论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系

本科生代数论文

课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系

班级：2011级应用数学班

姓名：xx

学号：xxxxxxxx

专业：xxxxxxxxxxx

学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx

摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。

一．陪集的引入

定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。

左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。

⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H

⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH

⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H）

⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH

定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。

即有：c（H∩K）=cH∩cK。

定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。

同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。

例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。

定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。

定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。

推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。

例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ▪3。

定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。

二．自同构群的定义

定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的

全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设

,στ

是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有

()[()][()()](())(())()()

ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ∀∈有1

1

()()x x x σσ

σ

σ--==，故

1

1

1

1

1

1

1

1

1

()[()()][(()())]()()

ab a b a b a b σσ

σσ

σσσσσ

σ

σ

σ

---------=⋅==

即1

σ

-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，

群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作

A u t G 。由上面，如果||G n =，则A u t n G S ≤。

例1 求Klein 四元群

{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。

解 4A u t K σ∀∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ

是双射，因此()()

()e

a

b

c

e

a b c σσσσ⎛⎫

=

⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设

(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构:

()()()()ab c c ba a b σσσσ====,

()()()()ac b a bc a c σσσσ====, .

由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，

43A u t K S ≅。

2.循环群的自同构群

定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ϕ 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。 因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如，

设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的正整数时，

k

a 也是G 的生成元，即k G a =<>。此时，令

:k G G σ→，()k

k a a σ=，则有()i

ik

k a a

σ=，且i j

a a

≠时，

()(

)i j

k k a a σσ≠，

()()()()()i

j

i j

i j k

ik jk

i j

k k k k a a a

a

a a

a a σσσσ++⋅====，

即k σ是G 的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n 阶循环群只有()n ϕ个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ϕ阶的群。

例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。

解 (4)2ϕ=，两个生成元为3

,a a ，从而{},A u t G εσ=，其中

2

32

3e a a a e a

a

a ε⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝

⎭是恒等置换，2

3

3

2

e a a a e a

a

a σ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝

⎭

。 （2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。

(5)4ϕ=，4个生成元为234

,,,a a a a ，从而{}123,,,A u t G εσσσ=，