论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系

本科生代数论文课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系班级：2011级应用数学班姓名：xx学号：xxxxxxxx专业：xxxxxxxxxxx学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。

从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。

本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。

经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。

一．陪集的引入定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。

则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。

而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。

左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。

⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。

即有：c（H∩K）=cH∩cK。

定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。

而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。

同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。

则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。

例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。

则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。

定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。

定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。

推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。

例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。

例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ▪3。

定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。

二．自同构群的定义定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====即στ也是M 的一个自同构。

这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。

群的定义的第3条成立。

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，群的定义的第1、2条也成立。

所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

这个群叫作群G 的自同构群，记作A u t G 。

由上面，如果||G n =，则A u t n G S ≤。

例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。

解 4A u t K σ∀∈。

由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。

又由于σ是双射，因此()()()eabcea b c σσσσ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。

每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。

例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构:()()()()ab c c ba a b σσσσ====,()()()()ac b a bc a c σσσσ====, .由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43A u t K S ≅。

2.循环群的自同构群定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。

证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。

因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。

例如，设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的正整数时，ka 也是G 的生成元，即k G a =<>。

此时，令:k G G σ→，()kk a a σ=，则有()iikk a aσ=，且i ja a≠时，()()i jk k a a σσ≠，()()()()()iji ji j kik jki jk k k k a a aaa aa a σσσσ++⋅====，即k σ是G 的自同构。

由于无限循环群只有2个生成元，n 阶循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。

例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。

解 (4)2ϕ=，两个生成元为3,a a ，从而{},A u t G εσ=，其中2323e a a a e aaa ε⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭是恒等置换，2332e a a a e aaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。

（2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。

(5)4ϕ=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,A u t G εσσσ=，其中，ε是恒等置换，2341243ea a aa eaaa a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭， 2342342ea aa a e aaaa σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，2343432e a a a a e aaaa σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭。

推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。

证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。

3. 内自同构群定理3 设G 是一个群，a G ∈，则（1）1:,()a x axa x G σ-→∀∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构； （2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为In n G ； （3）In n A u t G G 。

证明 （1）易知aσ是G 的一个双射变换。

又111()()()()()()a a a xy a xy a axaayax y σσσ---===，所以aσ是G 的一个自同构。

（2）设aσ与bσ是G 的任何两个自同构，则x G ∀∈，1111()(())()()()()()a b a b a ab x x bxb a bxb aab x ab x σσσσσσ----=====， 即有ab abσσσ=仍是一个内自同构，此表明In n G 关于变换的乘法封闭。

又易知()11In n a aG σσ--=∈，且eσε=是幺元，结合律显然成立，所以In n G 关于变换的乘法作成一个群。

（3）,A u t In n aG G τσ∀∈∀∈，x G ∀∈。

令1()x y τ-=，即()y x τ=，则1111()()()()()()()()()()a a a x y ayaa y aa x a x ττσττσττττττσ----=====， 由x 的任意性有1()In n a a G ττστσ-=∈，所以In n A u t G G 。

注意：设N G ，则a G ∀∈有1aN aN -⊆，即()a N N σ⊆，亦即N对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子群有此性质，则它必是G 的正规子群。

这就是说，G 的正规子群就是对G 的任何内自同构都保持不变的子群：,()In n N G G N N σσ⇔∀∈⊆ 。

因此，也常称正规子群为不变子群。

群的中心： 称(){|,}C G a ax xa x G ==∀∈为群的中心，即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。

根据中心的定义，显然有()C G G 。

三、有关群的定理定理1 设H 是群G 的一个子群，如果H 对G 的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射φ都有φ（H ）∈H， 则称H 为群G 的一个全特征子群。

定理2 对群G 的所有自同构都不变的子群，亦即对G 的任何自同构ε都有 ε（N ）∈N的子群N ，叫做G 的一个特征子群。

定理3 设N 是群G 的一个子群，如果对G 中每个元素a 都有 aN=Na,则称N 是群G 的一个正规子群。

定理4 设群G 的子群H 由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H 为G 的一个有限子群。

例1：H≦G，且H 有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H 为G 的一个有限子群。

四、讨论全特征字群，特征子群，正规子群间的关系证明：①因为G与e都是G的特征子群，特征子群一定是正规子群显然反之不成立。

例如，由于Klein四元群是交换群，它的每个子群都是正规子群，因此由已知可得N={e,a}是Klien的一个正规子群，但它不是Klien的特征子群。

是Klien的一个自同构，然而却有θ（N）={e,b}≠N②同理G与e都是群G的全特征子群，显然。

且全特征子群一定是特征子群显然。

反之不成立。

例如：群G的中心C是G的一个特征子群。

证明：任取c∈C，x∈G, θ∈AutG,则θ（c）x=θ（c）[θ（θ（x））]= θ[cθ(x)]=θ[θ(x)c]=θ[θ(x)]θ(c)=xθ（c）即θ（c）∈C, θ（c） C,即C是G的一个特征子群。

但应注意，群的中心不一定是全特征子群。

例如：有理数域Q上的2阶线性群G=GL（Q）的中心（Q上所有2阶纯量矩阵）不是全特征子群。

证明：任取A∈G,即A为有理数域Q上一个2阶满稚方阵，则ㄧAㄧ是个有理数。