ： ７ ２ Ｇ １
文献标识码 ： Ａ
文献编号 ：６ ２ ２ ９ （ １）１ ０９ － ３ １７ — ０ ４２ １ － ００ ０ ０ ０
群表示论是代数学的一个重要 分支， 它除用于研究群 的
结构 以外 ， 在众 多 的数 学 分支 和 其 他 自然 科 学领 域 中也 有着 重 要 的应 用 ． 对 于 １ 群 的生 成 关 系和 特 征 标 表 零 散 分布 ２阶 在 各 类文 献 中 ，本 文通 过 １ 群 的 生成 关 系 来 构 造其 特 征 ２阶 标表． １主要 定义 与 引理
第1部分第3章 特征标理论(2)
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(2)(七) 不可约表示特征标表的计算 2一, 正交法(1) 将群分类, 并由此可确定类数 C.再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值.从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ).(2) 由维度定理 ( ∑i n i2 = h ) 和不可约表示数定理 ( r = C ),可求得所有不可约表示的维度 { n i },(3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” )和第一列( { n i } )例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 )分类: C1 C2 C3 ( r = C = 3 )由∑i n i2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *D3 E 3C2 2C3 3D1 1 1 1D2 1 a bD3 2 c d(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数正交性定理: ∑C ( h C /h )χi *( C ) χj ( C ) = δij( 行间正交 ) 完全性定理: ∑j ( h m /h ) χi*( C m ) χi ( C n ) = δmn( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2的 a 和 b, 有1 • 1 • 1 + 3 • 1 • a +2 • 1 • b = 0 ( 第1, 2 行正交 )1 + 3 a +2 b = 0 ---------------------------- (13)对于一维(么正)表示, 只有一个矩阵元, 其模为1[ 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? ][ 答案: 不可, 否则不能满足群的封闭性 ] *尝试法: 不妨取 “+1” 或 “-1” ( 其正确性需通过下面的检验 ) 4由 (13) 式可得 a = -1, b = 12, 利用完全性定理确定二维表示D3的 c 和 d,1) 1 • 1 + 1 • a + 2 • c = 0 ( 第 1, 2 列正交 )1 + a + 2c = 0 , 则 c = 02) 1 • 1 + 1 • b + 2 • d = 0 ( 第 1, 3 列正交 )1 + b + 2d = 0, 则 d = -1因此有 D3 E 3C2 2C3D1 1 1 1D2 1 -1 1D3 2 0 -1其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. *5二, 利用商群和母群的同态关系• 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难.• 有时可利用商群Ｇ/ H和大群Ｇ的同态关系G ~ Ｇ/ H ( H为不变子群 )• 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 )• 商群的不可约表示也是大群的不可约表示 [ 提问: 为什么? ] [ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ]• 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标*6例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表 D3群 ( 大群 ) C2群 ( 商群）E, D, F (不变子群 H ) ↔ EA, B, C ↔ C2D3 E D F A B C C2 E C2D1 1 1 1 D1 1 1D2 1 1 -1 D2 1 -1D3 2 a b(1) 由C2 群不可约表示D1 和D2 的特征标可得D3 群不可约表示D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 )(2) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得a = -1,b = 0 *7 [ 思考题: 一般说来, 不可约表示是唯一确定的吗? ][ 答案: 不是, 可作相似变换, 彼此等价 ][ 思考题: 不可约表示的特征标是唯一确定的吗? ][ 答案; 是, 矩阵相似变换特征标不变 ]习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系: S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )S3 : 1C1,3C2 , 2C3 ( h3 = 6 )( 注：要求不用尝试法）*习题: 试用类和法求D2d 群的二维不可约表示特征标. 17已知D2d群的乘积表(可不用)和一维不可约表示特征标为:D2d E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1E E C2 C2x’ C2y’ σd1 σd2 iC4 iC4-1C2 C2 E C2y’ C2x’ σd2 σd1 iC4-1 iC4C2x’ C2x’ C2y’ E C2 iC4 iC4-1 σd1 σd2C2y’ C2y’ C2x’ C2 E iC4-1 iC4σd2 σd1σd1 σd1 σd2 iC4-1iC4 E C2 C2y’ C2x’σd2 σd2 σd1 iC4iC4-1 C2E C2x’ C2y’iC4 iC4 iC4-1 σd2 σd1 C2y’ C2x’ C2 EiC4-1 iC4-1 iC4σd1 σd2 C2x’ C2y’ E C2D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1D2 1 1 -1 -1 1D3 1 1 1 -1 -1D4 1 1 -1 1 -1 *。
三 群论基本知识
C2v群特征表表：
C2v
E C2
A1
11
A2
11
B1
1 -1
B2
Г2φ
1 -1 20
(xz) (yz ) 基
11
z
x2, y2, z2
-1 -1 1 -1 -1 1
Rz xy x, Ry xz y, Rx yz
02
C3v群特征表表：
C2v
E
2C3
A1
1
1
A2
1
1
E
2
-1
3v 1 -1 0
基
z
x2 + y2, z2
x、y、z
分别代表原子的三个坐标以及在轴上的平移运动，由 于px、py、pz轨道的变换性质和偶极矩向量的变换性
质相似，故也可用x、y、z表示
Rq
代表绕q轴进行旋转的转动向量
xy，xz，yz，x2- y2 ，z2
分别代表各个d轨道和判断拉曼光谱活性的极化率的不 可约表示
将原子轨道作为表示的基,并与C2v群的特征标表相对照，可看出Pz轨道在C2v群中按A1 变换，px轨道按B1变换，Py轨道按B2变换，但以点（x、y、z）为基的Г1(xyz)表示在C2v 群的特征标表中并没有出现，说明它是个可约表示。将它转化为不可约表示，需借助约化 公式，即确定第i个不可约表示在可约表示中出现的次数ai的公式
A(BC)=(AB)C，A(B+C)=AB+AC
几种矩阵：
a1
a2
列矢量 {A}= a3
在n维空间中，一个矢量可由一个n×1阶的列矢量所决定。这 个矢量矩阵元素的几何意义和实际空间中的相同，也就是假定 它的一端位于坐标原点，则另一端就给出了矢量的正交坐标（ 例如直角坐标系）。
阶数不超过50的群的分类(跳过16,32,36,48)
1主要用半直积的方法。
p群要按中心非平凡逐渐归纳。
需要用到的会说出自同构群。
未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。
为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。
元素的幂次记为x^n。
每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。
22阶群C2，自同构群平凡群1。
33阶群，素数阶。
C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。
44阶群，素数平方阶，交换。
C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。
S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。
55阶群，素数阶。
C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。
66阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。
平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。
77阶群，p型。
C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。
88阶群，素数幂型或p群。
A)若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。
B)若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。
BA)若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。
Aut(C4)≌C2。
考察同态C2→C2。
BAA)若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。
自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。
Aut(C2xC4)≌D4。
BAB)若y在N上非平凡作用，则G≌D4。
计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。
BB)若y^2=x^2，y^4=x^4=1,因此y是4阶元。
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来，我将介绍12阶群的特征标表。
首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
群论复习资料
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
群的表示与特征标系
为 了 说 明 操 作 改 变 符 号 ， 可 将 C2v 置 于 直 角 坐 标 系 ， 函 数 改 变 符 号 是 指 f(x,y,z)→－f(x,y,z)，不改变符号是指f(x,y,z)→f(x,y,z)。
似变换。如果经过属于群的旋转对称操作能将一个对称平面 移动到另一个对称平面上(即互换了位置)，则这些能相互达到 的对称平面的反映操作属于同一类，如C3v群中的三个的对称 操作属于同一类(NH3分子)。如果经过属于群中的旋转操作或对 称面反映，能将一个二重轴移动到另一个二重轴上，则此两个 二重轴对称操作属于同一类，如D3h群中垂直于C3轴的三个C2 轴的对称操作属于同一类(BCl3分子)。如果群中有对称操作能 使Cn轴的方向倒置，则Cnn－1和Cn1；…；Cnn－i和Cni属于同一 类。
我们将确定某一操作下变换的数称为变换的标或特征标， 特征标是作为点群表示一部分的任何矩阵的迹，矩阵的迹 是它的对角元素的和，对称操作符号上面加一尖帽表示把 它当作算符作用在基上，变换的结果用变换的标与基来表 示，这样 ÊPx=1Px ĉ2Px=－1Px xzPx=1Px yzPx=－1Px 。 在固定对称操作的排列次序后，Px轨道在C2v群中的特征 标为一个有序数组(1 －1 1 －1)，这个有序数组称为特征 标系，而且通常总把它列成表格：
矩阵是一些数字或数字符号的矩形排列，垂直的集合称为列， 水平的称为行，符号aij表示位于第i行第j列的一个元素(又称 矩阵元)，m给出行的数目，n给出列的数目，m和n确定矩 阵的阶。
oh群特征标表
oh群特征标表【正文】群特征标表（Group Feature Matrix），简称GFM，是一种用于描述群体特征的数据结构。
它以矩阵的形式展现群体内个体之间的相互关系，可以帮助我们更好地理解和分析群体性质及其演化规律。
本文将对GFM的定义、构建方法以及应用领域进行探讨，旨在展示其在社会科学、生态学等领域的研究中的重要性和价值。
1. GFM的定义GFM是一种二维矩阵，将群体内的个体标识符（如编号、姓名等）在行和列上进行排列，其中行表示群体中的一个个体，列表示一个特征。
每个单元格内的数值表示相应个体在对应特征上的取值。
不同的特征可以是个体的性别、年龄、职业等，也可以是群体内个体之间的关系（如合作、交流频率等）。
通过这种方式，我们可以直观地把握群体的特征分布情况，发现群体的规律性和特殊性。
2. GFM的构建方法GFM的构建方法因应用领域和研究目的而异。
一般来说，可以通过以下几个步骤来构建GFM：（1）确定研究对象和研究目的：明确研究的群体对象和所关注的特征或关系。
（2）数据收集和整理：收集相关的个体特征数据，并按照一定的规则进行整理，使其适应GFM的格式。
（3）矩阵填充：按照数据整理好的格式，将个体特征数据填充到相应的单元格中。
（4）数据处理和分析：可使用数据分析方法对GFM进行统计分析，进一步挖掘群体内的各种关系和特征。
3. GFM的应用领域GFM在社会科学、生态学等领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：（1）社交网络分析：通过构建GFM，我们能够揭示社交网络中个体之间的关系密切程度、信息传播路径等。
这对于社交网络的结构与演化规律的研究具有重要意义。
（2）人口学研究：利用GFM，可以清晰地展示人口结构和特征的分布情况，如不同地区的人口性别比、年龄结构等。
这有助于人口学家深入了解和预测人口发展趋势。
（3）生态系统分析：通过构建群体动物的GFM，可以反映物种之间的生态关系，如食物链、生态位等。
这对于生态系统的保护与管理具有重要指导意义。
拉曼光谱
A1 1 1 1
A2 1 1 -1
E 2 -1 0
Ⅰ
Ⅱ
Z Rz
(x,y)(Rx,Ry)
Ⅲ
x2-y2,z2
(x2-y2,xy) (xz,yz)
Ⅳ
这里的C3v点群为列，说明点群特征标表中有关 符号的意义。
区域I最上面的C3V是点群圣弗利斯符号，下面是 不可约表示的符号 ，首先由穆利肯引入，因此叫 做穆利肯符号，意义如下：
振动模的对称性分类
现在讨论如何把一个实际分子的振动与上述分子点群的 特征标表联系起来，要点如下
1) 一个分子的振动可以分解为若干个简单的振动， 即以简正坐标所代表的简正振动。每一个简正振 动代表分子以相同频率，相同位相的集体振动。
2) 尽管一个分子对称点群的表示可以有无穷多 个，但不可约表示是唯一的。可以选取任何一组完 整的函数或失量作为基失写出群的一个表示，然后 通过相似变换约化到不可约表示。当讨论分子振动 问题时，简正坐标可以作为该分子所属对称群不可 约表示的基矢。这样，通过简正坐标就把分子的简 正振动模和点群的不可约表示联系起来。
称元素的分类，对称元素前面的数字表示该类对
称元素所包含的对称操作的个数。下面每一行的
数字代表属于每一种不可约表示的特征标。可以
看出，一个的点群不可约表示的数目等于该群分
类的数目，例如C3V点群有三类对称元素，三种 不可约表示，每个不可约表示代表着一个简正振
动频率。
区域Ⅲ中x，y，z表示坐标，Rx，Ry，Rz则表示 绕x，y，z轴的转动。它们所处的位置表明它们 所属的不可约表示。坐标的一次函数所属不可约 表示是红外活性的，坐标的二次函数所属不可约 表示是拉曼活性的 。
十二 群表示特征标
对于任何一个分子，都具有特定的对称性和 对称操作，对称操作的完整集合，满足数学群的 四条准则，构成一个群。
特征标表
对于E不可约表示 对于 不可约表示
h = 2 ×1 + (−1) × 2 + 0 × 3 = 0
四.不可约表示的性质
5、任何两个不可约表示（i, j）的相应特征标之积，再乘此类 、任何两个不可约表示（ ）的相应特征标之积， 之阶，其加和为零： 之阶，其加和为零：
也即任意两 个不可约表 示是正交的
§ 2-2 特征标表
复习： 复习：原子轨道
§ 2-2 特征标表 Character Tables
四.不可约表示的性质
1、每个点群中不可约表示的数目与群中对称操作的类的数 、 目相等。 目相等。 2、对于每一个不可约表示，每一类操作（R）的特征标（χ） 、对于每一个不可约表示，每一类操作（ ）的特征标（ ） 的平方乘该类之阶（ ），然后遍及所有的类求和， ），然后遍及所有的类求和 的平方乘该类之阶（g），然后遍及所有的类求和，就等于此 群之阶（即对称操作的总数h） 群之阶（即对称操作的总数 ）
∑ g[ χ ( R)]
i R
2
=h
h = 12 × 1 + 12 × 2 + (−1) 2 × 3 = 6
四.不可约表示的性质
3、对于每一类操作，其特征标的平方乘该类之阶，然后遍 、对于每一类操作，其特征标的平方乘该类之阶， 及所有的不可约表示（ ），就等于对称操作的总数h： ），就等于对称操作的总数 及所有的不可约表示（l），就等于对称操作的总数 ：
h = ∑ g[ χ R (l+ 12 × 2 + 12 × 2 = 6
四.不可约表示的性质
4、除了全不对称的不可约表示A1外，对于其余每一个不可 、除了全不对称的不可约表示 外 约表示，每一类操作的特征标与此类之阶相乘， 约表示，每一类操作的特征标与此类之阶相乘，然后遍及所 有的类求和，其值为零。 有的类求和，其值为零。
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12阶群的特征标表
特征标是指一个群在其自身上的不可约表示的特征函数，它们是复值函数。
而特征标表则展示了一个群的所有特征标。
以下是12阶群的特征标表：
设群G是一个12阶群，它有几个不同的特征标，我们可以逐一计算它们的值。
1.平凡特征标：
群的单位元素的特征标为1，即ε(g)=1，对于群中的所有其他元素g有ε(g)=0。
2.一维特征标：
由于群G是12阶的，根据拉格朗日定理，它有一个正规子群H，其阶数为2、3、4或6，这个子群H是G的唯一正规子群。
我们可以以这个正规子群与一个余群N的乘积形式表示整个群G，即G=HN。
由于H是正规子群，所以任意两个元素h1和h2属于H，则它们的乘积h1h2也属于H。
正规子群H是一个循环群，根据循环群的性质，它有一个生成元a，其中a的幂次为H的阶p（p为2、3、4或6）的最小公倍数。
我们可以利用这个生成元a来定义一个一维特征标φ，它的定义如下：φ(h) = λ，其中h = an，a是生成元，n是群G中除单位元之外的元素。
该一维特征标表示的表示空间是复数域上的一维线性空间。
3.单位特征标：
4.不可约特征标：
群的特征标可以表示为多个不可约特征标的直和。
不可约特征标是指在特征标矩阵中不能进一步分解的最小单位。
每个不可约特征标表示一个不变的子空间。
关于12阶群的特征标表很长，以下是一个简化的示例表：
群元素单位特征标不可约特征标1 不可约特征标2 不可约特征标
3 ...
e 1 1 1 1 ...
g1 1 λ1λ2λ3...
g2 1 λ1λ2λ3...
g3 1 λ1λ2λ3...
... ... ...... ... ...
需要注意的是，由于12阶群有多种构造方式，其特征标矩阵的形式可能会有所不同。
上述特征标表只是一个简化示例，实际的特征标表可能更加复杂。