第五章 概率与统计的数学实验

第四章 概率与统计的数学实验

概率论与数理统计是数学的一个重要分支，其问题的求解也很重要。MATLAB 语言提供了专用的统计学工具箱，其中包括大量的函数，可以直接求解概率论与数理统计领域中的问题。

5.1 概率计算基本命令

5.1.1 常见分别的概率密度函数与分布函数

Poisson 分布:Poisson 分布的概率密度是参数为λ的函数，且λ是正整数，

即 (),0,1,2,3,...!

x

x p x e x x λλ-==。可以用(),()p o i s s p d f p o i s s c d f 函数分别求出Poisson 分布的概率密度函数和分布函数，它们的调用格式为：(,)y poisspdf x λ=和(,)F poisscdf x λ=。其中，x 为选定的一组横坐标向量，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。

正态分布:可以分别调用下面的命令生成正态分布的概率密度函数和分布函数 (,,)y normpdf x μσ= 和(,,)F normcdf x μσ=。其中，x 为选定的一组横坐标向量，μ为均值，σ为标准差，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。

2χ分布:可以分别调用下面的命令生成2

χ分布的概率密度函数和分布函数 2(,)y chi pdf x k =和2(,)F chi cdf x k =。其中，x 为选定的一组横坐标向量，k 为正整数，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。以下的概率密度函数和分布函数中的x ，k ，y ，F 。

T 分布:概率密度函数和分布函数：(,)y tpdf x k =和(,)F tcdf x k =。

F 分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y fpdf x a b =和(,,)F fcdf x a b =。,a b 为参数。 二项分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y binopdf x n p =和(,,)F binocdf x n p =。 指数分布:概率密度函数和分布函数: exp (,)y pdf x λ=和exp (,)F cdf x λ=。其中μ 为均值，σ为标准差。

均匀分布: 概率密度函数和分布函数:(,,)y unifpdf x a b =和(,,)F unifcdf x a b =。其中μ为均值，σ为标准差。

例1 分别画出2(,)μσ为(1,1),(0,1),(0,9)-时的正态分布的概率密度函数和分布函数。 解 M-文件为

x=[-3:0.01:3]';y1=[];y2=[];mu=[-1,0,0];

sig1=[1,1,9];sig2=sqrt(sig1);

for i=1:length(mu)

y1=[y1,normpdf(x,mu(i),sig2(i))];

y2=[y2,normcdf(x,mu(i),sig2(i))];

end

plot(x,y1),figure;plot(x,y2)

执行后结果为

概率密度函数

分布函数

5.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数

由随机变量的分布函数可以计算相应的概率问题。 分布函数按{}()P x F x ξ≤=定义，由此可以得到一些常用且重要的公式，如：{}()()P a b F b F a ξ≤≤=-， {}1()P x F x ξ≥=-。

例2 假设随机变量(2,16)X N ，求该随机变量落入区间{14},{2}P X P X ≤≤≥。 解 MATLAB 命令为

>> mu=2;sig=16;

>> p1=normcdf(4,mu,sig)-normcdf(1,mu,sig)

>> p2=1-normcdf(2,mu,sig)

例3 设二维随机变量(,)ξη的联合密度函数为

2,01,02(,)30,

xy x x y p x y otherwise ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩， 求11{,}22P ξη<<。

解 MATLAB 命令为

>> syms x y;

>> f=x^2+x*y/3;

>> p=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2) %通过对概率密度函数积分计算相应概率

5.2 基本统计命令及其使用

5.2.1 随机变量的均值和方差

若已知离散型随机变量的分布律，可用求和命令或级数知识计算出期望和方差；若已知连续型随机变量的密度函数，可用积分命令求出均值和方差。

若已知一组随机变量样本数据构成的向量，则可以分别使用以下MATLAB 命令求出随机变量的均值和方差：

()m mean x = %求样本均值

1var()s x = %求样本方差

2()s std x = %求样本标准差

例4 试生成一组3000个正态分布随机数，使其均值为0.5，标准差为1.5，试分析这些

数据实际的均值，方差和标准差。

解 先用命令(,,,)p normrnd

m n μσ=生成一组均值为μ，标准差为σ的正态分布m n ⨯矩阵。

MATLAB 命令为

>> p=normrnd(0.5,1.5,3000,1); %生成正态分布随机数

>> [mean(p),var(p),std(p)]

ans =

0.5037 2.3230 1.5242

即这组数据的实际均值为0.5037，方差为2.323，标准差为1.5242，与理论值比较接近。

多个随机变量的协方差矩阵，可用以下命令求出

cov()C X =，其中X 的各列均表示不同的随机变量的样本值。

例5 试生成4个满足标准正态分布的随机变量，并求出它们的协方差矩阵。

解 MATLAB 命令为

>> p=randn(3000,4); %矩阵p 的4列即为4个标准正态分布随机变量

>> cov(p)

5.2.2 参数估计和区间估计

MATLAB 工具箱中提供了由极大似然法给出相应参数估计的命令：

2

[,]()normfit x μσ= %该命令给出正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，2,μσ 分别为参数期望和方差的估计值。

22

[,,,](,)normfit x μσμσα∆∆= %该命令给出置信度为100(1)α-的正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，22,,,μσμσ∆∆ 分别为参数期望和方差的估计值以及它们的置信区间。 ()poissfit x λ= %该命令给出Poisson 分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，λ 参数的估计值。