2013高考数学(理)一轮复习课件：1-3

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【2013年高考会这样考】 1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用 “或”、“且”、“非”表述相关的命题． 2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学 内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【复习指导】 复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑 联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方 法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度 中档偏下．
1 c ＜c＜1 2 ；(9分) ＝∅.(11分) 1 cc＞ 且c≠1 2
＝
1 ②当p假，q真时，{c|c＞1}∩c0＜c≤2 1 综上所述，实数c的取值范围是c2
解
1 2 (1)綈p：∃x0∈R，x0－x0＋ ＜0，假命题． 4
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．
(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的 区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量 词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结 论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1
D．綈p：∀x∈R，sin x>1
解析 命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 答案 C
2．(2011· 北京)若p是真命题，q是假命题，则( A．p∧q是真命题 C．綈p是真命题
)．
B．p∨q是假命题 D．綈q是真命题
解析 本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生 对逻辑联结词的理解运用能力．只有綈q是真命题．
此时m≤－2；
此时－1≤m＜3.
∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．
单击此处进入
活页限时训练
解得m≥3；
解得1＜m≤2.
∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或 两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑 联结词的命题成立的条件．
【训练3】 已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增； 命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假， p或q为真，求a的取值范围． 解 ∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1. 不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立， ∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. ∵“p∧q”为假，“p∨q”为真， ∴p、q中必有一真一假．
a＞1， ①当p真q假时， a≥4，
得a≥4.
0＜a≤1， ②当p假q真时， 0＜a＜4，
得0＜a≤1.
故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题
【问题研究】 利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉 及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定 参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围. 求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出 现漏解或增解的现象. 【解决方案】 解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关 性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不 等式求得所求问题.
q”为真，确定p，q的真假．
[解答示范]
∵函数y＝cx在R上单调递减，
∴0＜c＜1.(2分) 即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1.(3分)
又∵f(x)＝x
2
1 －2cx＋1在2，＋∞上为增函数，
1 1 ∴c≤ .即q：0＜c≤ . 2 2
1 ∵c＞0且c≠1，∴綈q：c＞ 且c≠1.(6分) 2 又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．(7 分) ①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩
5 【训练1】 已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝ 2 ；命题q：∀x ∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论 ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“綈p∨綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题； ④命题“p∨綈q”是假命题． 其中正确的是( A．②③ C．③④ 解析 答案 C )． B．②④ D．①②③
至少
有一个”“有
3．全称命题与特称命题 (1)含有 全称 量词的命题叫全称命题． (2)含有 存在 量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定 (1)全称命题的否定是特称 命题；特称命题的否定是全称 题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q . 命
一个关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、 交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解 答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．
考向二 全称命题与特称命题 【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假． 1 (1)p：∀x∈R，x －x＋4≥0；
2
(2)q：所有的正方形都是矩形；
2 (3)r：∃x0∈R，x0＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x3＋1＝0. 0 [审题视点] 题的真假． 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命
基础梳理 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“
且
”“或”“ 非 ”叫做逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
p 真 假 真 假
q 真 真 假 假
p∧q 真 假 假 假
p∨q 真 真 真
綈p
假 真 假 真
假
2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任 给”“ 所有的 ”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“ 些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀ ”表示；存在量词用符号“∃ ”表示．
A．p、q中至少有一个为真 C．p、q中有且只有一个为真 答案 C
5．(2010· 安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定 是______________________． 答案 存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 【例1】►(2010· 新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上 为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1： p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命
解
Δ ＝m2－4＞0， 1 由p得： －m＜0，
则m＞2.
由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 则1＜m＜3. 又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．
m＞2， ①当p真q假时， m≤1或m≥3， m≤2， ②当p假q真时， 1＜m＜3，
答案 D
3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必 要条件．命题q：函数y＝ |x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪ [3，＋∞)则( )． B． 答案 D
4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假” 的充要条件是( )． B．p、q中至少有一个为假 D．p为真、q为假
(2)綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈q)．
三条规律 (1)对于“p∧q”命题：一假则假； (2)对“p∨q”命题：一真则真； (3)对“綈p”命题：与“p”命题真假相反．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则 ( A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1 )．
B．綈p：∀x∈R，sin x≥1
[尝试解答]
Δ ＝4m2－4＞0， 1 由 x1＋x2＝－2m＞0，
得m＜－1.
∴p：m＜－1； 由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0， 知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3. 由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，
m＜－1， 当p真q假时， m≥3或m≤－2， m≥－1， 当p假q真时， －2＜m＜3，
考向三 根据命题的真假，求参数的取值范围 【例3】►(2012· 浙大附中月考)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无 实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取 值范围． [审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p 或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从 而求出m的取值范围．
【训练2】 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，x不是3x－5＝0的根； (2)q：有些合数是偶数； (3)r：∃x0∈R，|x0－1|＞0. 解 (1)綈p：∃x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命题．
(2)綈q：每一个合数都不是偶数，假命题．
(3)綈r：∀x∈R，|x－1|≤0，假命题．
【示例】► (本题满分12分)已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R 上单调递减；q：函数f(x)＝x －2cx＋1在
2
1 ，＋∞ 2
上为增函数，若
“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围． (1)p，q真时，分别求出相应的c的范围；(2)用补集的思想 求出綈p，綈q分别对应的c的范围；(3)根据“p∧q”为假、“p∨
＜c＜1.(12分)
解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应 的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的基本运 算． 【试一试】 设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q： 方x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假 的实数m的取值范围．
两类否定 1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题 全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈