第五章 概率与统计的数学实验
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学1b高一必修第二册数学
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内容(nèiróng)总结
第五章 统计(tǒngjì)与概率。说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.。2理解，互斥事件和对立事件的概念 及关系。会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率。3.会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算，加强数学抽象素养的培
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即时训练3 已知数学考试中，李明名成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90 分的概率为0.5，求： （1）李明成绩不低于60分的概率； （2）李明成绩低于60分的概率。5事件(shìjiàn)的混合运算。
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第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
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5.3 概率(gàilǜ)
5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运算
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5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运 算
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【导入新课】 回顾1.集合间的运算(yùn suàn)及关系
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问题探究二：事件的和（并） （1）给定事件A,B。由所有A中的样本点与所有B中的样本点组成的事件， 称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。 （2）事件A+B发生(fāshēng)，则当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生。
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P（A）≤P(A+B) ， P（B）≤P(A+B) ， P(A+B)≤P（A）+P(B)
西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第五章一维随机变量2
一、问题的思考
例1（一个著名的古典概率问题——赌金分配问题）
假如在一个比赛中赢6次才算赢，赌徒甲已经赢5 次，而赌徒乙赢2次，这时中断赌博，问总的赌金应 该如何分配？
一、问题的思考
1.试验背景
贝努里试验：只有两个可能结果的随机试验。 n重贝努里试验：重复独立进行n次贝努里试验 （n次重复独立试验）。 需要考察的问题：
实例6 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
(e) 此人的等车时间,
是一个随机变量.
且 ξ(e) 的所有可
能取值为: [0,5].
实例7 随机变量 ξ 为“测量某零件尺寸时的测量
误差”.
则 ξ 的取值范围为 (a, b) .
实例8 随机变量 η 为“射击时偏离靶心的距离”.
若 Y1 ~ B(1, p) ,,Yn ~ B(1, p)，且相互独立， X Y1 Yn ，则 X ~ B(n, p)
结论：服从二项分布的随机变量可以表示成独立的 两点分布的随机变量之和。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功” 次数X的概率分布。
二、二项分布的计算
（续）对例1的解答：
设赌徒甲和赌徒乙，他们赢一局的概率分别为p和 q=1-p；X表示赌徒甲在4次试验中赢的次数，Y表示赌 徒乙在4次试验中赢的次数，则
2. 随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色.
S={红色、白色} ?
非数量 可采用下列方法
将 S 数量化
(e)
红色 白色
S
1 0R
即有 ξ (红色)=1 ,
ξ (白色)=0.
数学趣味实验探索概率与统计
数学趣味实验探索概率与统计概率与统计是数学中非常重要的分支，通过实验探索概率与统计可以增加学生对这一概念的理解和兴趣。
本文将介绍几个有趣的数学实验，通过这些实验，学生可以深入了解概率与统计的概念，并在实践中感受其中的乐趣。
实验一：硬币实验材料：一枚硬币步骤：1. 同学们以一个简单问题开始这个实验：“抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是多少？”2. 让学生分别独自进行10次试验，记录每次试验中正面朝上的次数。
3. 让学生汇总数据并计算正面朝上的概率。
实验二：骰子实验材料：一颗六面骰子步骤：1. 随机选择一个学生进行抛掷骰子实验。
2. 让学生记录每次试验的结果，并统计每个数字出现的次数。
3. 让学生将试验结果汇总，并计算每个数字出现的概率。
实验三：袋子实验材料：一袋彩色球步骤：1. 准备一袋彩色球，每个颜色的球数可以根据实际情况进行设置（例如5个红球，3个蓝球，2个绿球）。
2. 让学生闭眼从袋子中摸出一个球，并记录颜色。
3. 将摸出的球放回袋子中，重复多次实验，让学生记录每个颜色球的出现次数。
4. 让学生计算每个颜色球被摸出的概率。
实验四：生日实验材料：学生名单步骤：1. 让每个学生记录自己的生日（不需要具体年份）。
2. 让学生将自己的生日加入到一个大的生日表中。
3. 分析生日表，统计每个月中生日的分布情况，并计算生日在每个月出现的概率。
通过以上四个实验，学生可以亲身参与概率与统计的实际探索，并通过实验结果直观地了解概率和统计的概念。
同时，这些实验可以帮助学生培养观察、记录和分析数据的能力，提高他们的数学素养和逻辑思维能力。
在实施这些实验的过程中，教师应引导学生思考实验结果的意义，并与他们展开讨论。
通过对实验结果的分析和讨论，学生能够更深入地理解概率和统计的原理，并将这些原理应用到日常生活中。
总结：通过数学趣味实验，学生可以在实践中探索概率与统计的知识，培养他们对数学的兴趣和理解。
实验不仅可以增加学生对概率与统计概念的认识，还能锻炼他们的观察、记录和分析能力。
概率论与数理统计 第5章
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
_新教材高中数学第五章统计与概率
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率
都是0.1
【答案】
D
(2)我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连
续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反
面向上”呢？
【解析】 不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一
次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结
状元随笔 (1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一
定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种
摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的
概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件
发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个
事件的概率．
(2)概率与频率的区别与联系：
频率
概率
频率反映了一个随机事件发 概率是一个确定的值，它反映
区别
生的频繁程度，是随机的 随机事件发生的可能性的大小
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越
联系
接近概率
基 础 自 测
(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
题型3 频率分布直方图的应用[经典例题]
例3 (1)在某次赛车中，50名参赛选手的成
绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和
1
，是指试验次数相当
1 000
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
第五章概率与统计的数学实验
第五章概率与统计的数学实验第四章概率与统计的数学实验概率论与数理统计是数学的⼀个重要分⽀，其问题的求解也很重要。
MATLAB 语⾔提供了专⽤的统计学⼯具箱，其中包括⼤量的函数，可以直接求解概率论与数理统计领域中的问题。
5.1 概率计算基本命令5.1.1 常见分别的概率密度函数与分布函数Poisson 分布:Poisson 分布的概率密度是参数为λ的函数，且λ是正整数，即 (),0,1,2,3,...!xx p x e x x λλ-==。
可以⽤(),()p o i s s p d f p o i s s c d f 函数分别求出Poisson 分布的概率密度函数和分布函数，它们的调⽤格式为：(,)y poisspdf x λ=和(,)F poisscdf x λ=。
其中，x 为选定的⼀组横坐标向量，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
正态分布:可以分别调⽤下⾯的命令⽣成正态分布的概率密度函数和分布函数 (,,)y normpdf x µσ= 和(,,)F normcdf x µσ=。
其中，x 为选定的⼀组横坐标向量，µ为均值，σ为标准差，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
2χ分布:可以分别调⽤下⾯的命令⽣成2χ分布的概率密度函数和分布函数 2(,)y chi pdf x k =和2(,)F chi cdf x k =。
其中，x 为选定的⼀组横坐标向量，k 为正整数，y为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
以下的概率密度函数和分布函数中的x ，k ，y ，F 。
T 分布:概率密度函数和分布函数：(,)y tpdf x k =和(,)F tcdf x k =。
F 分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y fpdf x a b =和(,,)F fcdf x a b =。
《概率论与数理统计》5-1 中心极限定理
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区 间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试 问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10.
1.55 1.55
2 1.55 1 0.8788.
例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材 中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢 不超过30根的概率. 解 以Yn 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:
1 E X p, D X p 1 p n
定理5.3 独立同分布情形下大数定律
设
X1 , X 2 ,
是一个独立同分布的随机变量序列. 且
P E X , D X 2 . 则 X
证明关键步骤:
1 2 E X , D X n
Yn
B 200,0.15 .
Y np N 30 0.95, P Yn N P n np 1 p 25.5 N 30 查表得: 1.645, 即: N 38.3068, 所以可取
25.5
N 39方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外
在§1.3中, 我们曾经提到频率的稳定性. 设随机事件A的概率P(A)=p, 在n重贝努利试验中事件A 发生的频率为 f n A .当n很大时, 将与p非常接近. 由 于 f n A 本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试 验可能取不同的值, 因而需要对随机变量序列引进新 的收敛性定义.
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计实验报告概率论与数理统计实验报告引言：概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们在现代科学研究和实际应用中起着重要的作用。
本次实验旨在通过实际操作，加深对概率论与数理统计的理解，并探索其在实际问题中的应用。
实验一：掷硬币实验实验目的：通过掷硬币实验，验证硬币正反面出现的概率是否为1/2。
实验步骤：1. 准备一枚硬币，标记正反面。
2. 进行100次连续掷硬币实验。
3. 记录每次实验中正面朝上的次数。
实验结果与分析：经过100次掷硬币实验，记录到正面朝上的次数为47次。
根据概率论的知识，理论上硬币正反面出现的概率应为1/2。
然而，实验结果显示正面朝上的次数并未达到理论值。
这表明在实际操作中，概率与理论可能存在一定的差异。
实验二：骰子实验实验目的：通过骰子实验，验证骰子的点数分布是否符合均匀分布。
实验步骤：1. 准备一个六面骰子。
2. 进行100次连续投掷骰子实验。
3. 记录每次实验中骰子的点数。
实验结果与分析：经过100次投掷骰子实验，记录到骰子点数的分布如下：1出现了17次；2出现了14次；3出现了20次；4出现了19次；5出现了16次；6出现了14次。
根据概率论的知识，理论上骰子的点数分布应符合均匀分布，即每个点数出现的概率相等。
然而，实验结果显示骰子点数的分布并未完全符合均匀分布。
这可能是由于实际操作的不确定性导致的结果差异。
实验三：正态分布实验实验目的：通过测量人体身高数据，验证人体身高是否符合正态分布。
实验步骤：1. 随机选择一定数量的被试者。
2. 测量每个被试者的身高。
3. 统计并绘制身高数据的频率分布直方图。
实验结果与分析：通过测量100名被试者的身高数据，统计得到的频率分布直方图呈现出典型的钟形曲线，符合正态分布的特征。
这与概率论中对正态分布的描述相吻合。
结论：通过以上实验，我们对概率论与数理统计的一些基本概念和方法有了更深入的了解。
实验结果也向我们展示了概率与理论之间的差异以及实际操作的不确定性。
数学实验之统计与概率
数学实验之统计与概率数学实验对于学生的数学学习有着重要的作用，它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍数学实验中的统计与概率相关内容，并通过实际案例来说明其在数学学习中的应用。
1. 引言数学实验是一种通过实际操作和观察来加深对数学知识理解的方式。
统计与概率是数学中的重要分支，通过实验可以更直观地了解这一领域中的概念和原理。
2. 统计实验统计实验是通过观察和记录数据来研究一个或多个变量之间的关系。
在统计实验中，我们需要明确实验目的、设计实验方案、收集数据，并进行数据处理和分析。
以下是一个统计实验的案例：假设我们想研究学生体重与身高之间的关系。
我们选取了一组学生进行测量，得到了他们的身高和体重。
然后，我们可以通过绘制散点图来观察身高和体重之间的分布和趋势。
进一步地，我们可以计算身高和体重之间的相关系数，用于量化身高和体重之间的关联性。
通过这个实验，学生可以深入了解统计实验的步骤和方法，并从中学习到如何应用统计学知识解决实际问题。
3. 概率实验概率实验是通过实验和观察来研究随机现象的规律性。
在概率实验中，我们需要确定实验的样本空间、事件的概率，并进行实验和观察。
以下是一个概率实验的案例：假设我们要研究一枚硬币正反面朝上的概率。
我们进行了一系列的抛硬币实验，记录了正反面朝上的情况。
通过实验的数据，我们可以计算正面朝上的频率，并近似估计正面朝上的概率。
通过这个实验，学生可以了解概率实验的基本原理和步骤，并通过实践掌握如何计算概率和进行概率估计。
4. 数学实验的意义数学实验在数学学习中起着重要的作用。
通过实验，学生可以更直观地了解数学知识的应用和实际意义，培养他们的观察和分析能力。
此外，数学实验也可以激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习主动性。
通过统计与概率相关的数学实验，学生可以深入了解和应用这一领域的概念和方法。
他们可以通过实验，探索数据的分布和规律，理解统计方法的基本原理；通过实验，观察和分析随机现象，理解概率的概念和计算方法。
概率论与数理统计 五大数定理
三倍标准差的概率.
解
P
X EX
3
DX
3 2
1 9
0.1111
2
例2 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验.
利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次试验中发生
的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.
用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理.
一、切比雪夫不等式
切比雪夫不等式:
设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX，
则对于任何正数 ，下列不等式成立：
P X EX DX 或 P X EX 1 DX
2
2
证
就 X是连续型随机变量的情况证明：
设X 的概率密度为
f x, 则 P X EX f ( x)dx
lim
n
P
i 1
n
z
1
e dt , z t 2 2
(z 为任意实数.)
2
n
考虑随机变量:
Yn X i ,
i 1
n
n
则 E(Yn ) E( X i ) n D(Yn ) D( X i ) n 2
i 1
i 1
13
例1 计算机进行加法计算时, 把每个加数取为最接近于它的整数
来计算. 设所有的取整误差是相互独立的随机变量, 并且都在
林德伯格条件
设独立随机变量 总和不起主要作用，
若每一个别随机变量对于
X1 , X 2 , , X n , ,
则当 n时,
有
lim P
n
Zn z
1
t2 z
e 2 dt.
数学实验报告概率统计
一、实验目的1. 理解概率统计的基本概念和原理；2. 掌握运用概率统计方法解决实际问题的能力；3. 提高数据分析和处理能力。
二、实验内容1. 随机数生成实验2. 抽样实验3. 假设检验实验4. 估计与预测实验三、实验方法1. 随机数生成实验：使用计算机生成随机数，并分析其分布情况；2. 抽样实验：通过随机抽样，分析样本数据与总体数据的关系；3. 假设检验实验：根据样本数据，对总体参数进行假设检验；4. 估计与预测实验：根据历史数据，建立预测模型，对未来的数据进行预测。
四、实验步骤1. 随机数生成实验（1）设置随机数生成器的参数，如范围、种子等；（2）生成一定数量的随机数；（3）分析随机数的分布情况，如频率分布、直方图等。
2. 抽样实验（1）确定抽样方法，如简单随机抽样、分层抽样等；（2）抽取一定数量的样本数据；（3）分析样本数据与总体数据的关系，如样本均值、标准差等。
3. 假设检验实验（1）根据实际需求，设定原假设和备择假设；（2）计算检验统计量，如t统计量、卡方统计量等；（3）根据临界值表，判断是否拒绝原假设。
4. 估计与预测实验（1）收集历史数据，进行数据预处理；（2）选择合适的预测模型，如线性回归、时间序列分析等；（3）利用历史数据训练模型，并对未来数据进行预测。
五、实验结果与分析1. 随机数生成实验（1）随机数分布呈现均匀分布，符合概率统计的基本原理；（2）随机数的频率分布与理论分布相符。
2. 抽样实验（1）样本均值与总体均值接近，说明抽样效果较好；（2）样本标准差略大于总体标准差，可能受到抽样误差的影响。
3. 假设检验实验（1）根据检验统计量，拒绝原假设，说明总体参数存在显著差异；（2）根据临界值表，确定显著性水平，进一步分析差异的显著性。
4. 估计与预测实验（1）预测模型具有较高的准确率，说明模型能够较好地拟合历史数据；（2）对未来数据进行预测，结果符合实际情况。
六、实验结论1. 概率统计方法在解决实际问题中具有重要作用，能够提高数据分析和处理能力；2. 随机数生成实验、抽样实验、假设检验实验和估计与预测实验均取得了较好的效果；3. 通过本次实验，加深了对概率统计基本概念和原理的理解，提高了运用概率统计方法解决实际问题的能力。
概率论与数理统计 第四版 第五章
≈１ － Φ
６０ － ３００ × ０畅 ２ ３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
＝ １ － Φ（０） ＝ ０畅 ５ ．
8 ． 一复杂的系统由 １００ 个相互独立起作用的部件所组成 ，在整个运行期间
121
（１） 求收入至少 ４００ 元的概率 ； （２） 求售出价格为１畅 ２ 元的蛋糕多于 ６０ 只的概率 ． 解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ，i ＝ １ ，２ ，… ，３００ ，则 Xi 有分布律为
Xi １ １畅 ２ １畅 ５ pk ０畅 ３ ０畅 ２ ０畅 ５
由此得
E（ Xi ） ＝ １ × ０畅 ３ ＋ １畅 ２ × ０畅 ２ ＋ １畅 ５ × ０畅 ５ ＝ １畅 ２９ ，
率是多少 ？
解 以 Xi （ i ＝ １ ，２ ，… ，５ ０００） 记第 i 个零件的重量 ，以 W 记 ５ ０００ 个零件
５ ０００
钞 的总重量 ：W ＝ Xi ．按题设 E（ Xi ） ＝ ０ ．５ ，D（ Xi ） ＝ ０畅 １２ ，由中心极限定理 ，可 i＝ １
知 W － ５ ０００ × ０畅 ５ 近似地服从 N（０ ，１） 分布 ，故所求概率为 ５ ０００ × ０畅 １
钞１０ ０００
—
X
＝
１ １０ ０００ i ＝ １
Xi
～
N
２８０
，１８
００２ ００２
，
故
p１
＝
—
P（ X ＞ ２７０）
≈ １－
Φ
２７０ － ２８０ ８
＝
１－
Φ
－
５ ４
＝
Φ
５ ４
＝ Φ（１畅 ２５） ＝ ０畅 ８９４ ４ ．
118
概率论与数理统计习题全解指南
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论和数理统计练习和测试-第五章-南工大应用数学系-编---苏大版-----大数定律和中心极限定理
概率论与数理统计练习与测试第五章（南工大应用数学系 编）(苏大版）大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2。
5。
利用契贝雪夫不等式估计：{}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-,又已知5.7,5.2==εξD ,故 044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1,但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用 {}∑=≥<-=n i i p m P m n n 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===n i i m E n E 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====n i n i i i n D n n D D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式,有 25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数,欲使开电频率mn 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0。
01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛—拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少? 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n m P ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p n m P ，亦即,则t ～N （0，1)且有 ,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpq n,以p =q =1/2代入可得 n =16641。
P43T3 4。
用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0。
概率统计基础实验报告
概率统计基础实验报告实验报告：概率统计基础实验1. 引言概率统计是一门研究随机现象的学科，广泛应用于各个领域，如金融、医疗、工程等。
本实验旨在通过设计一个简单实验，来理解概率统计的基本概念和方法。
2. 实验目的通过投掷一个均匀骰子，进行概率统计的实验，探索概率、事件、样本空间、频数、频率等基本概念及其计算方法。
3. 实验步骤1) 准备一个均匀骰子。
2) 进行一定次数的投掷，并记录每次投掷的结果。
3) 统计各种投掷结果的频数和频率。
4) 分析并总结实验结果。
4. 实验结果本实验进行了100次骰子投掷，记录了每次投掷的结果。
投掷结果为1的次数：15次投掷结果为2的次数：14次投掷结果为3的次数：17次投掷结果为4的次数：20次投掷结果为5的次数：18次投掷结果为6的次数：16次5. 计算与分析(1) 频数的计算投掷结果为1的频数= 15投掷结果为2的频数= 14投掷结果为3的频数= 17投掷结果为4的频数= 20投掷结果为5的频数= 18投掷结果为6的频数= 16(2) 频率的计算投掷结果为1的频率= 频数/ 投掷次数= 15 / 100 = 0.15 投掷结果为2的频率= 频数/ 投掷次数= 14 / 100 = 0.14投掷结果为3的频率= 频数/ 投掷次数= 17 / 100 = 0.17投掷结果为4的频率= 频数/ 投掷次数= 20 / 100 = 0.20投掷结果为5的频率= 频数/ 投掷次数= 18 / 100 = 0.18投掷结果为6的频率= 频数/ 投掷次数= 16 / 100 = 0.166. 结论与讨论通过实验结果的统计与计算，我们可以得到以下结论：(1) 在这100次的投掷中，每个骰子数字出现的频数并不完全一样，即每个数字的出现机会并不相同。
(2) 在这100次的投掷中，投掷结果为4的次数最多，也就是数字“4”的概率最大。
(3) 这个结果符合理论上均匀骰子的预期，即每个数字出现的概率应该相等，为1/6或约0.1667。
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
概率数学实验实验报告
一、实验目的1. 了解概率数学的基本概念和原理。
2. 掌握概率数学在现实生活中的应用。
3. 培养学生的实验操作能力和数据分析能力。
二、实验内容1. 抛掷硬币实验2. 抛掷骰子实验3. 箱子抽球实验4. 概率计算与应用三、实验器材1. 硬币一枚2. 骰子一个3. 箱子一个4. 球若干5. 记录表四、实验步骤1. 抛掷硬币实验（1）将硬币抛掷10次，记录正面朝上和反面朝上的次数。
（2）计算正面朝上和反面朝上的概率。
（3）分析实验结果，验证概率理论。
2. 抛掷骰子实验（1）将骰子抛掷10次，记录每个面出现的次数。
（2）计算每个面出现的概率。
（3）分析实验结果，验证概率理论。
3. 箱子抽球实验（1）将不同颜色的球放入箱子中，共5个球，其中红球2个，蓝球2个，黄球1个。
（2）从箱子中随机抽取球，记录抽取结果。
（3）计算每种颜色球被抽中的概率。
（4）分析实验结果，验证概率理论。
4. 概率计算与应用（1）根据实验结果，计算每种情况的概率。
（2）分析概率在现实生活中的应用，如彩票、保险等。
五、实验结果与分析1. 抛掷硬币实验实验结果显示，正面朝上的次数为5次，反面朝上的次数为5次。
计算概率为：P(正面朝上) = 5/10 = 0.5P(反面朝上) = 5/10 = 0.5实验结果与概率理论相符。
2. 抛掷骰子实验实验结果显示，每个面出现的次数如下：1面1次，2面1次，3面1次，4面1次，5面1次，6面1次。
计算概率为：P(1面) = 1/10 = 0.1P(2面) = 1/10 = 0.1P(3面) = 1/10 = 0.1P(4面) = 1/10 = 0.1P(5面) = 1/10 = 0.1P(6面) = 1/10 = 0.1实验结果与概率理论相符。
3. 箱子抽球实验实验结果显示，红球被抽中的次数为2次，蓝球被抽中的次数为2次，黄球被抽中的次数为1次。
计算概率为：P(红球) = 2/5 = 0.4P(蓝球) = 2/5 = 0.4P(黄球) = 1/5 = 0.2实验结果与概率理论相符。
高中数学实验：概率与统计分析
高中数学实验：概率与统计分析1. 概述概率与统计是数学中的重要分支，它们在许多领域都起着至关重要的作用。
本文档将介绍一个针对高中学生开展的数学实验，旨在帮助他们深入理解概率和统计的基本概念、原理和应用。
2. 实验目标通过这个实验，学生将能够： - 理解概率和统计的基本概念； - 学会使用各种统计方法和技巧来分析数据； - 掌握常见的概率模型和计算方法； - 进行有关组合、排列、事件等方面问题的解决思路。
3. 实验材料为了完成这个实验，需要以下材料： - 投掷硬币或色子； - 制作调查问卷所需的纸张、笔等。
4. 实验步骤步骤一：介绍基本概念和原则首先，教师应该向学生简单介绍概率与统计领域的基本概念，如事件、样本空间、随机变量等，并说明它们之间的关系。
同时，教师还可以通过举例子来说明概率与统计在现实生活中的应用。
步骤二：投掷硬币或色子让学生分别进行多次硬币和色子的投掷实验，并记录下每次结果。
例如，投掷十次硬币，记录正面朝上的次数；然后再投掷十次色子，记录出现数字6的次数等。
步骤三：分析数据根据学生记录的数据，引导他们使用统计方法和技巧进行数据分析。
教师可以教授一些常见的统计指标、图表等，如算术平均数、中位数、众数以及折线图、直方图等。
学生可以运用这些工具来分析他们的实验结果，并得出一些结论。
步骤四：设计调查问卷并收集数据学生可以根据自己感兴趣的主题，设计一个简单的调查问卷，并向同学们发放。
收集到足够数量的问卷后，学生需要整理和加工这些数据，并根据问题进行相关统计分析。
例如，他们可以通过频率表和柱状图来展示不同问题选项的选择情况。
5. 实验报告撰写概述部分•简要介绍概念和目标；•描述实验所需材料。
实验步骤部分•详细描述每个实验步骤的操作过程；•解释使用的统计方法和技巧，并提供相应的示例；•引导学生进行数据分析和解读。
结果与讨论部分•呈现学生记录的硬币和色子投掷数据，并进行相应统计分析；•展示调查问卷结果，包括频率表、柱状图等图表；•对实验结果进行解读和讨论，引导学生思考结论的合理性。
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第四章 概率与统计的数学实验概率论与数理统计是数学的一个重要分支，其问题的求解也很重要。
MATLAB 语言提供了专用的统计学工具箱，其中包括大量的函数，可以直接求解概率论与数理统计领域中的问题。
5.1 概率计算基本命令5.1.1 常见分别的概率密度函数与分布函数Poisson 分布:Poisson 分布的概率密度是参数为λ的函数，且λ是正整数，即 (),0,1,2,3,...!xx p x e x x λλ-==。
可以用(),()p o i s s p d f p o i s s c d f 函数分别求出Poisson 分布的概率密度函数和分布函数，它们的调用格式为：(,)y poisspdf x λ=和(,)F poisscdf x λ=。
其中，x 为选定的一组横坐标向量，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
正态分布:可以分别调用下面的命令生成正态分布的概率密度函数和分布函数 (,,)y normpdf x μσ= 和(,,)F normcdf x μσ=。
其中，x 为选定的一组横坐标向量，μ为均值，σ为标准差，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
2χ分布:可以分别调用下面的命令生成2χ分布的概率密度函数和分布函数 2(,)y chi pdf x k =和2(,)F chi cdf x k =。
其中，x 为选定的一组横坐标向量，k 为正整数，y 为x 各点处的概率密度函数的值，F 为x 各点处的概率密度函数的值。
以下的概率密度函数和分布函数中的x ，k ，y ，F 。
T 分布:概率密度函数和分布函数：(,)y tpdf x k =和(,)F tcdf x k =。
F 分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y fpdf x a b =和(,,)F fcdf x a b =。
,a b 为参数。
二项分布:概率密度函数和分布函数：(,,)y binopdf x n p =和(,,)F binocdf x n p =。
指数分布:概率密度函数和分布函数: exp (,)y pdf x λ=和exp (,)F cdf x λ=。
其中μ 为均值，σ为标准差。
均匀分布: 概率密度函数和分布函数:(,,)y unifpdf x a b =和(,,)F unifcdf x a b =。
其中μ为均值，σ为标准差。
例1 分别画出2(,)μσ为(1,1),(0,1),(0,9)-时的正态分布的概率密度函数和分布函数。
解 M-文件为x=[-3:0.01:3]';y1=[];y2=[];mu=[-1,0,0];sig1=[1,1,9];sig2=sqrt(sig1);for i=1:length(mu)y1=[y1,normpdf(x,mu(i),sig2(i))];y2=[y2,normcdf(x,mu(i),sig2(i))];endplot(x,y1),figure;plot(x,y2)执行后结果为概率密度函数分布函数5.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数由随机变量的分布函数可以计算相应的概率问题。
分布函数按{}()P x F x ξ≤=定义，由此可以得到一些常用且重要的公式，如：{}()()P a b F b F a ξ≤≤=-， {}1()P x F x ξ≥=-。
例2 假设随机变量(2,16)X N ，求该随机变量落入区间{14},{2}P X P X ≤≤≥。
解 MATLAB 命令为>> mu=2;sig=16;>> p1=normcdf(4,mu,sig)-normcdf(1,mu,sig)>> p2=1-normcdf(2,mu,sig)例3 设二维随机变量(,)ξη的联合密度函数为2,01,02(,)30,xy x x y p x y otherwise ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩， 求11{,}22P ξη<<。
解 MATLAB 命令为>> syms x y;>> f=x^2+x*y/3;>> p=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2) %通过对概率密度函数积分计算相应概率5.2 基本统计命令及其使用5.2.1 随机变量的均值和方差若已知离散型随机变量的分布律，可用求和命令或级数知识计算出期望和方差；若已知连续型随机变量的密度函数，可用积分命令求出均值和方差。
若已知一组随机变量样本数据构成的向量，则可以分别使用以下MATLAB 命令求出随机变量的均值和方差：()m mean x = %求样本均值1var()s x = %求样本方差2()s std x = %求样本标准差例4 试生成一组3000个正态分布随机数，使其均值为0.5，标准差为1.5，试分析这些数据实际的均值，方差和标准差。
解 先用命令(,,,)p normrndm n μσ=生成一组均值为μ，标准差为σ的正态分布m n ⨯矩阵。
MATLAB 命令为>> p=normrnd(0.5,1.5,3000,1); %生成正态分布随机数>> [mean(p),var(p),std(p)]ans =0.5037 2.3230 1.5242即这组数据的实际均值为0.5037，方差为2.323，标准差为1.5242，与理论值比较接近。
多个随机变量的协方差矩阵，可用以下命令求出cov()C X =，其中X 的各列均表示不同的随机变量的样本值。
例5 试生成4个满足标准正态分布的随机变量，并求出它们的协方差矩阵。
解 MATLAB 命令为>> p=randn(3000,4); %矩阵p 的4列即为4个标准正态分布随机变量>> cov(p)5.2.2 参数估计和区间估计MATLAB 工具箱中提供了由极大似然法给出相应参数估计的命令：2[,]()normfit x μσ= %该命令给出正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，2,μσ 分别为参数期望和方差的估计值。
22[,,,](,)normfit x μσμσα∆∆= %该命令给出置信度为100(1)α-的正态分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，22,,,μσμσ∆∆ 分别为参数期望和方差的估计值以及它们的置信区间。
()poissfit x λ= %该命令给出Poisson 分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，λ 参数的估计值。
[,](,)poissfit x λλα∆= %该命令给出置信度为100(1)α-的Poisson 分布随机变量的参数估计，其中x 为样本值，,λλ∆ 分别为参数的估计值以及它的置信区间。
其它分布的参数估计科可类似做出。
例6 假设均值为0.5，标准差为1.5，试生成一组3000个正态分布随机数，再将这些数据作为样本数据对参数进行估计。
（假设置信度为95%）解 MATLAB 命令为>> p=normrnd(0.5,1.5,3000,1); %生成正态分布随机数>> [mu,sig,a,b]=normfit(p,0.05) %参数估计命令mu =0.5054sig =1.5101a =0.45130.5594b =1.47281.5493即期望的估计值为0.5054，方差的估计值为1.5101，期望的置信区间为（0.4513，0.5594），方差的置信区间为（1.4728，1.5493）。
5.2.3 假设检验下面介绍正态分布均值的假设检验：[,,](,,,,)H p ci ztest x mu tail σα= %正态分布均值的Z 检验，其中x 为样本值，mu 是0H 假设中的0μ，σ为总体标准差，α为显著性水平，tail 为备择假设1H 的选择（1H 为0μμ>时1tail =；1H 为0μμ<时1tail =-；1H 为0μμ≠时0tail =（可省略））。
当检验结果0H =时表示不能拒绝0H 假设；否则拒绝0H 假设。
p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，ci 是0μ的置信区间。
[,,](,,,)H p ci ttest x mu tail α= %正态分布均值的T 检验，其中x 为样本值，mu 是0H 假设中的0μ，α为显著性水平，tail 为备择假设1H 的选择（1H 为0μμ>时1tail =；1H 为0μμ<时1tail =-；1H 为0μμ≠时0tail =（可省略））。
当检验结果0H =时表示不能拒绝0H 假设；否则拒绝0H 假设。
p 表示在假设0H 下样本均值出现的概率，ci 是0μ的置信区间。
注： 当标准差已知时用Z 检验法，当标准差未知时用T 检验法。
例7 试用正态分布随机数函数生成一组随机数，并对该随机数进行均值的假设检验。
解 假设已知(1,4)X N ，假设0:1H μ=，由于标准差已知，故可用Z 检验法。
MATLAB 命令为>> x=normrnd(1,2,500,1); %生成500个随机数>> [H,p,ci]=ztest(x,1,2,0.05) %用Z 检验法检验，假设显著性水平为0.05 H =p =0.9952ci =0.8242 1.1748由于结果0H =，所以接受0H 假设，即认为均值为1 。
如果认为标准差未知，则用T 检验法进行检验：MATLAB 命令为>> x=normrnd(1,2,500,1); %生成500个随机数>> [H,p,ci]=ttest(x,1,0.05) %用T 检验法检验，假设显著性水平为0.05H =p =0.9954ci =0.8183 1.1806由于结果0H =，所以接受0H 假设，即认为均值为1 。
另外，统计中还有一些常用的命令，如max()x %求最大值min()x %求最小值()median x %求中值()geomean x %求几何平均数()corrcoef x %求相关系数。
5.2.4 回归分析本节主要讲多项式拟合。
多项式拟合的命令格式为： [,](,,)p s polyfit x y n =功能：对已知的数据组,x y 进行多项式拟合，拟合的多项式的阶数为n ，其中p 为多项式的系数矩阵，s 为预测误差估计值的矩阵。
例8 设[00.10.20.30.40.50.60.70.80.91]x =，[2.32.52.12.53.23.63.03.14.15.13.8]y =。
试分别用二次，三次和七次拟合曲线来拟合这些数据，观察哪个拟合曲线的效果最好。
解 MATLAB M-文件为x=0:.1:1; %数据点y=[2.3 2.5 2.1 2.5 3.2 3.6 3.0 3.1 4.1 5.1 3.8]; %数据点p2=polyfit(x,y,2); %二次多项式拟合p3=polyfit(x,y,3); %三次多项式拟合p7=polyfit(x,y,7); %七次多项式拟合disp('二次拟合曲线'),poly2str(p2,'x') %转换成字符串形式的多项式disp('三次拟合曲线'),poly2str(p3,'x')disp('七次拟合曲线'),poly2str(p7,'x')x1=0:.01:1; %重新 取点，以便后面求拟合多项式的值y2=polyval(p2,x1); %求拟合多项式在相应点的值y3=polyval(p3,x1);y7=polyval(p7,x1);plot(x,y,'rp',x1,y2,'--',x1,y3,'k-.',x1,y7) %作图比较legend('拟合点','二次拟合','三次拟合','七次拟合')运行结果如下所示：二次拟合曲线ans =0.64103 x^2 + 1.6226 x + 2.1734三次拟合曲线ans =-4.9728 x^3 + 8.1002 x^2 - 1.2218 x + 2.3524七次拟合曲线ans =1056.2558 x^7 - 4598.0392 x^6 + 7609.4771 x^5 - 6077.9223 x^4+ 2424.1142 x^3 - 439.9012 x^2 + 27.5161 x + 2.2942拟合曲线的对比习题51 某次外语考试抽样调查结果表明，学生外语考试成绩近似服从正态分布，且其均值为72分，并已知超过96分的人数占总数的2.3%，试求出考试外语成绩介于60到80分之间概率。