第五章 概率与统计的数学实验

第四章 概率与统计的数学实验

概率论与数理统计是数学的一个重要分支，其问题的求解也很重要。MATLAB 语言提供了专用的统计学工具箱，其中包括大量的函数，可以直接求解概率论与数理统计领域中的问题。

5.1 概率计算基本命令

5.1.1 常见分别的概率密度函数与分布函数

Poisson 分布:Poisson 分布的概率密度是参数为λ的函数，且λ是正整数，

即 (),0,1,2,3,...!

x

x p x e x x λλ-==。可以用(),()p o i s s p d f p o i s s c d f 函数分别求出Poisson 分布的概率密度函数和分布函数，它们的调用格式为：(,)y poisspdf x λ=和(,)F poisscdf x λ=。其中，x 为选定的一组横坐标向量，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。

正态分布:可以分别调用下面的命令生成正态分布的概率密度函数和分布函数 (,,)y normpdf x μσ= 和(,,)F normcdf x μσ=。其中，x 为选定的一组横坐标向量，μ为均值，σ为标准差，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。

2χ分布:可以分别调用下面的命令生成2

χ分布的概率密度函数和分布函数 2(,)y chi pdf x k =和2(,)F chi cdf x k =。其中，x 为选定的一组横坐标向量，k 为正整数，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。以下的概率密度函数和分布函数中的x ，k ，y ，F 。

T 分布:概率密度函数和分布函数：(,)y tpdf x k =和(,)F tcdf x k =。

F 分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y fpdf x a b =和(,,)F fcdf x a b =。,a b 为参数。 二项分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y binopdf x n p =和(,,)F binocdf x n p =。 指数分布:概率密度函数和分布函数: exp (,)y pdf x λ=和exp (,)F cdf x λ=。其中μ 为均值，σ为标准差。

均匀分布: 概率密度函数和分布函数:(,,)y unifpdf x a b =和(,,)F unifcdf x a b =。其中μ为均值，σ为标准差。

例1 分别画出2(,)μσ为(1,1),(0,1),(0,9)-时的正态分布的概率密度函数和分布函数。 解 M-文件为

x=[-3:0.01:3]';y1=[];y2=[];mu=[-1,0,0];

sig1=[1,1,9];sig2=sqrt(sig1);

for i=1:length(mu)

y1=[y1,normpdf(x,mu(i),sig2(i))];

y2=[y2,normcdf(x,mu(i),sig2(i))];

end

plot(x,y1),figure;plot(x,y2)

执行后结果为

概率密度函数

分布函数

5.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数

由随机变量的分布函数可以计算相应的概率问题。 分布函数按{}()P x F x ξ≤=定义，由此可以得到一些常用且重要的公式，如：{}()()P a b F b F a ξ≤≤=-， {}1()P x F x ξ≥=-。

例2 假设随机变量(2,16)X N ，求该随机变量落入区间{14},{2}P X P X ≤≤≥。 解 MATLAB 命令为

>> mu=2;sig=16;

>> p1=normcdf(4,mu,sig)-normcdf(1,mu,sig)

>> p2=1-normcdf(2,mu,sig)

例3 设二维随机变量(,)ξη的联合密度函数为

2,01,02(,)30,

xy x x y p x y otherwise ?+≤≤≤≤?=???， 求11{,}22P ξη<<。

解 MATLAB 命令为

>> syms x y;

>> f=x^2+x*y/3;

>> p=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2) %通过对概率密度函数积分计算相应概率

5.2 基本统计命令及其使用

5.2.1 随机变量的均值和方差

若已知离散型随机变量的分布律，可用求和命令或级数知识计算出期望和方差；若已知连续型随机变量的密度函数，可用积分命令求出均值和方差。

若已知一组随机变量样本数据构成的向量，则可以分别使用以下MATLAB 命令求出随机变量的均值和方差：

()m mean x = %求样本均值

1var()s x = %求样本方差

2()s std x = %求样本标准差

例4 试生成一组3000个正态分布随机数，使其均值为0.5，标准差为1.5，试分析这些

数据实际的均值，方差和标准差。

解 先用命令(,,,)p normrnd

m n μσ=生成一组均值为μ，标准差为σ的正态分布m n ?矩阵。

MATLAB 命令为

>> p=normrnd(0.5,1.5,3000,1); %生成正态分布随机数

>> [mean(p),var(p),std(p)]

ans =

0.5037 2.3230 1.5242

即这组数据的实际均值为0.5037，方差为2.323，标准差为1.5242，与理论值比较接近。

多个随机变量的协方差矩阵，可用以下命令求出

cov()C X =，其中X 的各列均表示不同的随机变量的样本值。

例5 试生成4个满足标准正态分布的随机变量，并求出它们的协方差矩阵。

解 MATLAB 命令为

>> p=randn(3000,4); %矩阵p 的4列即为4个标准正态分布随机变量

>> cov(p)

5.2.2 参数估计和区间估计

MATLAB 工具箱中提供了由极大似然法给出相应参数估计的命令：

2

[,]()normfit x μσ= %该命令给出正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，2,μσ 分别为参数期望和方差的估计值。

22

[,,,](,)normfit x μσμσα??= %该命令给出置信度为100(1)α-的正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，22,,,μσμσ?? 分别为参数期望和方差的估计值以及它们的置信区间。 ()poissfit x λ= %该命令给出Poisson 分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，λ 参数的估计值。

[,](,)poissfit x λλα?= %该命令给出置信度为100(1)α-的Poisson 分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，,λλ? 分别为参数的估计值以及它的置信区间。

其它分布的参数估计科可类似做出。

例6 假设均值为0.5，标准差为1.5，试生成一组3000个正态分布随机数，再将这些数

据作为样本数据对参数进行估计。（假设置信度为95%）

解 MATLAB 命令为

>> p=normrnd(0.5,1.5,3000,1); %生成正态分布随机数

>> [mu,sig,a,b]=normfit(p,0.05) %参数估计命令

mu =

0.5054

sig =

1.5101

a =

0.4513

0.5594

b =

1.4728

1.5493

即期望的估计值为0.5054，方差的估计值为1.5101，期望的置信区间为（0.4513，0.5594），方差的置信区间为（1.4728，1.5493）。

5.2.3 假设检验

下面介绍正态分布均值的假设检验：

[,,](,,,,)H p ci ztest x mu tail σα= %正态分布均值的Z 检验，其中x 为样本值，mu 是0H 假设中的0μ，σ为总体标准差，α为显著性水平，tail 为备择假设1H 的选择（1H 为0μμ>时1tail =；1H 为0μμ<时1tail =-；1H 为0μμ≠时0tail =（可省略））。当检验结果0H =时表示不能拒绝0H 假设；否则拒绝0H 假设。p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，ci 是0μ的置信区间。

[,,](,,,)H p ci ttest x mu tail α= %正态分布均值的T 检验，其中x 为样本值，mu 是0H 假设中的0μ，α为显著性水平，tail 为备择假设1H 的选择（1H 为0μμ>时1tail =；1H 为0μμ<时1tail =-；1H 为0μμ≠时0tail =（可省略））。当检验结果0H =时表示不能拒绝0H 假设；否则拒绝0H 假设。p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，ci 是0μ的置信区间。

注： 当标准差已知时用Z 检验法，当标准差未知时用T 检验法。

例7 试用正态分布随机数函数生成一组随机数，并对该随机数进行均值的假设检验。 解 假设已知(1,4)X N ，假设0:1H μ=，由于标准差已知，故可用Z 检验法。 MATLAB 命令为

>> x=normrnd(1,2,500,1); %生成500个随机数

>> [H,p,ci]=ztest(x,1,2,0.05) %用Z 检验法检验，假设显著性水平为0.05 H =

p =

0.9952

ci =

0.8242 1.1748

由于结果0H =，所以接受0H 假设，即认为均值为1 。

如果认为标准差未知，则用T 检验法进行检验：

MATLAB 命令为

>> x=normrnd(1,2,500,1); %生成500个随机数

>> [H,p,ci]=ttest(x,1,0.05) %用T 检验法检验，假设显著性水平为0.05

H =

p =

0.9954

ci =

0.8183 1.1806

由于结果0H =，所以接受0H 假设，即认为均值为1 。

另外，统计中还有一些常用的命令，如

max()x %求最大值

min()x %求最小值

()median x %求中值

()geomean x %求几何平均数

()corrcoef x %求相关系数。

5.2.4 回归分析

本节主要讲多项式拟合。

多项式拟合的命令格式为： [,](,,)p s polyfit x y n =

功能：对已知的数据组,x y 进行多项式拟合，拟合的多项式的阶数为n ，其中p 为多项式的系数矩阵，s 为预测误差估计值的矩阵。

例8 设[00.10.20.30.40.50.60.70.80.91]x =，

[2.32.52.12.53.23.63.03.14.15.13.8]y =。试分别用二次，三次和七次拟合曲线来拟合这些数据，观察哪个拟合曲线的效果最好。

解 MATLAB M-文件为

x=0:.1:1; %数据点

y=[2.3 2.5 2.1 2.5 3.2 3.6 3.0 3.1 4.1 5.1 3.8]; %数据点

p2=polyfit(x,y,2); %二次多项式拟合

p3=polyfit(x,y,3); %三次多项式拟合

p7=polyfit(x,y,7); %七次多项式拟合

disp('二次拟合曲线'),poly2str(p2,'x') %转换成字符串形式的多项式

disp('三次拟合曲线'),poly2str(p3,'x')

disp('七次拟合曲线'),poly2str(p7,'x')

x1=0:.01:1; %重新 取点，以便后面求拟合多项式的值

y2=polyval(p2,x1); %求拟合多项式在相应点的值

y3=polyval(p3,x1);

y7=polyval(p7,x1);

plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7) %作图比较

legend('拟合点','二次拟合','三次拟合','七次拟合')

运行结果如下所示：

二次拟合曲线

ans =

0.64103 x^2 + 1.6226 x + 2.1734

三次拟合曲线

ans =

-4.9728 x^3 + 8.1002 x^2 - 1.2218 x + 2.3524

七次拟合曲线

ans =

1056.2558 x^7 - 4598.0392 x^6 + 7609.4771 x^5 - 6077.9223 x^4

+ 2424.1142 x^3 - 439.9012 x^2 + 27.5161 x + 2.2942

拟合曲线的对比

习题5

1 某次外语考试抽样调查结果表明，学生外语考试成绩近似服从正态分布，且其均值为72分，并已知超过96分的人数占总数的2.3%，试求出考试外语成绩介于60到80分之间概率。

2 已知某随机变量的概率密度函数为2

222,0()0,0x

b x e x f x b x -??≥=??

，求该随机变量的分布函

数，均值和方差。

3 假设在某固定气压下对水的沸点进行多次测试，得出一组数据为113.53，120.25，106.02，101.05，116.46，110.33，103.95，109.29，93.93，118.67（单位：℃），并假设它们满足正态分布，试求出置信水平0.05α≤的条件下，该气压下水沸点的总体方差的置信区间。

4 10个失眠者用A ，B 两种药后，延长睡眠时间由下表给出，试判断两种药对失眠的疗效

[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5,8.0]y =，求对它们的一次，二次拟合曲线。