第4章 基本形体的投影

a’
d’
e’
● ●
a’’
d’’
●
e’’
● ●
d
● (e)
c
a●
●
b
2
棱锥
棱锥的底面为多边形， 各侧面为若干具有公共顶点 的三角形，该点称为锥顶。 从锥顶到底面的距离叫做锥 高。当棱锥底面为正多边形 ，各侧面是全等的等腰三角 形时，称为正棱锥。如图3-5 （a）所示是一个正三棱锥的 立体图
Hale Waihona Puke Baidu
(1) 棱锥的投影：
P53
例:如图3-7所示，已知三棱锥的棱面△SAC上点M的水 平面投影m和棱面△SAB上点N的正面投影n'，求作M、 N两点的其余投影。
① 求点M：求点M 的作图方法和步骤 如图所示。由于点 M所属棱面△SAC 的V面投影看不见， 所以其正面投影不 可见，写成（m'）。
② 求点N：求点N有两种作辅助线的方法，具体作图方 法和步骤如图所示。由于点N所属棱面△SAB在H面和W面 上的投影是可见的，所以点n和n"也是可见的。
a
b
c c
a(c)
●
●
b
A
B
C
a
s
b
棱锥的投影特性：
正面投影由3个三角形组成，均不反映实形。底边a b c是底面△ABC的投影（积聚投影）。 s s S
a
A
B
C
b
c c
a(c)
●
●
b
a
s
b
棱锥的投影特性：
侧面投影是一个三角形，是左右两个侧面的投影，不反 映实形。后侧面△ SAC积聚为一条直线s a(c)，底面 s s 积聚为a(c) b。 S
轴线
素线
纬圆
（a)圆锥体形成立体图
(b)圆锥体投影直观图
圆锥的投影特性
水平投影是一个圆，它是圆锥面和底面的重合投影， 反映底面的实形，圆心是锥顶的投影
——当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面 的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性 法。 3. 位于一般位置平面上的点(辅助线法) ——当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无 积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上 做辅助线(辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线)，求出 辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法。
铅垂面
侧垂面
c 一般位置平面的识读：三框定一般平面。3个投影均为 平面图形
a’
c’ b’ X a b c YH Z a’’ c’’ b’’ YW
o
第4章 基本形体 的投影
4.1 基本形体 的投影图
重点
4.2 基本形体 的截切
4.3 基本形体 的尺寸标注
难点
【教学目标】
1 熟练掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的投影特点， 并能画出基本形体的投影，能求出其表面上 的点和线的投影
4
1′


4″ 1″


3

(2)

2″

3
利用投影 的积聚性
O
2 1


A 4

3

O1 A1
例4-2 已知圆柱的三面投影及其表面上过1、2、3、4 点的曲线（不是直线）在正面上的投影，求该曲线的 水平投影和侧面投影 分析：由于4个点及 直线都在圆柱面上， 因此可以用圆柱面 水平投影的积聚投 影，先做出水平投 影，再“二补三” 做侧面投影
a 注
利用表面投影的积聚性求点。
例：已知圆柱面上两点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′） ，求作其余两面投影。
(2') 1' (2")
分析：圆柱面上的点，利用 投影积聚性求出一面上的投 影，利用“三等”关系求另 一面上的投影；特殊素线上 的点，可直接利用素线求出。
1
1"
2
圆柱体的投影
练习：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求 其它两面投影。
作图过程：
P56
特别提示
对于曲面立体表面的线，首先 要判断是直线还是曲线，某些 投影面上可能为直线。在求曲 面立体上的线时，应多求一些 点，然后圆滑连接
练习：已知圆柱表面的曲线ABC的V面投影,完成H、W投影
c
1
c
1
a
b
a y
b
b
1
y
a
c
2.圆锥体
1） 圆锥的投影
圆锥体——一直线绕与它相交的轴线回转而成。由圆锥面和底 面圆围成，圆锥面上所有素线均交于锥顶。
正面投影是两个长方形， 可看作是左右两个侧面的 投影，但均不反映实形。 两个长方形的外围线框构 成一个大的长方形，是后 侧面的投影（不可见）， 反映实形。上下底面的积 聚投影是最上和最下面的 两条横线。3 条竖线是3 条棱线的投影，反映实长 。
侧面投影是一个长方形，它 是左右两个侧面的重合投影 （左面可见、右面不可见） ，均不反映实形。上下底面 的积聚投影是最上和最下的 两条横线，后侧面的投影积 聚在长方形的左边上，它同 时也是左右两条侧棱的投影 。前面的侧棱的投影是长方 形的右边
例：作三棱柱的正面投影，并作出三棱柱表面上的点A、B、C、 D、E的另两投影。 a’ a’’ c’
c’’ e’
b’ d’’(e’’)
d’
b’’
a(b) d c e
六棱柱表面上取点
在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同， 关键是利用可见性判断该点所在的平面，然后利用积 聚性或辅助线求出 。
直观图
将三棱锥置于三投影面体 系中，使其底面平行于H 面，后棱面垂直于W面。
其一个投影为多 边形，另外两个投影 轮廓线为三角形。
棱锥的投影特性：
水平投影由4个三角形组成，分别是三棱锥的4个面形成的， 其中三个小的三角形是由三个侧面形成的，均不反应实形； △abc是地面△ABC的投影，因为ABC是水平面，所以它的投影 △ abc反映实形 s s S
1.圆柱体
圆柱面可以看成是由一直线段绕与它平行的轴线回转而 成，圆柱体的表面是由圆柱面和上、下底面围成的。
轴线 纬圆 素线
（a)圆柱体形成立体图
(b)圆柱体投影直观图
1）圆柱的投影
圆柱投影特性：
水平投影为一个圆， 是上下两面的重合 投影，反应实形， 它同时也是圆柱面 的投影（积聚投 影）。
正面投影为一个矩形， 是前半个圆柱面和后 半个圆柱面的重合投 影，上下两条线是上 下两个底面的积聚投 影，左右两竖线是圆 柱最左和最右两条轮 廓素线的投影，这两 条素线的水平投影积 聚为两个点，在侧面 投影中与轴线的投影 重合。
(b)投影
(2) 在棱锥表面上取点
S
s (g ) n a a b m e c ac
s g
(m) n b
(G) A
M C B E
g
s m n b e
c
注辅助线法 线上定点法
练习：已知棱面△SAB上点M的正面投影m‘和棱面△ SAC上点N的水平投影n，求作M、N两点的其余投影。 作图:利用积聚性或表面取点。
建筑工程制图与识图
建筑工程系 付媛洁
各种位置直线投影图的识读
a'
1. 投影面平行线的识读： 仅有一个投影倾斜于 投影轴，且平行于该 X 投影面； a
b'
Z
a''
b''
O
YW
b
2. 投影面垂直线的识 读：有一个投影积聚 为一个点，垂直于积 聚投影所在的投影面
a' X a
b'
Z O
YH a“(b” ) YW
A
B
C
a a
b
c c
a(c)
●
●
b
s
b
分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。底面为水平面，后 侧棱面为侧垂面，左、右侧棱面是一般位置平面。 作图：(1)作底面的投影；(2)作锥顶的投影；(3)连接锥顶和 顶点。 "
作图:
s′
s
a′
a" " c′ (c ) b′ c s
b"
a
b
(a)直观图
练习：三棱锥表面上取点Ⅰ
r
1
11
r
R
Ⅰ
1
练习：三棱锥表面上取点Ⅲ
(3)
3
(Ⅲ)
3
练习：三棱锥表面上取点Ⅱ
2 2
Ⅱ
2
补出挡土墙的水平投影及其表面上点的投影。
a c b c a b a (c) b A
B
4.1.2 曲面立体的投影
• 曲面的形成：一条线运动的轨迹。 • 回转曲面的形成：由一条母线（直线或曲线） 绕一条固定的直线（轴）旋转所形成的曲面。 •构成回转曲面的要素：母线和轴。 母线：运动的线（一个曲面上只有一条）。 素线：母线的任何一个位置的轨迹（无数条） 或者说某个位置的母线。 纬圆：垂直于轴线的平面与曲面相交的圆。 •注：曲面无棱线
e
b
A ab e
已知棱柱表面的点A的投影(a’)，求其它两面投影。
(a)

a

a


a
已知棱柱表面的点B、C的投影b’、c，求其它两面投影。
C′

C″
(b )


b
b

c

作六棱柱的水平投影，并作出六棱柱表面上的折线 ABCDE的另两投影。 c’’ b’’ b’ c’
● ●
b
YH
3. 一般位置直线的识读：有两个投影倾斜于投影轴
Z b” O YW
a’ b’ X b
a
a”
YH
各种位置的平面投影图的识读
a 投影面平行面的识读：一框两线，框在哪面，平行哪面。 3个投影中有1个投影积聚为平行于投影轴的直线，平行于 非积聚投影所在的投影面
水平面
侧平面
b 投影面垂直面的识读：两框一线，线在哪面，垂直哪面。 3个投影中有1个投影积聚为倾斜于投影轴的直线，垂直于 积聚投影所在的投影面
（1）
三棱柱的投影2 a b
a
b
c c c
a b
A B
C 一个投影积聚且反映底 （顶）面实形，另外两 投影由长方形组合而成。
(2)
六棱柱的投影
正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱 柱的顶面、底面为水平面，前后两面为正平面，其余 侧棱面为铅垂面。
作图:
(b)投影图 (a)直观图
上下面为水平面（三角形） 三棱柱
后面为正平面（长方形） 左右面为铅垂面（长方形） A
B C
4.1.1 平面立体的投影
（1）
三棱柱的投影1
水平面投影是一个三角形，从形 体的平面投影的角度看，它可以 看作上下底面的重合投影（上底 面可见、下底面不可见），并反 映实形，也可以看作3 个垂直于H 面的3 个侧面的积聚投影。从形 体的棱线投影的角度看，可看作 上底面的3 条棱线和下底面的3 条棱线的重合投影，3 条侧棱的 投影积聚在三角形的3 个顶点上 。
2 掌握基本形体截交线形状，能作出基本形体截交线， 能判断基本形体被一个被或几个平面截切的截交线 3 熟悉基本形体的标注
【教学目标】
重点：基本形体的投影 难点：基本形体的截交线
§4 －1
基本形体的投影图
基本几何体是由点、线、面等几何元素所构成，体的 投影归根到底是点、线、面投影的综合。 棱柱 棱锥 基本形体 圆柱 圆锥 圆球 曲面立体：由曲面或曲面与平面共同 围成的立体。
侧面投影为一个矩形， 是左半个圆柱面和右 半个圆柱面的重合投 影，上下两条线是上 下两个底面的积聚投 影，左右两竖线是圆 柱最后和最前两条轮 廓素线的投影，这两 条素线的水平投影积 聚为两个点，在正面 投影中与轴线的投影 重合。
O
圆柱的三面视图作法：
A
O1 A1
2）圆柱表面上取点
B
a
a
A b
六棱柱的投影特性：
将正六棱柱底面平行 于H面，前后两棱面 平行于V面放置。 在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面； 前后两侧棱面是正平 面，其余四个侧棱面 是铅垂面。
其一个投影为多边形， 另外两个投影轮廓线 为矩形。
(3)
棱柱上取点
1、位于棱线或边线上的点(线上定点法) ——当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上 点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定 点法，亦可称为从属性法。 2. 位于特殊位置平面上的点(积聚性法)
已知六棱柱侧表面ABCD上点M的V面投影m ′ ，求该点的 H面投影m和W 面投影m″。
a′
b′ m c′
m
d′
a (d ) m b (c )
投影图
点的可见性判别：
若点所在平面的投影可见，点的投影可见； 若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。
已知四棱柱表面的折线ABCD的V面投影,完成H、W投影。 c (c) e b C a c a E B
s′ s"
m′
(n′)
n" a" " c′ (c )
m"
a′
b′ n c
b"
a m
s
b
（a)直观图
(b)投影
方法二：
过点M引平行于底边AB的平行线M，也可求得点 m和m″。
s′ s"
m′
a′ c′ b′ a m a"(c")
m" b"
n
s
c
b
例4-1 如图所示，已知三棱锥表面上的点1和点2的水 平投影，要求作出它们的正面投影和侧面投影
平面立体：由平面图形围成的立体。
4.1.1 平面立体的投影
1
棱柱
有两个相互平行的表面，其他面均为四边形，并且相邻两 四边形的公共边都相互平行，这些平面所围成的基本形体 称为棱柱。
顶点 顶面
侧面 （棱面）
侧棱 （棱线）
A B
C
底面
底边
棱柱分类：
直棱柱——侧棱都与底面垂直，则形成直棱柱。
斜棱柱——侧棱与底面不垂直则形成斜棱柱。 正棱柱——顶面和底面为正多边形的直棱柱。